Một số bài toán số học trong các kì thi olympic toán học doc

TrongkthiOlympictoỏnQuctlnth49ctchctiTõyBanNhacúbitoỏn sau(bitoỏn1)mtỏcgicanúlKestutisCesnavicius(Lithuania)(Litva). Bitoỏn1:Chngminhrngtntivụssnguyờndngnsaocho 2 1n + cúc nguyờntlnhn 2 2n n + Bitoỏnnylbitoỏnkhúnhtcangythithnht.Ligiicabitoỏn1cphỏt trintligiicacỏcbitoỏnnginhnsauõy: Bitoỏn2:Chngminhrngtntivụssnguyờndngnsaochon 2 +1khụnglc can!.(thichnituyncaInụnờxiadthiToỏnQuctnm2009). Ligiicabitoỏn2: B:Tntivụssnguyờntdng4k+1(k ẻ N * ) Chngminh:GiAltphpgmttcỏcsnguyờntdng4k+1(k ẻN * ),Khiú A ạ rngvỡ5 ẻ A.GisAltphuhn.Gip 0 lphõntlnnhtcaA ị p 0 5. Gisp 1 ,p 2 p n lttccỏcsnguyờntnhhnp 0 . t 2 2 2 0 1 4 1 n a p p p = + khi?a ẻ N * ,a>1.Gisqlcnguyờntcaa ị q ạ p i , " i ẻ {0,1,2,n}.Mtkhỏc(2p 0 p 1 p n ) 2 +1 0(modq) ị 1lschớnhphng(modq)vql. Suyra q q q q ị - ị = - ị = ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ - - 2: 2 1 1)1(1 1 2 1 ị )4(mod1 qcúdng4k+1(k ẻ N * ).Mtkhỏc q>p 0 .iunymõuthunvicỏchchnp 0 .Vytntivụssnguyờntdng4k+1 (kẻ N * ). Chỳngtachuynsangvicgiibitoỏn2.Gisplsnguyờntdng4k+1(k ẻ N * ) ị 11)1( 1 2 1 - ị = - = ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ - -p p lschớnhphng(modp) ị $n p ẻ {0,1,2.,p 1}saocho 2 p n ị - )(mod1 p 2 p n +1:pvn p !khụngchiahtchop đ n p !khụngchiahtcho 2 p n +1.Tacú: 2 p n +1 p ị n p 1 -p .Vỡtntivụssnguyờntp dng4k+1(kẻ N * )nờntntivụssnguyờndngnsaochon 2 +1khụnglccan! www.laisac.page.tl M M M T T T S S S B B B I I I T T T O O O N N N S S S H H H C C C T T T R R R O O O N N N G G G C C C C C C K K K è è è T T T H H H I I I O O O L L L Y Y Y M M M P P P I I I C C C T T T O O O N N N TrnXuõnỏngNamnh Bàitoán3: Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochoướcnguyêntốlớn nhấtcủan 2 +1 lớnhơn2n (TạpchíAnimathcủaPhápnăm 2006) Lờigiảicủabàitoán3: Giảsửplàsốnguyêntốdạng4k+1(k Î N * ) Suyra 11)1( 1 2 1 - Þ = - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - -p p làsốchínhphương(modp) Þ $x Î {0,1,2,…,p1}saochox 2 º 1(modp). Tacó:q 2 º (pq) 2 (modp)(q Î Z) Þ $q Î {0,1,2,…, 2 1 -p }saochoq 2 º1(modp). Thậtvậygiảsử 2 1 -p <x<p Þ x ³ 2 1 +p .Đặtq=p –x,tacó: q 2 =(p –x) 2 º x 2 º 1(modp)và0<q £ 2 1 -p .Tacó:q 2 +1M pvà p ³2q+1>2q.Suyraướcnguyêntốlớnnhấtcủaq 2 +1lớnhơn2q.Vìcóvôsốsốnguyêntố dạng4k+1(k Î N * )nêntồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochon 2 +1cóướcnguyêntốlớn hơn2n. Sauđâylàcáclờigiảicủabàitoán1 Lờigiảithứ nhấtcủabàitoán1:Xétsốnguyêntốpdạng4k+1(k Î N * ) Þ 11)1( 1 2 1 - Þ = - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - -p p làsốchínhphương(modp) Þ $x Î {0,1,2,…p 1}saochox 2 º 1(modp). Vìx 2 º (px) 2 (modp)(x Î Z) Þ $x Î {0,1,2…, 2 1 -p }saocho x 2 º1(modp). Þ $ a Î {0,1,2,…, 2 1 -p }saocho ÷ ø ö ç è æ - - a  2 1p 2 º1(modp) Đặtm= ÷ ø ö ç è æ - - a  2 1p Þ m Î {0,1,2,…, 2 1 -p }vàm 2 º1(modp) Giảsửp>20.N?u0£ a £ Þ - + 4 314p 0<2 a +1 £ Þ - + 2 114p (2 a +1) 2 <p4Vìm 2 º1(modp)nên4m 2 º4(modp) Mặtkhác4m 2 =(p–12 a ) 2 º (2 a +1) 2 (modp) Þ (2 a +1) 2 º4(modp) Điềuđólàđiềuvôlývì0<(2 a +1) 2 <p–4 Vậy a  > Þ - + 4 314p p>2m+ m2 .Vìm 2 +1M pnênm 2 ³p1 Þ m ³ 1 -p .Vì tồntạivôsốsốnguyêntốpdạng4k+1(k Î N * )nêntồntạivôsốsốnguyêndươngnsaocho ướcnguyêntốlớnnhấtcủan 2 +1lớnhơn 2 2n n + . Lờigiảithứ 2củabàitoán1: Giảsửnlàsốnguyên,n ³24.Giảsửplà ướcnguyêntố của(n!) 2 +1.Hiểnnhiênp>n.Giảsửx Î(0, 2 p )làsốdưtrongphépchian!hoặc–n!chop. Khiđ?0<x<p–x<p.Tac?x 2 +1chiahếtchop.ThậtvậytồntạimÎZsaochon!=mp+x hoặc–n!=mp+x.Trongcảhaitrườnghợptađềucó(n!) 2 +1=(mp+x) 2 +1 Þ x 2 +1=(n!) 2 + 1–m 2 p 2 –2mpx Þ x 2 +1Mp.Từđósuyraplàướccủap 2  2px+4x 2 +4=(p– 2x) 2 +4 Þ p £ (p– 2x) 2 +4 Þ p ³ 2x+ 4 -p Þ p4 ³ 2x+ 4 -p 4 ³ 2x+ 20 –4>2x Þ p ³ 2x+ 4 -p >2x+ x2 Từđâysuyrađiềuphảichứngminh Bàitoánsaulàbàitoántổngquátcủabàitoán1 Bàitoán4:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochon 2 +1cóước nguyêntốlớnhơn2n+2 n Bàitoán5:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyênn ³ 3,tồntạicặpsốnguyêndươnglẻ(x n , y n )saocho n nn yx 27 22 = + (ĐềthiOlympicToáncủa Bungarinăm1996) Lờigiải:Vớin=3,chọnx 3 =y 3 =1 Giảsửvớin ³3,tồntạicặpsốnguyêndươnglẻ(x n ,y n )saocho n nn yx 27 22 = + .Tachứng minhrằngmỗicặp. (X= 2 7 , 2 nn nn yx Y yx - = + ),(X= 2 7 , 2 nn nn yx Y yx + = - )thoảmăn 122 27 + = + n YX  Thậtvậy 22 2 7 2 7 ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ ± nnnn yxyx m =2( 22 7 nn yx + )=2.2 n =2 n+1 Vìx n ,y n lẻnênx n =2k+1,y n =2l+1(k,l ÎZ) 1 2 + + = + Þ lk yx nn và lk yx nn - = - 2 .Điềuđóchứngtỏrằngmộttrongcácsố 2 , 2 nn nn yx yx - + làlẻ.Vìvậy vớin+1tồntạicácsốtựnhiênlẻx n+1 vày n+1 thoảmăn n nn yx 27 2 1 2 1 = + + + +1 Bàitoán6:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyêndươngn,phươngtrìnhx 2 +15y 2 =4 n có ítnhấtnnghiệmtựnhiên(x,y) (Đềthichọnhọcsinh giỏiToánQuốcgianămhọc2009–2010) Lờigiải:Trướchếttachứngminhrằngvớimỗisốnguyênn ³2tồntạicặpsốnguyên dươnglẻ(x n ,y n )saochosaocho n nn yx 415 22 = + Thậtvậyvớin=2,chọnx 2 =1,y 2 =1 Giảsửvớin ³2tồntạicặpsốnguyêndươnglẻ(x n ,y n ) saochosaocho n nn yx 415 22 = + . Tachứngminhrằngmỗicặp (X= 2 , 2 15 nn nn yx Y xy + = - ),(X= 2 , 2 15 nn nn xy Y xy - = + )thoảmăn 122 415 + = + n YX Thậtvậy 22 2 15 2 15 ÷ ø ö ç è æ ± + ÷ ø ö ç è æ nnnn xyxy m =4( 22 15 nn yx + )=4.4 n =4 n+1 Vàx n ,y n lẻnênx n =2k+1,y n =2l+1(k,l ÎZ) 1 2 + + = + Þ lk yx nn và kl klxy nn - = + - + = - 2 )12()12( 2 .Điềuđóchứngtỏrằngmộttrongcácsố 2 , 2 nn nn xy yx - + làlẻ.Vìvậyvớin+1tồntạicácsốtựnhiênlẻx n+1 vày n+1 thoảmăn 12 1 2 1 415 + + + = + n nn yx Trởlạibàitoán6: Vớin=1, phương tŕnh n yx 415 22 = + có1nghiệmtựnhiênlà(x,y)=(2,0) Vớin = 2, phương tŕnh n yx 415 22 = + có2nghiệmtựnhiênlà(x,y)=(4,0);(1,1) Giảsửvớin ³ 2, phương tŕnh n yx 415 22 = + cónnghiệmtựnhiênlà(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),…,(x n ,y n ) khiđó(x,y)=(2x k ,2y k )(1£ k £ n)làcácnghiệmtựnhiêncủaphươngtrình n yx 415 22 = + +1 . Theochứngminhtrênphươngtrình n yx 415 22 = + +1 lạicó 1 nghiệmtựnhiênlẻ.Vậyphương tŕnh n yx 415 22 = + +1 cóítnhấtn+1nghiệmtựnhiên.Bàitoán6đăđượcgiảiquyết. Bàitoán7:Tìmtấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)saocho yx yx - + 22 làsốnguyênvàlà ướccủa1995.(ĐềthiOlympictoánBungarinăm1995) Lờigiải: Trướchếttachứngminh Bổđề:Chosốnguyêntốp=4q+3(q ÎN).Giảsửx,ylàcácsốnguyênsaochox 2 +y 2 chiahếtchop,Khiđóxvàychiahếtchop.ThậtvậynếuxMpthìyMp. Giảsửxkhôngchiahếtp Þ ykhôngchiahếtchop TheođịnhlýnhỏPhecmatacóx p1 º1(modp) Þ x 4q+2 º1(modp).Tươngtựy 4q+2 º1 (modp).Tacóx 2 +y 2 Mp Þ x 2 º y 2 (modp) Þ (x 2 ) 2q+1 º (y 2 ) 2q+1 (modp) Þ x 4q+2 º y 4q+2 (modp) Þ 1 º 1(modp) Þ p=2(vô lí).Bổđềđã đượcchứngminh. Ápdụngbổđềvàobàitoán7:Giảsửtồntạicácsốnguyêndươngx,ysaochox>y, yx yx - + 22 làsốnguyênvà yx yx - + 22 làướccủa1995.Đặtk= yx yx - + 22 thìx 2 +y 2 =k(x–y)vàklà ướccủa1995=3.5.7.19.N?ukM3 th́k=3k 1 (k 1 ÎN * )(k 1 khôngchiahếtcho3) Þ x 2 +y 2 M3 Þ xM3vàyM3 Þ x=3x 1 ,y=3y 1 (x 1 ,y 1 ÎN * ,x 1 >y 1 ) Þ )( 111 2 1 2 1 yxkyx - = + .N?uk=1thì x 2 +y 2 =x –y.Đólàđiềuvôlívìx 2 +y 2 ³ x+y>x –y(vìx,y ³ 1) Nếuk=5thìx 2 +y 2 =5(x –y) Þ (2x5) 2 +(2y+5) 2 =50 Þ x=3,y=1hoặcx=2,y =1 Nếuk=7,tươngtựnhưtrên,tồntạik 2 ÎN * saochok=7k 2 (k 2 khôngchiahếtcho7)x =7x 2 ,y=7y 2 (x 2 ,y 2 ÎN * ,x 2 >y 2 )và )( 222 2 2 2 2 yxkyx - = + NếukM19thìtồntạik 3 ÎN * saochok=19k 3 (k 3 khôngchiahếtcho19),x=19x 3 ,y= 19y 3 (x 3 ,y 3 ÎN * ,x 3 >y 3 )và )( 333 2 3 2 3 yxkyx - = + Vậytấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)cầntìmcódạng(3c,c),(2c,c),(c,2c),(c,3c) trongđóc Î{1,3,7,19,21,57,133,399}. Bàitoán8:Tìmtấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)saochosố A= yx yx - + 22 làsố nguyênvàlàướccủa2010. (ĐềthiOlympicToánkhu vựcduyênhảiđồngbằngBắcBộnămhọc2009– 2010) Lờigiải:Trêncơsởlờigiảicủabàitoán7tachỉcầntìmcácnghiệmnguyêndươngcủa cácphươngtrình: )( 22 yxkyx - = + vớik Î{2,5, 10}. Phương tŕnhx 2 +y 2 =2(x y)khôngcó nghiệmnguyêndương.Thậtvậygiảsửx,y ÎN * ,x>yvàx 2 +y 2 =2(xy) Þ x 2 +y 2 ³ 2x +y 2 >2(x–y).Đólàđiềuvôlý.Phươngtrìnhx 2 +y 2 =5(xy)cócácnghiệmnguyêndương là(x,y)=(3,1),(2,1).Phươngtrìnhx 2 +y 2 =10(xy) Û (x5) 2 +(y+5) 2 =50cócácnghiệm nguyêndươnglà(x,y)=(6,2);(4,2). Vậytấtcảcáccặpsốnguyêndương(x,y)thoảmănđềbàilà(3c,c),(2c,c),(c,2c),(c, 3c),(6c,2c),(4c,2c),(2c,6c),(2c,4c)trongđó c Î{1,3,6,7,201} Cuốicùnglàmộtsốbàitoándànhđểluyệntập Bàitoán9:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyêndươngn,phương tŕnh 7x 2 +y 2 =2 n+2 luôncónghiệmnguyêndương. Bàitoán10:Chứngminhrằngvớimỗisốnguyêndươngn,phươngtrìnhx 2 +15y 2 =4 n cóđúngnnghiệmtựnhiên. Bàitoán11:Chosốnguyêndươngn.GọiS n làtổngcácbìnhphươngcủacáchệsốcủađa thứcf(x)=(1+x) n . ChứngminhrằngS 2n +1khôngchiahếtcho3 (Đềthichọnđộituyển ViệtNamdựthiOlympicToánQuốctếnăm2010) Bàitoán12:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaocho 2 n +2chiahếtchon. Bàitoán13:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaochotấtcảcác ước nguyêntốcủan 2 +n+1khônglớnhơn n. (ĐềthichọnđộituyểnUkrainadựthiOlympictoánquốctếnăm2007) Bàitoán14:Vớimỗisốnguyêndươngn>1,kíhiệup(n)làướcnguyêntốlớnnhấtcủa n.Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyênn>1saocho: p(n)<p(n+1)<p(n+2). Bàitoán15:Chocácsốnguyêna,bthoảmăna>b>0.Chứngminhrằngtồntạivôsốsố nguyêndươngnsaochoa n +b n chiahếtchon. Bàitoán16:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêntốpcótínhchấtsau:Tồntạivôsố nguyêndươngnsaochop–1khôngchiahếtchonvàn!+1chiahếtchop. (Đềthichọnđộituyển củaMônđôvadựthiOlympictoánQuốctếnăm 2007). Bàitoán17:Chứngminhrằngtồntạivôsốsốnguyêndươngnsaocho5 n2 – 1chiahết chon. (ĐềthiOlympictoáncủaBraxinnăm2008) . Từđâysuyrađiềuphảichứngminh Bài toán saulà bài toán tổngquátcủa bài toán 1 Bài toán 4:Chứngminhrằngtồntạivô số số nguyêndươngnsaochon 2 +1cóước nguyêntốlớnhơn2n+2 n Bài toán 5:Chứngminhrằngvớimỗi số nguyênn. ViệtNamdự thi Olympic Toán Quốctếnăm2010) Bài toán 12:Chứngminhrằngtồntạivô số số nguyêndươngnsaocho 2 n +2chiahếtchon. Bài toán 13:Chứngminhrằngtồntạivô số số nguyêndươngnsaochotấtcả các. + +1 cóítnhấtn+1nghiệmtựnhiên. Bài toán 6đăđượcgiảiquyết. Bài toán 7:Tìmtấtcả các cặp số nguyêndương(x,y)saocho yx yx - + 22 là số nguyênvàlà ướccủa1995.(Đề thi Olympic toán Bungarinăm1995) Lờigiải: