các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

106 Website:tailieumontoan.com CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chun đề tốn phuong trình nghiệm nguyên Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng tốn phương trình nghiệm ngun thường kì thi gần Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt ẩn số biểu thức chứa ẩn phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản • Xét số dư hai vế phương trình để phương trình khơng có nghiệm, tính chẵn lẻ vế, … • Đưa phương trình dạng phương trình ước số • Phát tính chia hết ẩn • Sử dụng tính đồng dư đại lượng nguyên Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề tốn phương trình nghiệm ngun giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương pháp Sử dụng tính chất quan hệ chia hết Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt ẩn số biểu thức chứa ẩn phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản • Xét số dư hai vế phương trình để phương trình khơng có nghiệm, tính chẵn lẻ vế, … • Đưa phương trình dạng phương trình ước số • Phát tính chia hết ẩn • Sử dụng tính đồng dư đại lượng nguyên Ví dụ Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: a) x2 − y2 = 1998 b) x2 + y2 = 1999 Lời giải x2 ;y2 a) Dễ dàng chứng minh chia cho có số dư nên x2 − y2 chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun x2 ; y2 b) Dễ dàng chứng minh chia cho có số dư nên x2 + y2 chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x + = y2 + y Lời giải Biến đổi phương trình: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 9x + = y ( y + 1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên y ( y + 1) chia cho dư Như Khi ta Thử lại ta thấy y = 3k + y + 1= 3k + với k số nguyên 9x + = ( 3k + 1) ( 3k + 2) ⇔ 9x = 9k ( k + 1) ⇔ x = k ( k + 1) x = k ( k + 1) y = 3k + Vậy nghiệm phương trình thỏa mãn phương trình cho  x = k ( k + 1)    y = 3k + Ví dụ Giải phương trình nghiệm nguyên với k số nguyên tùy ý x2 − 5y = 27 Lời giải Một số ngun x biểu diễn dạng • x = 5k ± Nếu x = 5k x = 5k x = 5k ± , k số nguyên Khi ta xét trường hợp sau: , từ x2 − 5y2 = 27 ta ( 5k ) ( ) − 5y2 = 27 ⇔ 5k2 − y2 = 27 Điều vơ lí vế trái chia hết cho với k y số nguyên, vế phải khơng chia hết cho • Nếu x = 5k ± , từ ( 5k ± 1) x2 − 5y2 = 27 ta ( ) − 5y2 = 27 ⇔ 25k2 ± 10k + 1− 5y2 = 27 ⇔ 5k ± 2k − y2 = 26 Điều vơ lí vế trái chia hết cho với k y số ngun, vế phải khơng chia hết cho Nếu x = 5k ± ( 5k ± 2) , từ x2 − 5y2 = 27 ta ( ) − 5y2 = 27 ⇔ 25k ± 20k + − 5y2 = 27 ⇔ 5k2 ± 4k − y2 = 23 Điều vơ lí vế trái chia hết cho với k y số nguyên, vế phải khơng chia hết cho Vậy phương trình cho khơng có nghiệm số ngun Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau 19x2 + 28y2 = 729 Lời giải ( 18x Cách Viết phương trình cho dạng Từ phương trình suy x2 + y2 ) ( ) + 27y2 + x2 + y2 = 729 chia hết Chú ý số phương chia cho có số dư Nên từ x2 + y2 chia hết ta suy x y chia hết cho Đặt x = 3u;y = 3v ( u;v ∈ Z ) Thay vào phương trình cho ta 19u2 + 28v2 = 81 19u2 + 28v2 = 81 Từ phương trình , lập luận tương tự ta suy u = 3s;v = 3t ( s;t ∈ Z ) Thay vào phương trình Từ phương trình Do ta 19u2 + 28v2 = 81 19s2 + 28t2 = ta 19s2 + 28t2 = suy s, t không đồng thời 19s2 + 28t2 ≥ 19 > Vậy phương trình 19s2 + 28t2 = vơ nghiệm phương trình cho vơ nghiệm Cách Giả sử phương trình cho có nghiệm 28y2 Dễ thấy chia hết cho 729 chia dư Từ ta suy 19x2 Mặt khác số phương chia có số dư 1, có số dư 3, điều mâu thuẫn với 19x2 chia dư 19x2 chia chia dư Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Xác định tất cặp nguyên dương ( x;n) thỏa mãn phương trình: x3 + 3367 = 2n Lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Để sử dụng đẳng thức ( a3 – b3 = ( a– b) a2 + ab + b2 ) ta chứng minh n chia hết cho x3 + 3367 = 2n Nhận thấy 3367 chia hết từ phương trình có số dư chia cho 7(hay 2n Nếu n không chia hết cho 4, để x3 2n ( (2 m Hay ta m Hơn • Xét chia cho cho số dư ) ) x3 + 3367 = 23m Thay vào phương trình cho ta ) ( ( 2m − x) −x ) + 3x.2m = 3367 2m − x − x < 23m − x3 = 3367 2m − x = (mod 7)) chia cho cho số dư hoặc Do Từ phương trình ta suy (2 2n có số chia cho n phải chia hết cho n = 3m m ∈ N * Đặt x3 x3 ≡ 2n suy x3 , thay vào ước nguyên dương 3367 (2 m nên x3 + 3367 = 23m ) − x ∈ { 1;7;13} Ta xét trường hợp sau ( ) 2m 2m – = 2.561 ta suy , phương trình vơ nghiệm • Xét 2m − x = , thay vào x3 + 3367 = 23m ( ) 2m 2m – 13 = 2.15 ta suy , phương trình vơ nghiệm • Xét m= 2m − x = 13 x3 + 3367 = 23m , thay vào nên ta suy n = 12 Vậy cặp số nguyên dương ( x;n) x=9 ( ) 2m 2m – = 24.32 ta suy Từ ta có thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: ( 9;12) 2x2 + 4x = 19 − 3y2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Biến đổi tương đương phương trình ( 2x2 + 4x + = 21− 3y2 ⇔ 2( x + 1) = − y2 ( ) ) − y2 M2 ⇒ − y2 M2 ⇒ Ta thấy Ta lại có − y2 ≥ Từ ta y số lẻ 2( x + 1) = 18 y2 = nên Khi ta x= Suy cặp số x = −4 ( 2;1) ,( 2; −1) ,( −4;1) ,( −4; −1) nghiệm phương trình cho Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 − 2x − 11 = y2 Lời giải Cách Biến đổi tương đương phương trình ta x2 − 2x − 11 = y2 ⇔ x2 − 2x + 1− 12 = y2 ⇔ ( x − 1) − y2 = 12 ⇔ ( x − 1+ y ) ( x − 1− y ) = 12 Ta có nhận xét: + Vì phương trình cho chứa y có số mũ chẵn nên giả sử y≥0 Thế x − 1+ y ≥ x − 1− y + Ta có ( x − 1+ y ) − ( x − 1− y) = 2y nên x − 1+ y x − 1− y tính chẵn lẻ Tích chúng 12 nên chúng số chẵn Với nhận xét ta có hai trường hợp • • Trường hợp 1: Ta có Trường hợp 1: Ta có x − 1+ y = x = ⇒  x − − y =  y = x − 1+ y = −2 x = −3 ⇒  x − − y = −   y = −2 Vậy phương trình cho có nghiệm ( x;y) = ( 5;2) ,( 5; −2) ,( −3;2) ,( −3; −2) ( ) x2 − 2x − 11+ y2 = Cách Viết thành phương trình bậc hai x Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Khi ta có ∆' = 1+ 11+ y2 = 12 + y2 Điều kiện cần để bậc hai có nghiệm nguyên Từ ta đặt Giả sử y≥0 12 + y2 = k ( k ∈ ¥ ) k+ y ≥ k− y hay ta k+ y≥ ∆' số phương k2 − y2 = 12 ⇔ ( k + y ) ( k − y ) = 12 lai có ( k + y ) – ( k – y ) = 2y nên k+y k−y tính chẵn lẻ phải chẵn k + y =  k − y = Từ nhận xét ta có Do ta y=2 , ta x2 − 2x − 15 = Vậy phương trình cho có nghiệm , suy x= x= ( x;y) = ( 5;2) ,( 5; −2) ,( −3;2) ,( −3; −2) Ví dụ Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x2 + y2 + z2 = 1999 Lời giải Ta biết số phương chẵn chia hết cho 4, số phương lẻ chia cho dư chia cho dư Tổng x2 + y2 + z2 x2 ;y2 ;z2 số lẻ nên ba số phải có số lẻ hai số chẵn ba số lẻ x2 ;y2 ;z2 + Trường hợp ba số có số lẻ hai số chẵn vế trái phương trình cho chia cho dư 1, vế phải 1999 chia cho dư 3, trường hợp loại x2 ;y2 ;z2 + Trường hợp ba số lẻ vế trái phương trình chia cho dư 3, vế phải 1999 chia cho dư 7, trường hợp loại Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun Ví dụ Tìm nghiệm ngun dương phương trình: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 1 1 + + = x y 6xy TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Lời giải Nhân hai vế phương trình với 6xy ta 6y + 6x + = xy x ( y − 6) − 6( y − 6) = 37 ⇔ ( x − 6) ( y − 6) = 37 Đưa phương trình ước số ta Do vai trò bình đẳng x y nên khơng tính tổng quát ta giả sử x − ≥ y − ≥ −5 x y nguyên dương nên ta x≥ y≥1 , x − = 37 x = 43 ⇔  y − = y = Do có trường hợp xẩy Vậy phương trình cho có nghiệm ( x;y ) = ( 43;7) ,( 7;43) Ví dụ 10 Tìm số tự nhiên x số nguyên y cho: 2x + = y2 Lời giải Lần lượt xét giá trị tự nhiên x sau + Nếu + Nếu Nếu x= x=1 x≥ thì y2 = y2 = , nên y = ±2 , phương trình khơng có nghiệm ngun 2x + số lẻ nên y số lẻ Lại có 2x M4 nên 2x + chia cho y2 dư 3, chia cho dư Do phương trình khơng có nghiệm Vậy nghiệm phương trình ( x;y ) = ( 0;2) ,( 0; −2) Ví dụ 11 Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: 2x + 57 = y2 Lời giải Xét hai trường hợp: • Trường hợp 1: Nếu x số nguyên lẻ Đặt 2x = 22n+1 = 2.4n = 2( 3+ 1) = 2( 3a + 1) = 6a + x = 2n + 1( n ∈ ¥ ) Khi ta có n Tác giả: Nguyễn Công Lợi với a số nguyên dương TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Khi vế trái phương trình số chia cho dư 2, vế phải số phương chia cho khơng dư Do trường hợp loại • ( x = 2n n ∈ ¥ * Trường hợp : Nếu x số nguyên chẵn Đặt ( y2 − 22n = 57 ⇔ y + 2n Ta thấy y + 2n > y − 2n > nên ) Khi ta có ) ( y − ) = 3.19 n y + 2n > y − 2n Do có trường hợp sau Thử lại ta thấy y + 2n 57 19 y − 2n 2n 28(loại) n y 11 x = 2n 26 + 57 = 112 Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 12 Giải phương trình nghiệm ngun: ( 6;11) x3 + y3 = 6xy − Lời giải Biến đổi tương đương phương trình ta x3 + y3 = 6xy − ⇔ ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 6xy − Đặt a = x + y;b = xy với a, b số nguyên Khi phương trình trở thành Từ ta suy Suy a+ a3 + 1Ma + a3 − 3ab = 6b − ⇔ a3 + = 3b( a + 2) hay ta b= ước 7, ta có a+ Tác giả: Nguyễn Công Lợi ( a + 8− 7) M( a + 2) a3 + 3( a + 2) −1 nên 7Ma + , nên ta có bảng giá trị sau TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com a b= a3 + 3( a + 2) −1 −3 Không nguyên Từ ta có nghiệm phương trình • • Với Với ( a;b) = ( −1;0) ( a;b) = ( 5;6) ta ta a3 − 3ab = 6b − Không nguyên ( a;b) = ( −1;0) ,( 5;6) x + y = −1  x = 0;y = −1 ⇒  xy =  x = −1;y = x + y =  x = 2;y = ⇒  xy =  x = 3;y = Thử lại ta nghiệm phương trình Ví dụ 13 Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x;y ) = ( 0; −1) ,( −1;0) ,( 2;3) ,( 3;2) 3x2 − 2y2 − 5xy + x − 2y − = Lời giải Phương trình tương đương với i ( 3x ) ( ) − 6xy + −2y2 + xy + ( x − 2y ) = ⇔ 3x ( x − 2y ) + y ( x − 2y ) + ( x − 2y ) = ⇔ ( x − 2y ) ( 3x + y + 1) = = 1.7 = 7.1 = −1.( −7) = −7.( −1) Do ta có trường hợp sau: +Trường hợp 1: +Trường hợp 2:  13  x − 2y = x − 2y =  x = ⇔ ⇔  3x + y + = 3x + y =   y =  ,(loại) x − 2y = x − 2y =  x = ⇔ ⇔  3x + y + = 3x + y =  y = −3 ,(nhận)  17 x = −   x − 2y = −1  x − 2y = −1  ⇔ ⇔   3x + y + = −7  3x + y = −8  y = −  +trường hợp 3: ,(loại)  11 x = −  x − 2y = −7  x − 2y = −7  ⇔ ⇔  3x + y + = − 3x + y = − 19   y =  + Trường hợp 4: ,(loại) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com + Nếu y ≤ −2 y≥0 Từ phương trình (3) suy 2y2 + 3y = y ( 2y + 3) ≥ 2t2 − 7t ≤ ⇔ t ( 2t − 7) ≤ ⇒ ≤ t ≤ Mặt khác, theo phương trình (3) nên ta tM7 t=0 (do t∈ ¢ ) Suy y ( 2y + 3) = ⇒ y = Do ta Thử lại, ta thấy thoả mãn phương trình (1) x=1 1; ( ) Vậy phương trình cho có nghiệm ngun Bài 51 Giải phương trình nghiệm nguyên Từ phương trình ta ( 1; 0) 3x −  y3 =  1 ( ) 3x = ( y + 1) y2 − y + tồn số tự nhiên m n cho  y + = 3m  y = 3m −   m n m n  y − y + = ⇔ 9 − 3.3 + = m + b = x m + b = x   + Nếu +Nếu m=0 m>0 thì x= y = − 3.3 + m m chia hết cho mà không chia hết cho chia hết cho mà khơng chia hết Suy − 3.3 + = ⇒ m m m (3 m ) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi n=1 ta đươc − = 0⇒ m = Vậy phương trình có hai nghiệm 3n ( 0; 0) , ( 2; 2) x= y = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Bài 52 Ta có nhận xét: Nếu ( x;y) Nhận thấy ( x;y) với x dương Khơng tính tổng qt giả sử phương trình cho trở thành ( y − 1) ( y + 1) = x−1 Suy ( 1+ 2x+1 y>0 ) =y −1 hay ) hai số chẵn liên tiếp, hiển nhiên hai số y−1 y+1 chia hết cho ( x+1 1+ x x−1 thỏa mãn phương trình cho ( 0;2) ,( 0; −2) Ta xét nghiệm + Vì x≥ nghiệm ( x; − y) Khi nghiệm 2x+ 1+ ( y − 1) ( y + 1) chia hết cho Do ta số lẻ nên hai số không chia hết cho x y−1 y+1 x≥ phải có số chia hết cho Do ta đặt x−1 y = m.2 +t với m lẻ t = ±1 Thay vào phương trình Hay ta 1+ 2x + 22x+1 = y2 ( ta ( m.2 x−1 ) ( + t − = 2x−1.2 1+ 2x+1 ) ) 1− mt = 2x−2 m2 − Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Với t=1 Với m y ( x+ y = m ) 3x − 3y = ⇔ 3y 3x− y − = không chia hết cho = 2.3 nên ta ta y y =  = ⇒  x− y  − = x = Từ ta m = 3;n = Bài 55 Phương trình cho tương đương với ( x − 2) + ( y − 1) 2 = 7( t + 1) Ta có nhận xét: Một số phương chia cho có số dư 0; 1; 2; Do tổng hai số phương mà chia hết chi hai số phương chia hết cho Như từ ( x − 2) + ( y − 1) 2 = 7( t + 1) Do số nguyên tố nên ta Do ta Mà ta lại có ( x − 2) + ( y − 1) 1≤ t ≤ Đến ta nên từ ( x − 2) x − 2M7; y − 1M7 M7; ( y − 1) M7 nên M49 ⇒ 7( t + 1) M49 ⇒ t + 1M t + 1M7 ( x − 2) + ( y − 1) ta suy t=6 ( x − 2) M49; ( y − 1) M49 Chú ý = 49 49 = + = + 2 nên ta xét trường hợp sau: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com • Trường hợp 1: Với nên ta • ( x − 2) = x =  ⇒   ( y − 1) = 72  y = −6;y = Do x, y số nguyên dương x = 2;y = Trường hợp 1: Với thỏa mãn phương trình cho ( x − 2) =  x = −5;x =  ⇒   y = ( y − 1) = nên ta x = 9;y = Do x, y số nguyên dương thỏa mãn phương trình cho Vậy số nguyên dương ( x;y;t) thỏa mãn phương trình ta ( 2;8;6) ,( 9;1;6) Bài 56 Cách Đặt x = 2y + k với k∈Z vào phương trình x = 4y + x y + y + 13 3 ta ( 2y + k ) ( ) = 4y + ( 2y + k ) y + y + 13 ⇔ 8ky + 5k − y + k − 13 = 2 Xem phương trình phương trình ẩn y với k tham số Khi ta thấy • Nếu x = −26 • Nếu k=0 phương trình trở thành y + 13 = ⇒ y = −13 , từ ta k≠0 , phương trình trương trình bậc hai ẩn y có k tham số Ta có ( ) ( ) ∆ = 5k2 − − 32k k3 − 13 = −7k4 − 10k2 + 416k + Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com + Xét k≥4 , ta có ∆ = 7k − 10k + 416k + 1< −7.4 k + 416k + 1= 1− 32k < nên phương trình khơng có nghiệm + Xét , ta có nên phương trình k ≤ −1 ∆ = 7k4 − 10k2 + 416k + 1< 416k + 1< khơng có nghiệm + Xét 1≤ k ≤ - Với , k=1 nên ta k = 1;2;3 , thay vào phương trình ta , từ ta suy - Với k∈Z k=2 x= ta 8y2 + 4y − 12 = ⇒ y = ∆ = 681 với k=3 ta ∆ = 592 , số phương nên phương trình khơng có nghiệm ngun Vậy phương trình cho có hai nghiệm ngun ( x;y) ( −26; − 13) , ( 3;1) Cách Biến đổi tương đương ta ( ) x3 = 4y3 + x2y + y + 13 ⇔ ( x − 2y ) x2 + xy + 2y2 = y + 13 • • Nếu Nếu y = −13 y ≠ −13 ước , ta ( x − 2y ) ( x + xy + 2y ) = ⇒ x − 2y = ⇒ x = −26 , x y số nguyên nên y + 13 x − 2y x + xy + 2y 2 Do ta  y  7y 7y y + 13 ≥ x2 + xy + 2y2 =  x + ÷ + ≥ 2 4  Do y số nguyên nên từ Tác giả: Nguyễn Công Lợi 7y2 y + 13 ≥ 2 ta suy y ∈ { −2; − 1;0;1;2;3} TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Thay giá trị tập hợp vào phương trình cho ta với y=1 x= Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên ( x;y) ( −26; − 13) , ( 3;1) Bài 57 Cách Biến đổi tương đương phương trình ta ( x + 2) = 2y + 11y + x y + ⇔ ( x + 2) ⇔ ( x + 2) − ( y + 3) = y + 5y + x y ⇔ ( x − y − 1) ( x + y + 5) = y ( x + y + 5) 2 2 Do 2 x2 + y2 + ≠ 2 2 2 2 2 = y4 + 6y2 + + y4 + 5y2 + x2y2 2 nên phương trình tương đương với x2 − y2 − = y2 ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = 2y2 Từ ta Từ suy ( x − 1) ( x + 1) M2 ( x − 1) ( x + 1) M4 Mà nên suy 2y M4 ⇒ y M2 ⇔ yM2 Mà y số nguyên tố nên ta suy Vậy ta có x = 3;y = tính chẵn lẻ nên x − 1;x + y=2 y2 Từ ta x= thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: ta có nhận xét: Nếu y số chẵn thì x − 1M2;x + 1M2 y chia hết cho y số lẻ chia dư Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Xét trường hợp y số lẻ, dư xy y chia dư nên chia dư dư Từ ta dư Mà ta lại có (x ) +2 2y chia dư 2, 2y + 11y + x y + 2 11y chia chia dư chia dư dư Như hai vế phương trình có số dư khác chia cho 4, y lẻ phương trình khơng có nghiệm Từ dẫn đến y phải số lẻ, mà y số nguyên tố nên dẫn đến y=2 Thay vào phương trình ban đầu ta tìm Vậy ta có x = 3;y = x= thỏa mãn thỏa mãn u cầu tốn Bài 58 Ta có nhận xét: Nếu x số chẵn x = 2t + 1,t ∈ Z nên nên x = 2t,t ∈ Z x2 = 4t2 x = ( 2t + 1) = 4t ( t + 1) + = 8k + 1,k ∈ Z 2 Từ phương trình cho suy x2 + y2 x số lẻ số chẵn, x y phải tính chẵn lẻ Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Với x y số lẻ Khi theo nhận xét ta x2 − y2 chia hết cho Và ta có ( ) x + y + 2z = 8k + + 2z = 8k + z + ,k ∈ Z Do để 2 x2 + y2 + 2z2 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi chia hết cho ( ) z2 + M4 nên z số lẻ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Khi ta đặt z = 8n + 1,n ∈ Z ta x + y + 2z = 8( n + 2k ) + 2 hay x2 + y2 + 2z2 chia có số dư Điều mâu thuẫn với vế trái phương trình chia hết cho Do x y số lẻ phương trình khơng có nghiệm • Trường hợp 2: Với x y số chẵn, ta (x ) + y M4 2 Do từ phương trình cho ta hu ( ) x − y M4 2 2z M4 ⇒ z M2 ⇒ zM2 2 hay z số chẵn Đặt thay vào phương trình cho ta x = 2x1;y = 2y1;z = 2z1 ( 2 2 2 2( 2x1 ) − ( 2y1 )  = ( 2x1 ) + ( 2y1 ) + 2( 2z1 ) ⇔ x12 − y12   Lập luận tương tự ta lại Tiếp tục ta có Điều xẩy x1;y1;z1 xM2n ;yM2n ;zM2n x= y = z = ) = x12 + y12 + 2z12 số chẵn với n số tự nhiên Vậy phương trình có nghiệm ( x;y;z ) = ( 0;0;0) Bài 59 Biến đổi tương đương phương trình cho ta ( 2x + xy + y ) ( 3x − xy + 2y Ta có ) = 132 x  7x 2x2 + xy + y2 =  + y ÷ + ≥0 2  Lại có ( 3x ) ( ) − xy + 2y2 − 2x2 + xy + y2 = x2 − 2xy + y2 = ( x − y ) ≥ Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Do 3x − xy + 2y ≥ 2x + xy + y ≥ 2 Chú ý Lại có ( 3x 2 2 ) số phương 2  3x − xy + 2y = 12  2  2x + xy + y = 11 ( x − y) Trường hợp 1: Với 2x2 + xy + y2 = 11 • ) ( − xy + 2y − 2x + xy + y Từ suy , 132 = 1.132 = 2.66 = 3.44 = 4.33 = 6.22 = 11.12 Do ta • , ta xét trường hợp sau: = 1⇒ x − y = ±1 x− y = , ta có x= y+1 thu gọn ta Thay vào phương trình 4y2 + 5y − = Giả phương trình ta y=1 x= Trường hợp 2: Với 2x + xy + y = 11 2 x − y = −1 , ta có thu gọn ta x = y−1 Thay vào phương trình 4y − 5y − = Giả phương trình ta , x = −2 y = −1 Thử lại ta nghiệm phương trình ( x;y) = ( 2;1) ,( −2; −1) Bài 60 Cách Phương trình cho tương đương với ( x + y) − 2xy ( x + y ) = 4( x + y ) − 4xy + 12 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Đặt a = x + y;b = xy với a, b số nguyên Khi phương trình trở thành Hay ta Xét Xét a= a≠ 2b( a − 2) = a − 4a − 12 a3 − 2ab = 4a2 − 4b + 12 , từ phương trình ta , phương trình trở thành Do b số nguyên nên a− = −20 a3 − 4a2 − 12 20 2b = = a − 2a − − a− a− ước 20 Do Xét trường hợp cụ thể ta cặp số thỏa mãn phương trình + Với + Với + Với + Với + Với a = 4;b = −3 a = 0;b = a = 0;b = 2b( a − 2) = a3 − 4a2 − 12 , ta có hệ phương trình , ta có hệ phương trình , ta có hệ phương trình a = 12;b = 57 a = −8;b = 30 Tác giả: Nguyễn Công Lợi x + y =  xy = x + y =  xy = , ta có hệ phương trình a − 2∈ { ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20} ( a;b) = ( 4; −3) ,( 0;3) ,( 12;57) ,( −8;30) x + y =  xy = −3 , ta có hệ phương trình , vơ lí , hệ khơng có nghiệm ngun , hệ vô nghiệm , hệ vô nghiệm x + y = 12  xy = 57 , hệ vô nghiệm x + y = −8  xy = 30 , hệ vơ nghiệm TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Vậy phương trình cho vơ nghiệm Cách Phương trình cho tương đương với ( ) x2 + y2 ( x + y − 4) = 4xy + 12 Từ phương trình ta nhận thấy x, y có tính chẵn lẻ x+ y − số chẵn Đến ta xét trường hợp sau • Trường hợp 1: Nếu x+ y − 4≥ Từ ta x2 + y2 ≥ (x , ( x + y) = 32 ) ( x+ y ≥ x + y ≥ 2xy 2 ) ( Do ta suy ) ( + y2 ( x + y − 4) ≥ x2 + y2 = x2 + y2 + x2 + y2 ) ≥ ( x + y ) + 4xy = 64 + 4xy > 4xy + 12 Như trường hợp phương trình vơ nghiệm • Trường hợp 2: Nếu Từ ta (x +y x + y − ≤ −2 , ) ( x + y − 4) ≤ −2( x +y x+ y ≤ 2 ) < 4xy < 4xy + 12 Như trường hợp phương trình vơ nghiệm • Trường hợp 3: Nếu x+ y − 4= + Với x+ y − 4= −2 < x + y − < x+ y − 4= ta , x+ y − số chẵn nên suy , ta có hệ , hệ phương trình khơng có xy = −3 x + y =  xy = −3 nghiệm ngun Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com + Với x+ y − 4= , từ phương trình ta 15 x2 + y2 = 4xy + 13 ⇒ xy = ( ) Từ ta có hệ x + y =   15 xy = , hệ phương trình khơng có nghiệm ngun Như trường hợp phương trình khơng có nghiệm ngun Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài 61 Do x, y số tự nhiên nên cho ta 2012z ≥ , từ phương trình 2010x ≥ 1;2011y ≥ , điều dẫn đến z≥1 Từ ta số 2012z chẵn Mà ta lại có y số lẻ nên 2011 phải số lẻ, ta x 2010 Khi phương trình cho trở thành 1+ 2011 = 2012 y z x= , đến ta xét trường hợp sau: • • Nếu Nếu z=1 z≥2 , ta phương trình , ta 2012 = 503 z z z 1+ 2011 = 2012 y , suy y=1 chia hết cho Ta lại thấy 2011 chia dư Do y số chẵn ta 2011 = ( 8.251+ 3) y số tự nhiên Do 1+ 2011y 2n = ( 8k + 1) = 8t + với n, k, t chia có số dư Như với y chẵn phương trình khơng có nghiệm Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Nếu y số lẻ ta 2011 = ( 8.251+ 3) y số tự nhiên Do 2n+1 = 2011.( 8k + 1) = 8t + với n, k, t chia có số dư Như với y chẵn 1+ 2011y phương trình khơng có nghiệm Từ suy z≥2 Vậy có số Bài 62 a) Ta có ( x;y;z) = ( 0;1;1) 2002 = 2001 + ≡ 2( mod 4) Nếu x lẻ ≡ 1( mod 3) +1 x suy x= y =1 ≡ 0( mod 3) y 2y ≡ 4( mod8) chia hết cho Nếu x chẵn d) Ta có + ≡ 2( mod 4) 1+ 5z ≡ 2( mod 4) Khi ta có + Nếu suy x 5x ≡ 5( mod8) suy , loại Suy y=2 ( x;y) = ( 1;2) c) Nếu x lẻ + Nếu thỏa mãn u cầu tốn y x b) Nếu x chẵn Đáp số không tồn số tự nhiên y thỏa mãn phương trình y=0 y>1 x suy y khơng chia hết cho 3, loại suy 2x.3y ≡ 2( mod 4) ≡ 2( mod 4) y Suy x = 0;y = x=1 2.3y = 1+ 5z thì y=0 2.3 ≡ 0( mod9) y y=1 nên z=1 ≡ −1( mod9) z Suy z chia hết cho z lẻ Vậy z có dạng Nhưng , loại y 2k +1 z = 6k + 3(k ∈ ¥ ) 2.3 = 1+ 125 ≡ 0( mod7) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 106 Website:tailieumontoan.com Vậy phương trình có nghiệm tự nhiên Bài 63 Ta có ( 1;1;1)  xy − 3zt = ( xy − 3zt) = ⇔   xz + yt = 3( xz + yt ) = 12 Cộng theo vế ta có (x Đáp số ( 1;0;0) )( ) + 3t2 y2 + 3z2 = 13 ( x;y;z;t) = ( 1;1;2;0) ,( −1; −1; −2;0) ,( 1;1;0;2) ,( −1; −1;0; −2) Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Website:tailieumontoan.com PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương pháp Sử dụng tính chất quan hệ chia hết Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng... chứa ẩn phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản • Xét số dư hai vế phương trình để phương trình khơng có nghiệm, tính chẵn lẻ vế, … • Đưa phương trình. .. ≥ 19 > Vậy phương trình 19s2 + 28t2 = vơ nghiệm phương trình cho vơ nghiệm Cách Giả sử phương trình cho có nghiệm 28y2 Dễ thấy chia hết cho 729 chia dư Từ ta suy 19x2 Mặt khác số phương chia