Khai thác các tính chất số học liên quan đến bài toán về dãy số trong các kì thi Olympic sinh viên

Bài viết này, tác giả tổng hợp một số bài toán liên quan đến dãy số nhằm phát triển năng lực học tập và nghiên cứu của sinh viên. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu.

No.16_June 2020|Số 16 – Tháng năm 2020| p 110-115 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ KHAI THÁC CÁC TÍNH CHẤT SỐ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC SINH VIÊN Dương Thị Hồng Hảia,, Lê Thiếu Tránga,* Trường Đại học Tân Trào a * Email: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn Thông tin viết Ngày nhận bài: 2/5/2020 Ngày duyệt đăng: 10/6/2020 Tóm tắt Dãy số chủ đề nằm chương trình giải tích chương trình Đại học Sư phạm Tốn, chun đề nội dung dạy học cho đội tuyển Olympic dành cho sinh viên toán trường Đại học Cao đẳng Bài toán dãy số giúp sinh viên hiểu sâu sắc hàm số, qui luật phân bố số, tính chất vô bé, vô lớn Bài viết này, tác giả tổng hợp Từ khóa: Dãy số, giới hạn, số học, số phương, sinh viên số toán liên quan đến dãy số nhằm phát triển lực học tập nghiên cứu sinh viên ĐẶT VẤN ĐỀ Trong báo này, tác giả dựa ý tưởng có cần thiết phải trang bị cho em kiến thức dãy số học dãy số số tác GS.TS Phan số thông qua số toán Huy Khải (Viện Toán học Việt Nam), số toán NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Tạp chí Tốn Học Tuổi trẻ số chuyên đề Trong phần nội dung, chuyên đề ứng dụng dãy số, làm sáng tỏ số vấn đề học sinh sinh số học vào dãy số, nên kiến thức sở đề cập viên cịn chưa rõ giải tốn dạng này, hình thành cụ thể phương pháp chung giải dạng tốn Thực tế giảng dạy, sinh viên tham gia dự thi Olympic Trường Đại học Tân Trào năm 2018- 2019 tác giả nhận thấy, sinh viên đội tuyển toán chưa nắm hệ thống ứng dụng số học vào dãy số hiệu quả, chưa có nhìn tổng thể, nguồn gốc tốn chưa có tính chủ động, sáng tạo thực tiễn Do đó, để đội tuyển sinh viên đạt kết cao kì thi Olympic 2.1 Bài tốn Tính tổng Sk 1k 2k  nk,n¥*,k¥ 2.1.1 Xây dựng cơng thức tính: Ta biết: S0 10 20  n0 n S1 11 21  n1  n(n1) L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 S2 12 22  n2  n(n1)(2n1) , Đã có nhiều cách để tính tổng trên, để tổng xn 14 24  n4 12 22  n2  Đây tổng xn  (n 1)n(n 1)(2n 1)(n 2) 10 quát được, ta làm sau: Ta có cơng thức: S4 S2 Thay vào ta được: Cknankbk a bn k 0 n un  (n1)(2n1),n¥ * 10(n1) Áp dụng vào khai triển sau: Nhận xét: Bài toán loại dãy sai phân tuyến tính n12 -1=CS CS với hệ số biến thiên: Tìm số hạng tổng quát dãy 3 (n+1) -1= n 1 -1=CS 1) (nk) u 1 ,n¥ * CS CS un biết u a; u (nn(nk1) (n   2k1) Tổng quát ta có cơng thức truy hồi cho Sk : 2.1.3 Bài tập tương tự k k k1 n1 -1=Ck1Sk Ck1Sk1  Ck1S1 Ck1S0 Bài 1.1 Cho dãy số (u ) biết: n1 n n 2.1.2 Ví dụ Tìm số hạng tổng quát dãy số (un), biết: u1 0,un1  n(n1) un 1,n¥ * (n2)(n3) Giải: Phương trình dãy viết lại: un+1= un1  n(n1) (n22) un 1 (n1)(n2) (n3) un  2.1 3.2  n1.n Tính limu ? n n4 2 Bài 1.2 Tính giới hạn sau: 5 lim1 2 6 n ; n k k k 2) lim1 2  n k1 n 1) Bài 1.3 Tìm n1n22n3un1 nn12n2un nn12n2. Đặt nn12 n2un xn nn12 n2 fn , ta có phương trình: xn1 xn  fn, x1 0 Cho n1,2, , ta có: xn xn1 n1.n2.n 1 xn1 xx2 n2 n12.n xn x1 1.2.32.3.4 n1.n  n1. Thay x1 0ta có: 2 xn 1.2.3 2.3.4  n1.n2.n1 n1.n n1 n n Do đó: 2.2 Bài tốn Tìm điều kiện chứng minh số hạng dãy số khơng đổi dấu 2.2.1 Ví dụ: Cho dãy an biết a0 a, a1 bvà an2 an1 2an 6 Tìm điều kiện a, b để an> 0,n¥ an vn wn , với vn là dãy tuyến tính nhất, wn  dãy đa thức n Phương trình đặc Cộng đẳng thức rút gọn ta được: Ta tìm cách tính tổng trên, ta có: u1 1,un1  n1(un 2),n¥ * n2 + Tìm số hạng tổng quát dãy: Đặt un biết Giải: x2 x1 1.2.3 2 trưng dãy x2 x20, có nghiệm x1 1, x2 2, nên ta có: A.1n B.2n AB.2n wn C.n Thay vào dãy ta có: Cn2 Cn1 2Cn6C2 L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 Do đó: wn 2n Vậy: 2.3.2 Các tập tương tự an AB.2n 2n, n¥ Thay n 0,1ta có: Bài 3.1 Cho dãy x1 1,xn1 3xn  8xn2 1,n¥ * an (2)n 2abn2 2nn ab2,n¥   (2) (2) Chứng minh số hạng dãy nguyên Bài 3.2 Cho dãy Từ ta thấy: - Nếu a b2 0 với n2k1 có liman , loại - Nếu với n2k liman , loại a, b b a 2 a 0 Xác định dãy an biết: a0 1, an2 an1 a nmà an  0,n¥ Bài 2.2 Chứng minh có dãy số dương un  thoả mãn điều kiện: u0 1, un un1  un2,n¥ 2.3 Bài tốn Lập luận để số hạng dãy số số nguyên 2.3.1 Ví dụ: Cho dãy an biết: a1 a2 1, a an  n1 2,n 3 Chứng minh số hạng an2 dãy số nguyên Giải: Trước hết ta đưa dãy dạng tuyến tính Ta a 3, a4 11, a5 41 Giả sử an an1 an2 .Thay n 1,2,3ta có: 3    4 hệ:   113    1 4111 3   0 Vậy: an  biết: an 4an1 an2, n3 Do a1 a2 1Â an Â,nƠ * Tìm k nguyên dương để số hạng dãy nguyên Bài 3.4 Bài toán tổng quát 1: Cho an biết: 2.2.2 Bài tập tương tự 2.1 Bài 3.3 Cho dãy a1 1,an1 5an  kan2 8,n¥ * a b2 0 thoả mãn điều kiện cần tìm Bài u,1 u2 để dãy có vơ số số hạng nguyên có un thoả mãn: un2  un.un1 ,n 1,2, Tìm điều kiện 2un un1 cần đủ a b2 0 xn biết: a, bZvà dãy a1 1, an1 a.an  k.a2n b Tìm k nguyên dng an Â,nƠ * Bi 3.5 Bi toỏn tng quát 2: Cho số nguyên a, b, c thoả mãn: a2 b1 Dãy un  xác định sau: u0  0, un1  aun  bu2n c2 ,n¥ Chứng số hạng dãy nguyên Bài 3.6 Chứng minh tồn dãy un  nguyên thoả mãn: u1=1, u2 > 1, u1 1,u2 1,u3n1 1unun2,n 1,2, 2.4 Bài toán Chứng minh, phát đẳng thức dãy số, số phương số lập phương 2.4.1 Ví dụ: Cho dãy an  với a0 1, a1 13, an2 14an1 an, n¥ Chứng minh với số tự nhiên 1) nta có: a an.an2 120 n1 4a2n 1 số phương Từ suy 2an 1và 2an 1 số phương 2) a số 3) n tổng hai số phương liên tiếp a2n hiệu hai số lập phương liên tiếp L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 Điều Giải: 1) Câu hỏi 1) làm phương pháp qui nạp 2a 1, 2an 1 1  n  (các tài liệu giải theo cách này) Nhưng vấn đề đặt Mặt khác là: Nếu không yêu cầu chứng minh đẳng thức trên, mà 2an 33 M hỏi câu hỏi sau học sinh xử lí nào? Ta hướng dẫn học sinh tự xây dựng đẳng thức 3) Vì an 1mod3(chứng lẻ nên ta có: này: Từ giả thiết dễ thấy an 0,n¥ a2 181 an2 14an1 an an2 an 14 an1 Thay 2.4.2 Bài tập tương tự nbởi n1ta được: Bài 4.1 Cho dãy số an1 an1 14an2 an  an1 an1 an an1 an a2n1 an.an2 an2 an1.an1 Truy hồi biểu thức ta c: a2n1 an.an2 a12 a0.a2 12=-12 an Â,nƠ Theo 1) a2n1 an.an2 120 a2n1 an.14an1 an   120 phương trình: a2n1 14an1.an a  120 x an1 Â ' 48a2n 12 vi nƠ * un bit u1 1, u2 3, un1 n2un n1un1, n 2,3, Tìm n để un số phương Bài 4.3 Cho dãy số nguyên un  với Bài 4.2 Cho dãy u0 1, u1 45, un2 45un1 7un,¥ phải có nghiệm 1) Tìm số ước số tự nhiên số phải số Mu2n1 un.un2 phương Ta có an  a0 2, an1 4an  15a2n 60,n¥ Tìm an chứng minh: 1a 8 tổng bình phương 2n số nguyên liên tiếp, Vậy: a2n1 an.an2 120,¥ 2) Từ giả thiết dễ thấy 2an 12k12 an 2k2 2k1k2 k12 4a2n 1 2k1 a 3k23k1 k1 k3     Nên đẳng thức: 2) Chứng minh với số tự nhiên 2 ' 36. 4an 1 phương  4an 1     số phương 2an 1 2an31 Ta có:  4a2n 1      phương Để hai số 2an 1và 2an 1 phương phải có: minh quy nạp) 2an 1và 4an 1 số phương phần 1), cách khác để chứng minh đẳng thức  2an 1, 2an 1 1nên 2a 1, 2an 1 1  n    M 2an 13 n An 1997.4.7n1 số phương Bài 4.4 Cho dãy un  số biết u0 3, u1 17, un 6un1 un2,n2,3, Chứng minh n¥ u2n 12 Mvà thương số phương Bài 4.5 Cho dãy un  biết u1 1, u2 1, un un1 2un2, n3 Lập dãy vn  với 2n1 7un21,n2,3, Chứng hạng dãy vn  số phương minh số L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 2.5 Bài toán Các toán liên quan đến tính chất chia hết có dư 2.5.1 Ví dụ: Cho dãy un  biết: u0 u1 1, un1 un 2un1,n1,2 ; v0 1, v1 7, vn1 2vn 3vn1,n1,2 Tìm S ui2 Tìm số dư chia S cho 8, 1999 i0 cho cho 40 Giải: + Từ giả u2n2 u2n1 9u2n  u 9u 5u  2n1 2n 2n1 u2n2 u2n1 u2n (mod4) u u u  2n1 2n 2n1 Khai triển dãy : u3 u4 u0 u5 ta tính Chứng minh dãy có hạng tử chung, ngồi khơng cịn hạng tử chung khác được: un  xác định sau: 2 3 2 3 ,n0,1,2, n un= n 23 Chứng minh un ¢,n 0, 1, Tìm tất dãy chia hết cho u1 12 123 121 2794 Do u0 u1 u2 u4 u5 u6 u7 u9 đồng dư 3 3 (mod4)  Dãy số dư tuần hoàn chu kỳ (mod4), u2 Bài 5.4 Cho dãy an  số hạng với a0 19, a1 98, an2 an an1 Sai2 cho 1998 u3 u8 Tìm số dư chia Bài 5.5 Cho dãy un , n¥ * với u1 2, un 3un1 2n3 9n2 3, n 2,3, n2 Vậy: S12 32 33302 32 32 22 12 32  106662 (mod4)  un ? Bài 5.3 Cho dãy thiết un  vn  xác định sau: u0 1, u1 3 u 9u :n 2k un2  9un1 5un :n2k1,n¥  n1 n Tính tổng Bài 5.2 a) Cho hai dãy Chứng minh với số p nguyên tố ta có: p1 2000uiM p S2 (mod8) i1 + Tương tự ta có: KẾT LUẬN u2n2 u2n1 u2n (mod5) Khai triển u u  2n1 2n Qua số tốn nêu trên, góp phần giúp un  tuần hoàn chu kỳ (mod5), n2, em sinh viên rút định hướng tư phương pháp giải toán số học liên quan đến dãy số nên S=12+32+24922+32+ +12  3(mod5) + Từ hai ý 8,5 1 nên ta có S18 (mod40) 2.5.2 Bài tập tương tự Bài 5.1 Cho dãy bn  với b1 0, b2 14, b3 18, bn1 7bn1 6bn2,n¥ * Chứng minh plà số nguyên tố bpM p kì thi Olympic Tốn Với đánh giá bổ sung lí luận phương pháp giải giúp sinh viên củng cố vững dạng toán giải tốn khó Tuy nhiên, tốn dãy số chủ đề rộng nên cần tiếp tục có nghiên cứu, tổng hợp chuyên sâu đến dạng tốn thường gặp kì thi Olympic Toán học sinh, sinh viên, đặc biệt toán giúp phát triển lực tư Toán học cho học sinh, sinh viên, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn theo hướng tập trung vào phát triển lực người học L.T.Trang et al/ No.16_June 2020|p.110-115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Chuyên đề Số học dãy số, Nxb Giáo dục, 2016 (tái bản) [2] Bộ Giáo dục Đào tạo - Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Nxb Giáo dục, 2013 (tái bản) [3] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích tập 1, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [4] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Nguyễn Viết Triều Tiên - Hoàng Quốc Toàn (2008), Bài tập giải tích tập I, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [5] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hồng Quốc Tồn (2009), Bài tập giải tích tập II, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh Nguyễn Hồ Quỳnh (2001), Bài tập toán cao cấp tập hai, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [7] W.J.Kaczkor - M.T.Nowak (Người dịch: Đồn Chi), Bài tập Giải tích 1, Nxb Đại học Sư phạm, 2003 Exploiting arithmetical properties related to numeral mathematical problems in student olympic exams Le Thieu Trang, Duong Thi Hong Hai Article info Recieved: 2/5/2020 Accepted: 10/6/2020 Abstract The sequence of numbers is one of the subjects in the analytic program of the Mathematics Pedagogical University, it is a basic subject in teaching contents for the Olympic of Maths students in colleges and universities The problems of sequence’s number helps students understand more about the functions, the distribution rules of numbers, the properties of the infinitely small, infinitely great, In this article, the Keywords: Sequence of numbers, limit, arithmetics, square number, student author summarizes a number of problems related to the sequence of number to develop students' learning and research capacity  ... vững dạng toán giải toán khó Tuy nhiên, tốn dãy số chủ đề rộng nên cần tiếp tục có nghiên cứu, tổng hợp chuyên sâu đến dạng tốn thường gặp kì thi Olympic Tốn học sinh, sinh viên, đặc biệt toán giúp... Khải, Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Chuyên đề Số học dãy số, Nxb Giáo dục, 2016 (tái bản) [2] Bộ Giáo dục Đào tạo - Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học. .. n2, em sinh viên rút định hướng tư phương pháp giải toán số học liên quan đến dãy số nên S=12+32+24922+32+ +12  3(mod5) + Từ hai ý 8,5 1 nên ta có S18 (mod40) 2.5.2 Bài tập tương tự Bài 5.1