Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi vào iớp chun tốn,có tốn xác định đa thức tính giá trị đa thức.Việc tìm tòi lời giải tốn xác định đa thức tường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân học sinh trang bị đầy đủ kiến cần thiết rời rạc khối lớp thường thiếu tập áp dụng Qua nhằm củng cố kiến thức đa thức tong chương trình tốn từ lớp đến lớp rèn kỹ giải số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức khơng vượt q trình độ THCS A/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY Định lý Bơdu: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a giá trị đa thức x = a Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a Chứng minh : Gọi g(x) đa thức thương R số dư thì: f(x) =(x - a).g(x) + R f(a) = (a - a).g(a) + R = R (đpcm) phương pháp hệ số bất định: Giả sử: f ( x) = a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0 g ( x) = b3x3 + b2x2 + b1x1 + b0 Nếu f(x) = g(x) với giá trị phân biệt x thì: a3 = b3 ;a2 = b2 a1 = b1;a0 = b0 Chứng minh: Giả sử giá trị phân biệt x1;x2 ;x3;x4 có: f ( x1 ) = g ( x1 ) f ( x2 ) = g ( x2 ) f ( x3 ) = g ( x3 ) f ( x4 ) = g ( x4 ) Đặt ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) c3 = a3 − b3;c2 = a2 − b2 ;c1 = a1 − b1;c0 = a0 − b0 Trừ vế (1) (2) được: ( ) ( ) c3 x13 − x32 + c2 x12 − x22 + c1 ( x1 − x2 ) = Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì x1 − x2 ≠ ( nên ) c3 x12 + x1x2 + x22 + c2 ( x1 − x2 ) + c1 = ( 5) Tương tự từ (1) (3) có : ( ) c3 x12 + x1x3 + x32 + c2 ( x1 − x3 ) + c1 = ( 6) Trừ theo vế (5) (6) chia cho c2 + c3 ( x1 + x2 + x3 ) = x2 − x3 ≠ được: (7) Tương tự từ (1), (2), (4) có: c2 + c3 ( x1 + x2 + x4 ) = (8) Trừ theo vế (7) (8) được: c3 ( x3 − x4 ) = ⇒ c0 = x3 ≠ x4 x3 – x ≠ Thay c3 = vào (8) c2 = Từ (6) c1 = Thay vào (1) a0 = b0 suy đpcm II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3, ) biết ( n + 1) có giá trị đa thức: Ví dụ Cho đa thức: f ( x ) = a.x + bx + c , Xác định hệ số a,b,c biết: f ( ) = 2; f ( 1) = 7; f ( −2 ) = −14 Lời giải Theo ta có: f(0) = f(1) = ⇒ 0+ c = ⇒ c = ⇒ a + b + = ⇒ a+ b = f(-2) = -14 ⇒ 4a − 2b + = −14 ⇒ 2a − b = −8 (1) (2) Từ (1) (2) suy ra: a = -1 b = Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x2 + 6x + Ví dụ Xác định đa thức bậc biết: f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22 Lời giải Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax + bx3 + cx +d Theo ta có: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com f(0) = f(1) = f(2) = ⇒ d=1 ⇒ a + b + c = -1 ⇒ 4a + 2b + c = ⇒ f(3) = 22 9a + 3b + c = (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: a +b + c =1 4a + 2b + c = 9a + 3b + c = Giải ta được: a = 1; b = 0; c = -2 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x3 - 2x + Ví dụ Cho hàm số: 1)=2012, Tính f(-2) y = f ( x ) = ax + bx + c cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(- Lời giải Theo giả thiết ta có: = f (0) = 2010 => c = 2010 , f (1) = 2011 => a + b + c = 2011 => a + b = f (−1) = 2012 => a − b + c = 2012 => a − b = => a = ,b −1 y = f ( x) = hàm số có dạng x − x + 2010 2 => f(2) = 2017 * Chú ý: Để xác định đa thức bậc n cần biết n + giá trị đa thức, biết n giá trị đa thức tìm có hệ số phụ thuộc tham số * Bài tập áp dụng: Câu Tìm đa thức bậc biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = Câu Tìm đa thức bậc biết: f(2) = 47 f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f ( x) = a.x2 + bx + c Câu 3: Cho đa thức: a số lớn c ba đơn vị Tác giả: Nguyễn Công Lợi , Xác dịnh a, b, c biết: f( −2) = 0, ( 2) = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 4: Cho hàm số f( −1) = 2, f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d thỏa mãn: ( 0) = 1, f 12 ÷ = 3, ( 1) = Xác định giá trị a, b, c d P ( x) = a.x3 + bx2 + cx + d Câu 5: Xác định đa thức: , biết: P ( 0) = 2017, P ( 1) = 2, P ( −1) = 6, P ( 2) = −6033 Dạng 2: Xác định đa thức dư biết số phép tính khác Ví dụ Đa thức f(x) chia cho x –1 số dư 4, chia cho x-3 số dư 14 Tìm đa thức dư phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3) Lời giải Cách 1: Gọi thương phép chia f(x) cho x – cho x – theo theo thứ tự A(x) B(x) Ta có: f(x) = (x – 1).A(x) + với x (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 vỡi x (2) Gọi thương phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) C(x) dư R(x).Vì bậc R(x) nhỏ bậc số chia nên bậc nhỏ bậc nên R(x) có dạng ax + b Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với x (3) Thay x =1 vào (1) (3) ta : f(1) = a + b Thay x =3 vào (2) (3) ta : f(3) =14; f(3) = 3a + b a+b = a=5 ⇒ ⇔ b = −1 3a + b = 14 Vậy đa thức dư phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) 5x – Cách 2: f(x) = (x – 1).A(x) + nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2) Lấy (2) – (1) ta được: [(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3) nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ f(x) = (x – 1)(x – 3) A( x) − B( x ) + 5x − Ta thấy 5x – có bậc bé bậc số chia số dư cần tìm 5x – Ví dụ Đa thức f(x) chia cho x + dư chia x + dư 2x + Tìm đa thức dư chia f(x) cho (x + 1).(x2 + 1) Lời giải Theo định lý Bơ du ta có f(-1) = (1) Do bậc đa thức chia(x + 1)(x2 +1) Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c ⇒ f(x) = (x + 1)(x2 + 1) q(x) +ax2 + bx +c = [(x +1) q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a (2) mà f(x) chia cho x + dư 2x + (3) Từ (1), (2), (3) ta có b = (4) ; c – a = Mà f(-1) = Từ (5) (6) suy ra: Ta đ Ví dụ nên (5) a – b + c = hay a – + c = (6) a= , c= 2 a thức cần tìm: x2 + 2x + Tìm đa thức dư phép chia: x7 + x5 + x3 + cho x2 –1 Lời giải Cách1: Tách đa thức bị chia thành đa thức chia hết cho đa thức chia Ta thấy xn – chia hết cho x – với số tự nhiên n nên x2n – chia hết cho x2 – 1; x6 – 1, chia hết cho x2 – Ta có: x7 + x5 + x3 + = x7 – x + x5 – x + x3 – x + 3x + = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + ⇒ Dư phép chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 – 3x + Cách 2: Xét giá trị riêng Gọi thương phép chia Q(x) dư ax + b Ta có: x + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b với x Đẳng thức với ∀x nên với x = ta được: = a + b (1) Với x = - ta –2 = - a + b (2) ⇒ Từ (1), (2) a = 3; b = Vậy dư phép chia là: 3x + Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com * Bài tập áp dụng: Câu Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư Chia cho (x + 3)(x – 3) thương 3x dư Câu Tìm đa thức dư phép chia: x99 + x55 + x11 + x +7 cho x2 + Dạng 3: Xác định đa thức biết điều kiện hệ số Ví dụ Tìm đa thức f(x) có tất hệ số số nguyênkhông âm nhỏ thoả mãn: f(8) = 2003 Lời giải Xét đa thức f(x) = a nxn + an –1xn-1 + + a1x + a0 nguyên không âm nhỏ với a0, a1 an-1, an số Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1.8n-1 + +a1.8 + a0 = 2003 Ở a0, a1, , an-1, an chữ số 2003 viết hệ ghi số số Thực việc chia 2003 cho dư a0 = lại lấy thương chia cho 8, liên tiếp ta đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + * Bài tập áp dụng: Câu Tìm đa thức f(x) hệ số số nguyên không âm nhỏ f(5) = 352 Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn hệ thức f(x) Ví dụ Tìm đa thức P(x) bậc thỏa điều kiện sau: P(-1) = P ( x) − P ( x − 1) = x ( x + 1) ( 2x + 1) ,∀x ∈ R Lời giải Với x = P ( 0) = P ( −1) = Với x = - P ( −1) = P ( −2) = Do P(x) nhận -1, 0, -2 nghiệm Đặt P ( x) = x ( x + 1) ( x + 2) ( ax + b) vớ a ≠ Với x = P(1) = P(0) + = Suy ra: a + b = (1) 2a + b = Với x = P(2) = P(1) + 30 = 36 Suy ra: a= b= Từ (1) (2) suy ra: P= Vậy (2) 2 x ( x + 1) ( x + 2) Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com * Bài tập áp dụng: Tìm tất đa thức P(x) bậc nhỏ thoả mãn hệ thức sau giá trị phân biệt x: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x) III PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TÌM ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC Giới thiệu phương pháp: Các nhiều phương pháp để giải toán xác định đa thức chủ yếu dùng đa thức nhất; hai đa thức đồng nhất; định lý Bơ du; hệ số bất định xác định đa thức bậc n mà biết n + giá trị Song có nhiều tốn khơng thể tìm đa thức cách trực tiếp mà phải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để xác định đa thức tính giá trị riêng đa thức Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho đa thức f(x) bậc với hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30 Tính: f(12) + f(-8) +15 10 Phân tích tốn: - Đa thức bậc mà biết ba giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Thuật toán tìm đa thức phụ Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + h(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc f(x) đồng thời bậc h(x) nhỏ số giá trị biết f(x) Trong đề bậc h(x) nhỏ nghĩa là: g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Bước 2: Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = Tức là: = 1+ a + b + c 0 = 20 + 4a + 2b + c = 30 + 9a + 3b + c Giải hệ phương trình : a = 0; b = -10; c = Theo phương pháp hệ số bất định: Suy ra: h(x) = - 10x Hay: g(x) = f(x) – 10x Lời giải ⇒ Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x g(1) = g(2) = g(3) = Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do bậc f(x) bậc nên bậc g(x) g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – suy ra: g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) ⇒ f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12 = 11.10.9 (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12] f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8) = (-11).(-10).(-9) (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8] Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8] = 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0) = 10.1984 Ta tính được: f(12) + f(-8) +15 = 1984 +15 = 1999 10 Ví dụ Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị f(-2) + 7.f(6) Phân tích toán: - Đa thức bậc mà biết ba giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Lời giải + Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = ⇔ a, b, c nghiệm hệ phương trình = 3+ a + b +c = 11+ 9a + 3b + c 0 = 27 + 25a + 5b + c Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – + Tính giá trị f(x): Bậc f(x) bậc nên g(x) bậc g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) ⇒ f (x) = g(x) − ( −x − 2) = (x − 1)(x − 3)(x − 5)(x − x ) + x + Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112 Ví dụ 10 Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x số nguyên, thoả mãn f(1999) = 2000 f(2000) = 2001 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh f(2001) – f(1998) hợp số Phân tích tốn: - Đa thức bậc mà biết hai giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Lời giải + Tìm đa thức phụ Đặt g(x) = f(x) + ax + b Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = tương đương với a, b nghiệm hệ: 0 = 2000 +1999.a + b 0 = 2001+ 2000.a + b Giải hệ ta : a = b = - Nên đặt g(x) = f(x) – x – + Tính giá trị f(x): ∈ Giả sử k Z hệ số x3 đa thức f(x) Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên: g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1) ⇒ f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + Ta có f(2001) = k 2001 + 2002 = 2k 2001 + 2002 f(1998) = k (-1) (-2) 1998 + 1999 = 2k 1998 + 1999 ⇒ f(2001) – f(1998) = 2k 2001 + 2002 – 2k 1998 + 1999 Tính f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) Vì 3(2k + 1) hợp số Vậy f(2001) – f(1998) hợp số Ví dụ 11 Tìm đa thức bậc biết cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – dư f(-1) = -18 Phân tích toán: - Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 dư 6, theo định lý Bơ du ta có f(1) = f(2) = f(3) = Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc - Bậc f(x) 3, có ba giá trị đa thức nên hệ số f(x) phụ thuộc vào tham số Lời giải + Tìm đa thức phụ: Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ a , b, c 0=6+a +b+c 0 = + 4a + 2b + c + + 9a + 3b + c nghiệm hệ Giải ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – Với g(1) = g(2) = g(3) = + Xác định f(x): Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) ⇒ g(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) (n hệ số x3 đa thức f(x)) ⇒ f(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) + Mặt khác f(-1)= -18 ⇒ n=1 ⇒ f(x) = x3 – 6x2 + 11x Ví dụ 12 Tìm đa thức bậc biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1 Lời giải Cách 1: Đã giải dạng Cách 2: +Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) =f(x) +ax2 +bx + c ⇔ Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = a, b, c nghiệm hệ = 10 + c = 12 + a + b + c 0 = + 4a + +2b + Hệ ta được: a = 5, b = -7, c = -10 Nên đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10 Với g(x) = g(1) = g(2) = + Xác định f(x) Do bậc f(x) bậc g(x) g(x) chia hết cho x; x – 1; x – Gọi m hệ số x3 đa thức f(x) g(x) = mx(x – 1)(x – 2) ⇒ f(x) − mx(x − 1)(x − 2) − 5x2 + 7x + 10 = Mặt khác; f(3) = ⇒ m= Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x - 25 x + 12 x + 10 * Bài tập áp dụng: Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 1: Đa thức f(x) chia cho x + dư chia cho x + dư 2x + Tìm số dư chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) Câu 2: Xác định a, b để đa thức: ax + 12x2 + bx + lũy thừa bậc đa thức khác Câu 3: Tìm số a, b, c để x3 – ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c) Câu 4: Tìm đa thức dư phép chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21 Câu 5: Tìm giá trị a để đa thức f(x) = x4 + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho đa thức x2 – 3x + giá trị nhỏ thương bao nhiêu? Câu 6: Tìm đa thừc(x) bậc biết f(0) = 19, f(1) = 5; f(2) =1995 Câu 7: Tìm đa thừc(x) bậc bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95 III- CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Câu Cho đa thức P( x ) = ax + bx + c Chứng minh P ( 10 ) − P ( ) ( a ∈ Ν *) thỏa mãn P ( ) − P ( ) = 2019 số lẻ (Trích đề chuyên Phan Bộ Châu năm 2019-2020) P ( x) = x4 − 2x3 + 3x2 + ax + b Câu Xác định hệ số a b để đa thức bình phương đa thức (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Câu Cho đa thức P ( x) Biết hệ số ( P 3P ( 3) − P ( 2) P ( x) Q ( x) thoả mãn P ( x) = Q ( x) + Q ( 1− x) ∀x ∈ ¡ ( ) số nguyên không âm P ( 0) = Tính ) (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Câu Cho đa thức P ( x) = x3 + ax2 + bx + c; Q ( x) = x2 + 2016x + 2017 ( ) thỏa mãn P Q ( x) = có ba nghiệm thực phân biệt vô nghiệm P ( 2017) > 1008 Chứng minh (đề 22) (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) P ( x) = ax + bx + c P( x) P( x) Câu Cho đa thức Biết chia cho x + dư 3, chia cho điều kiện x dư P ( x) P ( x) = chia cho x – dư Tìm hệ số a, b, c (Trích đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2015-2016) Câu Tìm số thực a, b, cho đa thức 4x − 11x − 2ax + 5bx – chia hết cho đa thức x2 – 2x – (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Câu Tìm đa thức f(x) biết: Tác giả: Nguyễn Công Lợi f(x) chia cho x+3 dư 1; f(x) chia cho x – dư 8; TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com f(x) chia cho (x + 3)(x – 4) 3x dư Câu Tìm đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) dư P(- 1) = - 18 Câu Chứng minh đa thức g( x ) = x2 − 5x + thức Câu 10 Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c chia cho x dư Câu 11 Cho đa thức f ( x ) = ( x − 3) P ( x) Biết 200 P ( x) + ( x − 2) 100 −1 chia hết cho đa chia cho x + dưa 3, P ( x) chia cho x – dư Tìm hệ số a, b, c f(x) = x2 − ( a + 3) x + a Xác định a để f(x) chia hết cho (x – 2) Câu 12 Cho đa thức f(x) = x2 − 2( a + 1) x + b − Xác định a, b để f(x) chia hết cho (x – 1) và đa thức (x + 2) Câu 13 Cho đa thức bậc dạng: f ( x) =x3 + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 2) chia cho (x2 – 1) dư 2x f ( n) = Câu 14 Cho đa thức f(x) có bậc 2002 thỏa mãn điều kiện: n với x = 1; 2; 3; ;2001 Tính giá trị f(2002) Câu 15 Cho đa thức: P ( x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d thỏa mãn P ( 1) = 3,P ( 3) = 11,P ( 5) = 27 Tính giá trị của: S = P ( −2) + 7.P ( 6) ( g( h Câu 16 Thì đa thức g(x) h(x) với hệ số nguyên cho: )= 7) 2+ 2+ Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com f ( x) = Câu 17 Cho x3 1− 3x + 3x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau: 2010 2011 A = ff + + + ff ÷ ÷ ÷+ ÷ 2012 2012 2012 2012 Bài 18 Cho đa thức P(x) thỏa mãn: 1 P ( 1) = 1;P ÷ = P ( x) ,∀x ≠ 0; P ( x1 + x2 ) = P ( x1 ) + P ( x2 ) ,∀x1,x2 ∈ R x x Tính 5 P ÷ 7 Bài 19 Cho đa thức P ( x) = x3 − x Q ( x) = x81 + x49 + x25 + x9 + x + a) Tìm số dư phép chia Q(x) cho P(x) b) Tìm x để Q ( x) MP ( x) Câu 20 Cho đa thức P ( x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x P(x) số phương Chứng minh a, b, c số nguyên b số chẵn f ( x) Câu 21 Cho hàm số xác định với x thuộc R, biết với x ta có: 1 f ( x) + 3f ÷ = x2 f ( 2) 3 , Tính ( x − ) P ( x ) = ( x + 1) P ( x − ) Câu 22 CMR đa thức P(x) có hai nghiệm, biết : f ( x) = a.x3 + 4x x2 − + g( x) = x3 + 4x( bx + 1) + c − Câu 23 Cho , Trong a, b, f ( x) = g( x) c số, Xác định a, b, c để P ( x ) = a.x + bx + c P ( ) P ( −1) ≤ a + b + 2c = Cho , CMR nếu: Câu 24 ( Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi ) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com f ( x) = Câu 25 = Cho hàm số 100 x 100 x + 10 , CMR : a,b hai số thỏa mãn : a + b f ( a ) + f ( b) = f ( x ) = a.x + bx + c Câu 26 Cho có tính chất f(1),f(4),f(9) số hữu tỉ, CMR a,b,c số hữu tỉ Tính tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc : Câu 27 P ( x ) = ( x + x − 10 ) 2008 ( 8x + x − 10 ) 2009 P( x) = a x + bx + c Câu 28 Cho đa thức : Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(2) ; P(2) có số âm, số khơng dương Câu 29 Giải phương trình: ( )( ) + ( x −1) ( x − ) + ( x −1) ( x − ) = 3x − ( − ) ( − ) ( − 1) ( − ) ( − 1) ( − ) x− x− HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI Câu Ta có: P ( ) − P ( ) = 2019 ⇔ ( 8ba + 9b + c ) − ( 36a + 6b + c ) = 2019 ⇔ 45a + 3b = 2019 ( 1) Lại có: Đặt P ( 10 ) − P ( ) = ( 100a + 10b + c ) − ( 29a + 7b + c ) = 51a + 3b P ( 10 ) − P ( ) = t ⇒ 51a + 3b = t ( ) Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6a = t − 2019 , mà 6a chẵn, 2019 lẻ nên t lẻ, ta có điều phải chứng minh Câu Ta có P(x) bình phương đa thức thì: P(x) (x = + cx + d ) x + 2cx + ( c + 2d ) x + 2cdx + d , ∀x ∈ ¡ = Mà: P(x) = x − x + x + ax + b Do ta có hệ phương trình: 2c = − c = −1 c + 2d = d = ⇔ 2cd = a a = −2 d = b b = Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy: a = −2, b = Câu Từ giả thiết ta có P ( 1) = ( Q ( 1) + Q ( ) ) P ( 0) = ( Q ( ) + Q ( 1) ) = ( 1) ( 2) Từ ( 1) ( ) suy P ( 1) = Giả sử ( không âm P x ) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n Ta có P ( 1) = a0 + a1 + a2 + + an = , a0 , a1 , a2 , , an số nguyên a0 , a1 , a2 , , an số nguyên không âm suy a0 = a1 = a2 = = an = P ( x ) = ∀x ∈ ¡ 3P ( 3) − P ( ) = ⇒ P ( 3P ( ) − P ( ) ) = Vì P ( x ) = ∀x ∈ ¡ ⇒ P ( ) = 0, P ( 3) = P ( x) P ( x) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) Câu Gọi x1;x2;x3 ba nghiệm ta có Suy ra, ( ( ) ( )( )( P Q ( x) = Q ( x) − x1 Q ( x) − x2 Q ( x) − x3 ) ) P Q ( x) = Q ( x) − xi = 0( i = 1,2,3) Do vơ nghiệm nên phương trình vơ nghiệm Hay phương trình x2 + 2016x + 2017 − xi = 0( i = 1,2,3) Do đó, biệt thức tương ứng Suy Câu vô nghiệm ∆ = 1008 − ( 2017 − xi ) < ⇔ 2017 − xi > 10082 ' i P ( 2017) = ( 2017 − x1 ) ( 2017 − x2 ) ( 2017 − x3 ) > 10086 Vì P(x) chia cho x + dư nên P(x) – chia hết cho x + ⇒ P(x) – = f(x).(x + 1) Thay x = –1 vào đẳng thức ta có: P(–1) – = f(–1).( –1 + 1) = ⇒ P(–1) = (1) Tương tự, P(x) chia cho x dư nên P(0) = (2) P(x) chia cho x – dư nên P(1) = (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a.(−1) + b.(−1) + c = a − b + c = a = ⇔ c = ⇔ b = a.0 + b.0 + c = a.12 + b.1 + c = a + b + c = c = ⇒ P(x) = 3x2 + x + Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề Vậy P(x) = 3x2 + x + x2 − 2x − = x2 − 2x + − = ( x − 1) − Câu Ta có = ( x − − 2) ( x − + 2) = ( x − 3) ( x + 1) Đặt thương q(x) ta có: 4x4 − 11x3 − 2ax2 + 5bx − = ( x − 3) ( x + 1) q ( x ) Chọn x = ta có: 4.34 − 11.33 − 2a.32 + 5.b.3 − = ⇒ 15b − 18a = −21 ⇒ 5b − 6a = −7 (1) ( −1) − 11( −1) − 2a ( −1) + 5b ( −1) − = Chọn x = -1, ta có: ⇒ 5b+2a = (2) Từ (1) (2) suy : 8a = 16 ⇒ a = Thay vào (2) ⇒ 5.b + = ⇒ b = Câu Theo định lý Bézout ta có f(3) = 1;f(4) = Đặt dư f(x) chia cho Suy ( x + 3) ( x − 4) ax + b f ( x ) = ( x + 3) ( x − 4) 3x + ax + b • Với x =- ta có: • Với x = ta có: = ( −3 + 3) ( −3 − 4) 3( −3) + a ( −3) + b ⇒ b − 3a = (1) = ( + 3) ( − 4) ( 3.4) + a.4 + b ⇒ b + 4a = (2) Từ (1) (2) suy ra: 7a = ⇒ a = thay vào (2) ta b = Từ ta được: Hay f ( x ) = ( x + 3) ( x − 4) 3x + x + f (x ) = 3x − 3x − 35x + Câu Theo định lý Bézout ta có : P(1) = P(2) P(3) = Do ta đặt P ( x) = d + c( x − 1) + b( x − 1) ( x − 2) + a( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho x = ta P(1) = d, suy d = P(x) = + c ( x − 1) + b ( x − 1) ( x − 2) + a ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) Cho x = ta P(2) = + c, suy c = P(x) = + ( x − 1) + b ( x − 1) ( x − 2) + a ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) Cho x = ta P(3) = + 2b, suy b = P(x) = + ( x − 1) + 0( x − 1) ( x − 2) + a ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) Do P(x) = + a( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) Cho x = - ta P(-1) = – 24a, – 18 = – 24a suy a = Vậy P(x) = + Câu Ta có f ( 3) = ( − 3) 200 1.( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) f ( 2) = ( − 3) + ( − 1) 100 200 Rút gọn ta : + ( − 2) −1= 100 −1= nên P ( x) = x3 − 6x2 + 11x f ( x ) M( x − 2) nên f(x) ⋮ (x - 3) Nên f(x) chia hết cho (x – 2)(x – 3) = x2 – 5x + Câu 10 Vì P(x) chia cho x + dư nên P(x) – chia hết cho x + ⇒ P(x) – = f(x).(x + 1) Thay x = –1 vào đẳng thức ta có: P(–1) – = f(–1).( –1 + 1) = ⇒ P(–1) = (1) Tương tự, P(x) chia cho x dư nên P(0) = P(x) chia cho x – dư nên P(1) = (2) (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: a.(−1)2 + b.(−1) + c = a − b + c = a = ⇔ c = ⇔ b = a.0 + b.0+ c = a.12 + b.1+ c = a + b + c = c = ⇒ P(x) = 3x2 + x + Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề Vậy P(x) = 3x2 + x + Câu 11 Vì f(x)M( x − 2) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi nên x = nghiệm đa thức f(x) hay f(2) = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: 22 − ( a + 3) + a = ⇔ a = −2 Câu 12 Ta có: f ( x) M( x − 1) ; f ( x) M( x + 2) nên x = x = -2 nghiệm đa thức f(x) hay f(1) = f(-2) = Do đó: 12 − 2( a + 1) 1+ b − = 2a − b = −2 ⇔ ⇔ a = − ;b = −1 2 ( −2) − 2( a + 1) ( −2) + b − = 4a + b = −7 (x – 1) và đa thức (x + 2) Câu 13 Ta có f(x) chia hết cho (x – 2) nên x = nghiệm đa thức f(x) 23 + a.22 + b.2 + c = ⇔ 4a + 2b + c = −8 hay f(2) = Do đó: ( 1) Mặt khác: f(x) chia cho (x2 – 1) dư 2x nên g(x) = f(x) – 2x nhận (x2 – 1) nghiệm hay x = x = -1 nghiệm g(x) Do đó: g ( 1) = 1+ a + b + c − = ⇔ g ( −1) = −1+ a − b + c + = a= − Từ (1), (2), (3) ta có: f ( n) = Câu 14 Ta có: n (3) 10 10 ;b = 1;c = 3 f ( n) − nên ( 2) =0 n với x = 1; 2; 3; ;2001 Suy ra: x = 1; 2; f ( x) − 3; ;2001 nghiệm phương trình: Xét phương trình: G ( x) = x.f ( x) − 1 =0 x hay x.f(x) − =0 x có nghiệm x = 1; 2; 3; ;2001 G(0) = -1 Do G(x) có dạng: G ( x) = a( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 2001) a= Suy ra: G(0) = a.(-1)(-2)(-3) (-2001) = -1 Vì thế: Tác giả: Nguyễn Công Lợi 1.2.3 2001 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 2001) 1.2.3 2001 ⇔ xf ( x) − = ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 2001) 1.2.3 2001 ( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) ( x − 2001) + 1.2.3 2001 ⇔ f ( x) = 1.2.3 2001.x ( 2002− 1) ( 2002− 2) ( 2002− 1) + 1.2.3 2001 = 2.1.2.3 2001 = ⇔ f ( 2002) = 1.2.3.4 2001.2002 1.2.3 2001.2002 1001 G ( x) = Câu 15 Xét đa thức: Khi ta có: f ( x) =ax2 + bx2 + c thỏa mãn: a.12 + b.12 + c = a = a.3 + b.3+ c = 11 ⇔ b = a.52 + b.5+ c = 27 c = Suy đa thức Q ( x) = P ( x) − f ( x) f ( 1) = 3,f ( 3) = 11,f ( 5) = 27 Nên f ( x) = x2 + đa thức bậc có hệ số cao nhận 1,3, nghiệm, Do đó: Q ( x) = ( x − 1) ( x − 3) ( x − 5) ( x − m) Từ ta tính được: P ( −2) = Q ( −2) + f ( −2) = 216 + 105m 7.P ( 6) = 7.Q ( 6) + f(6) = 896 − 105m Vậy: S = P ( −2) + 7.P ( 6) = 216 + 105m + 896 − 105m = 1112 ( g( h Câu 16 Thì đa thức g(x) h(x) với hệ số nguyên cho: )= 7) 2+ 2+ Lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com h ( u) Đặt hay u = 2+ ta cần xác định đa thức h(x) g(x) cho = h ( u) − g( u) = Xét tích: ( u−( 2+ ) ) ( u−( )) − = u2 − 7u + Do u nghiệm phương trình = u− = u− Mặt khác: Vậy g ( u) u2 − 7u + = nên u2 + = 2u u2 + u − = 2u 2u h ( x) = u2 − 5;g ( x) = 2x Thử lại thấy h(x) g(x) thỏa điều kiện toán Câu 17 Nhận xét Nếu x+ y = f ( x) = Thật vậy, ta có f ( x) + f ( y ) = ( 1− x) ⇒ f ( y ) = f ( 1− x) = + ( 1− x) x + ( 1− x) x3 x3 f ( x) + f ( y ) = f ( x) + f ( 1− x) = suy ( 1− x) + + ( 1− x) x + ( 1− x) x3 x3 Vậy, nhận xét chứng minh Ta có 3 1 f ÷= 2 =1 Theo nhận xét ta có: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2011 2010 A = ff ÷+ ÷÷+ ff ÷+ ÷÷+ + 2012 2012 2012 2012 1005 1007 1006 1 + = 1005+ f ÷ = 1005,5 ff ÷+ f ÷ ÷ ÷ 2 2012 2012 2012 Câu 18 Ta có: P(2) = P(1 + 1) = P(1) + P(1) = + = Tương tự: P(3) = 3; P(5) = 5; P(7) = Từ đó: 1 1 2 1 1 P ÷ = P ( 7) = ;P ÷ = P ÷+ P ÷ = 7 7 7 7 Tương tự: 3 5 P ÷ = ;P ÷ = 7 7 Câu 19 a) Ta có: ( ) P ( x) = x x2 − Vì đa thức ; ( ) ( ) ( ) ( ) Q ( x) = x x80 − + x x48 − + x x24 − + x x8 − + 5x + x80 − 1;x48 − 1;x8 − chia hết cho x2 − nên phép chia Q(x) cho P(x) dư 5x + b) Để Câu 20 Do Q ( x) MP ( x) P ( 0) = c 5x + = ⇔ x = − số phương nên c = m2 với m số nguyên (hiên nhiên c số nguyên) Vì P(1) = a + b + c ; P(-1) = a – b + c số nguyên nên (a + b) (a – b) số nguyên hay 2a 2b số nguyên Đặt hay 2a = n;2b = p;P ( 4) = k ; n,p,k ∈ Z Suy ra: k2 − m2 = 16a + 4b ( k − m) ( k + m) = 2( 4n + p) Nếu k, m khác tính chẵn lẻ (k – m)(k + m) số lẻ vơ lý Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: ( k + m) ( k − m) M4 ( a + b) ∈ Z ⇒ a∈ Z Mà Đặt P ( 2) = t2 ( t ∈ Z ) Do ( 4n + p) M2 pM2 hay Ta có: t2 − m2 = 2( 2a + b) Lập luận tương tự suy b số chẵn Câu 21 1 x = => f( 2) + ÷ = 2 Ta có: x= Và Câu 22 Vì => 1 47 f ÷+ ( 2) = => f ( 2) = 32 ( x − ) P ( x ) = ( x + 1) P ( x − ) Khi x = P(x) với x nên ( − ) P ( ) = ( + 1) P ( − ) => = P ( ) => P ( ) = => nghiệm ( −1 − ) P ( x ) = ( −1 + 1) P ( −1 − ) => −7 P ( −1) = => P ( −1) = Khi x = -1 => -1 nghiệm P(x) Câu 23 Ta có : ( ) f ( x) = a.x3 + 4x x2 − + = a.x3 + 4x3 − 4x + = ( a + 4) x3 − 4x + Và Do Câu 24 g( x) = x3 − 4x( bx + 1) + c − = x3 − 4bx2 − 4x + c − f ( x) = g( x) Ta có : Câu 25 Ta có : nên ta có : a + = −4b = => { a = −3; b = 0; c = 11 c − = P ( ) + P ( −1) = 5a + b + 2c = => P ( ) = − P ( −1) P ( ) P ( −1) ≤ 100a ( 100b + 10 ) + 100b ( 100a + 10 ) 100a 100b f ( a ) + f ( b) = + = 100a + 10 100b + 10 ( 100a + 10 ) ( 100b + 10 ) Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2.100a +b + 10 ( 100a + 100b ) 100a +b + 10 ( 100a + 100b ) + 100 = Câu 26 Ta có: f ( 1) = a + b + c ∈ Q = 200 + 10 ( 100a + 100b ) 200 + 10 ( 100a + 100b ) =1 f ( ) = 16a + 4b + c ∈ Q f ( ) = 81a + 9b + c ∈ Q , ( 16a + 4b + c ) − ( a + b + c ) = 15a + 3b = ( 5a + b ) ∈ Q 5a + b ∈ Q Từ (1) (2) => ( 81a + 9b + c ) − ( 16a + 4b + c ) = 65a + 5b = ( 13a + b ) ∈ Q => 13a + b ∈ Q Từ (2) (3) => ( 13a + 5b ) − ( 5a + b ) ∈ Q => 8a ∈ Q => a ∈ Q Nên a ∈Q b∈Q c ∈Q Khi Câu 27 P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 Sau bỏ ngoặc ta : với n = 2.2008 + 2.2009 Thay x=1, giấ trị P ( 1) = ( 8.12 + 3.1 − 10 ) P ( 1) 2008 tổng hệ số P(x) ( 8.1 + − 10 ) 2009 = −1 Ta có Câu 28 Ta có : P(-1) + P(-2) + P(2) = 9a – b + 3c = ba số có số khơng âm, số khơng dương Câu 29 f ( x) = Đặt ( )( ) + ( x − 1) ( x − ) + ( x − 1) ( x − ) ( − ) ( − ) ( − 1) ( − ) ( − 1) ( − ) x− x− f(x) đa thức bậc nên có dạng: ax + bx + c = ∀x a= f = a + b + c = ( ) f = a + b + c = ⇔ b = f = 5a + 5b + c = c = ( ) ( ) Ta có : x + = 3x − ⇔ ( x − 3) = ⇔ x = 2 Do phương trình tương đương : Vậy phương trình có nghiệm x = Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC