một số bài toán liên quan đến ma trận trong các kì thi olympic toán sinh viên toàn quốc

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN SP TOÁN HỌC  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực ThS Trang Văn Dễ Nguyễn Thị Thảo Hạnh MSSV: 1110099 Lớp: SP Toán_Tin học K37 Cần Thơ, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo ThS Trang Văn Dễ Tôi xin phép gửi đến thầy kính trọng long biết ơn sâu sắc tận tâm Thầy thân thời gian làm luận văn mà cịn suốt q trình học tập Đồng thời, tơi xin bày tỏ nguyện vọng tiếp tục tìm hiểu tốn học hướng dẫn Thầy Tơi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy giảng dạy lớp Tốn – Tin Học khóa 37 trường Đại Học Cần Thơ tồn thể q thầy Khoa Tốn trường Đại Học Cần Thơ, người cho kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập thời gian thực đề tài, Cuối cùng, xin phép gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè quan tâm động viên giúp đỡ suốt thời gian hoàn thành luận văn quãng đường học tập vừa qua Cần thơ, tháng 04 năm 2015 Nguyễn Thị Thảo Hạnh MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ma trận, phép toán ma trận 1.1.1 Ma trận 1.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp hàng (cột) ma trận 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.1.4 Một số tính chất phép toán ma trận 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Một số tính chất định thức 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các tính chất 10 1.4 Hạng ma trận 10 1.4.1 Định nghĩa 10 1.4.2 Các tính chất 10 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 10 1.5.1 Định nghĩa 10 1.5.2 Một vài hệ phương trình đặc biệt 12 Chương 2: 13 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC 13 2.1 Định thức ma trận 13 2.1.1 Khai triển theo dòng cột 13 2.1.2 Đưa ma trận tam giác 19 2.1.3 Rút nhân tử tuyến tính 24 2.1.4 Phương pháp truy hồi 26 2.1.5 Biểu diễn định thức dạng tổng tích định thức khác 30 2.1.6 Các phương pháp tổng hợp khác 34 2.2 Ma trận nghịch đảo 46 2.2.1 Sử dụng phần bù đại số 46 2.2.2 Biến đổi sơ cấp dòng 47 2.2.3 Sử dụng đa thức đặc trưng 49 2.2.4 Phương pháp giải hệ 54 2.2.5 Một số toán tổng hợp 57 2.3 Hạng ma trận 61 2.3.1 Tìm hạng ma trận phương pháp định thức 61 2.3.2 Tìm hạng ma trận phương pháp sử dụng phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) 63 2.3.3 Các toán tổng hợp 66 2.4 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 67 2.4.1 Hệ phương trình Cramer 67 2.4.2 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt 70 2.5 Lũy thừa bậc cao ma trận 74 2.5.1 Ma trận lũy linh 74 2.5.2 Các dạng toán mũ hóa ma trận 77 PHẦN KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết vai trị quan trọng tốn học chương trình giảng dạy, giáo dục nước nhà ảnh hưởng đến phát triển kinh tế, xã hội, an ninh quốc phòng đất nước Tốn học có vị trí đặc biệt quan trọng từ bậc giáo dục phổ thông sở đến đào tạo ngành học cao thạc sĩ, tiến sĩ.Tốn học cung cấp cơng cụ mạnh mẽ giúp cho chuyên gia giải vấn đề chuyên môn tất ngành, ngành thuộc lĩnh vực tưởng chừng xa lạ khoa học nghệ thuật Chính quan trọng trường Đại học Cao đẳng, ngành đào tạo, Toán đưa vào giảng dạy từ năm đầu Trong nội dung chủ yếu Toán học cao cấp, nội dung cốt lõi Tốn học cao cấp ma trận, ma trận xây dựng nội dung sở, móng tốn học cao cấp Khái niệm ma trận đại số giảng dạy chương trình Tốn đại cương hầu hết trường Đại học – Cao đẳng Đây nội dung quy định Hội toán học Việt Nam kỳ thi Olympic Tốn học sinh viên tồn quốc Khơng ma trận xem nội dung Olympic Tốn học sinh viên tồn quốc quốc tế Vai trò ma trận đại số tuyến tính nói riêng Tốn học nói chung to lớn Để hiểu rõ ma trận việc giải tập cần thiết Trong giáo trình Đại số tuyến tính tập thường dạng để sinh viên bắt đầu làm quen với ma trận, chưa xếp theo dạng chưa đề cập tới phương pháp giải chung cho số dạng tốn khó gặp Vì việc theo dõi tập gây khó khăn cho số bạn sinh viên Trong khóa luận này, tơi liệt kê số dạng toán ma trận dựa đề thi Olympic Tốn sinh viên tồn quốc năm qua đưa số hướng giải cụ thể Đây đề tài mở toán phong phú đa dạng Tơi hy vọng khóa luận bổ sung bạn sinh viên khóa sau để khóa luận tài liệu tốt cho bạn sinh viên khoa Toán Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài là: - Hệ thống lại lý thuyết cách tổng quát ma trận để xây dựng phân loại dạng Toán ma trận - Đưa phương pháp giải phong phú Toán ma trận - Xây dựng hệ thống tập, phân loại dạng tốn tìm hướng giải chúng - Thơng qua tìm hiểu nghiên cứu giúp thân có nhìn tổng quan toán đề thi Olympic Toán sinh viên Luận văn chia làm phần: Chương I Các kiến thức chuẩn bị Chương II Nội dung PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ma trận, phép toán ma trận 1.1.1 Ma trận  Định nghĩa 1.1.1 Ma trận cỡ m  n : Một bảng gồm m.n số viết thành m dòng, n cột sau:  a11   a21    ai1   a  m1 a12 a1 j a22 a2 j aij am amj a1n   a2 n    ain    amm  (1.1.1) gọi ma trận kiểu (m  n) Mỗi số aij gọi thành phần ma trận Nó dịng thứ i cột thứ j Ta thường kí hiệu ma trận chữ in hoa: A, B, Có thể viết ma trận (1.1.1) cách đơn giản bởi: A  (aij )mn Khi biết rõ m n cịn viết là: A  (aij )  Ma trận dòng: Ma trận cỡ 1 n gọi ma trận dòng a a2 a j an  (1.1.2)  Ma trận cột: Ma trận cỡ m 1 gọi ma trận cột  a1     a2      aj     a   n (1.1.3)  Ma trận vuông: Ma trận cỡ n  n gọi ma trận vuông cấp n (hay ma trận cấp n) viết A  (aij )nn Trong ma trận vuông A  (aij )nn dãy phần tử có số hàng số cột a11 ,a 22 , , ann gọi đường chéo ma trận A  Ma trận thực: Nếu phần tử ma trận A nhận giá trị thực, có nghĩa aij  R, ma trận A gọi ma trận thực  Ma trận thực gồm tất phần tử gọi ma trận không  Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi ma trận  a11   a12    a1 j   a  1n a21 ai1 a22 a2 j aij a2 n ain am1   am    amj    amn  ma trận chuyển vị ma trận (1.1.1) kí hiệu AT (1.1.4) Như ma trận AT thu từ A cách đổi dòng thứ i A thành cột thứ i AT A ma trận kiểu m  n ma trận chuyển vị AT ma trận kiểu n  m  Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông cấp n có phần tử nằm đường chéo phần tử nằm ngồi đường chéo 0, tức có dạng: 1  I    0       Kí hiệu : I n (đơi ta cịn kí hiệu I)  Ma trận con: Cho A ma trận cấp m  n , ta gọi M ij ma trận lập từ ma trận A cách bỏ hàng i cột j, M ij gọi ma trận ma trận A ứng với phần tử aij 1.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp hàng (cột) ma trận  Các phép biến đổi sau hàng (cột) ma trận gọi phép biến đổi sơ cấp theo hàng (cột) ma trận: (1) Đổi chỗ hai hàng (cột) ma trận cho (2) Nhân tất phần tử hàng (cột) ma trận với số   (3) Cộng vào hàng (cột) ma trận hàng (cột) khác sau nhân với số    Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận gọi ma trận bậc thang thỏa mãn điều kiện sau: (1) Các hàng không hàng khác không Suy AT  A Như det A  det AT  det( A)  (1)n det A   det A (do n lẻ) Do det A   det A hay det A  Tức rankA  r  n Theo định lý Cronecker – Capelly hệ số có vơ số nghiệm (phụ thuộc n  r tham số) hệ có nghiệm khác (0,0, ,0) Từ suy hệ phương trình cho có nghiệm khơng tầm thường 2.5 Lũy thừa bậc cao ma trận 2.5.1 Ma trận lũy linh  Định nghĩa Cho A ma trận vuông cấp n, A gọi ma trận lũy linh tồn số nguyên dương q cho Aq   Nhận xét: Nếu Aq  ta có Am  với m  q, m  Số nguyên dương k gọi cấp lũy linh ma trận A Ak  Ak 1  Ma trận A gọi ma trận lũy linh đơn A  I ma trận lũy linh (I ma trận đơn vị cấp với ma trận A)  Một số tính chất Nếu A ma trận lũy linh A gọi ma trận suy biến Nếu A ma trận lũy linh ma trận I  A I  A khả nghịch Bài toán 1: Cho A B ma trận vuông cấp AB  BA Khi A B ma trận lũy linh A  B ma trận lũy linh Giải 74 Do A B ma trận lũy linh nên tồn số nguyên dương p, q cho A p  B q  0, giả sử p  q , đặt m  p Theo giả thiết AB  BA nên ta có khai triển nhị thức Newton: m ( A  B) m   Cmi Ai B mi i 0 Trong hai số i m  i có số không nhỏ p nên: Ai Bmi  Vậy ( A  b) m  Bài tốn 2: Cho ma trận vng thực A, B thỏa mãn điều kiện sau A2009  AB  2008 A  2007 B Chứng minh B2009  Giải Ta có: AB  2008 A  2007 B  ( A  2007 I )(b  2008 I )  2007.2008 I  ( A  2007 I )( B  2008 I )  I 2007.2008     A  I  BI I  2007  2008      B  I  A  I   I  BA  2008 A  2007 B  2008  2007   AB  BA Từ ta có B 2009  A2009 ( B  2008I ) 2009  (ĐPCM) 2009 2007 75 Bài toán 3: Cho A B ma trận vuông với thành phần số thỏa mãn điều kiện sau: A2011  0, AB  A  B Chứng minh B lũy linh Giải  Dùng phương pháp phản chứng Giả sử det B  0, suy B có ma trận nghịch đảo B B 1 Từ giả thiết A2011  AB  A  B suy  A2011  A2011B  A2010 ( AB)  A2010 ( A  B)  A2011  A2010 B  A2010 B Do  OB1  A2010 BB1  A2010 Như A2010  0, lặp lại trình sau 2010 bước, ta thu A2009  A2008   A  Từ giả thiết AB  A  B  B  0, điều không thỏa mãn det B  Suy B lũy linh  Cách khác: Từ giả thiết A2010  0, suy det A  Mặt khác, từ giả thiết AB  A  B  B  A( B  I ) det B  det( A(B  I ))  det A.det(B  I )  Vậy B lũy linh 76 2.5.2 Các dạng toán mũ hóa ma trận a) Tính trực tiếp  Phƣơng pháp chung: Tính A2 , A3 …dự đốn cơng thức An , chứng minh quy nạp Bài toán 1: (Olympic 1999) Cho ma trận  x 1998 A    1999  n  Tìm A x  2000  Giải Đặt  a b  a b  a b   a A  A        0 c  c  c    b( a  c )  ab  bc   a  ac    c    c2 0   b( a  c )   b( a  c )  a b a    a  A3   a  c  ac   0  c    c2 c3     Giả sử  k b( a k  c k )  a  Ak   ac  0  ck   77 Như ta có  k b( a k  c k )   a  a b   a k 1   k 1 A  a  c   c   0 k 0  c    b(a k 1  c k 1 )   a c   c k 1  Theo nguyên lý quy nạp có  n b( a n  c n )  a  An   ac  0  cn   n  N  Bài toán 2:  1 Cho ma trận A   ,hãy tính A2000   1 0 Giải  1  0 Ta có A2   , A3     1 1 1 1 , A4    0 0 0  I Mà 2000  Vậy A2000  ( A4 )500  I ( I ma trận đơn vị cấp 2) Bài toán 3: Cho ma trận   A x  n x n * , n N 1  Tính A2012 Giải Biểu diễn A dạng: 78  cos  A  a    sin  Với a   sin   cos   x2 x ,   arcsin , ta xét n dần đến vô Suy ra: 2 n n x cos n An  a n    sin n sin n  cos n  Ta chứng minh quy nạp:  cos  n 1 A  a    sin  cos k Giả sử với n  k tức Ak  a k    sin k cos(k  1) Ta chứng minh Ak 1  a k 1    sin(k  1) sin   cos   sin k  cos k  sin(k  1)  cos(k  1)  Ta có: sin k   cos  cos k Ak 1  Ak A  a k   a   sin   sin k  cos k     sin(k  1)  cos(k  1)  a k 1     sin(k  1) cos(k  1)  sin   cos   Với n  2012 1006 A 2012  x2   1    n   cos 2012   sin 2012  79 sin 2012  cos 2012  b) Tách thành ma trận Ta phân tích A  B   I , B ma trận có tính chất B k  0, k  n0 (n0 số tự nhiên tương đối nhỏ)  Áp dụng công thức khai triển Niu tơn, ta có n n0 k 0 k 0 An  ( B   I ) n   nk Cnk B k   n k Cnk B k n0  An   nk Cnk B k k 0  Nhận xét: Thông thường ma trận B ma trận có tính chất mũ lũy thừa cao lên ma trận 0, đơn vị, nó, ma trận đặc biệt Bài toán 1: 2 Cho ma trận M   1 1 Tính M n ứng với n nguyên dương cho trước  2 Giải 1 Ta viết M  I  A, với A   1 2 Suy ra: A2   2 1 1 2  A  A3  A2 A  22 A  2  Ak  2k 1 A, 80 M n  ( I  A) n  I  Cn1 A  Cn2 A2   Cnn An n  I   Cnk 2k 1 A k 1  1 A I n  3n   Vậy M n   n  1  3n 1   3n    Bài tốn 2: Tính An  B n với A, B hai ma trận: 2 A   0 2   , B     0   1 Giải 1 Ta có A  D  I với D    0 0 0 1    D , I     0   Do n n k 1 k 1 An  ( D  I ) n   Cnk D k  I   Cnk D  I n Do B  AT  B n  ( An )T   Cnk DT  I k 1 n  A  B   Cnk ( D  DT )  I n n k 1 81 Bài toán 3: (HV Hàng không Không quân_2014) Cho ma trận vuông cấp n (các phần tử nằm đường chéo 2015; phần tử lại 2014):  2015  2014 A    2014 2014 2015 2014 2014 2014 2014 2014 2014   2015 Hãy tính Ak , với k số nguyên cho trước Giải Đặt 1 1 B   1 1  1    1  Do  2015  2014 A    2014 2014 2015 2014 2014 2014 2014  2014  2014  2014 2014     2014  2014 2014 2014 2014 82 2014  2014    2015 2014  2014    2014  1 Nên ta suy A  2014 B  I n (1) Ta có n n n n n n B    n n n n2 n  n  n , B  B B       n  n n n n   n n n    n n n  Bằng quy nạp ta chứng minh  n k 1 n k 1 n k 1  k 1 k 1 k 1 n n n k B     n k 1 n k 1 n k 1 n k 1  n k 1 , với số nguyên dương k   n k 1 Từ ta có n n 1 Ak  (2014 B  I n ) k   Cki 2014i B i I nk i   Cki 2014i B i Hay ta có Ak  I n  2014Ck1 B  20142 Ck2 B   2014k Ckk B k Từ phần tử Ak xác định sau: Các phần tử đường chéo là:  2014Ck1  20142 Ck2   2014k Ckk Các phần tử lại bằng: 2014Ck1  20142 Ck2   2014k Ckk c) Sử dụng đa thức đặc trƣng  Phƣơng pháp : Phân tích A  BCB1 , C ma trận mà ta dễ tính lũy thừa Ta có An  ( BCB 1 )( BCB 1 ) ( BCB 1 )  BC n B 1 n 83  Nhận xét: Ở dạng toán ta sử dụng đa thức đặc trưng đa thức tối thiểu ma trận để mũ hóa ma trận Ta sử dụng bổ đề: Mọi ma trận nghiệm đa thức tối thiểu đa thức mà chứa tất nhóm tử bất khả quy đa thức đặc trưng Bài toán 1: Cho ma trận  1 A   1 3 Tính A2010 Giải Ta có A   I  1  1      2  3 Vậy theo định lý Cauchy – Hamilton ta có  A  I    ( A  2I )k  0, k  Khi A2010   I  ( A  I )  2010  (2 I ) 2010  2010(2 I ) 2010 ( A  I )   1  (2 I ) 2010  I  2010   1   2009 2010   22010    2010 2011 Bài toán 2: Cho ma trận 84 1   1    A         1  1 2  Tính A2002 Giải 1 Đặt S   0   1  , A  1     2  1   Ta dễ dàng kiểm tra A  SA1S 1 , suy 1   2 An  SA1n S 1 Bằng quy nạp ta có A1  Bài tốn 3: Cho ma trận vng 3 A  0  2 2   Tính A2014 Giải Ta có đa thức đặc trưng ma trận A 3 k P  k 1 k 2  k  6k  3k  10 2k Pk có nghiệm 2, -1, Theo định lý Haminton – Cayley A3  A2  3A  10  Thực phép chia đa thức x2014 cho đa thức x3  x2  3x  10, ta 85 x2014  ( x3  x2  3x  10) g ( x)  ax  bx  c Lần lượt x  2, 1,5 vào ta hệ phương trình theo a, b, c, 4a  2b  c  22014  a  b  c  25a  5b  c  52014  Vậy A2014   52014  22014  a   18  2014 6.2  52014  12   b  18  2014  5.2  52014  c   52014  22014  6.22014  52014  12 5.22014  52014  A  A  I 18 18 Bài toán 4: Cho ma trận 5 7 9 4 A    2   Tính f ( A) biết f ( x)  2009 x2009  2008x2008   x Giải 4 Ta có A   I  5 7   9 0 4   (1   )      Theo định lý Cauchy – Hamilton, ta có: A3  A2 Suy Ak  A2 , k  Khi f ( A)  2009 A2009  2008 A2008   A  1004 A2  A 86 PHẦN KẾT LUẬN Từ việc phân loại toán ma trận theo phương pháp khác giúp có nhìn tổng quan cơng cụ để thực hành giải tốn ma trận Thơng qua việc phân loại phần khái quát hóa hệ thống kiến thức ma trận cách dễ dàng Thông thường tốn ma trận phức tạp việc sử dụng hợp lí cơng cụ giúp rút ngắn nhiều thời gian việc giải toán Tùy vào giả thiết tốn cho để chọn phương pháp giải cho phù hợp nhanh Thông qua việc phân loại tốn liên quan đến ma trận nhìn rõ kĩ dạng tốn thường gặp kì thi lớn Tốn sinh viên Toán Olympic sinh viên quốc gia Việt Nam Luận văn trình bày chủ yếu nội dung liên quan đến ma trận, phân loại toán, đồng thời đưa công cụ giải nhanh hợp lí Đề tài làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên muốn sâu nghiên cứu có ý định ơn luyện cho kì thi Tốn Olympic sinh viên Do khả cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót, mong q Thầy bạn đọc thơng cảm, góp ý để nội dung hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy Trang Văn Dễ nhiệt tình hướng dẫn em hồn thành luận văn Hơn cho em gửi lời cảm ơn đến tất thầy mơn Tốn - Khoa Sư Phạm Đại Học Cần Thơ giúp đỡ em hoàn thành khóa học 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Xn Sính -Trần Phương Dung (1999), Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [2] Hội Toán Học Việt Nam - Trường Đại học Phạm văn Đồng (2014), Kỷ yếu kì thi Olympic sinh viên lần thứ 22, Quảng Ngãi [3] Lê Tuấn Hoa (2006), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Mỵ Vinh Quang (2004), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh [5] Nguyễn Hồng Xinh (2005), Tài liệu bồi dưỡng Tốn Olympic sinh viên phần đại số [6] Nguyễn Hữu Dư, Nguyễn Văn Mậu (2010, 2011, 2012), Các đề thi dự tuyển tốn sinh viên tồn quốc XVIII, XIX, XX, Hội tốn học Việt Nam [7] Nguyễn Thanh Bình - Nguyễn Hồng Xinh (2006), Giáo trình đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Cần Thơ, Cần Thơ [8] Phan Huy Phú - Nguyễn Doãn Tuấn (2001), Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội 88 ... 1.5.2 Một vài hệ phương trình đặc biệt 12 Chương 2: 13 MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC 13 2.1 Định thức ma trận. .. tự hệ 0, tức b1  b2   bm  12 Chƣơng 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TỐN SINH VIÊN TỒN QUỐC 2.1 Định thức ma trận 2.1.1 Khai triển theo dòng cột Cơ sở phương...  ma trận chuyển vị ma trận (1.1.1) kí hiệu AT (1.1.4) Như ma trận AT thu từ A cách đổi dòng thứ i A thành cột thứ i AT A ma trận kiểu m  n ma trận chuyển vị AT ma trận kiểu n  m  Ma trận