Đang tải... (xem toàn văn)
Trong các kì thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên trên toàn quốc thì các bài toán về số học xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thi với các bài toán ngày càng hay và khó hơn.. Tr[r]
(1)TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN
LỜI NÓI ĐẦU
Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp con em học tập Hy vọng tuyển tập tốn số học thi vào lớp 10 chun tốn giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung
Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học!
Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Trong kì thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên toàn quốc tốn số học xuất cách đặn đề thi với tốn ngày hay khó Trong ngồi các tốn có dạng quen thuộc có nhiều tốn mẻ Nhằm đáp ứng nhu cầu của giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website www.thuvientoan.net
(2)TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUN TỐN
Trong c{c kì thi tuyển sinh lớp 10 c{c trường chuyên to|n quốc c{c b|i tón số học xuất c{ch đặn c{c đề thi với c{c b|i to{n ng|y c|ng hay v| khó Trong ngo|i c{c b|i to{n có dạng kh{ quen thuộc có ngiều b|i to{n mẻ Trong chủ đề n|y, tuyển chọn v| giới thiệu số b|i to{n số học trích c{c đề thi tuyển sinh chuyên to{n c{c năm gần đ}y
Bài Chứng minh số nguyên k lớn thoả mãn k24 k2 16 l| c{c số nguyên tố k chia hết cho
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2009 – 2010 Lời giải
Do k l| số nguyên lớn nên k2 4 k216 Ta xét c{c trường hợp sau
Trường hợp Xét k 5n n , ta k2 25n210n nên k24 Do suy k24 khơng l| số nguyên tố
Trường hợp Xét k 5n n , ta k2 25n220n nên k216 Do suy k216 khơng l| số ngun tố
Trường hợp Xét k 5n n , ta k2 25n230n nên k216
Do suy k216 không l| số nguyên tố
Trường hợp Xét k 5n n , ta k2 25n240n 16 nên k24 Do suy k24 không l| số nguyên tố
Do từ c{c trường hợp suy để k24 k216 l| c{c số nguyên tố k phải
chia hết cho
Bài Cho tam gi{c có số đo ba cạnh l| x, y, z nguyên thỏa mãn điều kiện:
2 2
2x 3y 2z 4xy 2xz 20
Chứng minh tam gi{c cho l| tam gi{c
(3)Ta có 2x23y22z24xy 2xz 20 Ta có x, y, z l| c{c số nguyên dương nên từ đẳng thức cho ta suy y l| số chẵn Đặt y 2k k N v| thay v|o điều kiện ta *
2 2 2
2 2 2
2x 12k 2z 8xk 2xz 20 x 6k z 4xk xz 10
x 4xk xz 6k z 10 x x 4k z 6k z 10
Xem phương trình l| phương trình bậc hai theo ẩn x Khi ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4k z 6k z 10 16k 8kz z 24k 4z 40 8k 8kz 3z 40
Do phương trình có nghiệm ngun dương nên phải l| số phương Nhận thấy k 2 từ z 1 ta suy 0 nên phương trình vơ nghiệm Do để phương trình có nghiệm nguyên dương k 1 , suy y Thay k 1 v|o biệt thức ta
8z 3z 240 3z28z 32
Lại thấy z 3 0 phương trình vơ nghiệm Do suy z 1
z
Nếu z 1 ta 21 khơng phải l| số phương nên phương trình khơng có nghiệm ngun
Nếu z 2 , kết hợp với k 1 từ phương trình ta
2
x 2x 10 x 2x x x x Suy x y z Vậy tam gi{c cho l| tam gi{c
Bài Tìm số tự nhiên abc thoả mãn điều kiện abca b 4c 2
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Nam năm học 2009 – 2010 Lời giải
Từ giả thiết b|i to{n ta có 100a 10b c 4c a b Do ta 2
2 2 2
10 a b 9a
10 10a b 100a 10b
c
(4)Ta có a b 21 l| số lẻ v| c 9 nên suy a b 21 Mà a b l| số 2 chẵn nên suy a b phải có tận l| 6, 2 a b phải có tận l| 2 (*)
Mặt kh{c ta có
2
2.5ab c
4(a b)
2
4 a b l| số lẻ nên
2 2
4 a b 500 a b 125,25
Kết hợp c{c kết ta có a b 2 4; 9; 49; 64 hay a b 2; 3;7; 8
Nếu a b 2;7; a b có dạng 3k k N a b 2 1 chia hết cho M| ta lại thấy a b 9a 3k 9a không chia hết 10 a b 9a không chia hết cho hay c không thuộc tập hợp N
Nếu a b 3 ta có c10 9a 6 3a
35 Vì ta có a 4 3a suy a2, c 6; b Ta có số 216 thoả mãn yêu cầu b|i to{n
Vậy số abc 216 l| số cần tìm
Bài Cho ba số nguyên dương a, p, q thỏa mãn c{c điều kiện:
i) ap chia hết cho q ii) aq chia hết cho p Chứng minh
pq a
2 p q
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2009 – 2010 Lời giải
Từ giả thiết ta ap aq pq suy a pq ap aq pq
Mà a pq pq nên ta ap aq pq Do a, p, q l| c{c số nguyên dương nên
ap aq pq l| c{c số nguyên dương Suy ap aq pq Mà a p q 1 nên ta 2a p q pq hay
pq a
(5)Bài Tìm tất c{c cặp số nguyên a; b nghiệm điều kiện
2 2 2 a a 4b 20b 25
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2009 – 2010 Lời giải
Ta có a 1 2a294b220b 25 hay a 1 2a292b 5 2
Do a29 l| số phương Dễ thấy a2 a2 9 a 3 nên ta có c{c trường hợp 2
sau
Trường hợp Khi a2 9 a 3 ta 2
a nên 92b suy 2 b 1; b 4 Trường hợp Khi a2 9 a 2 ta 2 a 5, khơng có số nguyên thỏa mãn Trường hợp Khi a2 9 a 1 ta 2 a 4 hay a 4;a 4
+ Với a4 ta 9.252b 5 2 b 5; b 10 + Với a 4 ta 25.252b 5 2 b 10; b 15 Vậy ta có c{c cặp số nguyên thỏa mãn b|i to{n l|
a; b 0; , 0; , 4; , 4; 10 , 4;10 , 4; 15
Bài Tìm c{c số nguyên dương x, y, z thoả mãn điều kiện x3y3 z Trong y l| số 2
nguyên tố v| z; z; y 1
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2009 – 2010 Lời giải
Từ giả thiết ta có x y x y 23xyz2
Ta có x; y 1 x; y 1
2
x y x y 3xy y nên z y tr{i với giả thiết 2
y; z 1
Lại thấy x y không chia hết cho x y chia hết cho z chia hết cho tr{i với giả thiết z; 1 Đặt x y k ; x 2xy y t k; t Z2 ta có z kt
(6)Vì y nguyên tố nên ta c{c trường hợp sau Trường hợp Với
2
2t 2x y 3y
2t 2x y Khi ta
2 2 2
3y 2x y k 3y k y k 2y
Suy k21 , điều n|y khơng xẩy k2 1 không chia hết cho Trường hợp Với
2t 2x y
2t 2x y 3y Khi ta
2
2 2
y 2x y 2k 3y y 4k 12 y 2k y 2k 12 Từ tìm y , thay v|o ta x 8; z 13
Vậy c{c số nguyên dương x; y; z 8;7;13 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Bài Giả sử m v| n l| c{c số nguyên dương với n 1 Đặt S m n 24m 4n Chứng
minh rằng:
a) Nếu m n mn222 n S m n b) Nếu S l| số phương m n
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2010 – 2011 Lời giải
a) Ta chứng minh mn222 n m n2 24m 4n m n c{ch xét hiệu sau 2
Ta có
2 2 2 4 2 4 3
H mn n m n 4m 4n m n 4mn m n 4mn 4n 4n
Do mn222 n m n2 24m 4n
Mặt kh{c lại có n m n2 24m 4n m n2 4n m n2 0 n 1;m n Do n m n2 24m 4n m n 2
(7) Trường hợp Nếu m n , theo chứng minh ta
2
2
mn
S mn
n
Mặt kh{c ta có
2
mn n
mn
n n
Vì m, n l| c{c số nguyên dương v| m n 1 nên ta
2
nm
0 mn
n Suy mn 1 2 S mn nên S khơng thể l| số phương
Trường hợp Nếu m n , ta S m n Lại có 2 Smn 2
Do suy m n2 S mn Như để S l| số phương 2 Smn 2 Khi ta m n2 24m 4n m n 22mn 1 4n 4m 2mn , không tồn m n thỏa mãn
Như từ hai trường hợp ta thấy S l| số phương ta m n Khi ta có S mn l| số phương
Bài Với số 6; 5; ta có đẳng thức 65 5
26 Hãy tìm tất c{c số a; b; c gồm c{c chữ số hệ thập ph}n a, b, c đôi kh{c v| kh{c cho đẳng thức
ab b c
ca
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2010 – 2011 Lời giải
Giả sử tồn c{c số a; b; c gồm c{c chữ số hệ thập ph}n a, b, c đôi kh{c v| kh{c cho đẳng thức ab b
c
ca
Khi đẳng thức trở thành 10a b c 10c a b hay 2.5.c a – b b a – c Suy l| ước số b a – c Do nguyên tố v| a, b,c , lại có a c nên ta
b a c 5 c a 5 Ta xét c{c trường hợp sau
Trường hợp Với b 5 ta có
a
2c a a c c 2c
(8)Từ suy 2a 3 2a 9 a5
Trường hợp n|y tìm a; b; c 6; 5; , 9; 5;1 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Trường hợp Với a c 5 ta a c 5 nên
2
2c 10c
2c c b b b
2c Từ suy
2b 2c
2c nên ta 2c 3 2c 9 c 0 Trường hợp n|y tìm a; b; c 6; 4;1 , 9; 8; 4 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Trường hợp Với c a 5 ta c a 5 nên
2
2a 10a
2 a a b b b
2a
Từ suy
9.19
2b 2a 19
2a Do trường hợp n|y khơng xét Vậy c{c số thỏa b|i to{n l| a; b; c 6; 5; , 9; 5;1 , 6; 4;1 , 9; 8; 4 Bài Tìm tất c{c dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng 2010
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2010 – 2011 Lời giải
Gọi 2x l| số tự nhiên chẵn dãy Khi theo giả thiết ta có
2x 2x 2x 2x 2y 2010
x x x x y 1005 y x y 1005
y y
y x 1005 y 2x y 2010
2
Suy y 1 l| ước số 2010 1.2.3.5.67
Nên suy y 1 2; 3; 5; 6;10;15; 30; 67;134; 201; 335; 402; 670;1005; 2010
Hay ta y1; 2; 4; 5; 9;14; 29; 66;133; 200; 334; 401; 669;1004; 2009 Đến đ}y ta có + Với y ta có 2x 1005 2x 1004 nên dãy số cần tìm 1004, 1006
+ Với y ta có 2x 670 2x 668 nên dãy số cần tìm l| 668, 670, 672
+ Với y ta có 2x 4 20102x 398 nên dãy số cần tìm l| 398, 400, 402, 404, 406 + Với y ta có 2x 5 20102x 330 nên dãy số cần tìm l| 330, 332, 334, 336, 338, 340
(9)192, 194, 196, 198, 200, 202, 204, 206, 208, 210
+ Với y 14 ta có 15 2x 14 20102x 120 nên dãy số cần tìm l| 120, 122, 124, 126, , 148
+ Với y 29 ta có 30 2x 29 20102x 38 nên dãy số cần tìm l| 38, 40, 42, 44, 46, , 96
+ Với y 67 ta có 2x y 302x nên khơng tồn dãy số thỏa mãn yêu cầu b|i tốn
Vậy có dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp thoả điều kiện b|i to{n Bài 10 Tìm tất c{c số nguyên dương a, b cho a b chia hết cho a b
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bình Định năm học 2010 – 2011 Lời giải
Giả sử a b chia hết cho a b , tồn số nguyên dương k cho
a b k a b
Hay ta a k b ka 2b Đặt m ka 2b với m l| số nguyên Khi ta mb a k Từ suy mb m b a k ka hay ta
2
mb m b a k ka m b a k ka Do a, b, k l| c{c số nguyên dương nên ta suy m 1
Do ta suy b m 1 0, điều n|y dẫn đến a k ka 0 M| ta có a l| số nguyên dương nên ta suy k ka 0 hay k a 1
M| k l| số nguyên dương nên từ k a 1 ta k a 1 k a 1 + Nếu k a 1 ta suy a 0 a 1, ta b m 1
Do l| số nguyên tố nên từ b m 1 ta b 1 b 2 Từ suy
b b 3
(10)+ Nếu k a 1 1, ta k 1;a , ta b m 1 Từ đ}y suy b 1 m 1 Với m 1 , kết hợp với hệ thức mb a k ta suy b 3 Do trường n|y ta hai cặp số nguyên dương thỏa mãn b|i to{n l| a 2; b
a 2; b
Vậy c{c cặp số nguyên dương a; b thỏa mãn yêu cầu b|i to{n l| 1; , 1; , 2;1 , 2; Bài 11 Tìm tất c{c số nguyên x, y, z thỏa mãn c{c điều kiện x y z x3y3 z
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Trần Phú Hải Phòng năm học 2010 – 2011 Lời giải
Nếu z 0 ta x; y; z x; x; 0 với x l| số nguyên thỏa mãn yêu cầu b|i tốn
Nếu z 0 từ c{c điều kiện ta có x2xy y x y hay x2y x y y Xem phương trình l| phương trình bậc hai ẩn x nên ta
2 2
y
3 12 12
y y y y
3
Do y l| số nguyên nên ta y0; 1;
+ Với y , ta có hệ phương trinh
x z
x z x z
+ Với y , ta
2 x x 0; z
x 2x
x x 2; z
+ Với y , ta
2 x x 1; z
x 3x
x x 2; z
Vậy c{c số nguyên thỏa mãn yêu cầu b|i to{n l|
x; y; z x; x; , 1; 0;1 , 0;1;1 , 2;1; , 1; 2; , 2; 2; 4
Bài 12 Giải phương trình 2x y 2 2 7 x 2y y 21 tập số nguyên
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2010 – 2011 Lời giải
(11) 2 2 2 2 2x y 14 x 2y y 2x y 2x y 2y 3y Đặt t2x y t Z , phương trình trở th|nh 2t2 7t 2y 23y0
+ Nếu y 1 thay v|o phương trình ban đầu ta
2 2 11 105 11 105
2x 7x 4x 11x x ;
8
Hai nghiệm không thuộc tập hợp Z
+ Nếu y 2 y 2y23yy 2y 3 0
Từ phương trình suy 2t27t 0 t 2t 7 0 0 t 3 (do t )
Mặt kh{c theo phương trình t nên ta t0 Suy y 2y 3 0 nên
y
Do ta x 1 Thử lại ta thấy x; y 1; thoả mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên l| x; y 1;
Bài 13 Tìm tất c{c số nguyên tố p có dạng p a 2b2 c với a, b, c l| c{c số nguyên dương cho a4b4c chia hết cho p 4
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2011 – 2012 Lời giải
Do vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qu{t ta giả sử a b c Khi p a 2b2c nên 2 p2 a2b2c22 p hay
a4b4 c4 2a b2 22b c2 22c a2 2 p M| ta lại có a4b4c4 p nên ta
2 2 2
2 a b b c c a p
Mặt kh{c a, b, c l| c{c số nguyên dương p nên ta p; 1 suy
a b2 2b c2 2c a2 2 p Do
a b2 c a2 b2 c2 c4 p suy a b2 c4 p nên
2 2
(12)Lại có ab 2ab a 2b nên ta 2 1 ab c a2b2c2 p, ab c ; p 1 Từ
đó ta ab c 2 p hay c2 ab p
Mặt kh{c a b c nên 0 c 2ab c a2b2c2 p Do c2ab hay c2 ab ,
từ ta
p 3a M| p l| số nguyên tố nên suy a2 1 p Vậy p l| số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Bài 14 Cho ba số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện x2y2 z Chứng minh xy 122
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Ninh Bình năm học 2011 – 2012 Lời giải
Trước hết ta có nhận xét: Với số tự nhiên n
+ Nếu n 3k 1 n2 9k26k nên n2 chia có số dư l|
+ Nếu n 4p 1 n2 16p28p nên
n chia có số dư l| + Nếu n 4p 2 n2 16p216p nên n chia có số dư l| Ta xét c{c trường hợp sau
Nếu x, y, z khơng chia hết cho x ; y ; z chia cho dư 2 2 x2y 2
chia cho dư v| z chia cho dư 1, điều n|y m}u thuẫn với 2 x2y2 z 2
Do hai số x, y tồn số chia hết suy suy xy
Nếu x, y, z khơng chia hết cho x ; y ; z chia cho dư dư Khi 2 xẩy c{c khả sau
+ Nếu x2y chia cho dư v| 2 z2 chia cho dư 1, điều n|y m}u thuẫn với x2y2 z 2
Do hai số x, y tồn số chia hết cho Do suy xy
+ Nếu x2y chia hết cho v| 2 z chia cho dư 4, điều n|y m}u thuẫn với 2 x2 y2 z 2
(13)Bài 15 Tìm tất c{c số nguyên tố p cho tồn cặp số nguyên x; y thoả mãn hệ:
2
2
p 2x p 2y
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2011 – 2012 Lời giải
Đặt
p 2x 2
p 2y
Lấy hiệu theo vế hai đẳng thức cho ta p p 1 2 y x y x 3 Suy ta y x y x p 4 Mặt kh{c từ 1 ta thấy p l| số lẻ v| x 1 Do ta có p 2x x2x2 x nên p x
Từ 2 ta lại có y nên p2 1 2y2 y2y2 y21 suy p y
Từ 3 ta suy y x Từ ta y x p Chú ý p l| l| số nguyên tố lẻ nên từ 4 ta suy x y p M| ta lại có x y 2p nên ta x y p
Thay vào 3 ta p y x Từ suy y x p 1
2 nên ta
p 3p
x ; y
4
Thay x p 1
4 vào 1 ta
2
2
p
p 2p 12p 14 p
4
Thay p vào 2 ta 72 1 2y nên 2 y
Vậy p thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Nhận xét. Ngồi cách giải ta cịn giải cách xét khả p: Với p chẵn
không xẩy Với p 4k 1 ta
2
2
4k 1
p
8k 4k
2 Đến ta tìm các giá trị k để 8k24k 1 số phương
Bài 16 Tìm tất c{c số nguyên dương x ,x ,1 2 ,x ; nn thỏa mãn c{c điều kiện sau:
1 n
x x x 5n 4và
1 n
1 1
1
x x x
(14)Lời giải
Khơng tính tổng qu{t ta giả sử x1 x2 x n Theo bất đẳng thức AM – GM ta có
2
n n
1 n n
1 n n
1 1
5n x x x n x x n n
x x x x x
Do ta
n 5n n hay n1; 2; 3; 4 Ta xét c{c trường hợp sau + Với n 1 , ta có
1
x 5.1
x
1 x
+ Với n 2 , ta có
2
1 2
1
x x 5.2
x x
1
1 x x x x
x x
Hệ n|y khơng có nghiệm ngun
+ Với n 3 , ta có
1
1
x x x 5.3 11
1 1
1
x x x
Từ hệ thức thứ hai suy x11 kết hợp với hệ thức suy 2 x 13 Thử trực tiếp c{c trường hợp ta suy x ; x ; x1 2 3 2; 3; 6 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
+ Với n 4 bất đẳng thức xẩy dấu nên x1 x2 x3 x4 4 Vậy c{c số thỏa mãn yêu cầu b|i to{n l|
+ Với n 1 ta x1 1
+ Với n 3 ta x1; x ; x2 3 2;3; , 2; 6; , 3; 2; , 3; 6; , 6 ;2; , 6 ; 3; 2 + Với n 4 ta x ; x ; x ; x1 2 3 4 4; 4; 4; 4
Bài 17 Tìm tất c{c số nguyên n cho An 2010 n 2011 n 2012 l| số phương
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2011 – 2012 Lời giải
Ta xét c{c trường hợp sau
(15)+ Nếu n lẻ n 2010; n 2011 n 2011; n 2012 n 2010; n 2012 1 Do để tích l| số phương n 2001; n 2011; n 2012 l| ba số phương Nhưng
n 2011; n 2012 l| hai số nguyên liên tiếp nên khơng thể l| số phương
+ Nếu n chẵn n 2010; n 2012 2; n 2010; n 2011 n 2011; n 2012 1 Do để tích số phương n 2010 2a ; n 2011 b ; n 2012 2c 2 với a, b, c
c{c số nguyên dương v| a; c 1
Suy
2 c a
2 c a c a c a a 0; c
c a , trường hợp n|y loại
Vậy n2010; 2011; 2012 l| c{c số thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Bài 18 Giả sử a v| b l| c{c số nguyên dương cho
2
a b a b
ab l| số nguyên Gọi d l| ước số chung a v| b Chứng minh d a b Kí hiệu x l| số nguyên lớn khơng vượt qu{ x
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012 Lời giải
+ Nếu d 0 bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên + Nếu d 0 Giả sử a dm; b dn với m, n số nguyên dương Ta có
2
2
a b a b a b a b
2
ab ab l| số nguyên nên
2
a b a b ab Do ta
2 2 2 2
2
2
d m d n dm dn d mn d d m n m n d dmn
d m n m n dmn m n d
a b
d m n d d a b d a b
d
Như d l| số nguyên không vượt qu{ a b , mà a b l| số nguyên lớn khơng vượt qu{ a b Do ta d a b Bài to{n chứng minh
Bài 19 Ta tìm hai số nguyên dương x, y cho
2
x
z
xy l| số nguyên dương
(16)Lời giải Ta xét c{c trường hợp sau
Với xy ta có z 1 Vậy ba số x; x;1 x l| số nguyên dương tùy ý thỏa mãn
Với x y , ta có x2 2 xy nên
2
x
1
xy , không thỏa mãn đề b|i Với xy Khi giả sử ba số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề b|i Do ta có y x 22 xy hay
x xy 2 x y xy nên x y xy 2 Suy tồn số k nguyên dương cho x y k xy 2 1
+ Với k 2 suy x y xy nên x y 1 0, điều n|y vơ lí + Với k 1 ta có x y xy 2 nên x y 2 6
Do x, y nguyên dương v| xy suy y x 6 nên ta x 4; z Thử lại thỏa mãn đề b|i
Vậy x; y; z 4;1; 3 v| c{c số x; x;1 x l| số nguyên dương tùy ý l| thỏa mãn đề b|i
Bài 20 Chứng minh từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số m| tổng chúng chia hết cho 27
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học 2011 – 2012 Lời giải
Ta chứng minh từ số tự nhiên ln tìm số m| tổng chúng chia hết cho Thật vậy, số tự nhiên chia cho có phần dư l| 0,
+ Nếu số dư có số 0, số 1, số tổng ba số tự nhiên tương ứng với ba số dư n|y l| chia hết cho
(17)chọn 17 số m| số gồm số có tổng l| a ;a ; ;a1 2 17 cho tổng chia hết cho
Chứng minh tương tự nhận thấy từ số tự nhiên m| số chia hết cho ta chọn số có tổng chia hết cho Vậy từ 17 số a ;a ;1 2 ;a17 ta chọn gồm số có tổng l| b ; b ;1 2 ; b5 cho b 9i với i1; 2; 3; 4; 5 Từ số chia hết cho l| b ; b ; b ; b ; b1 2 3 4 5 chọn số m| tổng chúng l| chia hết cho 27 Tổng số n|y l| tổng 27 số ban đầu Vậy từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số m| tổng chúng chia hết cho 27
Bài 21 Tìm tất c{c số nguyên x, y, z thoả mãn 3x2 6y2 z2 3y z2 218x
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Tĩnh năm học 2011 – 2012 Lời giải
Ta có 3x2 6y2z2 3y z2 218x 6 3 x 3 26y2z2 3y z2 33
Từ phương trình suy z 2 z2 33 Vì z nguyên nên z 0 z 3
Với z 0 , phương trình trở th|nh 2
x 2y 11 Suy 2y2 11 nên
y
+ Khi y 1, ta x 0; x Suy x; y; z 0;1; , 0; 1; , 6;1; , 6; 1; 0 nghiệm phương trình cho
+ Khi y , ta x 3 2 11 nên khơng có số ngun x n|o thỏa mãn + Khi y 2, ta x 3 2 3 nên khơng có số ngun x n|o thỏa mãn
Với z 3 , ta x 3 211y2 8 Từ suy 11y2 8 nên y Từ suy khơng có số ngun x n|o thỏa mãn
Vậy phương trình có c{c nghiệm ngun l| x; y; z 0;1; , 0; 1; , 6;1; , 6; 1; 0 Bài 22 Tìm c{c số nguyên tố p cho hai số 2 p 1 p 21 l| hai số phương
(18)Giả sử tồn c{c số nguyên tố p để p 2 p 1 l| hai số phương
Do l| số nguyên tố nên suy p p21 l| c{c số chẵn Từ suy p 1
2
p l| c{c số phương Giả sử tồn c{c số nguyên dương x v| y thỏa mãn
p x
2
2
p y
Đặt p 2x 1 p2 1 2y 22
Lấy hiệu theo vế hai đẳng thức cho ta p p 1 2 y x y x 3 Suy ta y x y x p 4 Mặt kh{c từ 1 ta thấy p l| số lẻ v| x 1 Do ta có p 2x x2x2 x nên p x
Từ 2 ta lại có y nên p2 1 2y2 y2y2 y21 suy p y
Từ 3 ta suy y x Từ ta y x p Chú ý p l| l| số nguyên tố lẻ nên từ 4 ta suy x y p Mà ta lại có x y 2p nên ta x y p
Thay vào 3 ta p y x Từ suy y x p 1
2 nên ta
p 3p
x ; y
4
Thay x p 1
4 vào 1 ta
2
2
p
p 2p 12p 14 p
4
Thay p vào 2 ta 72 1 2y nên y Vậy p thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Bài 23 Cho a, b, c l| c{c số nguyên cho 2a b,2b c,2c a l| c{c số phương a) Biết số ba số phương ln chia hết cho Chứng minh tích a b b c c a chia hết cho 27
b) Tồn hay không c{c số nguyên thỏa mãn điều kiện ban đầu cho
a b b c c a không chia hết cho 27
(19)a) Đặt x2 2a b; y 2b c; z 2c a x, y,z N
Khơng tính tổng qu{t ta giả sử z Ta có x2y2z2 3 a b c 3 nên 2
x y Đặt x 3t r; y 3h m với t,h N r,m 1; 0;1
Ta có x2y2 3 3t 23h32tr 2hm r2 m2 3 nên suy 2
r m Mà ta có r 2 m2 2 nên ta r2m2 0 suy m r 0
Do ta x v| y chia hết cho Từ ta 2a b; 2b c; 2c a chia hết cho
Lại có 2a b 3a a b ; 2b c 3b b c ; 2c a 3c c a
Nên ta a b; b c; c a chia hết cho Do ta a b b c c a 27 b) Xét bội số a 0; b 1; c Khi ta 2a b 1; 2b c 4; 2c a l| c{c số phương M| ta lại có a b b c c a 1 2 không chia hết cho 27
Vậy a 0; b 1; c l| số thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Bài 24 Tìm số nguyên dương n cho n 2n 1
26 l| số phương
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013 Lời giải
Giả sử tồn số tự nhiên q để Đặt n 2n 1 q
26 , ta
2
n 2n 26q Do vế phải số chẵn 2n 1 số lẻ nên n phải số chẵn Đặt n 2k k N Từ ta k 4k 1 13q2
Nhận thấy k; 4k 1 nên từ k 4k 1 13q2 ta được
2
k u
4k 13v
2
k 13u 4k v Với u v số tự nhiên
+ Xét trường hợp k u ; 4k 13v Khi ta 4k 13v 2 1 12v2v21 Từ suy v21 hay v chia dư 3, điều n|y vơ lí Do trương hợp khơng xẩy + Xét trường hợp k 13u ; 4k v 2 Khi ta 4k v 21, tương tự
(20)Vậy khơng tìm n thỏa mãn u cầu tốn
Bài 25 Tìm tất c{c hai số phương n; m m| số có chữ số, biết chữ số m chữ số tương ứng n cộng thêm với d, đ}y d l| số nguyên dương n|o cho trước
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013 Lời giải
Đặt n pqrs x , theo b|i ta có mp d p d r d s d y Trong x, y, p, q, r, s l| c{c số tự nhiên thỏa mãn
1 p p d 9; q q d 9; r r d 9; s s d Ta có
2
2
n x p.10 q.10 r.10 s
m y p d 10 q d 10 s d 10 s d
Khi ta có y x y x y2x2 d.1111 d.11.101
Từ phương trình suy số nguyên tố 101 l| ước y x y x Lại 103 n m 10 nên 32 x y 99 Do ta 64 x y 200
0 y x 67
Suy y x 101; y x 11.d Do x, y kh{c tính chắn lẻ v| d l| số lẻ
Do 64 2x 101 11d nên 11d 37 Suy d 3 nên ta d 1 d 3
+ Với d 1 x y 101; y x 11 suy x; y 45; 56 v| n; m 2025; 3136 + Với d 3 x y 101; y x 33 suy x; y 34 ; 67, n; m 1156 ; 4489 Vậy ta hai số n; m 2025; 3136 n; m 1156 ; 4489 thỏa mãn yêu cầu b|i toán
Bài 26 Tìm hai số nguyên a, b để a44b l| số nguyên tố.4
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013 Lời giải
(21) Trường hợp Xét
2 2
2
2 2
2 2
a b 1; b
a 2ab 2b a b b
a b 0; b
+ Với a b 2 1; b2 0 , ta b 0;a 1 nên M 1 l| số nguyên tố + Với a b 2 0; b2 1, ta a b 1 a b 1 nên M 5 l| số nguyên
tố
Trường hợp Xét
2 2
2
2 2
2 2
a b 1; b
a 2ab 2b a b b
a b 0; b
+ Với a b 2 1; b2 0 , ta b 0;a 1 nên M 1 l| số nguyên tố
+ Với a b 2 0; b2 1, ta a 1; b 1 a 1; b nên M 5 l| số
nguyên tố
Vậy c{c cặp số a; b cần tìm l| 1;1 , 1; , 1;1 , 1; 1
Bài 27 Số nguyên dương n gọi l| số điều hịa tổng bình phương c{c ước dương (kể v| n) n 2
a) Chứng minh số 287 l| số điều hòa
b) Chứng minh số n p (với p l| số nguyên tố) l| số điều hòa
c) Chứng minh số n p.q (với p v| q l| c{c số nguyên tố kh{c nhau) l| số điều hịa n 2 l| số phương
Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2012 – 2013 Lời giải
a) Dễ thấy 287 1.7.41 Ta có 287 3 2 2902 84100 12724122872 84100 Suy 287 3 2 12 72412287 nên 287 l| số điều hòa 2
b) Giả sử n p l| số điều hịa Vì p l| số ngun tố nên c{c ước dương n p
2
1; p; p ; p
(22)Do ta p m| p l| số nguyên tố nên p Khi p p 36p2p28 Do
đẳng thức không xẩy với p l| số nguyên tố Nên điều giả sử l| sai hay n p
không thể l| số điều hịa
c) Ta có n pq l| số điều hòa với p v| q l| c{c nguyên tố kh{c Do ta
2 2 2 2 2 2
pq p q pq pq p q
Ta có p q 2 nên p q 2 Do ta
2
p q n pq
2 l| số phương
Bài 28 Tìm c{c số nguyên tố p cho p p 2p3p l| số hữu tỷ
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2013 – 2014 Lời giải
Ta có 1 p p 2p3p l| số hữu tỷ 4 1 p p 2p3p4 n với n l| số tự nhiên 2
Do ta 4 4p 4p 4p34p4 4n 2
Để ý p2 4p34p4 4n2 4 4p 4p 24p34p45p nên ta 2
2 2 2 2 2 2 2
2p p 2n 2p p 2p p 2n 2p p
Do suy 2n 2p 2 p Thế v|o phương trình v| để ý p l| số nguyên tố ta
2 3 2 2
4 4p 4p 4p 4p 2p p p 2p p
Thử lại ta thấy với p p p 2p3p4 11 l| số hữu tỉ Vậy p l| số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Bài 29 Với số nguyên dương n ta ký hiệu Sn l| tổng n số nguyên tố sau
1
S 2; S 3; S 5; S 7;
Chứng minh dãy số S ; S ; S ; 1 2 3 không tồn hai số hạng liên tiếp l| c{c số phương
(23)Lời giải
Giả sử số nguyên tố thứ n l| pn Giả sử tồn số tự nhiên m để
*
m m
S k ; S l k; l N
Vì S1 2; S2 2 5; S3 2 10; S4 2 17 khơng phải l| c{c số phương nên m 4 Ta có pmSmSm 1 l k l k
Vì pm l| số nguyên tố nên l k 1; l k p m Suy pm 2l Sm 1 hay
2 m m
p
S
2
Vì m 4 nên ta có
m m m
2 2
2 2 2 m m m m
S p p
p p p p
1
2 2
Điều n|y m}u thuẫn với
2 m m
p
S
2 Vậy không tồn số thự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán
Bài 30 Cho M a 3a với a l| số nguyên dương a) Chứng minh ước M l| số lẻ
b) Tìm a cho M chia hết cho Với gi{ trị n|o a M l| lũy thừa
Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013 – 2014 Lời giải
a) Ta có M a 23a a 2 a 2a a a 1 2a 1 l| số lẻ Do ước M l| số lẻ
b) Ta lại có M a 23a 1 a22a 1 5aa 1 2 5a
Mà M 5a nên ta a 1 2 suy a Do a chia cho dư 1, tức l| tồn số tự nhiên k thỏa mãn a 5k 1
(24) 2 n 2 n n
5k 5k 1 25k 10k 15k 25k k 5
Nếu n 2 ta có 5 , mà n 25k k 5 2 M| không chia hết cho
5 nên đẳng thức không thỏa mãn
Vậy n 1 Từ ta có 25k k 1 với k l| số tự nhiên nên suy k 0 v| a 1 Do a 1 M l| lũy thừa
Bài 31 Cho x, y l| c{c số tự nhiên kh{c Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức A 362x5 y Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2013 – 2014
Lời giải
Đặt k 2x nên k l| số chẵn Ta tìm gi{ trị nhỏ A 36k5 y
Dễ thấy A 11 k 2; y hay x 1; y Ta chứng minh A 11 l| gi{ trị nhỏ A
Thật vậy, A 36k5 nên suy y A 36 k5 y A 5 y36 k Xét trường hợp A 36 k5 Khi ta thấyy A 36 k5 ln có chữ số tận l| y Nếu A 11 v| A có chữ số tận l| nên A 1 hay 36k5y 1
+ Nếu y l| số chẵn 36k 0 mod ; 5 y 1 mod nên 36k5y 2 mod
Mà 1 mod 3 nên phương trình vô nghiệm
+ Nếu y l| số lẻ 36k 0 mod ; 5 y 1 mod 4 nên 36k5y 3 mod 4 Mà 1 mod 4 nên phương trình vô nghiệm
Xét trường hợp A 5 y36 Ta thấy k A 5 y36 có chữ số tận l| k
Nếu A 11 v| A có chữ số tận l| nên A 9 hay 5y36k 9
Dễ thấy 36 chia hết cho k 5 không chia hết y 5y36k9 không chia hết cho
3
Do phương trình trình vơ nghiệm
Vậy gi{ trị nhỏ A l| 11 x 1; y
Bài 32 Tìm tất c{c cặp số nguyên dương a; b cho
a
(25)Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Ninh Bình năm học 2013 – 2014 Lời giải
Do
a
ab l| số nguyên nên suy
b a a ab 2 a b ab hay
2 a b ab
Do tồn số nguyên dương k cho a b k ab 2
Nếu k 2 từ a b k ab ta có a b ab 2 a b 1 , điều n|y m}u thuẫn a v| b l| c{c số nguyên dương Do ta k 1
Từ a b k ab 2 ta có a b ab 2 a b 2 2 Giải phương trình n|y với điều kiện a v| b nguyên dương a 3; b a 4; b Thử lại thấy có
a 4; b thỏa mãn đề b|i
Vậy số nguyên dương a; b 4; thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Bài 33 Giải phương trình nghiệm ngun 5x28y2 20412
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2013 – 2014 Lời giải
Trước hết ta nhận thấy số phương chia cho dư dư Do tổng hai số phương chia hết cho v| hai số chia hết cho
Ta có 5x28y2 204126x29y220412 x 2y2 3 2x 3y26804x2y Suy
2
2
2 1
2
1
x 3x x 9x
x x y
y 3y
y y 9y , ta
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
3 2.9x 3.9y 6804 9x 9y 2x 3y 756 x y
Suy
2 2
2 1 2
1 2
1
1
x x 3x x 9x
x y
y 3y
y y 9y , ta
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 2.9x 3.9y 756 9x 9y 2x 3y 84 x y
Suy
2
2
2 2 3
2 2 2
2
2
x 3x x 9x
x
x y
y 3y
y y 9y , ta
2 2 2 2
3 3 3 3 3
(26)Suy 8y23 28y32 3,5y32 0;1 y3 0;1 + Với y3 0 5x3 28, trường hợp n|y khơng xẩy + Với y3 1, ta x3 2; x3 2
+ Với y3 1, ta x3 2; x3 2
Khi ta x ; y3 3 2;1 , 2; , 2;1 , 2; Vì
1
1
x 3x 9x 27x
y 3y 9y 27y , ta x; y 54; 27 , 54; 27 , 54; 27 , 54; 27 Thử lại ta thấy phương trình nhận c{c nghiệm l|
x; y 54; 27 , 54; 27 , 54; 27 , 54; 27
Bài 34 Chữ số h|ng đơn vị hệ thập ph}n số M a 2ab b (với a, b l| c{c số tự
nhiên khác 0)
a) Chứng minh M chia hết cho 20 b) Tìm chữ số h|ng chục M
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013 – 2014 Lời giải
a) Vì số tận M l| nên M chia hết cho Xét c{c trường hợp sau
+ Cả a v| b l| số lẻ nên a b l| số lẻ, suy M l| số lẻ, trường hợp n|y không xẩy
+ Một hai số a v| b có số chẵn v| số lẻ, khơng tính tổng qu{t ta giả sử a l| số lẻ, b l| số chẵn Khi a l| số lẻ v| 2 b l| số chẵn nên M l| số lẻ, trường hợp n|y 2
cũng không xẩy
Do hai số a v| b l| số chẵn Khi M chia hết cho 4, từ suy M chia hết cho 20
b) Ta có a2 ab b 2a b a3b nên 3 a3 b3a3b3 5
Lại có a6a2 a a a a2 21 Tương tự ta có b6b 2
Do ta a2 b , từ ta ab a b 5 nên ta có
2 2
(27)Suy abM Từ suy ab.3ab nên ab
Ta có M a 2ab b suy bM ab a b b 53 Mà ab a b 5 nên b hay b 3
Suy
a M b a b nên a hay a nên M 25
Lại có v| 25 l| hai số nguyên tố nên M 100 hay số h|ng chục M l| Bài 35 Tìm c{c số tự nhiên a ;a ; ;a1 2 2014 thỏa mãn:
2
1 2014
2 2
1 2014
a a a a 2014
a a a a 2014
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học 2014 – 2015 Lời giải
Biến đổi c{c giả thiết b|i to{n ta có
2
1 2014
1 2014
2 2 2 2
1 2014 2014
2 2
1 2014 2014
2.2014 a a a a 2.2014.2014
a a a a 2014
a a a a 2014 a a a a 2014
a a a a 2.2014 a a a a 2014 2.2014.20
2
2 2 2
1 2014 2014
2 2
1 2014
14
a a a a 2.2014 a a a a 2014.2014
a 2014 a 2014 a 2014
Ta xét c{c trường hợp sau
Trường hợp Nếu a12014 2 a220142 a201420142 1 Khi
1 2014
a ;a ; ;a l| c{c số tự nhiên v| a120142 0; a 220142 0; ; a 201420142 0 Từ suy 2014 số phương a12014 ; a 2 22014 ; ; a2 20142014 có 2 số nhận gi{ trị l| v| c{c số cịn lại nhận gi{ trị l| 2014 Khơng tính tổng qu{t ta giả sử
1 2014
2
1 2014
2 2014
a 2014 a 2013; a a a 2014
a 2015; a a a 2014 a 2014 a 2014
Thử lại c{c trường hợp ta thấy không thỏa mãn
Trường hợp Nếu a12014 2 a220142 a201420142 0 Khi ta
2 2 2
1 2014
a 2014 a 2014 a 2014
(28)Bài 36 Tìm tất c{c ba số nguyên tố p; q; r cho pqr p q r 200
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014 – 2015 Lời giải
Khơng tính tổng quát ta giả sử p q r Viết lại phương trình cho dạng
rq p 1 r q 1 202 1
Nếu p lẻ q, r lẻ, rq p 1 r q 1 , 202 không chia hết cho 4, vô lý Do p
Với p 1 trở thành 2rq r q 202 4rq 2r 2q 405 2q 2r 1 5.34 Do 2q 2r nên 92q 1 2 2q 2r 1 405 nên 2q 20
Từ 2q l| ước 5.3 nên 2q 1 3; 5; 9;15
+ Nếu 2q q2 r 68 Ta thấy r 68 không số nguyên tố + Nếu 2q q3 r 41 số nguyên tố
+ Nếu 2q q5 r23đều số nguyên tố + Nếu 2q 15 q khơng số nguyên tố
Vậy tất ba số nguyên tố phải tìm p; q; r 2; 5; 23 , 2; 3; 41 hoán vị Bài 37 Cho a, b, c, d l| c{c số nguyên dương thỏa mãn a2ab b c2cd d
Chứng minh a b c d l| hợp số
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2014 – 2015 Lời giải
Biến đổi giả thiết tốn ta có
2 2
2 2
a ab b c cd d a b ab c d cd a b c d a b c d ab cd
Đặt s a b c d Giả sử s p l| số nguyên tố a b c d mod p Khi từ đẳng thức suy ab cd mod p nên ab c a b c 0 mod p hay
(29)Vì p l| số nguyên tố nên suy a c mod p b c mod p Điều n|y vơ lý
1 a c b c p (a, b, c, d c{c số nguyên dương v| có tổng p) Vậy s 1 v| không l| số nguyên tố nên s phải l| hợp số
Bài 38 Chứng minh p l| số nguyên tố lớn p p chia hết cho 24 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 – 2015
Lời giải
Vì p l| số nguyên tố lớn nên ta p 3k p 3k với k l| số tự nhiên khác
+ Nếu p 3k 1 p p – 1 3k 3k chia hết cho + Nếu p 3k 2 p p – 1 3k 3k 1 chia hết cho Vậy p l| số nguyên tố lớn p p – 1 chia hết cho
Mặt kh{c p l| số nguyên tố lớn nên p l| số lẻ Suy p 1và p l| hai số chẵn liên tiếp
Đặt p – 2n nên p 2n , ta có p p – 1 2n 2n 2 4n n
Do n n chia hết 4n n chia hết cho Do p p – chia hết cho Vì v| l| hai số nguyên tố ta p p – 1 chia hết cho 24
Bài 39 Tìm c{c nghiệm nguyên phương trình x3y – 3xy – 3
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 – 2015 Lời giải
Biến đổi phương trình cho ta có
3
3 2
2
2
x y 3xy x y 3x y 3xy 3xy x y x y x y 3xy x y
x y x y x y 3xy Vì x, y ngun nên có trường hợp sau
+ Trường hợp Với
x y x y 3 x 1; y 2
(30)+ Trường hợp Với
x y x y
1 xy
x y x y 3xy
3
(Trường hợp n|y loại)
+ Trường hợp Với
x y 1 x y 0 x 1; y 1
xy x 1; y
x y x y 3xy
+ Trường hợp Với
x y
x y 1
11 xy
x y x y 3xy
3
(Trường hợp n|y loại)
+ Trường hợp Với
x y x y 3
xy
x y x y 3xy (Hệ khơng có nghiệm
ngun)
+ Trường hợp Với
x y
x y
32 xy
x y x y 3xy
3
(Trường hợp n|y loại)
Vậy phương trình có c{c nghiệm nguyên x; y 1; , 2;1 , 1; , 1;1 Bài 40 Cho a, b, c l| c{c số nguyên thỏa mãn điều kiện 1 1
a b c a) Chứng minh a b l| số nguyên tố
b) Chứng minh c 1 a c b c không đồng thời l| số nguyên tố Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2014 – 2015
Lời giải a) Từ 1 1
a b c ta c a b abdo ab a b Giả sử a b l| số nguyên tố Khi a a b nên a, a b 1 mà ab a b nên a a b , điều n|y vô lí Do a b khơng thể l| số ngun tố
b) Ta có c a b abbc ab ac ab bc 2ab ac b a c a 2b c b a c a Tương tự ta có a b c b 2a c a b a b
Giả sử a b b c l| số nguyên tố a a c nên a,a c 1, tương tự ta có
b, b c 1 mà b a c a nên suy b a Lập luận tương tự ta a b
(31)Vậy c 1 a c b c không đồng thời l| số nguyên tố
Bài 41 Tìm c{c số tự nhiên x v| y thỏa mãn 2x1 2 x2 2 x3 2 x 4 5y 11879
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Phú Thọ năm học 2015 – 2016 Lời giải
Biến đổi phương trình cho ta
y
x x x x
y
x x x x x x x
2 2 11879 2 2 11879.2 Xét y , từ phương trình ta
2x1 2 x2 2 x3 2 x 4 1 118792x1 2 x2 2 x3 2 x411880
Đặt t2 t l| số tự nhiên kh{c v| phương trình trở th|nh x
t t t t 4 9.10.11.12 t 8 2x 8 x 3
Xét y , 2x x1 2 x2 2 x3 2 x 4 chia hết cho v| x y 11879.2 x không chia hết cho Nên trường hợp n|y khơng có nghiệm
Vậy ta tìm x; y 3; thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Bài 42 Tìm c{c số nguyên x v| y thỏa mãn x4x2y2 y 20
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2015 – 2016 Lời giải
Phương trình tương đương với x4x220 y 2y
Ta thấy x4x2 x4x220 x 4x220 8x x x2 2 1 y y 1 x24 x 25
Vì x v| y l| c{c số nguyên nên ta xét c{c trường hợp sau
Trường hợp Khi y y 1 x21 x 22 ta có phương trình
4 2
x x 20 x 3x 2x 18 x x
Với x2 9 ta có y2 y 92 9 20y2 y 110 0 y 10; y 11 (thỏa mãn)
Trường hợp Khi y y 1 x22 x 23 ta có phương trình
4 2
x x 20 x 5x 4x 14 x
(32)Phương trình khơng có nghiệm ngun
Trường hợp Khi y y 1 x23 x 4 ta có phương trình
4 2 2
x x 20 x x 6x x
3 Phương trình khơng có nghiệm ngun
Trường hợp Khi y y 1 x2 4 x 25 ta có phương trình
4 2 2
x x 20 x x 8x x x
Với x2 0 ta có y2 y 20y2 y 20 0 y 5; y thỏa mãn
Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên l|
x; y 3;10 , 3; 11 , 3;10 , 3; 11 , 0; , 0; 4
Bài 43 Tìm c{c số nguyên k để k48k323k226k 10 l| số phương
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2015 – 2016 Lời giải
Đặt M k 48k323k226k 10 Ta có
4 2
2 2 2
2
M k 2k 8k k 2k 9k 18k
k 8k k k k k
Khi M l| số phương v| k 1 2 0 k 3 21 l| số phương
Trường hợp Với k 1 2 0 Khi ta k 1 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Trường hợp Với k 3 21l| số phương Khi ta đặt k 3 2 1 m với m 2
l| số nguyên Từ ta m2k 3 2 1 m k m k 3 1
Vì m v| k l| c{c số nguyên nên m k 3 m k 3 l| c{c số nguyen Từ ta
m k
m k
m k
(33)Vậy k 1 k 3 k48k323k226k 10 l| số phương
Bài 44 Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình:
3
x y z
x y z
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Khánh Hòa năm học 2015 – 2016 Lời giải
Ta có x3y3 x y 2 x y x xy y 2 x y0
Vì x, y nguyên dương nên x y Do từ phương trình ta có
2 2
2 2
x xy y x y x xy y x y x y x y
Vì x y l| c{c số nguyên nên có ba trường hợp sau
Trường hợp Với x y 0; x 1 2 y 1 2 1 ta x y 2; z Trường hợp Với x 0; x y 2 y 1 2 1 ta x 1; y 2; z Trường hợp Với y 0; x y 2 x 1 2 1 ta y 1; x 2; z Vậy hệ phương trình cho có nghiệm l| x; y; z 1; 2; , 2;1; , 2; 2; 4 Bài 45 a) Tìm c{c số nguyên a, b, c cho a b c 0 ab bc ca
b) Cho m l| số nguyên, chứng minh tồn c{c số nguyên a, b, c kh{c cho a b c 0 ab bc ca 4m 0 tồn c{c số nguyên a', b', c' kh{c cho a' b' c' a' b' b'c' c'a' m 0
c) Với k l| số nguyên dương, chứng minh không tồn c{c số nguyên a, b, c khác cho a b c 0 ab bc ca k
Trích đề TS lớp 10 trường PTNK ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2015 – 2016 Lời giải
a) Ta có
2 2
2 2
a b c ab bc ca
a b c
a b c
ab bc ca ab bc ca
Vì a, b, c l| c{c số nguyên v| a , b ,c l| c{c số phương nên ta 2
2 2
(34)b) Nếu a b c 0 ba số a, b, c có hai số lẻ v| số chẵn ba số chẵn
Nếu có hai số lẻ v| số chẵn, khơng tính tổng qu{t ta giả sử a, b lẻ v| c chẵn Khi ta a 2a '1; b 2b '1; c 2c a ; b ; c ' ' ' 'Z Suy ta có
2 2 ' 2 ' 2 ' 2 '2 '2 '2 ' '
0 a b c 4m 2a 2b 2c 4m a b c a b m
Dễ thấy chia hết cho v| a '2b'2c'2 a' b' m2 không chia hết cho Điều n|y dẫn đến m}u thuẫn Vậy trường hợp n|y không xẩy
Do ba số a, b, c chẵn, ta chọn ' a ' b ' c
a ; b ; c
2 2 suy
' ' '
a b c V| ta có a b' 'b c' 'c a' 'mab bc ca m 4mm 0
4
Như c{c số a ; b ; c thỏa mãn yêu cầu b|i to{n ' ' '
c) Nếu a b c 0 ab bc ca 2 k 0 tương tự c}u a ta có a2b2c2 2.2k 2k 1
Do a, b, c l| c{c số nguyên nên a2b2 c2 3 nên k 2 , suy 4k
Vì a b c 0 nên ba số a, b, c có hai số lẻ v| số chẵn ba số chẵn Trường hợp Giả sử ba số a, b, c a, b l| số lẻ v| c l| số chẵn
' ' ' ' ' '
a 2a 1; b 2b 1; c 2c a ; b ; c Z
Ta có 0 a 2b2c2 2a'1 2 2b'1 2 2c' 4 a'2b'2c'2 a' b'2
Dễ thấy chia hết cho v| 4 a '2b'2c'2 a' b'2 không chia hết cho Điều n|y dẫn
đến m}u thuẫn Vậy trường hợp n|y không xẩy
Trường hợp Cả ba số a, b, c chẵn Khi gọi p l| số tự nhiên lớn cho ba số a, b, c chia hết cho 2p Nghĩa l| a a ; b b ; c c 2 ' p ' p ' p với a ; b ; c l| c{c số ' ' ' nguyên v| có số lẻ Khi ta
2p k 2p
2 2 k '2 '2 '2 k '2 '2 '2
a b c a b c 2 a b c
Tương tự ta a ; b ; c khác nên ' ' ' k 2p nên 2k 2p 4
Mà a ; b ; c kh{c rong có số lẻ nên ' ' ' '2 '2 '2
(35)Vậy không c{c số nguyên a, b, c kh{c thỏa mãn yêu cầu b|i to{n
Bài 46 Tìm số tự nhiên bé có bốn chữ số biết chia cho số dư v| bình phương chia cho 11 số dư l|
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Đăk Lăk năm học 2015 – 2016 Lời giải
Gọi x l| số cần tìm x N;1000 x 9999 Vì
x chia 11 dư nên x chia 11 dư dư
Trường hợp Nếu x chia 11 dư suy x 11 nên x 66 11 hay x 61 11 Lại có x chia dư nên x 7 nên x 63 hay x 61 Do ta x 61 l| bội chung v| 11 nên ta x 61 77k k N
Vì 1000 x 9999 1000 77k 61 9999 14 k 130
M| x bé nên ta chọn k 14 suy x 77.14 61 1017
Trường hợp Nếu x chia 11 dư dư suy x 11 nên x 11 11 hay x 11 Lại có x chia dư nên x 7 nên x 7 hay x Do ta x 5 l| bội chung v| 11 nên ta x 77k k N
Vì 1000 x 9999 1000 77k 9999 14 k 129
M| x bé nên ta chọn k 14 suy x 77.14 1073 Vì 1073 1017 nên số phải tìm l| 1017
Bài 47 Cho dãy số tự nhiên 2; 6; 30; 210; x{c định sau: Số hạng thứ k tích k số nguyên tố đầu tiênk 1; 2; 3; Biết có hai số hạng dãy số có hiệu 30000 Tìm hai số hạng
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015 – 2016 Lời giải
Xét dãy số có dạng 2; 2.3; 2.3.5; Giả sử hai số cần chọn l| a 2.3.5 p ; b 2.3.5 p với n m
n m
p ; p n m l| c{c số nguyên tố thứ n v| thứ m Từ ta có
m n n n 1 n 2 m
(36)Ta thấy 2.3.5.1000 tồn ước nên a v| b có chữa số ngun tố nên pn 3 1000 khơng có ước nguyên tố kh{c v| nên a ước kh{c v| nên pn 5 Từ ta
+ Nếu pn 3 ta pn 1 pn 2 pm 10000 , không tồn p thỏa mãn m + Nếu pn 5 ta pn 1 pn 2 pm1001 7.11.13 pm13, từ ta
a 2.3.5 30; b 2.3.5.7.11.13 30030 Bài 48 Tìm c{c số nguyên x,y thoả mãn 3 2
2x 2x y x 2xy x 10
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Phú Thọ năm học 2016 – 2017 Lời giải
Phương trình cho có bậc ba ẩn x v| có bậc ẩn y nên ta khơng thể sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai Do ta ý đến ph}n tích phương trình dạng phương trình ước số Ta có
2
2
2
2
2
2x x y 2x x y x x 10
2 x y x x x x 10 x x
2x 2x y x 2xy x
y
2 x 10
Nhận thấy 10 1.10 2.5 ( 1)( 10) ( 2)( 5) , x2 x x x 1 l| số chẵn v| 2 x y 1
l| số lẻ Đồng thời ta có
2
2 1
x x x x x
2
Từ c{c nhận xét ta thấy có c{c trường hợp
2
x x 10
2 x y 1
2
x x
2 x y
+ Trường hợp Với
2
x x 10
2 x y 1 Phương trình
2
x x 10 khơng có nghiệm nguyên
+ Trường hợp Với
2 x
x x x 1; y
x
x 2; y
2 x y
x y
Vậy có hai số nguyên x; y thỏa mãn l| 1; , 2; 5 Bài 49
a) Tìm dạng tổng qu{t số nguyên dương n biết M n.4 n3 chia hết cho n b)Tìm c{c cặp số x; y nguyên dương thoả mãn phương trình:
(37)Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2016 – 2017 Lời giải
a) Tìm dạng tổng qu{t số nguyên dương n biết M n.4 n3 chia hết cho n Ta xét c{c trường hợp sau
+ Trường hợp Với n l| số chẵn, n 2k với k nguyên dương Khi ta có M 2k.4 2k32k 2k.16k9 k
Ta có 16 v| dư với chia nên 16 k có số dư với k 2k chia cho Do M dư với 2k.2k2k2 2k chia k 2k 1 chia hết cho hay
k chia dư 3, suy ta k 7p với p l| số tự nhiên, từ ta n 14p + Trường hợp Với n l| số lẻ, n 2k 1 với k nguyên dương
Khi ta có M2k 4 2k 1 32k 1 4 2k 16 k3.9k
Do ta M dư với k k k
k 3.2 k chia cho
Do k chia hết cho hay k 7q với q l| số tự nhiên Từ ta n 14q Vậy n 14p n 14q 1, với p q l| c{c số tự nhiên
b)Tìm c{c cặp số x; y nguyên dương thoả mãn x24y228 17 x2 4y4238y2833
Phương trình cho có bậc cao v| lại l| bậc chẵn nên ta nghĩ đến ph}n tích th|nh c{c bình phương Để ý 833 17.7 238 2.17.7 nên ta biến đổi tương đương phương trình ta
2
2 4
2 2
2 4 2
2
2 2
x 4y 28 17 x y 238y 833
x y 17 x y 16x 8x y y
4x y 4x y 2x y 2x y
Vì x v| y l| c{c số nguyên dương nên 2x y 2x y 2x y Do từ phương trình ta suy
2x y x
2x y y
(38)Bài 50 Tìm c{c số nguyên dương x; y; z biết 1 1 1 x y z
x y z x y z
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Quốc Học Huế năm học 2016 – 2017 Lời giải
Nhìn giả thiết 1 1 1
x y z ta khơng thể khai th{c điều nên ta chuyển sang khai th{c
x y z x y z Căn thức vế tr{i gợi cho ta ý tưởng bình phương
x y z x y z xy yz xz
2y xy yz xz y x y z
Đến đ}y cần xét trường hợp kết hợp với giả thiết 1 1 1
x y z l| giải b|i toán
+ Xét x y xy suy 2 1 2z x xz 0 x z 1 x z
Vì x, y nguyên dương nên ta có c{c trường hợp sau Trường hợp Với
x 2 x
x y 4; z
z 1 z
Trường hợp Với
x x
x y z
z z
+ Xét y z, vai trị x v| z nên ta chọn thêm cặp l| 2; 4; 4 Vậy nghiệm nguyên dương thỏa mãn l| x; y; z 4; 4; , 2; 4; , 3; 3;
Bài 51 Tìm tất c{c cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn 2 xx 9y26y 16
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học 2016 – 2017 Lời giải
Ta có 9y2 6y 16 mod 3 nên 2 xx 1 mod 3
Mà x2 0;1 mod nên
x
2 mod x mod
+ Nếu x lẻ, ta đặt x 2k k N 2x2.4k 2 mod 3 , điều n|y vơ lí, suy loại x lẻ + Nếu x chẵn, ta đặt x 2k k N 2x4k 1 mod 3 , điều n|y Do x chẵn
2
x 2 k k k
(39)Vì y,k N nên 2k.2k3y 2k.2 k3y Vậy ta có c{c trường hợp Trường hợp
k k
k
2k.2 3y 1 2k.2
k N 3y
2k.2 3y 15 (loại) Trường hợp
k k
k
2k.2 3y 2k.2 k y 3y 1
2k.2 3y
Vậy cặp số nguyên dương thỏa mãn b|i to{n l| x; y 2;
Bài 52 Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 12n 1 l| số nguyên Chứng minh
2
2 12n l| số phương
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học 2016 – 2017 Lời giải
Do 2 12n 21 l| số nguyên, m| 12n21 l| số lẻ nên tồn số tự nhiên k thỏa mãn
2 2
12n 2k 12n 4k 4k k k 3n
Vì k; k 1 nên xảy trường hợp:
Trường hợp
2
2 2
2
k a
a, b N a 3b mod a mod
k 3b (vơ lí)
Trường hợp
2
2 2
2
k 3a
b b 3n
k b Từ suy
2 4 2 2 2
2 12n 2 4b 4b 2 2b 4b 2b
Do 2 12n 21 l| số phương
Bài 53 Tìm tất c{c cặp số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức sau x42x2 y 3
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2016 – 2017 Lời giải
Ta có x42x2 y3 x42x2 1 y3 1 x212 y y – y Gọi dy 1; y 2 y Khi ta có y 1 2 d y2 y d nên ta
(40) Khi d ta x212 y y – y nên x212 9x21 Điều n|y vơ lý số phương chia cho khơng thể có số dư l|
Khi d ta y d , kết hợp với y d ta suy d 1 Do y 1; y – y 1
Khi y y – y l| số phương nên ta đặt y a ; y – y b 2 a, b l| c{c số nguyên dương v| a; b 1 Tứ ta
2 2 2
b a – a 4b 4a 12a 12 2b – 2a 2b 2a 3
Vì 2b 2a232 2b 2a 23 nên ta xét c{c trường hợp sau
+ Trường hợp Với
2
2
b 2b 2a
a
2b 2a 3 , hệ khơng có nghiệm nguyên + Trường hợp Với
2
2
2
b y 1
2b 2a 3 a
x y b
a y – y 1
2b 2a
Thử lại v|o phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm l| 0;
Bài 53 Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa mãn c{c điều kiện a b c bc 1 chia hết cho a, ca 1 chia hết cho b, ab 1 chia hết cho c
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2016 – 2017 Lời giải
Do a, b, c l| ba số nguyên tố thỏa mãn a b c nên a 2, b 3,c Từ ta suy
ab bc ca Từ giả thiết ta lại có ab c nên ab bc ca c Tương tự ab bc ca a, ab bc ca b
Vì a, b, c l| số nguyên tố ph}n biệt nên a, b, c đôi nguyên tố
ab bc ca abc ab bc ca abc
(41)Nếu b 5 ta có bc 5c 2b 2c 1 (m}u thuẫn) Do b 3 Suy ra, ab c nên c5
Thử lại a 2; b 3; c thỏa mãn b|i to{n Vậy a 2; b 3; c Bài 55 Cho c{c số nguyên dương a, b thỏa mãn a 2 b 3
b a l| số nguyên dương Gọi d l| ước chung lớn a v| b Chứng minh d2 2a 3b
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Bắc Ninh năm học 2016 – 2017 Lời giải
Vì d l| ước chung lớn a v| b nên tồn c{c số tự nhiên a ; b1 1 thỏa mãn c{c điều kiện a da ; b db 1 1 a ; b1 11
Đặt a 2 b 3 k
b a ta
2
kab a 2a b 3b Từ ta
2 2 2 2
1 1 1 1
kd a b d a d b 2a 3b 2a 3b d ka b a b
Do a, b, k l| c{c số nguyên dương nên suy ka b1 1a12b l| số nguyên dương 12 Từ ta 2
1 1
ka b a b Như từ 2 2 2
1 1
2a 3b d ka b a b ta
2
2
1 1
2a 3b 2a 3b
d 2a 3b
1
ka b a b
Vậy b|i to{n chứng minh xong
Bài 56 Cho x, y l| hai số nguyên dương thỏa mãn x2y2 10 chia hết cho xy a) Chứng minh x v| y l| hai số lẻ v| nguyên tố
b) Chứng minh
2
x y 10
k
xy chia hết cho v| k 12
Trích đề TS lớp 10 trường PTNK Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2016 – 2017 Lời giải
a) Chứng minh x v| y l| hai số lẻ v| nguyên tố
Giả sử hai số x v| y có số chẵn, v|i trị x v| y nên khơng tính tổng qu{t ta giả sử x l| số chẵn Khi x2y210 chia hết cho xy nên x2y2 10
chia hết cho Từ dẫn đến y chia hết cho Từ suy 2 x2y210 chia hết
(42)Gọi d x; y , x dx ; y dy 0 0 với x ; y0 0N, x ; y 0 01 Từ ta có 2 2 2
0
x y 10 d x d y 10 chia hết cho 0
d x y nên suy 10 chia hết cho
2
d nên suy d 1 hay x v| y nguyên tố b) Chứng minh
2
x y 10
k
xy chia hết cho v| k 12
Đặt x 2m 1; y 2n m,n N Khi ta có
2
4 m n m n
k
2m 2n
Do 2m 2m 1 nên suy m2 n2 m n chia hết cho 2m 2n 1
Hay ta
2
m n m n
2m 2n l| số nguyên Từ suy k chia hết cho
Cũng từ
2
x y 10
k
xy ta
2
x y 10 kxy Nếu hai số x v| y có số chia hết cho 3, khơng tính tổng qu{t ta giả sử số l| x Khi ta suy
2
y 10 chia hết y2 1 chia hết cho hay y chia dư 2, điều n|y vơ lý 2 y 2
chia dư dư Do x v| y không chia hết cho Suy x ; y chia có số 2 dư l| Do ta x2y210 kxy chia hết cho M| ta lại có 3; xy1 nên k chia hết cho
Kết hợp với k chia hết cho ta suy k chia hết cho 12 Do k 12 Bài 57 Tìm tất c{c số có chữ số abcde thỏa mãn 3abcde ab
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Thái Nguyên năm học 2016 – 2017 Lời giải
Ta có abcde 1000ab cde Mà ta có 3abcde ab hay ta có abcde ab nên suy 1000ab cde ab
Đặt x ab y cde , ta có abcde 1000x y với y 1000 Từ giả thiết 3abcdeab ta có 31000x y x 1000x y x 3
Do y nên từ phương trình ta suy 1000x x 31000 x nên ta
x 32
Mặt kh{c y 1000 nên ta lại có
3
(43)Từ ta suy x 32 Nên ta
x 32768 hay abcde 32768
Bài 58 Cho a, b, c l| c{c số nguyên dương nguyên nguyên tố thỏa mãn
1 1
a b c Chứng minh a b l| số phương
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Thái Nguyên năm học 2016 – 2017 Lời giải
Từ 1 1
a b c ta
a b
c a b ab ab ac bc
ab c
Từ ta ab ca bc c c2 a c b c c2
Gọi da c; b c , ta có c d nên c d , từ dẫn đến 2 a d; b d M| a, b, c nguyên tố nên ta d 1
Do ước chung lớn a c b c l| M| ta lại có a c b c c nên suy
a c b c l| c{c số phương
Đặt a c m ; b c n m,n N Khi ta có 2 * c2 a c b c m n2 2 c mn
Từ ta có 2 2
a b a c b c 2c m n 2mn m n
Vậy a b l| số phương
Bài 59 Tìm c{c cặp số nguyên x; y thỏa mãn x x x 24y y
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Bình Dương năm học 2016 – 2017 Lời giải
Biến đổi phương trình cho ta
2 3 2 2 2 2
x x x 4y y x x x 4y 4y x x 2y Do x, y l| c{c số nguyên nên 2y 1 2 0 v| l| số lẻ
Do x x 21 l| số lẻ, suy x l| số chẵn v| không }m Gọi dx 1; x 21 ,
ta có d l| số lẻ
Ta có
2
2 2
x d
x d x 2x d
2x d d
(44)Do x 1; x 1 1 , m| ta lại có x x 1 l| số phương nên x x21
là số phương
Do x 0 nên ta có 2
x x x , từ ta x2 1 x 1 2 2x 0 x Khi x 1 l| số phương
Thay x 0 v|o phương trình cho ta 4y y 1 y 0;1 Vậy phương trình cho có c{c nghiệm l| x; y 0; , 0;1
Bài 60 Với n N , xét hai số an 22n 1 2n 1 1 bn 22n 1 2n 1 1 Chứng minh có v| hai số chia hết cho
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Bình Định năm học 2016 – 2017 Lời giải
Ta có 22n 1 2.22n 2 2 n 2 2n 1 2.2 Với n k N ta ln có
k k
4k k
k k
4k k
k k
4k k
k k
4k k
2 16 15 1 mod
2 2 2.16 15 mod
2 4.16 15 mod
2 8.16 15 mod
Ta xét c{c trường hợp sau
Trường hợp Với n chia hết cho 4, ta n 4k k N Khi 22n 1 2 2 n 2 2 4k 2.1 mod 52 2 mod
Lại có 2n 1 2.2n 2.24k 2.1 mod 5 2 mod 5 Từ ta
2n n n
2n n n
a 2 2 mod
b 2 2 mod mod
Như hai số an bn an chia hết cho
Trường hợp Với n chia dư 1, ta n 4k k N Khi 22n 1 2 2 n 2 2 4k 1 2 2.2 mod 52 3 mod
(45)
2n n n
2n n n
a 2 mod mod
b 2 mod mod
Như hai số an bn bn chia hết cho
Trường hợp Với n chia dư 2, ta n 4k k N Khi 22n 1 2 2 n 2 2 4k 2 2 2.4 mod 52 2 mod
Lại có 2n 1 2.2n 2.24k 2 2.4 mod 5 3 mod 5 Từ ta
2n n n
2n n n
a 2 mod mod
b 2 mod mod
Như hai số an bn bn chia hết cho
Trường hợp Với n chia dư 3, ta n 4k k N Khi 22n 1 2 2 n 2 2 4k 3 2 2.3 mod 52 3 mod
Lại có 2n 1 2.2n 2.24k 3 2.3 mod 5 1 mod 5 Từ ta
2n n n
2n n n
a 2 1 mod mod
b 2 1 mod mod
Như hai số an bn an chia hết cho
Vậy với n N có v| hai số chia hết cho
Bài 61 Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng chữ số đơn vị số tạo th|nh l| số phương có bốn chữ số
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Bình Định năm học 2016 – 2017 Lời giải
Gọi số phương có bốn chữ số cần tìm l| abcd a 8,0 b,c,d
Đặt k2 abcd k N , ta có * 1000 k 999931 k 100 Khi tăng chữ số abcd đơn vị ta a b c d a abcd 1111
Đặt a b c d a m m N2 *, ta có m2 k21111 Do ta m k m k 1111 1.1111 11.101
(46)+ Trường hợp Với
m k m 556
m k 1111 k 555 , loại k khơng thỏa mãn 31 k 100 + Trường hợp Với
m k 11 m 56
m k 101 k 45 , thỏa mãn điều kiện 31 k 100 Do số cần tìm l| abcd k 452 2025 a b c d a 562 3136 Bài 62 Tìm tất nghiệm nguyên dương x; y; z v| thỏa mãn x y z phương trình:
xyz xy yz zx x y z 2015
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên tỉnh Hưng Yên năm học 2016 – 2017 Lời giải
Biến đổi phương trình cho ta có
xy z y z x z z 2016 x y z 2016
x y z
Do x y z nên ta xyz xy yz zx x y z z 33z23z
Do 3 3
z 3z 3z 2015 z 2016 z 12 z 11
Vì z 8 nên ta z8; 9;10;11 Ta xét c{c trường hợp sau + Với z 8 , ta có phương trình x y 1
Vì nên từ phương trình ta
x 16 x 15
y 14 y 13
+ Với z 9 , ta có phương trình 10 x y 1 2 75 , dễ thấy phương trình vơ
nghiệm
+ Với z 10 , ta có phương trình 11 x y 1 75 , dễ thấy phương trình vơ nghiệm
+ Với z 11 , ta có phương trình 12 x y 1 2 75 x y 1 2 3.73
Vì x y z 11 nên từ phương trình ta
x 14 x 13
y 12 y 11
(47)Bài 62 Cho S l| tập c{c số nguyên dương n có dạng n x 23y , x, y l| c{c số 2
nguyên Chứng minh rằng: a) Nếu a, b S ab S
b) Nếu N S v| N l| số chẵn N chia hết cho v| NS
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm học 2016 – 2017 Lời giải
a) Nếu a, b S ab S
Ta có a, b S nên a m 23n 2 b p 3q với m, n, p, q l| c{c số nguyên Khi ta có 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
ab m 3n p 3q m p 3n p 3m q 9n q m p 6mnpq 9n q m q 2mnpq n p mp nq mq np
Do ab S
b) Nếu N S v| N l| số chẵn N chia hết cho v| NS
Do N S nên ta có N x 3y với x, y l| c{c số nguyên v| N l| số chẵn nên x, y có tính chẵn lẻ Ta xét c{c trương hợp sau
+ Xét trường hợp x v| y l| số chẵn Khi dễ thấy N chia hết cho Đặt x 2a; y 2b a, b Z , N a23b2
4 nên
N S
+ Xét trường hợp x v| y l| số lẻ Khi đặt x 2a 1; y 2b a, b Z
Ta có N x 23y2 2a 1 23 2b 1 2 4a24a 12b 212b nên N chia hết cho Mặt kh{c x, y l| c{c số lẻ nên x2y nên x 3y x 3y
Với x 3y ta
2
x 3y x y
N
3
4 4 nên
N S Với Với x 3y ta
2
x 3y x y
N
3
4 4 nên
N S Vậy b|i to{n chứng minh
Bài 64 Tìm c{c số nguyên m, n với m n 0 cho m 2n l| ước 3
2 2
9n m mn n 16
(48)Ta có
2 2 3 2 2 3 3
A 9n m mn n 16 m 2n n 3n m 3nm m 16 n m 16
Hay ta A 16 m n Mặt kh{c ta lại có 3
3 2 3
B m 2n m n 3n m n m n n 27 m n n 27n
Mà theo tốn ta có A l| bội B Để ý với A 0 với m, n Ta có A l| bội B nên ta suy A B
Xét m n 2 , m n 3 nên A m n 316
Từ ta m n 316m n 39 m n n 27 m n n 2 227n vơ nghiệm Từ ta m n 2m n 2 Đến đ}y ta xét trường hợp cụ thể ta c{c cặp m; n thỏa mãn toán 1; , 2; , 1; , 2;
Bài 65 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn S n n22017n 10 với S n l| tổng c{c chữ số n
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2017 – 2018 Lời giải
Vì n l| số tự nhiên v| S n l| tổng c{c chữ số n nên n 1 S(n) n Ta xét c{c trường hợp sau:
+ Trường hợp Nếu 1 n 2016 Khi ta có
2 S n n 2017n 10 n 2017n 2016 n n 2016 Trường hợp n|y không tồn n thỏa mãn S(n) 0
+ Trường hợp Nếun 2017 Khi ta
S n 10 S n 201722017.2017 10 10 (Thỏa mãn) + Trường hợp Nếun 2017 Khi
2 2
S n n 2017n 10 n 2017n n n 2017 n