CAC BÀI TOÁN HÌNH HỌC HAY VÀ KHÓ LỚP 9

Bài 2: Cho tam giác cân ABC AB = AC , Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với AB, AC tại B và C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC.. Chứng minh khi M

Bài 1 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Vẽ tiếp tuyến xBx , gọi C, D là hai điểm nằm’ , gọi C, D là hai điểm nằm

trên đờng tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt Bx tại N.’ , gọi C, D là hai điểm nằm

a) Chứng minh: Δ ADC ~ Δ AMN.

b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.

c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đờng tròn.

Bài 2: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác và

tiếp xúc với AB, AC tại B và C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC Trên cung BC lấy một điểm M, kẻ MI, MH, MK lần lợt vuông góc với BC,

CA, AB Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao điểm của CM và IH.

a ) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp.

b ) Chứng minh MI 2 = MH.MK

c ) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp Suy ra PQ vuông góc với MI.

Bài 3: Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao

cho AC > BC, AC > AB; Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau ở E Gọi P,Q lần lợt là giao điểm của AB với CD; AD với CE.

a) Chứng minh DE // BC.

b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp.

c) Tứ giác PBCQ là hình gì? tại sao?

d) Gọi R là giao điểm của AD và BC Chứng minh .

CR

1 CQ

1 CE

1





và BC Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp.

c) Chứng minh PQ // AC.

Bài 5: Cho hai đờng tròn (O,R) và (O ,R ) cắt nhau ( R > R ) Các tiếp tuyến chung MN’ , gọi C, D là hai điểm nằm ’ , gọi C, D là hai điểm nằm ’ , gọi C, D là hai điểm nằm

và PQ ( M, P nằm trên (O) )

a) Chứng minh ba đờng thẳng MN, PQ, OO đồng quy tại một điểm.’ , gọi C, D là hai điểm nằm

b) Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp.

c) Xác định vị trí của (O) và (O ) sao cho đ’ , gọi C, D là hai điểm nằm ờng tròn đờng kính OO tiếp xúc với’ , gọi C, D là hai điểm nằm

MN và PQ.

d) MQ cắt (O) , (O ) lần l’ , gọi C, D là hai điểm nằm ợt tại S và T Chứng minh MS = QT

Bài 6: Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại A và B Đ’ , gọi C, D là hai điểm nằm ờng thẳng vuông

góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O ) lần l’ , gọi C, D là hai điểm nằm ợt tại các điểm C và D Lấy điểm M trên cung nhỏ CB Đờng thẳng MB cắt (O ) tại N, CM cắt DN tại P.’ , gọi C, D là hai điểm nằm

a) AMN là tam giác gì? tại sao?

b) Chứng minh tứ gicá ACPD nội tiếp.

c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O ) Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?’ , gọi C, D là hai điểm nằm

d) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ

BC thì điểm E luôn nằm trên một đờng tròn cố định.

AV

Bài 7: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm M nằm trên cung AB, gọi H là

điểm chính giữa của cung AM Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tạ A ở K AH cắt BM tại S.

a ) Tam giác Bá là tam giác gì? tại sao? Suy ra S nằm trên một đờng tròn cố định.

b ) Xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng KS với (B, BA ).

c ) Đờng tròn đi qua B, I, S cắt đờng tròn (B, BA ) tại N Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động.

d ) Xác định vị trí của M sao cho 0

90 A

K ˆ

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, một điểm M thay đổi trên cạnh AC Đờng tròn

đ-ờng kính MC cắt BM tại N và cắt NA tại P.

a ) Chứng minh bốn điểm A, B, C, N cùng nằm trên một đờng tròn.

b ) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCP.

c ) Gọi D, E là các điểm đối xứng với M qua BA và BC chứng minh tứ giác BDCE nội tiếp.

d ) Xác định vị trí của M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE có đờng kính nhỏ nhất.

Bài 9: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính AB, một điểm M trên đờng tròn sao cho MA >

MB, Các tiếp tuyến của đờng tròn tại M và B cắt nhau ở P, các đờng thẳng AB,

MP cắt nhau tại Q; các đờng thẳng AM, OM cắt BP lần lợt tại R, S.

a ) Chứng minh tứ giác AMPO là hình thang.

b ) Chứng minh MB // SQ.

c ) Gọi C là điểm đối xứng với M qua AB Chứng minh tứ giác AQS C nội tiếp.

d ) Gọi D là giao điểm của AM và SQ, cho biết OMDP là hình bình hành Tính OS theo R.

Bài 10: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, các điểm C, D nằm trên đờng tròn sao cho C,

D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi M, N lần lợt là các điểm chính giữa của các cung AC, AD MN cắt AC, AD thứ tự tại H, I; MD cắt CN tại K.

a ) Chứng minh ΔNKD, ΔMAK cân.

b ) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp; suy ra KH // AD.

c ) So sánh góc CAK và DAK.

d ) Tìm hệ thức giữa số đo cung AC và AD là điều kiện cần và đủ để AK // ND.

Bài 11: Cho đờng tròn (O) trên đó có cung cố định AB bằng 90 0 và một điểm C thay đổi

trên cung lớn AB Gọi H là trực tâm của tam giác ABC AH, BH cắt (O) lần lợt tại M, N, AN cắt BM tại P.

a ) Chứng minh M, O, N thẳng hàng.

b ) Tứ giác ACBP là hình gì? tại sao?

c ) Chứng minh CO // PH.

d ) Chứng minh A O ˆ M  C H ˆ P không phụ thuộc vào vị trí điểm C

Bài 12: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng

tròn ( M khác A, B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tạ M và cắt đờng trung trực của đoạn thẳng AB tại I Đờng tròn tâm I tiếp xúc với AB và cắt d tại

C, D ( D nằm trong góc BOM ).

a ) Chứng minh OC, OD lần lợt là tia phân giác của góc AOM, BOM.

b ) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.

c ) Chứn minh AC.BD = R 2

d ) Xác định vị trí điểm M sao cho S ABCD nhỏ nhất.

Bài 13: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm M trên cung AB và điểm C nằm

giữa A và B sao cho CA < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tiaAx, By vuông góc với AB Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax, By theo thứ tự tại P, Q Gọi giao điểm của AM với CP; BM với CQ lần lợt là R, S.

a ) Chứng minh các tứ giác APMC, BQMC, RMSC nội tiếp.

b ) Chứng minh RS // AB.

c ) Tứ giác áC có thể là hình bình hành không? tại sao?

d ) Chứng minh nếu RC.RP = SC thì RC = SQ; RP = SC.

Bài 14: Cho ΔABC ( A C ˆ B > 90 0 ) nội tiếp đờng tròn (O), một điểm M di động trên cung

lớn AB Gọi I là giao điểm của MC với AB và D là giao điểm của các tiếp tuyến tại B, C.Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của IM, IA.

a ) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp.

b ) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác BICD nội tiếp.

c) Xác định vị trí của M để tứ giác AMPQ nội tiếp.

d ) Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để khi tứ giác BICD nội tiếp thì hai

đờng tròn (B, C, I) và (B, C, Q) bằng nhau.

Bài 15: Cho góc xAy, một đờng tròn (O) cắt Ax, Ay tại M, N, P, Q sao cho N nằm trên

tia Mx, Q nằm trên tia Py, kẻ dây MR // PQ.

a ) So sánh góc PMR với MNQ.

b ) Chứng minh ΔANQ~ ΔPNR.

c ) Chứng minh đờng tròn ( A, N, P) tiếp xúc với PR.

d ) Cho MR = PQ chứng minh (A,N,P) và (I,N,R) tiếp xúc với nhau tại N.

Bài 16: Từ một điểm A ở ngoài (O,R) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến AKD với

đờng tròn sao cho BD // AC Nối BK cắt AC tại I.

a ) Chứng minh IC 2 = IK.IB.

b ) Chứng minh ΔBAI~ ΔAKI và tính AI nếu KI = 16 cm, BI = 49 cm.

c ) Chứng minh AI = IC.

d ) Tìm điều kiện để CK AB.

Bài 17: Cho ΔABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B Đờng tròn đờng kính

BD cắt BC tại E CD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại F, G.

a ) Chứng minh BE.BC = BD.BA.

Bài 18: Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D là trung điểm của AC, tia BD

cắt tiếp tuyến tại Ax của đờng tròn ở E, gọi F là giao điểm của EC với (O).

a ) Chứng minh BC // Ax.

b ) Tứ giác ABCE là hình gì? tại sao?

c ) Gọi I là trung điểm của CF ; BC cắt OI tại G so sánh góc BGO và BAC.

d ) Cho biết DF = 1/2 BC Tính góc ABC.

Bài 19: Cho đờng tròn (O) đờng kính BC và điểm A nằm trên cung BC sao cho AB > AC.

Lấy điểm D trên tia AC sao cho AD = AB, kẻ hình vuông BADE, tia AE cắt đờng tròn (O) tại F.

a ) Chứng minh ΔFBC vuông cân.

b ) ΔFCD là tam giác gì? tại sao?

c ) Tiếp tuyến của (O) tạ B cắt CF tạ G Chứng minh D, E, G thẳng hàng.

d ) Tìm tập hợp điểm E.

Bài 20: Cho đờng tròn (O) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau Một điểm I

nằm giữa O và C Các tia AI, BI lần lợt cắt (O) tại các điểm M, N Tia MO cắt dây BN tại P và cắt đơng tròn (O) tại Q AM cắt NQ tại R.

a) Chứng minh N, Q đối xứng nhau qua AB.

b) Chứng minh I P ˆ O 3 I A ˆ O

c) Chứng minh nếu tứ giác IPQR nội tiếp thì ΔOIP cân.

d) Nếu ΔOIP cân thì tứ giác IPQR có nội tiếp đợc hay không? tại sao?

H ớng dẫn

Khai thác

Bài 21 : Cho hai đờng tròn (O) và (O ) cát nhau tại A và B Các đ’ , gọi C, D là hai điểm nằm ờng thẳng AO và AO ’ , gọi C, D là hai điểm nằm

cắt (O) lần lợt tại C, D và cắt (O ) lần l’ , gọi C, D là hai điểm nằm ợt tại E, F.

a) Chứng minh C, B ,F thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp ΔBDE.

d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuýen chung của (O) và (O ).’ , gọi C, D là hai điểm nằm

H ớng dẫn

Khai thác

Bài 22 : Cho đờng tròn (O)đờng kính AC, trên đoạn OC lấy một điẻm B và vẽ đờng tròn

(O ) đ’ , gọi C, D là hai điểm nằm ờng kính BC Gọi M là trung điểm của AB, qua M kẻ dây cung vuông góc với AB cắt (O) tại D, E Nối DC cắt (O ) tại I.’ , gọi C, D là hai điểm nằm

a) Tứ giác DABE là hình gì? tai sao?

b) Chứng minh BI // AD.

c) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI.

d) Xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O ) ’ , gọi C, D là hai điểm nằm

H ớng dẫn

Khai thác

Bài 23: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và tiếp tuyến Bx ở cùng phía với nửa đờng

tròn đối với AB Nối A và hai điẻm C và D trên nửa đờng tròn chúng lần lợt cắt

Bx tại E và F.

a) Chứng minh A B ˆ DA F ˆ E ; A B ˆ C A E ˆ B

b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.

c) Gọi I là trung điểm của FB , chứng minh DI là tiếp tuyến của nửa đờng tròn d) CD cắt Bx tại G, tia phân giác góc CGE cắt AE, AF lần lợt tại M, N Chứng minh ΔAMN cân.

H ớng dẫn

Khai thác

Bài 24: Cho Δ ABC vuông tại A (AB > AC ) với đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AB

chứa đỉnh A vẽ đờng tròn đờng kính BH cắt cạnh AB tại E và đờng tròn đờng kính HC cắt cạnh AC tại F.

a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

Khai th¸c