Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
95 Website:tailieumontoan.com TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN LỜI NĨI ĐẦU Trong kì thi tuyển sinh lớp 10 trường chun tồn quốc tốn số học xuất cách đặn đề thi với tốn ngày hay khó Trong ngồi tốn có dạng quen thuộc có nhiều tốn mẻ Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em tuyển chọn tốn số học kì thi vào lớp 10 chun tốn Chúng tơi kham khảo qua nhiều đề thi để viết chuyên đề Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng tuyển tập toán số học thi vào lớp 10 chuyên toán giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUN TỐN Trong kì thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên toàn quốc tón số học xuất cách đặn đề thi với tốn ngày hay khó Trong ngồi tốn có dạng quen thuộc có ngiều tốn mẻ Trong chủ đề này, tuyển chọn giới thiệu số tốn số học trích đề thi tuyển sinh chuyên toán năm gần 2 Bài Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k k 16 số nguyên tố k chia hết cho Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2009 – 2010 Lời giải 2 Do k số nguyên lớn nên k k 16 Ta xét trường hợp sau 2 � Trường hợp Xét k 5n 1 n �� , ta k 25n 10n nên k2 M5 Do suy k khơng số nguyên tố 2 � Trường hợp Xét k 5n 2 n �� , ta k 25n 20n nên k2 16 M5 Do suy k 16 không số nguyên tố 2 � Trường hợp Xét k 5n 3 n �� , ta k 25n 30n nên k2 16 M5 Do suy k 16 khơng số nguyên tố 2 � Trường hợp Xét k 5n 4 n �� , ta k 25n 40n 16 nên k2 M5 Do suy k không số nguyên tố Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com 2 Do từ trường hợp suy để k k 16 số nguyên tố k phải chia hết cho Bài Cho tam giác có số đo ba cạnh x, y, z nguyên thỏa mãn điều kiện: 2x2 3y2 2z2 4xy 2xz 20 Chứng minh tam giác cho tam giác Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Định năm học 2009 – 2010 Lời giải Ta có 2x2 3y2 2z 4xy 2xz 20 Ta có x, y, z số nguyên dương nên từ đẳng thức cho ta suy y số chẵn Đặt y 2k k �N * thay vào điều kiện ta 2x2 12k2 2z2 8xk 2xz 20 � x2 6k2 z2 4xk xz 10 � x2 4xk xz 6k2 z2 10 � x2 x 4k z 6k2 z2 10 Xem phương trình phương trình bậc hai theo ẩn x Khi ta có 4k z 6k z2 10 16k2 8kz z2 24k2 4z2 40 8k2 8kz 3z2 40 Do phương trình có nghiệm ngun dương nên phải số phương Nhận thấy k �2 từ z �1 ta suy nên phương trình vơ nghiệm Do để phương trình có nghiệm ngun dương k , suy y2 Thay k 1vào biệt thức ta 8 8z 3z2 40 3z2 8z 32 Lại thấy z �3 phương trình vơ nghiệm Do suy z z �Nếu z ta 21 khơng phải số phương nên phương trình khơng có nghiệm nguyên �Nếu z , kết hợp với k từ phương trình ta x2 2x 6 10 � x2 2x � x x 2 � x Suy x y z Vậy tam giác cho tam giác Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com abc a b 4c Bài Tìm số tự nhiên abc thoả mãn điều kiện Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Nam năm học 2009 – 2010 Lời giải Từ giả thiết tốn ta có c 4 a b Ta có 100a 10b c 4c a b 100a 10b 10 10a b 4 a b 4 a b 2 Do ta 10� a b 9a� � � 4 a b 4 a b 1M5 4 a b số lẻ c �9 nên suy Mà 4 a b số chẵn nên suy 2 a b phải có tận 6, phải có tận (*) c Mặt khác ta có 2.5ab 4(a b)2 4 a b số lẻ nên 4 a b 1 500 � a b 125,25 2 a b � 4;9;49;64 Kết hợp kết ta có �Nếu a b � 2;7;8 hay a b � 2;3;7;8 3k �1 k �N 4 a b a b có dạng chia hết a b 9a 3k �1 9a không chia hết cho Mà ta lại thấy 10� a b 9a� � �không chia hết cho hay c không thuộc tập hợp N �Nếu a b ta có c 10 3 9a 35 6 1 3a Vì ta có a 1 3aM7 suy a , c 6;b Ta có số 216 thoả mãn yêu cầu toán Vậy số abc 216 số cần tìm Bài Cho ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn điều kiện: i) ap chia hết cho q a Chứng minh Tác giả: Nguyễn Công Lợi ii) aq chia hết cho p pq 2 p q TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2009 – 2010 Lời giải ap 1 aq 1 Mpq suy a pq ap aq 1 Mpq Từ giả thiết ta Mà a2pqMpq ap aq Mà nên ta ap aq 1 Mpq Do a, p, q số nguyên dương nên pq số nguyên dương Suy a p q a 2a p q pq nên ta ap aq 1�pq hay pq 2 p q Bài toán chứng minh xong a;b Bài Tìm tất cặp số nguyên a 1 a 2 nghiệm điều kiện 4b 20b 25 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2009 – 2010 Lời giải a 1 a Ta có 2 4b2 20b 25 a 1 a hay 2 2b 5 2 a a2 � a Do a số phương Dễ thấy nên ta có trường hợp sau �Trường hợp Khi a2 a 2b 5 ta a nên suy b 1;b 4 �Trường hợp Khi a2 a ta 4a , khơng có số ngun thỏa mãn �Trường hợp Khi + Với a ta a2 a ta a 4 hay a 4;a 4 9.25 2b 5 � b 5;b 10 25.25 2b 5 � b 10;b 15 + Với a 4 ta Vậy ta có cặp số ngun thỏa mãn tốn a;b 0;1 , 0; 4 , 4;5 , 4; 10 , 4;10 , 4; 15 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com Bài Tìm số nguyên dương x, y, z thoả mãn điều kiện y số nguyên tố x3 y3 z2 Trong z;3 z;y Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2009 – 2010 Lời giải Từ giả thiết ta có x y � x y � 3xy � z2 � x y x;y x;y �1 x y � � Ta có thiết 3xy� My z2 My � nên trái với giả y;z Lại thấy x y x y khơng chia hết cho trái với giả thiết z;3 Đặt chia hết cho z chia hết cho x y k2 ;x2 xy y2 t2 k;t �Z ta có z kt Do 4t2 4x2 4xy 4y2 � 3y2 4t2 4x2 4xy y2 2t 2x y 2t 2x y Vì y nguyên tố nên ta trường hợp sau � 2t 2x y 3y2 � 2t 2x y �Trường hợp Với � Khi ta 3y2 2 2x y k2 3y k2 y2 k 2y M3 2 Suy k 1M3 , điều khơng xẩy k khơng chia hết cho � 2t 2x y � 2t 2x y 3y2 �Trường hợp Với � Khi ta y2 2 2x y 2k2 3y � y 3 4k2 12 � y 2k y 2k 12 Từ tìm y7 , thay vào ta x 8;z 13 Vậy số nguyên dương x;y;z 8;7;13 thỏa mãn yêu cầu toán S m2n2 4m 4n Bài Giả sử m n số nguyên dương với n Đặt Chứng minh rằng: mn Nếu m n a) Tác giả: Nguyễn Công Lợi n2S m2n4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com b) Nếu S số phương m n Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2010 – 2011 Lời giải mn a) Ta chứng minh n2 m2n2 4m 4n m2n4 cách xét hiệu sau Ta có H mn2 n2 m2n2 4m 4n m2n4 4mn2 m2n4 4mn2 4n3 4n3 mn Do Mặt khác lại có Do n2 m2n2 4m 4n n2 m2n2 4m 4n m2n4 4n2 m n n2 m2n2 4m 4n m2n4 n 1;m n mn Kết hợp kết ta n2 m2n2 4m 4n m2n4 b) Ta xét trường hợp sau � Trường hợp Nếu m n , theo chứng minh ta �mn2 � � � S mn � n � mn2 n mn 1 n n Mặt khác ta có nm2 mn � n Vì m, n số nguyên dương m n nên ta mn 1 Suy S mn nên S số phương 2 �Trường hợp Nếu m n , ta S m n Lại có S mn 2 Do suy S mn 1 m2n2 S mn 2 Như để S số phương Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com 2 2 Khi ta m n 4m 4n m n 2mn � 4n 4m 2mn , không tồn m n thỏa mãn Như từ hai trường hợp ta thấy S số phương ta m n Khi ta có S mn Bài Với số a;b;c số phương 6;5;2 65 ta có đẳng thức 26 Hãy tìm tất số gồm chữ số hệ thập phân a, b, c đôi khác khác ab cho đẳng thức ca b c Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2010 – 2011 Lời giải Giả sử tồn số a;b;c gồm chữ số hệ thập phân a, b, c đôi ab khác khác cho đẳng thức ca Khi đẳng thức trở thành Suy ước số b a– c b c 10a b c 10c a b hay 2.5.c a– b b a– c Do nguyên tố 1�a,b,c �9 , lại có a �c nên ta b a c c a Ta xét trường hợp sau �Trường hợp Với b ta có 2c a 5 a c � c a � 2c 1 2a 2a Từ suy 2a 2a a �5 Trường hợp tìm a;b;c 6;5;2 , 9;5;1 thỏa mãn yêu cầu toán �Trường hợp Với a c ta a c nên Từ suy 2b 2c 2c2 10c 2c 2c nên ta 2c 2c c �0 Trường hợp tìm Tác giả: Nguyễn Công Lợi 2c c 5 b b � b a;b;c 6;4;1 , 9;8;4 thỏa mãn u cầu tốn TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com �Trường hợp Với c a ta c a nên 2a2 10a 2 a 5 a b b � b 2a Từ suy 2b 2a 19 9.19 9 2a Do trường hợp không xét Vậy số thỏa toán a;b;c 6;5;2 , 9;5;1 , 6;4;1 , 9;8;4 Bài Tìm tất dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng 2010 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2010 – 2011 Lời giải Gọi 2x số tự nhiên chẵn dãy Khi theo giả thiết ta có 2x 2x 2 2x 4 2x 2y 2010 � x x 1 x 2 x y 1005 � y 1 x 1 y 1005 � y 1 x Suy y 1 Nên suy y y 1 1005 � y 1 2x y 2010 ước số 2010 1.2.3.5.67 y 1 � 2;3;5;6;10;15;30;67;134;201;335;402;670;1005;2010 Hay ta y � 1;2;4;5;9;14;29;66;133;200;334;401;669;1004;2009 Đến ta có + Với y1 ta có 2x 1005 � 2x 1004 nên dãy số cần tìm 1004, 1006 + Với y2 ta có 2x 670 � 2x 668nên dãy số cần tìm 668, 670, 672 + Với y4 ta có 5 2x 4 2010 � 2x 398 nên dãy số cần tìm 398, 400, 402, ta có 6 2x 5 2010 � 2x 330 nên dãy số cần tìm 330, 332, 334, 10 2x 9 2010 � 2x 192 , nên dãy số cần tìm 404, 406 + Với y5 336, 338, 340 + Với y9 ta có 192, 194, 196, 198, 200, 202, 204, 206, 208, 210 + Với y 14 ta có 15 2x 14 2010 � 2x 120 nên dãy số cần tìm 120, 122, 124, 126, , 148 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com + Với y 29 ta có 30 2x 29 2010 � 2x 38 nên dãy số cần tìm 38, 40, 42, 44, 46, , 96 + Với y �67 ta có 2x y �30 � 2x nên không tồn dãy số thỏa mãn u cầu tốn Vậy có dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp thoả điều kiện tốn 2 Bài 10 Tìm tất số nguyên dương a, b cho a b chia hết cho a b Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Định năm học 2010 – 2011 Lời giải 2 Giả sử a b chia hết cho a b 1, tồn số nguyên dương k cho a b2 k a2b Hay ta Đặt m ka a k b ka2 b b với m số nguyên Khi ta mb a k Từ suy mb m b a k ka hay ta mb m b a k ka2 � m 1 b 1 a 1 k 1 ka Do a, b, k số nguyên dương nên ta suy m �1 Do ta suy b 1 m 1 �0 , điều dẫn đến a 1 k 1 ka �0 k a 1 �1 Mà ta có a số nguyên dương nên ta suy k 1 ka �0 hay Mà k số nguyên dương nên từ k a 1 + Nếu k a 1 �1 ta k a 1 k a 1 b 1 m 1 ta suy a � a 1, ta Do số nguyên tố nên từ b 1 m 1 ta b b Từ suy b b Do trường ta hai cặp số nguyên dương thỏa mãn toán a 1;b + Nếu a 1;b k a 1 , ta k 1;a , ta b 1 m 1 Từ suy b m Với m 1, kết hợp với hệ thức mb a k ta suy Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com A 4m2 4m 2m 1 n Khi ta có Do A số phương nên tồn 2 số nguyên k cho A k hay ta có 2m 1 k2 � 2m 1 k � 2m 1 k 2m 1 k Do m , k số nguyên nên ta xét trường hợp qua bảng sau 2m k 2m k k m Do m số nguyên dương nên từ 5 1 5 1 2 2 2 1 1 2 bảng ta m thỏa mãn yêu cầu toán + Khi n �5 , chứng minh A khơng thể số phương o Xét m 1, ta có A n2 2n A n2 2n n 1 n 1 Ta có n 2 Do ta A n 1 A n2 2n n 2 2n n 2 nên A khơng thể số phương A m2n2 4m 2n mn 1 2mn 4m 2n � mn 1 o Xét m �2 , ta có Lại có A m2n2 4m 2n mn mn 1 Do ta A mn nên A số phương Vậy với n �5 A khơng thể số phương Bài 102 Tìm nghiệm ngun x;y phương trình x y 2020 Trích đề TS lớp 10 trườngTHPT Chun Tỉnh Thái Bình năm học 2019 – 2020 Lời giải Điều kiện xác định phương trình �x;y �2020 Khi phương trình tương đương với x 2020 y � x 2020 y 2020y � x 2020 y 5.101y Do x, y số nguyên nên y nguyên 5.101y Tác giả: Nguyễn Công Lợi 5.101y phải số nguyên Ta biết với số nguyên số vơ tỉ Do 505y số TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com nguyên đồng nghĩa với 505y 505y k2 � 505y k2 k �N ta suy số phương Từ ta đặt Do 101 số nguyên tố nên từ y 5.101.a2 5.101.a2 a �N x 5.101.b2 b �N Hoàn toàn tương tự ta 5.101.y k2 Thay vào phương trình ban đầu ta a 505 b 505 505 � a b Ta có trường hợp sau a b x 505b2 2020 y 505a2 1 505 505 0 Vậy phương trình cho các nghiệm nguyên 2020 x;y 0;2020 , 505;505 , 2020;0 Bài 103 n5 29n 30 a) Chứng minh n số nguyên số nguyên b) Tìm tất cặp số tự nhiên x2 y2 3x 2y x;y x2 y2 4x 2y thỏa mãn điều kiện số số phương Trích đề TS lớp 10 trườngTHPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2019 – 2020 Lời giải n5 29n 30 a) Chứng minh n số nguyên số nguyên 5 n 29n n n 30n n n n 30 30 30 Ta có Mặt khác với n số tự nhiên ta có n5 n n n 1 n 1 n2 n n 1 n 1 n2 4n n n 1 n 1 n2 5n n 1 n 1 n n 1 n 1 n 2 n 2 5n n 1 n 1 Để ý n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 1 n n 1 chia hết cho 2, Mà ta có 2, 3, nguyên tố với theo đôi nên Tác giả: Nguyễn Công Lợi n 2 n 1 n n 1 n 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com n5 n 5 n 1 n n 1 chia hết cho 30 Do n n chia hết cho 30 Do 30 số nguyên n5 29n 30 Như ta số nguyên với n số nguyên x;y b) Tìm tất cặp số tự nhiên x2 y2 3x 2y x2 y2 4x 2y Giả sử tồn cặp số tự nhiên x2 y2 4x 2y thỏa mãn điều kiện số x;y số phương thỏa mãn x2 y2 3x 2y số phương Khi tồn số tự nhiên a b để �2 x2 y2 3x 2y a2 � 2x2 2y2 6x 4y a2 � � �� � 2 x y2 4x 2y b2 � �5x 5y 20x 10y 15 b � 2 a2 b2 7x2 7y2 14x 14y 14 � �x 1 y 1 � � Khi ta có x;y;a;b Như tồn số tự nhiên thỏa mãn phương trình 2 a2 b2 � x 1 y 1 � � � 2 2 Từ phương trình ta a b chia hết cho a b Do số tự nhiên m chia cho nhận số dư 0; 1; 2; 2 3; 4; 5; nên m chia cho nhận 0; 1; 2; Suy a 2 b chia cho nhận 0; 1; 2; Mà ta có a b chia 2 hết a b chia hết cho Do số nguyên tố nên ta a b chia hết cho Đặt a 7a1;b 7b1 với a1;b1 số tự nhiên, từ phương trình ta thu phương trình a12 b12 x 1 y 1 2 Lập y1 luận tương tự ta lại có x chia hết cho Từ đặt x x1;y y1 với x1;y1 số tự nhiên ta lại thu phương trình a12 b12 x12 y12 Lập luận tương tự ta suy Tác giả: Nguyễn Công Lợi a 7n.an ;b 7n bn với TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com n số tự nhiên Do suy a;b , điều mâu thuẫn với Vậy không tồn cặp số tự nhiên x;y a2 b2 thỏa mãn u cầu tốn n Bài 104 Tìm tất số tự nhiên n cho 147 số phương Trích đề TS lớp 10 trườngTHPT Chuyên Tỉnh Hà Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải n n Do 147 số phương nên tồn số tự nhiên m thỏa mãn 147 m n Do 147 số chẵn với số thự nhiên n, m số chẵn Do n, k số tự nhiên nên ta xét trường hợp sau �Trường hợp Xét n số lẻ, ta đặt n 2k 1 k �N 2k Từ phương trình cho ta 147 m Ta có 147 chia cho có số dư Lại có 72k1 7.72k 7.49k 7 48 1 1 4a 1 4b 1 a,b �N k 2k Từ ta 147 chia dư Mà m số phương nên chia dư dư Do trương hợp n lẻ phương trình khơng có nghiệm tự nhiên �Trường hợp Xét n số chẵn, ta đặt n 2k k �N 2k Từ phương trình cho ta 147 m hay m2 72k 147 � m 7k m 7k 147 k k Do m, k số tự nhiên nên ta thấy m nên m m 7k m 7k Để ý 147 1.147 3.49 7.21 nên từ ta có bảng giá trị sau: 147 49 21 m 7k k m k 73(loại) 23(loại) 7 k n 2k 2 Thử lại ta thấy 147 14 Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán n Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com Bài 105 Tìm cặp số nguyên x2 6xy 10y2 2 x 5y x;y thỏa mãn điều kiện Trích đề TS lớp 10 trườngTHPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2019 – 2020 Lời giải Biến đổi phương trình ta x2 6xy 10y2 2 x 5y � x2 2 3y 2 x 10 y2 y Xem phương trình phương trình bậc hai ẩn x tham số y ta có ' 3y 2 10 y2 y 2y y2 5 y2 2y 5 y 1 2 ' Để phương trình cho có nghiệm ta cần có �0 nên ta 5 y 1 �0 � y 1 �5 � �y 1� � 1 �y � 2 Do y nhận giá trị nguyên nên ta y � 1;0;1;2;3 Đến ta xét trường hợp sau + Với y 1 , thay vào phương trình cho ta x2 6x 10 2 x 5 � x2 4x � x � 0; 4 Từ ta cặp số thỏa mãn toán + Với y0 + Với y1 x2 2x � x � 0;2 x;y 0;0 , 2;0 y2 Phương trình vơ nghiệm , thay vào phương trình cho ta x2 12x 40 2 x 10 � x2 16x 60 � x � 6;10 Từ ta cặp số thỏa mãn toán + Với , thay vào phương trình cho ta x2 6x 10 2 x 5 � x2 8x 20 + Với x;y 0; 1 , 4; 1 , thay vào phương trình cho ta Từ ta cặp số thỏa mãn toán y3 x;y 6;2 , 10;2 , thay vào phương trình cho ta x2 18x 90 2 x 15 � x2 20x 120 Phương trình vơ nghiệm Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com Vậy cặp số thỏa mãn yêu cầu toán x;y 0; 1 , 4; 1 , 0;0 , 2;0 , 6;2 , 10;2 Bài 106 a) Tìm tất cặp số nguyên dương xy x y x y2 30 x;y thỏa mãn b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 12n2 số nguyên Chứng minh 12n số phương Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2019 – 2020 Lời giải a) Tìm tất cặp số nguyên dương x;y xy x y x thỏa mãn y2 30 Do x, y số nguyên dương nên ta có xy x y x Do y2 30 nên lớn 30 Lại để ý xy x y �3 xy x y �3 và x2 y2 1�3 x2 y2 1�3 x2 y2 1�xy x y ước dương Từ ta có trường hợp sau � xy x y �2 x y2 10 + Trường hợp Với � Để ý x, y số nguyên dương ta 2xy 2 x y � 2xy 2 x y � xy x y � � � � � �2 �2 � x y2 10 � x y2 x y 2 x y 15 � � � � 2xy 2 x y � 2xy 2 x y � x y � � �� �� �� xy x y 2 x y 15 �x y � � � Hệ phương trình khơng có nghiệm nguyên dương + Trường hợp Với xy x y � �2 x y2 1 � Để ý x, y số nguyên dương ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com � 2xy 2 x y 10 � 2xy 2 x y 10 � � xy x y � � � �2 �2 � x y2 � x y2 � x y 2 x y 15 � � � 2xy 2 x y 10 � 2xy 2 x y 10 � x y � x 1;y � � �� � � � � � � xy x 2;y x y 2 x y 15 �x y � � � � Vậy cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu toán b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn x;y 1;2 , 2;1 12n2 số nguyên Chứng minh 12n2 số phương 12n2 số nguyên, mà 12n2 số lẻ nên tồn số tự nhiên k thỏa Do mãn 12n2 2k 1 � 12n2 4k 4k � k k 1 3n2 Vì k;k 1 nên xảy trường hợp � k a2 � a,b�N � k 3b2 � + Trường hợp Với Từ ta a2 3b2 1 � a2 3b2 suy a2 chia có số dư (vơ lí) � k 3a2 � � b2 b2 3n2 � k 1 b + Trường hợp Với � Từ suy 12n2 4b4 4b2 2b2 4b2 2b 2 Do 12n số phương x;y Bài 107 Tìm tất cặp số nguyên x thỏa mãn x y2 xy 3x Trích đề TS lớp 10 trườngTHPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2019 – 2020 Lời giải x Do x y2 xy 3x 3x 1 3x 2 Do suy nên 3x chia hết cho x x chia hết cho x x hay ta x2 x chia 2 hết cho x x Từ dẫn đến x x ước Để ý Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com � 1� x x 1 � x � 2 � 2� nên suy x x x x 1 Do tương ứng ta x � 2;0;1;3 + Với x 2 , thay vào phương trình ban đầu ta y2 2y 1 � y 1 � y y2 1 + Với x , thay vào phương trình ban đầu ta Phương trình vơ nghiệm + Với x 1, thay vào phương trình ban đầu ta y2 y � y 1 y 2 � y � 2;1 + Với x 3, ta 3x x x nên 3x không chia hết cho x2 x Vậy cặp số nguyên thỏa mãn phương trình x;y 2;1 , 1; 2 ; 1;1 7 7 7 � � � 27n 5 10� 10n 27 5� 5n 10 27� � � � � � � Bài 108 Chứng minh chia hết cho 42 với số ngun dương n ta ln có Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2019 – 2020 Lời giải �Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số nguyên dương a a7 a chia hết cho 42 Thật vậy, ta có Để ý A a7 a a a3 a3 a 1 a a 1 a2 a a2 a a 1 a a 1 tích ba số nguyên liên tiếp nên suy A chia hết cho Lại thấy a chia cho thi có số dư 0; �1; �2; �3, a chí a a3 a3 M7 0; � cho có số dư Do ta có nên A chia hết cho Mà ta có nguyên tố nên suy A chia hết cho 42 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com 7 7 7 M� � � 27n 5 10� 10n 27 5� 5n 10 27� � � � � � � Trở lại toán Đặt N 27n 5 10 10n 27 5n 10 27 Đặt 7 Áp dụng bổ đề ta có 7 � � 27n 5 10� M42 �27n 5 10� � � � 7 � � 10n 27 5� M42 �10n 27 5� � � � 7 � � M42 5n 10 27� 5n 10 27� � � � � Do ta M N chia hết cho 42 P 27n 5 10n 27 5n 10 Lại xét 7 Q 27n 5 10n 27 5n 10 Áp dụng bổ đề tương tự ta P Q chia hết cho 42 Mà ta có Q 42n 42 chia hết cho 42 nên suy P chí hết cho 42 Từ suy N P 42 chia hết cho 42 Đến ta suy M chia hết cho 42 Vậy 7 7 7 � � 10n 27 5� � 5n 10 27� �27n 5 10� � � � � �chia hết cho 42 với số nguyên dương n ta ln có �Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Với số nguyên dương a a7 �a mod 42 Cách chứng minh tương tự lời giải Trở lại toán Áp dụng bổ đề ta 27n 5 �27n mod 42 ; 10n 27 �10n 27 mod 42 ; 5n 10 �5n 10 mod 42 27n 5 10n 27 5n 10 Suy 7 7 � 27n 5 10n 27 5n 10 mod 42 Ta có 7 � � 27n 5 10� 27n 5 10� � � �� � mod 42 7 � � 10n 27 5� 10n 27 5� � � �� � mod 42 7 � �� 5n 10 27� mod 42 �5n 10 27� � � � Do ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com 7 7 7 � � � 27n 5 10� 10n 27 5� 5n 10 27� � � � � � � 7 � � �� 27n 5 10� 10n 27 5� 5n 10 27� � � � � � � mod 42 � 27n 5 10n 27 5n 10 mod 42 � 27n 5 10n 27 5n 10 mod 42 � 42n 42 mod 42 �0 mod 42 7 7 7 7 � � 10n 27 5� � 5n 10 27� �27n 5 10� � � � � �chia hết cho 42 Do ta với số ngun dương n ta ln có Bài 109 Tìm tất cặp số nguyên x;y y2 y x4 x3 x2 x thỏa mãn Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2019 – 2020 Lời giải Biến đổi tương đương phương trình ta x4 x3 x2 x y2 y � 4x4 4x3 4x2 4x 4y2 4y � 2x2 x 3x2 4x 2y 1 2 �Với x 1, thay vào phương trình ta y 1 2x �Xét x �1, ta chứng minh + Khi 3x2 4x 3x 1 x 1 Thật vậy, dễ thấy x x 2x2 x 3x2 4x 1 2x2 x 2 ta 3x 1 x 1 3x 1 x 1 + Khi x 1 2x Từ ta 2 x 2x2 x 3x2 4x Mặt khác ta có 2x x 2 � �2x x 3x 4x 1� � � � 2x x 4 2x x 4 2x x 3x 4x 1 5x 2 2 2x Như ta có 2x Do 2 2 2 x 2x2 x 3x2 4x 1 2x2 x 3 2 x 3x2 4x Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi số phương nên ta suy TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com 2x x 3x 4x 1 2x x 1 � 2x x 3x 4x 1 2x x 2 2x x � x � 3x 4x 1 2 2x x � x 2x � � x 2 2 2 2 2 2 2 � y2 y � y 0;y 1 + Với x , thay vào phương trình ban đầu ta y2 y 30 � y 5;y 6 + Với x 2, thay vào phương trình ban đầu ta Thử lại ta nghiệm nguyên phương trình x;y 0;0 , 0; 1 , 2;5 , 2; 6 , 1;0 , 1; 1 Bài 110 Cho hai số nguyên dương x, y với x thỏa mãn điều kiện 2x2 1 y15 Chứng minh x chia hết cho 15 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2019 – 2020 Lời giải 3,5 1, nên ta quy toán chứng minh x chia Chú ý 15 3.5 hết cho cho �Chứng minh x chia hết cho Đặt y5 a với a số nguyên dương Khi ta có 2x 1 a hay 2x2 a 1 a2 a � a 1Md � d a 1,a a a2 a 1Md � Gọi , ta có Từ ta a2 a 1 a 1 a 2 Md nên 3Md , suy d d � a 1 � 2 2x a 1 a a a2 a x2 + Nếu d từ ta � � a x2 � �2 a a 1 � 2 Dễ thấy a a 1 � a a 1 khơng có nghiệm ngun dương Do ta có a 1 � a � �� �2 x1 a a 1 x � � , loại khơng thỏa mãn x 2x2 a 1 a2 a 2 d + Nếu , từ ta 2x M9 nên x M9 � xM3 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com �Chứng minh x chia hết cho Đặt y3 b , với b số nguyên dương 2x2 b 1 b4 b3 b2 b Khi ta có 2x b hay �b 1Md �4 d b 1,b b b b b b3 b2 b 1Md Gọi Do ta � b Khi b3 b2 b b 1 b3 2b2 3b Md nên 5Md , suy d d 2x2 b 1 b4 b3 b2 b + Nếu d từ ta �b �4 2 �b b b b x � �b x �4 �b b b b 1 4 Dễ thấy b b b b � b b b b khơng có nghiệm ngun dương �b �b �� �4 2 x1 b b b b 1 x � Do ta có � , loại khơng thỏa mãn x 2x2 b 1 b4 b3 b2 b + Nếu d , từ ta 2x M25 nên xM5 15 Bài toán chứng minh Vậy ta xM Bài 111 Tìm cặp số nguyên dương x;y cho x2y x y chia hết cho xy2 y Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2019 – 2020 Lời giải 2 �Lời giải Do x y x y chia hết cho xy y nên Suy chia hết cho xy2 y Đến ta xét trường hợp sau y x2y x y x xy2 y Hay ta y2 x Trường hợp Nếu y2 x chia hết cho y2 x xy2 y Khi x y số nguyên dương nên để xy2 y Tác giả: Nguyễn Công Lợi chia hết cho ta cần có xy2 y �x y2 � x y2 y2 y �0 TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com Điều vơ lí x y số nguyên dương Do trường hợp không xẩy Trường hợp Nếu y2 x Khi tồn số nguyên dương m để y m;x m2 Từ ta có � x2y x y m5 m2 m m m4 m � � xy y m4 m � Do dễ thấy x2y x y x;y m ;m Vậy xy2 y chia hết cho với m số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp Nếu y2 x chia hết cho y2 x Khi x y số nguyên dương nên để xy2 y ta cần có xy2 y �y2 x � y2 x 1 x y �0 Điều vơ lí x y số nguyên dương Do trường hợp không xẩy x;y m ;m Vậy cặp số thỏa mãn yêu cầu toán với m số nguyên dương �Lời giải Ta xét trường hợp sau y �x Trường hợp Nếu x y , a b nguyên dương nên Từ ta xy2 y xy2 y y xy 1 � x 1 xy 1 x2y xy y 1 x2y x y Do trường hợp khơng tìm cặp số x;y nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp Nếu x �y Khi x2y x y chia hết cho x2y x y m xy2 y số nguyên dương m thỏa mãn xy2 y nên tồn Do x, y số nguyên dương nên ta có �x � x 2 � �xy y x y x xy x y x y y y �y y � Từ suy ta x x2y x y y y xy2 y Tác giả: Nguyễn Công Lợi m nên ta x y y TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com y2 0 y �2 y y Lại thấy nên ta �x � � 1� y � 1 x2y x x2y x y � �xy y x y x x � y �y y � � y� y Từ suy ta x x2y x y y y xy2 y m nên ta x y y x x m y1 y y Đến ta lại xét Kết hợp kết ta y y trường hợp nhỏ sau x x m y y , ta x 1 my x nên suy x my Do + Nếu y y ta có x2y x y m2y3 my y m � m � m2y3 my y m my3 y � y m xy y my y x;y m ;m Đến ta tìm với m số nguyên dương x2 x M x 2 y1 + Nếu Khi ta cần tìm số x ngun dương để Ta có x x 2 x2 x x x nên x M x 2 Do x số nguyên dương nên �x 1 x Do x 1 M x 2 x 1 M x 2 x Từ ta tìm cặp số x;y 1;1 thỏa mãn yêu cầu toán x;y m ;m Vậy cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán với m số nguyên dương 4n 4n Bài 112 Chứng minh với số nguyên dương n, số M 9.3 8.2 2019 chia hết cho 20 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Quảng Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải 4n 4n 2n 2n �Lời giải Ta có M 9.3 8.2 2019 9.9 8.4 2019 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com + Do chia có số dư nên suy 92n 1 2n chia có số dự Do 9.92n chia có số dư Lại có 2019 chia có số dư Từ ta M 9.92n 8.42n 2019 chia hết cho + Ta có 92n 10 1 khác ta lại có 2n 2n chia có số dư nên 9.9 chia có số dư Mặt 42n 5 1 2n 2n chia có số dư nên 8.4 chia có số dư Lại 2n 2n có 2019 chia có số dư Từ ta M 9.9 8.4 2019 chia có số dư 2n 2n 3 nên M 9.9 8.4 2019 chia hết cho Mà ta có 4;5 suy M 9.34n 8.24n 2019 chia hết cho 20 với số nguyên dương n 4n 4n 2n 2n �Lời giải Ta có M 9.3 8.2 2019 9.9 8.4 2019 Ta có 81�� 1 mod 4 Do ta Lại có Và 81n 16 �� 1 mod 5 Mà ta có 9.81n 1 mod 4 M �1 2019 �2020 �0 mod 4 81�� 1 mod 5 Do ta 1 mod 4 16n 81n 1 mod 5 1 mod 5 9.81n 8.16n 8.16n �0 mod 4 hay M M4 4 mod 5 3 mod 5) M �4 2019 �2020 �0 mod 5 4;5 suy hay M M5 M 9.34n 8.24n 2019 chia hết cho 20 với số nguyên dương n Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Website:tailieumontoan.com TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Trong kì thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên tồn quốc tón số học xuất cách đặn đề thi với tốn ngày hay khó Trong. .. mẻ Trong chủ đề này, tuyển chọn giới thiệu số tốn số học trích đề thi tuyển sinh chuyên toán năm gần 2 Bài Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k k 16 số nguyên tố k chia hết cho Trích đề. .. ứng chia hết cho Từ 53 số tự nhiên cho chọn số mà tổng chúng a1 chia hết cho Xét 50 số lại chọn số mà tổng a2 chia hết cho Lặp lại lập luận từ 53 số ta chọn 17 số mà số gồm số có tổng a1;a2 ; ;a17