Các bài toán đại số trong các kì thi Olympic

Hà Duy Hưng: Các bài toán đại số trong các kì thi Olympic

1 Các bài toán Đại số và Lượng giác 21.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý 21.2 Các đẳng thức Lượng giác 151.3 Phương trình và bất phương trình 30

1

Chương 1

Các bài toán Đại số và Lượng giác

1.1 Các đẳng thức Đại số thuần tuý

3 Chứng minh rằng ta có đồng nhất sau

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2+(cy−bz)2+(az−cx)2

4 Chứng minh rằng các đồng nhất nói trong các bài toán trước có thể mở rộngnhư sau

(a21+ a22 + ã ã ã + a2n)(b21+ b22+ ã ã ã + b2n) − (a1b1+ a2b2+ ã ã ã + anbn)2 =

= (a1b2− a2b1)2+ (a1b3− a3b1)2+ ã ã ã + (an−1bn− anbn−1)2

5 Giả sử rằng n(a2

1 + a22 + ã ã ã + a2n) = (a1+ a2+ ã ã ã + an)2 Chứng minhrằng a1 = a2 = ã ã ã = an

6 Chứng minh rằng từ đẳng thức (x − y)2 + (y − z)2+ (z − x)2 = (y + z −2x)2+ (z + x − 2y)2+ (x + y − 2z)2 ta suy ra rằng x = y = z

7 Chứng minh các đồng nhất thức sau

(a2− b2)2+ (2ab)2 = (a + b)2(6a2−4ab+4b2)3 = (3a2+5ab−5b2)3+(4a2−4ab+6b2)3+(5a2−5ab−3b2)3

2

(ix − ky)n+ (iy − kz)n+ (iz − kx)n= (iy − kx)n+ (iz − ky)n+ (ix − kz)n

khi n = 0, 1, 2, 4 trong đó i là đơn vị ảo, ie i2 = −1

iii.(a2−c2+2bd)2+(d2−b2+2ac)2 = (a2−b2+c2−d2)2+2(ab−bc+dc+ad)2

14 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

(a+b+c)4+(a+b−c)4+(a−b+c)4+(−a+b+c)4 = 4(a4+b4+c4)+24(a2b2+b2c2+c2a2)

17 Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3+ c3 = 3abc

Bài giải Hãy chú ý rằng ta có đẳng thức

a3 + b3+ c3− 3abc = (a + b + c)(a2+ b2+ c2− ab − bc − ca)

18 Cho các số a, b, c Đơn giản biểu thức sau đây

20 Cho a + b + c = 0 , chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây

23 Cho đa thức hai biến dạng Ax2+ 2Bxy + Cy2 Chứng minh rằng qua phép

đổi biển x = αu + βv và y = γu + δv đa thức trên có thể viết lại ở dạng

M u2+ 2N uv + P v2với N2− M P = (B2− AC)(αδ − βγ)2 Hãy mở rộngbài toán cho các dạng bậc hai nhiều chiều

26 Chứng minh rằng

x − 1)(1−

12x − 1)(1+

13x − 1) ã ã ã (1+

1(2n − 1)x − 1)(1−

12nx − 1) =

= (n + 1)x(n + 1)x − 1 ã (n + 2)x

1(x − 2)(x + 9) + ã ã ã +

1(x − 10)(x + 1)

ta suy ra đẳng thức

ab

cd =(a + b)2

(c + d)2

(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z)

31 Chứng minh rằng từ đẳng thức

(a + b + c + d)(a − b − c + d) = (a − b + c − d)(a + b − c − d)suy ra đẳng thức

a

c =

bd

ck(c − a)(c − b)Chứng minh rằng S−2 = abc1 ã (1

36 Giả sử rằng

cyclic

ak(a + b)(a + c)(a − b)(a − c)Hãy xác định S0, S1, S2, S3, S4

37 Chứng minh rằng ta có đồng nhất thức sau đây

X

cyclic

ab(c − x)(c − y)(c − z)(c − a)(c − b) = abc − xyz

38 Chứng minh rằng

X

cyclic

a2b2c2

(a − d)(b − d)(c − d) = abc + bcd + cda + dab

39 Hãy làm đơn giản biểu thức sau đây

X

cyclic

ak

(a − b)(a − c)(x − a)với k = 1, 2

40 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

X

cyclic

b + c + d(a − b)(a − c)(a − d)(a − x) =

x − a − b − c − d(x − a)(x − b)(x − c)(x − d)

41 Chứng minh rằng

X

cyclic

ak(x − b)(x − c)(a − b)(a − c) = x

cx + azy(ax − by + cz) =

ay + bxz(ax + by − cz)suy ra

xa(b2+ c2− a2) =

yb(c2 + a2− b2) =

zc(a2+ b2− c2)

xa2+ by2+ cz2 = 0

49 Cho a3+ b3+ c3 = (b + c)(c + a)(a + b)và (b2+ c2− a2)x = (c2+ a2− b2)y =(a2+ b2− c2)z Chứng minh rằng

52 Chứng minh rằng đẳng thức sau đây

X

cyclic

ak(x − b)(x − c)(x − d)(a − b)(a − c)(a − d) = x

k

với k = 0, 1, 2, 3

54 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

• (a + b + c)(bc + ca + ab) = abc + (b + c)(c + a)(a + b)

• (a2− 1)(b2− 1)(c2− 1) + (a + bc)(b + ca)(c + ab) = (abc + 1)(a2+

b2+ c2+ 2abc − 1)

• (b + c − a)3+ (c + a − b)3+ (a + b − c)3− 4(a3+ b3+ c3− 3abc) =3(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)

a(b − c)2 + b

67 Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b2 = c + d2, a2+ b = c2+ d Chứngminh rằng nếu a + b + c + d ≤ 2 thì {a, b} = {x, y}

68 Giả sử rằng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn đẳng thức a + b + c + d =

a7+ b7+ c7+ d7 = 0 Chứng minh rằng

(a + b)(a + c)(a + d) = 0

69 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

X

cyclic

ak(a − x)(a − y)(a − b)(a − c) =

xyabc

70 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

75 [HongKong TST 1993]Cho các số dương a, b, c thoả mãn

a + b + c

a + b − c

76 Cho các số thực dương a, b, c, d satisfying the conditions

9− 3

r2

9 +

3

r49

83 Chứng minh các đẳng thức sau đây

6 +

r847

27 +3s

6 −

r847

s

7 + 83

r55

3s

7 −83

r553(c)

86 Cho các số x, y khác không thoả mãn x2+ xy + y2 = 0 Hãy xác định giá

trị của biểu thức

x

x + y

2001

+

y

x + y

2001

87 Cho n là một số nguyên dương và 2n + 1 số được lấy từ tập hợp {2, 5, 9}

thoả mãn nếu ta viết chúng ở dạng dãy a1, a2, , a2n+1 thì hai số liên tiếp

bất kì đều khác nhau và a2n+1 = a1 Chứng minh rằng

a(bc − a2)2 + b

(ca − b2)2 + c

(ab − c2)2 = 0

89 Cho n là một số nguyên dương và n số thực x1, , xn Với mỗi k nguyêndương đặt Sk = xk

91 Cho các số thực x, y, z thoả mãn xyz(x + y + z) = 1 Chứng minh rằng

93 Cho n là một số nguyên dương chẵn Kí hiệu w = cos 2kπ

n + 1

n

Chứng minh rằng

1 + a1w + a2w2+ ã ã ã + anwn6= 0

1.2 Các đẳng thức Lượng giác

1 Chứng minh các đồng nhất thức sau

• cos a + cos b = 2 cos(a+b

• cos(a + b) ã cos(a − b) = cos2a − sin2b

• (cos a + cos b)2+ (sin a + sin b)2 = 4 cos2 a−b

2

• (cos a − cos b)2+ (sin a − sin b)2 = 4 sin2 a−b2

• cos(a + b) = cos a ã cos b − sin a ã sin b

• cos(a − b) = cos a ã cos b + sin a ã sin b

• sin(a + b) = sin a ã cos b + cos a ã sin b

• sin(a − b) = sin a ã cos b − cos a ã sin b

• sin 2a = 2 sin a ã cos a

• cos 2a = cos2a − sin2a = 2 cos2a − 1 = 1 − 2 sin2a

• cos2a + sin2a = 1

• tan 2a = 2 tan a

1−tan 2 a

• sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a

• cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a

• tan 3a = 3 tan a−tan 3 a

1−3tg 2 a

• tan a − tan b = cos aãcos bsin(a−b)

• cot a + cot b = sin aãsin bsin(a+b)

• cot a − cot b = sin aãsin bsin(b−a)

4 Chứng minh rằng ta có các đẳng thức sau đây

• tan4a = cos 4a−4 cos 2a+3cos 4a+4 cos 2a+3

• 1

2 ã cot4a = sin1−8 sin22a+4 sin2 a−cos 4a2a−4

• cot a − tan a − 2 tan 2a − 4 tan 4a = 8 cot 8a

• cos6a − sin6a = (3+cos22a) cos 2a4

• 2(sin6a + cos6a) − 3(sin4a + cos4a) + 1 = 0

• 1+sin 2a

sin a+cos a −1−tan2 a2

1+tan 2 a 2

•

√

1+cos a+√1−cos a

√

1+cos a−√1−cos a = cot(a2 +π4)

5 Cho sin(a + 2b) = 2 sin a Chứng minh rằng tan(a + b) = 3 tan b

6 Cho

sin(x − α)sin(x − β) =

abcos(x − α)cos(x − β) =

a1

b1với ab1+ a1b 6= 0 Chứng minh rằng

r2− 1

1 + 2r cos u + r2 = r + cos u

r − cos v = ±

sin usin v = −

1 + r cos u

1 + r cos v

12 Cho cos x = tan y, cos y = tan z, cos z = tan x Chứng minh rằng

sin x = sin y = sin z =

√

5 − 12

sin2 x

2 =

2a2 − a1− a34a2

15 Cho

sin βsin(2α + β) =

mnChứng minh rằng

sin2α cos βsin2β cos αChứng minh rằng

17 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

sin(a + b − c − d) = sin(a − c) sin(a − d)

sin(b − c) sin(b − d)sin(b − a)X

cyclic

cos a − cos(a + b + c) = 4 Y

cyclic

cosa + b2

sin asin(a − b) sin(a − c) = 0X

cyclic

cos asin(a − b) sin(a − c) = 0X

cyclic

sin3a cos(b − c) = 0X

cyclic

sin3a sin(b − c) = 0X

cyclic

sin a = 4 Y

cyclic

cosa2X

cyclic

cos a = 1 + 4 Y

cyclic

sina2X

cyclic

tan a = Y

cyclic

tan a

sin 2a = 4 Y

cyclic

sin aX

cyclic

cos2a = 2 Y

cyclic

cos a + 1

21 Giả sử rằng a1cos α1+ a2cos α2+ ã ã ã + ancos αn = 0và a1cos(α1+ θ) +

a2cos(α2 + θ) + ã ã ã + ancos(αn+ θ) = 0 với θ 6= k ã π(k ∈ Z) Chứngminh rằng với mọi λ ∈ R ta có đẳng thức

a1cos(α1+ λ) + a2cos(α2+ λ) + ã ã ã + ancos(αn+ λ) = 0

22 Giả sử rằng

atan(α + x) =

btan(α + y) =

ctan(α + z)Chứng minh rằng

25 Chứng minh rằng

sin 180 =

√

5 − 14tg150 = 2 −√

3sin 150 =

√

6 −√24cos 150 =

√

6 −√24cos 180 = 1

4

q

10 + 2√

2

1sin2 2π7 +

1sin2 3π7 = 8

29 Chøng minh r»ng

tan250+ tan2100+ · · · + tan2800+ tan2850 = 195

30 [The Democratic Republic of Germany 3] Chøng minh r»ng

2 sin

π5

35 Các số nguyên a1, a2, , an nhận các giá trị là +1 hoặc −1 Chứng minhrằng

3 sin 2500 = √4

3tan 90 − tan 630+ tan 810− tan 270 = 4cos 100cos 500cos 700 =

√38tan π

11+ 4 tan

2π

11 =

√11tan6200+ tan6400+ tan6800 = 33273tan6100+ tan6500+ tan6700 = 433

38 [Mathematical Excalibur 1995] Chứng minh rằng

n

2 − 14

40 Giả sử rằng  = cos2π

n + i sin2πn với n là số nguyên dương và đặt

Ak = a0+ a1k+ a22k+ ã ã ã + an−1(n−1)kvới k = 0, 1, 2, , n − 1 Chứng minh rằng

n−1

X

k=0

|Ak|2 = n{a20+ a21+ ã ã ã + a2n−1}

41 Chứng minh đồng nhất thức sau đây

cos nφcosnφ = 1 −

n2

tan2φ +n

4

tan4φ − ã ã ã + A

ở đây A = (−1)n

2 tannφvới n chẵn và bằng (−1)n−1

2 n n−1
tann−1φ

42 Chứng minh rằng

sin nφcosnφ =

n1

tan φ −n

3

tan3φ +n

2 tannφ nếu n

lẻ

43 Giả sử rằng 0 < α ≤ π và 0 < β ≤ π thoả mãn tính chất

cos α + cos β − cos(α + β) = 3

2Chứng minh rằng

α = β = π

3

44 Giả sử rằng 0 < α ≤ π và 0 < β ≤ π thoả mãn tính chất

cos α ã cos β ã cos(α + β) = −1

8Chứng minh rằng

48 Chứng minh rằng nếu (x − a) cos θ + y sin θ = (x − a) cos θ1+ y sin θ1 = a

a + c

b + dc

52 Giả sử rằng α, β là các góc nhọn thoả mãn đẳng thức sin2α + sin2β =sin(α + β) Chứng minh rằng α + β = π

tan θtan ϕ =

tan αtan γChứng minh rằng

tan2 α

2 ã tan2γ

2 = tan

2 β2

54 Chứng minh rằng nếu cos θ = cos α cos β , cos ϕ = cos α1cos β , tanθ

2 ãtanϕ2 = tanβ2 thì ta có đẳng thức sau đây

sin2β = ( 1

cos α− 1) ã ( 1

cos α1 − 1)

55 Giả sử rằng x cos(α + β) + cos(α − β) = x cos(β + γ) + cos(β − γ) =

x cos(γ + α) + cos(γ − α) Chứng minh rằng

tan αtan12(β + γ) =

tan βtan12(α + γ) =

tan γtan12(α + β)

56 Chứng minh rằng nếu

sin(θ − β) ã cos αsin(ϕ − β) ã cos β +

cos(α + θ) ã sin βcos(ϕ − β) ã sin α = 0và

tan θ ã tan αtan ϕ ã tan β +

cos(α − β)cos(α + β) = 0thì

58 Chứng minh rằng từ đẳng thức cos(θ − α) = a; sin(θ − α) = b ta suy ra

a2− 2ab sin(α − β) + b2 = cos2(α − β)

59 Giả sử rằng ta có các đẳng thức cos(α − 3θ) = m cos3θ và sin(α − 3θ) =

ta suy ra đẳng thức

tan2α = tan2β + tan2γ

61 [HongKong TST 2001] Giả sử rằng tan α, tan β là nghiệm của phương trình

x2+ πx +√

2 = 0 Chứng minh rằngsin2(α + β) + π sin(α + β) cos(α + β) +√

63 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

2nã ã ã sin(n − 1)π

√n

2n−1

cos 2π2n + 1 ã cos 4π

2nã ã ã cos(n − 1)π

√n

2n−1

tan π2n ã tan2π

65 Chứng minh rằng nếu cos α+i sin α là nghiệm của phương trình xn+p1xn−1+

ã ã ã + pn = 0thì p1sin α + p2sin 2α + ã ã ã + pnsin nα = 0ở đó p1, p2, , pn

là các số thực

66 Chứng minh các đẳng thức sau đây

3

rcos2π

3

rcos4π

3

rcos8π

3

r1

2(5 −

3

√7)

3

rcos2π

3

rcos4π

3

rcos8π

3

r1

2(3

3

√

9 − 6)

67 Giả sử rằng

uk= sin 2nx ã sin(2n − 1)x ã ã ã sin(2n − k + 1)x

sin x ã sin 2x ã ã ã sin kxChứng minh các đẳng thức sau đây

1 − u1+ u2−u3+ ã ã ã + u2n = 2n(1 − cos x)(1 − cos 3x) ã ã ã (1 − cos(2n − 1)x)

1 − u21+ u22− u23+ ã ã ã + u22n = (−1)nsin(2n + 2)x ã sin(2n + 4)x ã ã ã sin 4nx

sin 2x ã sin 4x ã ã ã sin 2nx

68 Chứng minh đẳng thức sau đây

tan 300+ tan 400+ tan 500+ tan 600 = 8

√3

3 cos 20

0

69 Cho tan 11x = tan 340 và tan 19x = tan 210 Hãy xác định tan 5x

70 Chứng minh các đẳng thức sau đây

cos(arcsin x) =p(1 − x2)sin(arccos x) =p(1 − x2)tan(arccotx) = 1

xcot(arctan x) = 1

xcos(arctan x) = 1

7) = sin(4 ã arctan

1

3)

72 Chứng minh các đồng nhất thức sau đây

arctan x + arctan y = arctan x + y

1 + xy +  ã πtrong đó  = 0 nếu xy < 1 ,  = −1 nếu xy > 1 và x < 0 , và  = 1 nếu

ζ = 1,  = 0nếu xy < 0 hoặc x2+ y2 ≤ 1

ζ = −1,  = −1nếu x2+ y2 > 1, x < 0, y < 0

ζ = −1,  = +1 nếu x2+ y2 > 1, x > 0, y > 0

75 Hãy chứng minh các đồng nhất thức sau

sin 5α = sin5α − 10 sin3α cos2α + 5 sin α cos4αcos 5α = cos5α − 10 cos3α sin2α + 5 cos α sin4αcos nα = cosnα −n

2

cosn−2α sin2α +n

4

cosn−4α sin4α − ã ã ã

sin nα =n

1

cosn−1α sin α−n

3

cosn−3α sin3α+n

5

cosn−5sin5α−ã ã ã

76 Giả sử rằng

z +1

z = 2 cos αthì ta có đẳng thức

cos ϕ+cos(ϕ+α)+cos(ϕ+2α)+ã ã ã+cos(ϕ+nα) = sin

(n+1)α

2 ã cos(ϕ + nα

2)sinα

2

cos2α + cos22α + ã ã ã + cos2nα = sin(n + 1)α cos nα

2sin2α + sin22α + ã ã ã + sin2nα = n + 1

2 −sin(n + 1)α cos nα

2 sin αcos α+n

1

cos 2α+n

2

cos 3α+ã ã ã+

n

n − 1

cos nα+cos(n+1)α = 2ncosnα

2

sin 3α+ã ã ã+

n

n − 1

sin nα+sin(n+1)α = 2ncosnα

6π2n + 1+ ã ã ã + cos

2nπ2n + 1 = −

12cot2 π

78 [ IMO 1966 The fourth Problem ]1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên

dương n và mọi số thực α thoả mãn sin 2nα 6= 0ta có đẳng thức

n

X

k=1

1sin 2kα = cot α − cot 2

81 Chứng minh rằng với mọi x ∈ R ta có

82 H·y rót gän c¸c tæng sau ®©y

k=1bksin ak ë ®©y {ak}+∞k=1 vµ {bk}+∞k=1 lµ c¸c cÊp sè céng

5) Pn

k=1bkcos ak ë ®©y {ak}+∞

k=1 vµ {bk}+∞

k=1 lµ c¸c cÊp sè céng6) Pn

k=1bksin ak ë ®©y {ak}+∞

k=1 lµ cÊp sè nh©n vµ {bk}+∞

k=1 lµ cÊp sè céng7) Pn

k=1bkcos ak ë ®©y {ak}+∞

k=1 lµ cÊp sè nh©n vµ {bk}+∞

k=1 lµ cÊp sè céng8) Pn

k=1

1 sin a k sin a k+1 ë ®©y {ak}+∞

k=1 lµ cÊp sè céng9) Pn

k=1

1 cos a k cos a k+1 ë ®©y {ak}+∞k=1 lµ cÊp sè céng10) Pn

84 Chøng minh r»ng

sin x + sin 2x + sin 4x
5− − sin x + sin 2x + sin 4x
5

−

− sin x − sin 2x + sin 4x
5

− sin x + sin 2x − sin 4x
5

2) Chøng minh hÖ thøc sau ®©y |A|2+ |B|2+ |C|2 = 3(|x|2| + |y|2+ |z|2)

xy + x + y ≤ 1Chứng minh rằng x ≤ 2.

4 [ RoMO97 ]1Cho đa thức bậc ba f(x) = ax3+ bx2+ cx + dvới a, b, c, d ∈ Rthoả mãn điều kiện f(2) + f(5) < 7 < f(3) + f(4) Chứng minh rằng tồntại các số thực u, v thoả mãn u + v = 7 và f(u) + f(v) = 7

5 Cho các số thực a, b, c, r, s ∈ R thoả mãn

(

ar2+ br + c = 0

−as2+ bs + c = 0Chứng minh rằng tồn tại số thực u thoả mãn

2x − 1 =√

2(b) p

x +√2x − 1 +px −√

2x − 1 = 1(c) p

x +√2x − 1 +px −√

2x − 1 = 2

7 [ IMO 1959 ] Cho các số thực a, b, c Cho phương trình sau của cos x :

a cos2x + b cos x + c = 0Hãy dựng một phương trình bậc hai đối với cos 2x từ phương trình nói trên

và tìm các giá trị của a, b, c để hai phương trình đó có cùng nghiệm x Sosánh giá trị của cos x và cos 2x khi mà a = 4 , b = 2 , c = −1

1 Romania Mathematical Olympiad 1997

2 International Mathematical Olympiad 1959 The second Problem

8 [ IMO 1960 ] Tìm tất cả các giá trị thực của x mà bất đẳng thức dưới đây

đúng

4x2(1 −√

18 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho các số thực a, b, c không đồng thờibằng không Giả sử rằng các số thực x1, x2, , xn thoả mãn n phương trình

ax2i + bxi+ c = xi+1với mọi 1 ≤ i < n và ax2

n+ bxn+ c = x1 Chứng minhrằng hệ này không có nghiệm, một nghiệm, nhiều hơn một nghiệm thực phụthuộc vào giá trị của số (b − 1)2 − 4ac tương ứng là âm, bằng không haydương

19 [ IMO 1969 The second Problem ] Xét phương trình

π ie tồn tại số hữu tỷ r sao cho x1− x2 = r ã π

20 [ IMO 1972 The fourth Problem ] Hãy xác định tất cả các nghiệm số dươngcủa phương trình

2− x4x1)(x2

3− x4x1) ≤ 0(x2

3− x5x2)(x2

4− x5x2) ≤ 0(x2

4− x1x3)(x2

5− x1x3) ≤ 0(x2

là hợp của các đoạn rời nhau, có tổng độ dài bằng 1988

23 [ Kurs.MO1975 The first Problem ]3 Hãy biến đổi phương trình

(a + c)2 + 1

(a − c)2
= a − bthành dạng đơn giản hơn với a > c ≥ 0 và b > 0

3 Kurschák Mathematical Competition 1975

24 [ Kurs.MO1976 The third Problem ] Chứng minh rằng nếu tam thức bậc hai

ax2+ bx + cluôn nhận giá trị dương với mọi giá trị thực x thì nó có thể viết

được dưới dạng thương của hai đa thức với các hệ số dương

25 [ Irish Mathematical Olympiad 1999 The first Problem ]4 Hãy xác định tấtcả các số thực x thoả mãn

x2(x + 1 −√

x + 1)2 < x

2+ 3x + 18(x + 1)2

26 [ Irish MO 1999 The sixth Problem ]5 Giải hệ phương trình sau đây

29 [ Irish MO 1994 The ninth Problem ] Cho w, a, b, c là các số thực thoả mãntồn tại các số thực x, y, z thoả mãn hẹ phưong trình sau đây

Hãy biểu diễn w theo các số a, b, c

30 [ Irish MO 1993 The first Problem ] Cho các số thực α, β thoả mãn các hệphương trình

(

α3− 3α2+ 5α − 17 = 0

β3− 3β2 + 5β + 11 = 0Hãy tìm tổng α + β

4 Irish Mathematical Olympiad 1999 the first Paper

5 Irish Mathematical Olympiad 1999 the second Paper

31 [ MiU.MC1998 ]6 Hãy xác định tất cả các nghiệm thực của phương trình

1998x+ 1999x = 1997x+ 2000x

32 [Moscow Mathematical Olympiad 2000, for 9 Class] Hãy xác định tất cả các

số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình sau đây

sin4(cos43x) + cos4(cos43x) = 1

35 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Giải phương trình lượng giác sau đây

qsin x −√

sin x + cos x = cosx

36 [Moscow MO 2000, for 9 Class] Giải hệ phương trình sau đây

38 [Moscow MO 2000, for 11 Class] Xác định nghiệm của hệ thống phươngtrình sau đây

(2y − x = sin x − sin 2ycos x + 5 sin y = 4

39 [Moscow MO 2001, for 8 Class] Giải phương trình

x3+ 5x2+ 2x = 8

6 Undergraduate Mathematics Competition 1998 at University of Michigan

40 [Moscow MO 2001, for 9 Class] Giải phương trình sau đây

41 [Moscow MO 2001, for 11 Class] Giải bất phương trình x10+ x6+ x5+ x3+

3)x = 4x

(c) 2x+ 3x+ 5x−1 = 21−x+ 31−x+ 5−x

(d) log2(1 +√3

x ) = log7x(e) 2 log3(cot x) = log2(cos x)

(o) √3

1 + x +√

1 − x = √3

2(p) √x − 2 +√

4 − x = x2− 6x + 11(q) √4

x − 1 +√3

x − 2 = √3

2x − 3(s) 1995 − x

1996

+ 1996 − x ... Problem ] Cho w, a, b, c số thực thoả mãntồn số thực x, y, z thoả mãn hẹ phưong trình sau

Hãy biểu diễn w theo số a, b, c

30 [ Irish MO 1993 The first Problem ] Cho số thực α, β thoả mãn... 32

18 [ IMO 1968 The third Problem ] Cho số thực a, b, c không đồng thờibằng không Giả sử số thực x1, x2, , xn... số thực u, v thoả mãn u + v = f(u) + f(v) =

5 Cho số thực a, b, c, r, s ∈ R thoả mãn

(

ar2+ br + c =

−as2+ bs + c = 0Chứng minh tồn số