Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
96 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ HAY VÀ KHÓ LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề tốn phương trình vơ tỷ Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán phương trình vơ tỷ thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần: - Phần 1: Phân tích bình luận, tìm lời giải cho tốn phương trình vơ - tỷ Phần 2: Tuyển tập tốn Phương trình vơ tỷ kì thi học sinh giỏi lớp 10 chun mơn tốn Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chun đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề phương trình vơ tỷ giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com PHẦN PHÂN TÍCH VÀ SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH Trong nội dung trước tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có nhiều phưng pháp tiếp cận xử lý Tuy nhiên đứng trước tốn phương trình vơ tỷ làm để tiếp cần đưa lời giải cho câu hỏi lớn cịn bỏ ngỏ Với mục đích mở hướng đi, suy nghĩ cần có trước phương trình vơ tỷ chủ đề chúng tơi xin đưa số phân tích suy luận để giải thích lại giải tốn Trong chủ xin giới thiệu số nội dung �Phân tích suy luận đứng trước phương trình vơ tỷ �Lựa chọn phương án hợp lý để tìm lời giải tối ưu �Những hướng tiếp cận khác – khó khăn hướng khắc phục Ví dụ Giải phương trình x 6x 4x 2x Phân tích lời giải Trước phương trình vơ tỷ, cho dù chọn phương pháp mục đích cuối làm cho phương trình thức cách đơn giản đơn giản hóa tối đa phương trình Một điều giải phương trình vơ tỷ cần cố gắng nhẩm nghiệm để phán đốn hướng cách đắn Khơng q khó khăn ta nhân thấy phương trình xét có nghiệm x Phương trình chứa dấu thức bậc hai nên loại bỏ thức bậc hai phương pháp nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ,… x� �Hướng Trước hết ta có điều kiện xác định phương trình x x2 6x 0,x � Phương trình cho tương đương với Nhận xét Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com x4 30x2 12x3 36x 16x2 2x 1 � x4 20x3 46x2 36x � x2 x 1 18x x 1 9 x 1 2 � x2 18x x 1 � x � 2;1;9 2 S 2;1;9 Kết hợp với điều kiện đinh ta thu tập nghiệm � Hướng Phương trình có chứa thức 2x ta biến đổi phương trình thực đặt ẩn phụ Để ý phương trình cho tương đương với x2 4x 2x 3 2x 1 Khi ta thực phép đặt 2x y y �0 Lúc 2 phương trình thu x 4xy 3y , phương trình đồng bậc ý đến hệ số ta phân tích x2 4xy 3y2 � x x y 3y x y � x y x 3y � x x �0 � � x y � x 2x � � �� � x1 x 2x 1 � x 1 � + Trường hợp Với x �0 � x 3y � x 2x � � � x �6 x 18x � + Trường hợp Với Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm S 2;1;9 �Hướng Do phương trình nhẩm nghiệm đẹp x 1, ta nghĩ đến phương pháp nhân lương liên hợp để làm xuất nhân tử chung x 4x x 3x 6x � � x 1 4x x 1 x 2x � x1 2 1 x � � x 2 � 3 x 1 �x �0 x 2 � � � x � 2;9 x 18x � Ta có Đối chiếu điều kiện ta thu ba nghiệm �Hướng Phương trình cho có đại lượng 4x 2x nên ta nghĩ đến phân 2 2 tích phương trình dạng A B A B Với định hướng ta viết phương trình cho vè dạng sau 2 + Khi viết phương trình dạng A B ta thấy có khả sau Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 o Với Website:tailieumontoan.com x2 6x 4x 2x � 5x2 8x 2x 2x , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương o Với x2 6x 4x 2x � 2x2 16x x 2x , ta thấy vế trái khơng phân tích thành bình phương x2 6x 4x 2x � x 2x 2x 2x 1 o Với , dễ thấy 2x Như ta giải tốn 2 o Khả biến đổi viết phương trình dạng A B không thực nên ta trình bày lời giải cho phương trình sau x� Phương trình cho tương Điều kiện xác định phương trình đương với � 2 x 2x x2 4x 2x 4 2x 1 2x � x 2x 2x � � � x 2x � � x �0 x 2x � � � x � 2;9 x 18x � + Với � x � x �0 � x 2x � � �� � x1 x 2x 1 � x 1 � + Với x� S 2;1;9 2 , kết luận tập nghiệm Đối chiếu với điều kiện Nhận xét Qua ví dụ ta nhận thấy đứng trước phương trình vơ tỷ lối giải toán đặt tâm vào nhiều hướng tư Tuy nhiên việc lựa chọn hướng cho đắn phụ thuộc vào q trình phân tích gỡ rối cho hiệu Trong lời giải lời giải có điểm thú vị Do phương trình có nghiệm kép x nên sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa cách giải gọn gàng Ví dụ Giải phương trình x2 4x 4x 4x Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ đầu nên ta có hướng tiếp cận lời giải cho phương trình sau Nhẩm số giá trị đặc biệt ta thấy phương trình có hai nghiệm đẹp x x Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com � Hướng Phương trình cho có chứa thức bậc hai biểu thức ngồi có dạng tam thức bậc hai Do thực phep nâng lên lũy thừa phương trình thu có bậc Chú ý phương trình có hai nghiệm x x nên phân tích phương trình thành tích phương x 1 x 3 trình có chứa nhân tử nhân tử lại tam thức bậc hai nên ta giải x� Phương trình cho tương đương Điều kiện xác định phương trình với 9x4 24x3 2x2 24x 16x2 4x 3 � 9x4 40x3 46x2 24x � x1 � x 1 x 3 9x2 4x � � x � Phương trình 9x 4x vô nghiệm Kết hợp điều kiện xác định ta thu tập nghiệm S 1;3 �Hướng Hồn tồn tương tự ví dụ thứ nhất, phương trình chứa 4x nên ta thực phép đặt 4x y y �0 để đưa phương trình dạng đồng bạc hai, Phương trình cho tương đương với 3x 4x 4x 4x Đặt 4x y y �0 , ta thu phương trình � x y 3x2 4xy y2 � x y 3x y � � 3x y � Ta xét hai trường hợp sau � x �0 x y � x 4x � � � x � 1;3 x 4x � + Trường hợp Với � x �0 3x y � 3x 4x � � 9x 4x � + Trường hợp Với , hệ vô nghiệm S 1;3 So sánh điều kiện xác định ta thu tập nghiệm �Hướng Để ý phương trình ta thấy có đại lượng 4x 4x lại có 3x2 4x2 x2 nên ta viết phương trình lại thành Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 4x2 4x 4x 4x x2 � 2x 4x x2 Đến ta có lời giải cho phương trình Phương trình cho tương đương với 3x2 4x 4x 4x � 4x2 4x 4x 4x x2 � x 4x � 2x 4x x2 � � � 3x 4x � � x �0 x 4x � � � x � 1;3 x 4x � + Với x �0 � 3x 4x � � 9x 4x � + Với , hệ vô nghiệm S 1;3 So sánh điều kiện thu tập nghiệm � Hướng Phương trình có hai nghiệm x x nên ta sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử x 4x x Lại có 4x x 4x x2 4x Đến ta giải phương trình phương pháp nhân lương liên hợp x� Phương trình cho tương Điều kiện xác định phương trình đương với 4x x2 4x 4x x 4x x 4x � x2 4x x 4x � x2 4x + Với 4x 3x x2 4x � x � 1;3 � x �0 3x 4x � � 9x 4x � + Với , hệ vô nghiệm S 1;3 Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm Nhận xét Trong ví dụ thứ hai ta lại thấy nhiều hướng tìm lời giải cho tốn Các hướng phân tích có tính hợp lý dựa liên hệ đại lượng cho phương trình lời giải có tính tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 3x2 2x 3 x 1 x2 Phân tích lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Phương trình có chứa thức bậc hai nên suy nghĩ đâu tiên tiếp cận phương trình làm triệt tiêu thức bậc hai Chú ý đại lượng nhị thức bậc tam thức bậc hai nên để làm triệt tiêu thức bậc hai ta sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phép đặt ẩn phụ Nhẩm số giá trị ta nhận x nghiệm phương trình Do với phương trình ta có số hướng tiếp cận sau �Hướng Nhận thấy đại lượng có ngồi có bậc nhât bậc hai, đại lượng đa thức bậc hai Ngoài để ý đến hệ số cao đại lượng ta thấy nên sử dụng pháp nâng lên lũy thừa phương trình thu phương trình bậc ba Mà phương trình lại có nghiệm x nên phương trình bậc ba giải Đến ta giải toán Điều kiện xác định phương trình x �1 Để ý 3x2 2x x 1 x2 với x �1, phương trình cho tương đương với 3x 2x 9 x 1 2 x 3 � 9x 12x 46x 28x 49 9x4 18x3 36x2 54x 27 3 � 6x3 10x2 26x 22 � x 1 6x2 4x 22 Dễ thấy phương trình 6x 4x 22 vơ nghiệm Do từ phương trình ta x nghiệm phương trình �Hướng Chú ý đến đại lượng 3 x 1 x , để làm triệt têu thức ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Khi phương trình viết lại thành x 1 3 x 1 x2 x2 thực đặt ẩn phụ a x 1;b x ta viết phương trình dạng phương trình đẳng cấp bậc hai Điều kiện xác định phương trình x �1 Phương trình cho tương đương với x 1 3 x 1 x2 x2 Đặt a x 1;b x Khi phương trình trở thành Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com � a b a2 3ab 2b2 � a b a 2b � � a 2b � Ta xét hai trường hợp � x 1 � x � x x2 � � �� � x1 2 2x x x � � + Với a b ta � x 1 � x �1 � � x 1 x2 � � � � x 1 4x2 12 �3x2 2x 11 0, hệ vô � + Với a 2b ta nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x nghiệm phương trình �Hướng Lại để ý đến đại lượng 3 x 1 x ta nghĩ đến phân tích phương trình dạng hiệu hai bình phương Phương trình cho tương đương với 12x2 8x 28 12 x 1 x2 � x2 2x 12 x 1 x2 x2 x2 � 2x 2 x2 x2 � � 2x 2 x2 x2 x x2 �� �� � 2x 2 x2 x2 � x 1 x2 � � � x 1 � x � x x2 � � �� � x1 2 2x x x � � + Với a b ta a 2b + Với ta hệ vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta x nghiệm phương trình �Hướng Chú ý phương trình có nghiệm x nên ta nghĩ đến phương pháp nhân đại lượng liên hợp để tạo nhân tử chung x Phươg trình cho tương đương với Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 3 x 1 3 x 1 x2 4x � 3 x 1 x 1 x2 4 x 1 � 3 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 4 x 1 � x 1 � � 4 x 1 � � 6 x 1 4 x 1 x2 � x 1 x2 � 6 x 1 x 1 + Khi x � x 1, thỏa mãn điều kiện xác định 6 x 1 x 1�0 � � x x2 � � 2 3x 2x 11 � + Khi x 1 x , hệ vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x � Nhận xét Về mặt hình thức phương trình cho ví dụ ba hồn tồn tương tự ví dụ nên hướng tiếp cận phương trình hồn tồn tự nhiên Ví dụ Giải phương trình 7x x2 x x Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ có hình thức tương tự ví dụ ta có hướng tiếp cận phương trình sử dụng phép nâng lên lũy thừa, đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng đẳng cấp, phân tích phương trình thành tích,… �Hướng Điều kiện xác định phương trình x Phương trình cho tương đương với 7x2 x 7x x2 x � x2 x 7x x2 x 6x2 Đặt t x x , phương trình trở thành � tx t2 7xt 6x2 � t x t 6x � � t 6x � � x � x x2 x x � � �� x 2 x x 2 x � � + Với t x ta , hệ vô nghiệm � x 1 281 x2 x 6x � � � x 70 x x 36x � + Với t 6x hay Vậy phương trình cho có nghiệm Tác giả: Nguyễn Công Lợi x 1 281 70 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com �Hướng Phương trình cho tương đương với 7x2 x 7x x2 x � 28x2 4x 28x x2 x � x2 x 28x x2 x 49x2 25x2 � x2 x 7x 5x � � x2 x 6x x2 x 7x 5x �� �� � x2 x 7x 5x � � �x x x + Với + Với x0 � x � x2 x x � � �� x 2 x x 2 x � � , hệ vô nghiệm � x0 � x 1 281 x2 x 6x � � � � x � 2 70 x x 36x 35x x � � x 1 281 70 Vậy phương trình cho có nghiệm �Hướng Dễ thấy 7x x với x Khi phương trình cho tương đương với 7x2 x 7x x2 x � 49x4 14x3 29x2 4x 49x2 x2 x � 35x3 69x2 4x � x 2 35x2 x Do x nên từ phương trình ta Kết hợp với điều kiện xác định ta x 35x2 x � x 1� 281 70 1 281 70 nghiệm phương trình �Hướng Phương trình cho tương đương với 7x x x x2 x � x2 x 7x x x x � x x2 x x x2 x x � x 2 ��1 x � x2 x x � � x2 x x � Do x nên từ phương trình ta x 1 281 � � x2 x 6x � � � x x 70 35x x x2 x x � Kết hợp với điều kiện xác định ta x 1 281 70 nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình x 3x x 6x 11x Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 3x4 x2 Từ suy 1 x 3 �4x3 x2 � 3x4 4x3 �1 1 x Dấu xẩy x Như 1 x 3x4 4x3 1 � x Vậy phương trình cho có nghiệm x �Cách Phương trình cho tương đương với 3x4 4x3 1 1 x2 1 1 x2 1 x2 � x2 3x2 4x 3x2 4x x2 x2 1 x2 1 1 x2 x 1 x 2 � x ��3x 4x x 2 � 2� x 2 � � 1 x2 � � 1 1 x2 � � 1 x2 5x2 0 � 3� � � x Dễ thấy x Do từ phương trình ta Vậy phương trình cho có nghiệm 1 x2 x Bài 108 Giải phương trình x4 2x3 2x2 2x x3 x 1 x2 x Đề thi đề nghị 30 – 04 – 2016 trường chuyên Phan Ngọc Hiển – Tỉnh Cà Mau Lời giải x4 2x3 2x2 2x x2 x 1 1 x Từ phương trình ta có x Do phương trình có nghiệm x 0; 1 x2 0 x Do điều kiện để phương trình có nghiệm x Khi phương trình cho tương đương với x2 x 1 1 x x2 x 1 x x 1 Đặt a x x 1 ;b 1 x � a b x2 Khi phương trình trở thành a b a b Khi ta có t Đặt a b a2 b2 a b ab Do x nên a 0;b �a � a a a ab � � � b b b �b � 0 phương trình trở thành Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com t4 t3 t � t4 t3 t � t 1 t t1 0� t a 1� x x 1 1 x � x2 2x � x 1� b Từ suy Kết hợp với điều kiện xác định ta x 1 nghiệm 24 27x2 24x Bài 109 Giải phương trình 28 27 1 x Đề thi đề nghị 30 – 04 – 2016 trường chuyên Hùng Vương – Tỉnh Bình Dương Lời giải Điều kiện xác định phương trình 27x 12 �0 Phương trình cho tương đương với 9x 4 1 3 9x 4 Đặt 9x y , suy y �0 Khi ta y2 3y y2 3y 1 �4 1 6y 3 y6 6y � Do ta lại có Theo bất đẳng thức Cauchy ta có �y2 � 2 y2 �2y � 4� 4�� y 2 � 4y2 48 �3y2 12y 12 � y 6 �0 �3 � x y thỏa mãn điều kiện xác định Từ ta , suy x Vậy phương trình có nghiệm x 64 x 2 x 2x3 19x2 100x 264 Bài 110 Giải phương trình Đề thi đề nghị 30 – 04 – 2016 trường chuyên Lê Hồng Phong –Tp Hồ Chí Minh Lời giải Điều kiện xác định phương trình 1�x �4 Phương trình cho tương đương với Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com � � x2 4x � x2 16x 128 � 8� x 64 x x � � � 3x 66 � � � � � x 1 x 3 x 2 x 2 x 6 3x x x 3 x x 2 x 6 � 3x x 1 1 4 x 2 � � � x 3 x 2 x 6 � �x � 3� � � x 1 1 4 x 2 � � � x x2 4x x 2 64 x x2 16x 128 3x3 3 3 3 3 3 Dễ thấy với 1�x �4 nên ta ln có x Từ ta suy 3 x 2 4 x 6 x 1 4 x 2 x 1 3 x 1� 3 x 1 x 8� x 2 x � � 0 3 x 1 4 x Suy từ phương trình ta có x , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x 8x Bài 111 Giải phương trình 6x 4x2 21 16x4 12x3 2x 21 Trích đề thi chọn đội tuyển VMO Tỉnh Nghệ An năm 2014 Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �R Đặt t 2x , phương trình t cho viết lại thành 3t t2 21 t4 3t2 t 21 Phương trình tương đương với t 21 t 3t 1 t � t 3t 1 t t2 21 21 3 t2 21 t t t2 21 � t3 3t 1 t2 21 t � t3 3t 2 t 3 t2 21 � t 2 t 1 Dễ thấy t 1 6 t 2 � � � t 2 � t 1 � t 3 t2 21 t t 21 � � t 3 t2 21 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 0 với t TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Do từ phương trình ta t � t 2, suy x Thay x vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x Bài 112 Giải phương trình 26 x 5x 13x 14 5 2x 12 5x 1 5 2x 18x 32 Trích đề thi chọn đội tuyển VMO Tỉnh Đồng Nai năm 2013 Lời giải � a 5x � a �0;b �0 � �x � b 2x � Đặt Điều kiện xác định phương trình Khi ta có �26 x 5x 1 3 5 2x 12 a2 3b2 12 � � 13x 14 3 5x 1 5 2x 12 3a2 b2 12 � � 18x 32 6 5x 1 6 5 2x a2 b2 � � Phương trình cho viết lại thành a 3b2 12 a 3a2 b2 12 b 12ab a2 b2 � a b 6 a b 12 a b � a b 2 � a b 2 5x 5 2x , phương trình tương đương với � � 5x 1 1 5 2x � x 2 � � � 5x 1 2x � 5 0 �x � Dễ thấy 5x 1 5 2x với Do từ phương trình ta x , thỏa mãn điều kiện xác định Từ ta Vậy phương trình cho có nghiệm x 5x 4 2x 4x 5 3x Bài 113 Giải phương trình Trích đề thi chọn đội tuyển VMO Tỉnh Đồng Nai năm 2015 Lời giải Điều kiện xác định phương trình 2x �0 Phương trình cho tương đương với Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 5x 4 2x 4x 5 3x � 50x3 155x2 152x 48 48x3 152x2 155x 46 4 4x 5 3x � 2x3 3x2 3x 4 4x 5 3x � 4x 5 3x � 3x 2x3 15x2 20x 12 3 4x 5 3x x 6 x 6 2x2 3x 3x � 3 4x 5 3x � x 6 � 2x2 3x � � 3x � 0 � � � 3 4x 5 3x 2x2 3x x� 3x ta ln có Dễ thấy với Do từ phương trình ta x , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x 2 Bài 114 Giải phương trình x x 1 5x 4x 2x x Trích đề thi chọn HSG Tốn 11 Tỉnh Vĩnh Long năm học 2012 – 2013 Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �R Đặt t x2 x 1,t � Khi phương trình cho trở thành 4t t4 7t2 � t4 6t2 t2 4t � t2 t � t2 t 2 � t2 t t2 t � �2 t t 5 � Với t� 1 t 2 t t có nghiệm Khi ta có �1 � 1� 3 x x 1 � � 2x2 2x 1 � x � � � � � Với t� 1 21 t 2 t t có nghiệm Khi ta có �1 21 � 1� 19 21 x x 1 � � 2x2 2x 21 � x � � � � � � �1� 3 1� 19 21 � � S � ; � 2 � � � Vậy phương trình cho có tập nghiệm Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 3x x 2x2 x Bài 115 Giải phương trình Trích đề thi chọn HSG Tốn 12 Tỉnh Quảng Nam năm học 2014 – 2015 Lời giải x� Phương trình cho tương đương Điều kiện xác định phương trình với � 3x x 2x x 3x x 3x x � � 2x 2x 2x 3 x 1 � 2x 3 � x 1� 3x x � 3x x � x� ta có Dễ thấy với 2x x � 1 1 x 1� 2x x Mà ta lại có Do ta 2x Do 3x x 2x � x x 1 Như từ phương trình ta x Kết hợp với điều kiện xác định ta nghiệm phương trình Bài 1116 Giải phương trình x 2x2 3x 5x Trích đề thi chọn HSG Toán 12 Thành Phố Hà Nội năm học 2013 – 2014 Lời giải x� Phương trình cho �Cách Điều kiện xác định phương trình tương đương với x1 � x 5x 2x2 3x 5 x 1 x 9 23 x 2 5x x 1 2x 5 � � � � x 1 2x 5� �3 � 5x � � � x 9 x � Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com x� ta có Dễ thấy với x 9 23 x x 3 2 � 2x � 5 Lại có 5x �2 nên 5x Ta có 5 2x 2 x� x 9 23 x 5x Từ ta với Do từ phương trình ta x � x 1, thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 x� Phương trình cho �Cách Điều kiện xác định phương trình tương đương với � 2 x 2 3 5x x 9 5x 4x2 6x 5 x 1 5x x � x 5x 1 5x 4x2 6x 5x x 9 x 1 4x 5 � � 5x � � x 1 4x 5� �3 � 5x � x 9 x � � � Dễ thấy 5x x 9 x 2 5x 4x x� với Do từ phương trình ta x � x 1, thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình cho có nghiệm x Bài 117 Giải phương trình 16x 2x Trích đề thi chọn HSG Toán 12 Tỉnh Quảng Nam năm học 2014 – 2015 Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �4 � � a 16x a3 16x � � � a3 8b2 71 b �0 � � � b 2x �b 2x Đặt � Phương trình cho viết lại thành a 2b Từ ta có hệ phương trình Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com � 5 a � 5 a �b � a 2b � �b �� �� 2 �3 �5 a � a 8b2 71 �3 � � a 2a2 20a 21 a 8� 71 � � � �2 � � � a 1;v � � 5 a � 1 85 11 85 �b �� �� a ;b � � a 1 a2 a 21 � � 1 85 11 85 � a ;b � 2 � 16x 1 � 16x 1 � �� � x � 2x � �Với a 1;b ta có hệ � 2x �3 1 85 � 16x 39 11 85 � � x � 16 1 85 11 85 � 2x 11 85 a ;b � 4 �Với ta có hệ � �3 1 85 � 16x 39 11 85 � � x � 16 1 85 11 85 � 2x 11 85 a ;b � 4 �Với ta có hệ � � �1 39 �11 85 � � S � ; � 16 � � Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm 8x3 4x 2x 2x Bài 118 Giải phương trình Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Nghệ An năm học 2018 – 2019 Lời giải Điều kiện xác định phương trình 2x �0;2x �0 hay trình cho viết x � Phương lại thành 8x3 4x 2x 5 2x � 2x 2 2x 2x 3 2x 2x 3 Đặt a 2x;b 2x b �0 , phương trình lại viết thành a3 2a b3 2b � a b a2 ab b2 2 a b � a b a2 ab b2 � b � 3b2 a2 ab b2 � a � 2 � � Dễ thấy với a b Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Do từ phương trình ta a b , hay ta có phương trình �x �0 � x �0 1 13 2x 2x � � �� � x 4x 2x �4x 2x � Kết hợp với điều kiện xác định ta x 1 13 nghiệm phương trình Bài 119 Giải phương trình x3 x2 2x x 2 15 x4 Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Nam Định năm học 2018 – 2019 Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �R Dễ thấy x nghiệm phương trình Xét x �0, biến đổi tương đương phương trình cho ta x3 x2 2x x 2 15 x4 � x3 x2 2x x2 x4 15 x x2 x2 2 � 2� 4 � 2� � 2� � x 1 � x � x � x 1 x � � x � x 15 � x � x 15 � x � x�� x� Đặt t x t 1 t �2 x , phương trình viết lại thành t t2 15 Điều kiện xác định phương trình t �2 Biến đổi phương trình ta t t2 � 225 t 1 80t2 t2 � 16t4 64t2 45 t2 2t 15 � 16t 109t2 90t 45 � t 3 16t3 48t2 35t 15 t 1 + Với t �2 ta có 16t 48t 35t 15 + Với t �2 ta có 16t 48t 35t 15 4t 32t �2 Tác giả: Nguyễn Công Lợi 4.32t4 16t2 22t2 ; 12t3 �12.2 2t2 24t2 33t2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 2 Do ta có 16t 32t 55t Lại có 7t 3t 15 nên 16t3 32t 55t2 48t2 3t 15 Suy 16t 48t 35t 15 Do từ phương trình ta t hay ta có phương trình x � x2 3x � x � 1;2 x S 1;2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm Bài 120 Giải phương trình x x 24 2x 2x 12 x Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Ninh Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải Điều kiện xác định phương trình �x �12 Biến đổi phương trình cho ta x2 x 24 2x 2x 12 x � x2 2x 2x 2x 3 12 x 12 x � x 2x 0 � � x 2x 12 x � � � 12 x � � x 2x � � � 2x x �� �� � x � 12 x � 12 x Kết hợp với điều kiện xác định ta x nghiệm phương trình cho Bài 121 Giải phương trình: 3x x 3x2 14x Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Thái Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải �x �6 Điều kiện xác định phương trình Biến đổi phương trình cho ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com � 3x x 3x2 14x 3x 3x 1 16 6 x 3x2 14x 6 x 3x 1 x 5 3x 6 x � � � x 5 � 3x 1� 6 x � 3x � � Dễ thấy 3x 6 x 3x �x �6 với Do từ phương trình ta x � x Kết hợp với điều kiện xác định x nghiệm phương trình Bài 122 Giải phương trình x 4 x 2 x 1 Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Hưng n năm học 2018 – 2019 Lời giải �Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �2 Dễ thấy x 1 nghiệm phương trình Xét x �1 ta có x �0 , ta có biến đổi phương trình x x 2 x 1 � � x 1 x 2 x 1 x 21 x x 2 x 1 x 21 x � 4 x x � x 6 x � x �0 � x � � �x �6 �� � � �2 � x � 14;2 � 2 4 x 2 x 12x 36 �x 16x 28 4 x 2 x � � Kết hợp với điều kiện xác định ta x nghiệm phương trình �Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �2 Biến đổi phương trình ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 � Website:tailieumontoan.com x 1 x 2 x x 2 x 1 � x 1 x x 2 x 1 x � 4 x x � x 6 x � x �0 � x � � �x �6 �� � �2 � x � 14;2 � � 4 x 2 x 12x 36 �x 16x 28 4 x 2 x � � Kết hợp với điều kiện xác định ta x nghiệm phương trình Bài 123 Giải phương trình 3 4x 4x 16x2 8x Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Quảng Bình năm học 2018 – 2019 Lời giải �Lời giải Điều kiện xác định phương trình �x � 4 Biến đổi phương trình cho 3 4x 4x 16x2 8x � 3 4x 4x 16x2 8x 4x � 3 4x 4x 16x2 8x � 4x 4x 1 3 4x � 4x � � 4x � 1 4x 1 4x 1� � 3 4x � Để ý �x � 4 nên ta � 4x �2 nên 2 � 4x 1 Từ suy 4x 3 4x 4x �0 nên ta Do từ phương trình ta 3 4x 1 4x 1 4x 4x � x , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy x nghiệm suy phương trình �Lời giải Điều kiện xác định phương trình �x � 4 Biến đổi phương trình cho Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com 3 4x 4x 16x2 8x � 3 4x 4x 32x2 16x � 3 4x 3 4x 4x 32x2 12x 3 4x 4x 1 4x 4x 1 8x 1 3 4x � 3 4x 4x 1 � � � 4x 4x 1 8x 1 � � 3 4x � � � � �x � ta ln có + Với thấy với Với 3 4x 2 4x 1 8x 1 �x 1� 4x 1 8x 1 ta có � 4x �1 1�8x 1 3 4x 4x 1 3 4x Do ta suy phương trình ta x 2 4x 1 8x 1 3 4x 4x 1 �x � ta ln có Như với Vậy 3 4x 4x 1 3 4x 4x � x 2 4x 1 8x 1 nên từ , thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm suy phương trình Bài 124 Giải phương trình 3x2 4x 11 2x 5 3x Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2018 – 2019 Lời giải �Lời giải Điều kiện xác định phương trình x � Biến đổi phương trình cho ta 3x2 4x 11 4 2x 5 3x � 12x2 16x 44 4 2x 5 3x � 16x2 24x 4x2 20x 25 4 2x 5 3x 4 3x 7 � 4x 3 2x 5 3x + Trường hợp Khi Tác giả: Nguyễn Công Lợi � � 3x x 4x 2x 5 3x �� �� � � 3 4x 2x 5 3x � � 3x 3x 3x x ta TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com � x 1�0 x �1 � � 3x x � � � x � �2 x x 6 3x x 1 � � 3x 3x ta + Trường hợp Khi � 3x �0 � 3x �0 3� � � 3x 3x � � � � x � 2 x 3x 3x 3x � � � �3 � � S � ;3� � � Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm �Lời giải Điều kiện xác định phương trình x � Biến đổi phương trình cho ta 3x2 4x 11 2x 5 3x � 3x2 4x 11 2x 3x 3x � 3x2 3x 3x 3x 4x 3x x 3x 3x 3x 7 � 3x x 1 3x x 1 3x 3x x 1 3x � � 3x x x 1 3x � x 1 3x 3x 3x � � �� � 3x 3x � � � 3x 3x � �3 � � S � ;3� � � Đến xét trường hợp ta tập nghiệm �Lời giải Điều kiện xác định phương trình x � Ta có 3x2 4x 11 2x 5 3x � 3x2 4x 11 � 2x 5 3x 7� � � 3 � 9x 24x 50x 88x 121 12x 32x 65x 175 � 9x4 36x3 18x2 153x 54 � x4 4x3 2x2 17x � � 3 3 � � � x2 x x2 3x � x �� 2; ; ;3� 2 � � Thay giá trị vào phương trình ban đầu ta tập nghiệm � �3 � � S � ;3� � � Bài 125 Giải phương trình 2x2 6x 5 x 2 x 10 Trích đề thi học sinh giỏi mơn Tốn Tỉnh Phú n năm học 2018 – 2019 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Lời giải Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �1 Biến đổi phương trình cho 2x2 6x 5 x 2 x 10 � 8x2 24x 40 20 x 2 x � 9x2 72x 144 x2 4x 20 x 2 x 100 x 1 � 3x 12 x 10 x 2 � 3x 12 x 10 x � � � 3x 12 x 10 x � Đến ta xét trường hợp sau + Trường hợp Với 3x 12 x 10 x � x x , ta có � � x �7 �x �0 x 1 x � � � x � 3;8 � �2 x 11x 24 � �25 x 1 x 7 + Trường hợp Với 3x 12 x 10 x � 5 x 2x , ta có � 2x �0 � 2x �0 � 5 x 2x � � � � 4x 5x 25 x 1 2x 5 � � , vô nghiệm Kết hợp với điều kiện xác định ta tập nghiệm phương trình S 3;8 Lời giải Điều kiện xác định phương trình x �1 2x2 6x 10 2 x 2 2 x 1 Để ý 2 x 2 5 x 2 x 2 x 1 Khi phương trình cho viết lại thành Đặt a x 2;b x 1 b �0 Phương trình trở thành 2a2 5ab 2b2 � 2a2 4ab ab b2 � 2a a 2b b a 2b � 2a b � 2a b � 2a b a 2b � � �� a 2b � a 2b � 2 x 2 x + Trường hợp Với 2a b ta có phương trình Khi ta � x � x �2 � 2 x 2 x � � �� � x 4x 17x 15 4 x 2 x � � + Trường hợp Với a 2b ta có phương trình x x Khi ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... trình cho trở thành ab x 24 hay 2ab 2x 48 Kết hợp hai kết ta Tác giả: Nguyễn Công Lợi a b � a b �3 hay ta TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com + Với � 48 8x x2... Website:tailieumontoan.com � � x 5x �5 x2 5x 5 x2 5x � � x2 5x x2 5x 25 10 x2 5x � � � � x1 � x 5x �5 � x2 5x � � � x 6 � � x 5x Hay ta � Thử vào... Lợi � 1 1 � 1 1 x x �4 x 2 x hay ta x 2 x x x �2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Như để phương trình x x có nghiệm bất đẳng thức