DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên 1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường: 1/ 3 6 3;2/ 4 1 1 2 ;3/ 9 5 2 4;4/ ( 1) ( 2) ( 3)x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 5/ 2 8 6 1 2 2;6/ ( 1) ( 2) 2 ;7/( 1 1)( 1 1) 2x x x x x x x x x x x x 8/ 11 11 4;9/ 2 1 2 1 2;10/ 3 4 1 8 6 1 1x x x x x x x x x x x x 22 4 1 3 20 20 2 2 11/ ;12/ 6;13/ 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x xx x x x x x x 2 2 2 2 2 2 5 5 1 1 15/ 1 1 1 1 1 1 4 4 2 2 x x x x x x x x 22 16/ ( ) 5 8 4 5f x x x x x . f(x) nb’ khi 4 2 5x và đb’ khi 21 1 2 x . Pt có ngdn x = 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 17/ 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 3 2 0x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2;18/ 3 7 3 2 3 5 1 3 4( 2)x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 18/ 7 5 3 2 ( 1);19/ 3 2 1( 5 1 , 0 1)x x x x x x x x x x t t t t 22 20/ 2 1 ( 1 1) 0 ( 1 1)( 1 1 ) 0 2x x x x x x x x x x . 2 21/ 4 1 4 1 1( 1/2 1/ 2);22/ ( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2x x x VT VP x x x x x x x ( ) ( 6 2).( 2 1 3) ( ). ( ) 4 5f x x x x g x h x x g(x)&h(x) đồng biến trên (5; ) f(x) đồng biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7. 23/ ( 1)(4 ) 2(4 1);24/ 1 3 4( 0);25/ 3 2 8 7 ( 4;5 6;7 )x x x x x x x x x x 2 2 2 26/ 2 3 5 2 ( 2 2);27/ 3 2 6 5 2 9 7( 5; 1)x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 28/ 4 3 2 3 1 1 1 (4 13)/ 2;1/2 ;29/( 3) 4 9( 13/ 6; 3)x x x x x x x x x x DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên 2 2 2 2 22 2 1 1 4 4 30/ 4 ( 1 1) 4( 1 8);31/ 3 3(1 1 4 ),( 1/ 2 0) (1 1) x x x x x x x x x xx x 22 33 3 22 12 12 1 1 2 32/ ,( 3; 2 4);33/ ( 1) 1 1 2( 5/ 4) 11 2 9 x x x x x x x x x x x x x x x x x 22 1 1 1 1 1 34/ 0 0;35/ 3 2 1 1( 2; 1) 2 ( 2) 11 x x x x x x x x x x x x 2 7 21 11 13 36/ 1 4 2 1( 0);37/ 5 9 1 ; ;9 ;38/ 2 6 1 1( 0;0 2) 22 x x x x x x x x x x 3 2001 39/ 3 1 2 4 3 304 x x x . Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là 2;0 . 2 3( 5) 5 40/ 3 1 6 3 14 8 0 ( 5)(3 1) 0 5 3 1 4 6 1 xx x x x x x x x xx 41/ II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ: 2 2 2 2 2 1/ 3 3 3 6 3;2/3 15 2 5 1 2;3/ 7 4 4 ( 2)( 1;2)x x x x x x x x x x x x x t t 2 2 2 2 2 2 2 4/ 4 1 2 2 9;5/ 3 2 1;6/ 11 31x x x x x x x x x x x x 2 7/3(2 2) 2 6( 2 3;(11 3 5)/ 2)x x x x t x 2 2 2 2 2 2 2 8/ / 1 2 2( 1) /( 1) 2 / 1 8 2 8 0x x x x x x x x x t t 2 3 2 2 3 2 3 9/ 2 5 1 7 1( 1 0; 1 0);10/2( 3 2) 3 8;11/ 2( 2) 5 1x x x u x v x x x x x x x 23 12/ 2 4 2 4 ;13/ 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2 ( 1 3);x x x x x x x x x t x x 22 14/ 4 4 2 2 16 12;15/ 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x x x x x 2 2 2 16/ 2 3 1 3 2 2 5 3 16;17/ 4 2 3 4x x x x x x x x x DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên 3 2 2 2 2 2 18/(4 1) 1 2 2 1( 1 0,5;2 1);19/2(1 ) 2 1 2 1x x x x y x y x x x x x x 2 2 2 2 2 2 20/ 3 1 ( 3) 1;21/ 5 1 ( 4) 1;22/ 17 17 9x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 23/ 1 1 (1 2 1 )( ,0 /2 /2; /6);24/ 5 5( 5 )x x x x sint t t x x x t 2 3 3 3 23'/ 1 4 3 ,( ;0 2 /2; 2 2 /4);24'/ 6 6 4 4 0,( 2;1 3)x x x x cosx x x x x x 2 3 2 2 2 33 25/ 1 1;26/3 3 ,( 3 );27/ 1 2 2 1,( 2 1 );28/(3 ) 3 ,( 3 )x x x x x t x x x t x x t x 3 3 3 3 33 1 2 3 27'/8 1 162 27 1 3 3 1 3 1 0 8 6 1 0; 2 3 1 0 ; ;x x u u u u x x x cosy cos y x x x 3 2 2 2 33 33 29/ (3 ) 3 3 ( 3) ,( 3 ( 3) );30/ 2 1 1,( 2 ; 1)x a a x a a t x a a x x u x v x 33 3 3 3 3 3 3 31/ 7 1;32/ 1 1 2;33/ 4 3 1,( 4; 3 7)x x x x x x u x v x u v 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 34/ 2 1 1 3 1;35/ 2 1 16 2 1;36/ 7 8 6 7 2 13 12 3x x x x x x x x x x x x 2 4 4 4 33 44 2 1 1 3 2 1 1 37/ 2;38/ 2 4 , 1; ;39/ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x x u x x u x v x x x x x x x 33 4 4 3 3 2 2 44 1 & 2;40/ 57 40 5;41/ 35 ( 35 ) 30;42/1/ 1/ 2 2,( 2 )u v u v x x x x x x x x y x 2 2 2 2 2 38'/ 2 15 32 32 20 2 15 8(2 1) 28 14 8 28; 14 14 2x x x x x u u u ku u k u k 22 6 2 2 2 2 33 3 43/ 1 1 1;44/2 ( 1) 3 1 ( 1) 0;45/ 4 1 3 2 55 n nn x u v x x x x x x x x u v 2 3 33 2 33 33 1 7 5 2 46/ 6 2 ( ) 0 5 7;47/ 1 (: ; ) 3 75 2 ab a xx x ab a b x x x t HVN ab xx ab 2 2 2 2 5 2 5 2 5 5 48/ 2 5 4 2 4 3,( 1 4 3 1 4 3);49/ 5 10 1 7 2 , 3; ;1 55 x x x x x x x x x 2 2 2 50/ 4 (4 )(2 ) 2 12( 1 5);51/ ( 4) 4 ( 2) 2(2 3 2 3)x x x x x x x x x x x 3 2 2 0 52/( 1) ( 1) 3 1 0,( 1 2 3/9 3 2 0, : 1)x x x x t x x t t TM n x DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên 4 2 0 3 1 1 16 6 7 16 6 7 53/3 2 7, 2 3 9 0 3 : 0; ; 2 4 4 22 x x t x t t t n x xx 4 2 2 0 2 2 2 2 35 1225 54/ ( 1) 2 0, :(1;1,25) (5/3; ) 12 1 144 1 1 1 x x x x x x t n x x x x 2 55/ 1 3 2( 3) 2 2(*),( ( 1; 3), (1;1).(*) . . 1 3 5)x x x x u x x v u v u v x x x 2 56/ 1 3 2 1,( ( ;1), ( 1; 3 ) . . 1 3 1;1 2)x x x x u x v x x u v u v x x x x III.Biện luận PT và BPT vô tỉ: Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm: 2 1/ 2 2 (2 )(2 ) ;( 2 2 4 2 (2 )(2 ) 2 2 2x x x x m t x x t x x t 2 2 2 4 ( ) 4 2 4;4 2 2 2;2m t t f t m 2 1 2/ 5 1 5 6 ,(2 2 2 2);3/( 3)( 1) 4( 3) ,( 4) 3 x x x x x m m x x x m m x 2 4/ 3 6 ( 3)(6 ),(3 2 4,5 3);5/ 9 9 ,( 2,25 10)x x m x x m x x x x m m 22 6/ 2 1 ,( 2 /2);7/ 2 1,( 5/8);8/ 4 2,( 4/3; 0)x x m m x m x m x mx m m m 22 9/ 2 2( 4) 5 10 3 0( ( ) ( 1) /(2 5)x m x m x PTf x x x m có nghiệm 3 3)xm 22 4 4 10/3 1 1 2 1,( 2 3 ;0 ( 1)/( 1) 1 1 1/3)x m x x m t t t x x m 2 2 2 4 11/ 1 4 3 2 ( 3) 2 0,( ( ) (3 1)/( 4 );0 1 3/4)x m x x m x m f t t t t t m 3 3 2 12/( 1 ) (1 ) ,( 1 1; 2 ( ) ( 1)/2 1 2 2 0,5)x x x x m t x x f t t t m m 2 2 4 2 2 2 2 2 13/ ( 1 1 2) 2 1 1 1 ,( 1 1 2 2;2 2 (5 6 )/m x x x x x t x x m t t t 2 4 2 1;1 );14/ ( ) 1 ,( '( ) 0 0 0;1 )f x x x m f x x m 15/ 12 ( 5 4 ); ( ) ( 12)/( 5 4 )x x x m x x f x x x x x x là hs đồng biến trên đoạn DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên 5 22 0;4 2 15 4 3 12;16/ 2 2 2 1 2 4 ,( 1)m x x m x x m 2 17/ 6 9 6 9 ( )/6; 6( 3 3) 9 ( ) 27,( 9 0)x x x x x m m t t t f t t x 22 18/ 2 /3 1 ; 1 1; 2 ( 1)/3 (1; 2 1/3)m x x x x t x x m t t 19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: 22 3 1( ( ) ( 3)/ 1)x m x m f x x x 20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất: 2 (3 1)/ 2 1 2 1x x x ax 2 ( (3 2)/ 2 1 (3 1)/ 2 ; 0a x x t t t PT có nghiệm duy nhất với mọi a ) 21/ Xác định theo m số nghiệm của PT: 4 4 4 4 44 4 4 6,( 4 2 16 4x x m x x m x x m m x x KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm. 22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn 2 3 2 1/ 2;1 : ( ) 3 1 2 2 1f x x x x m . 2 3 2 3 3 4 3 3 22 '( ) 1 4 2 1 2 1 x f x x m m x x x 23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: 23 2 2 1 3 4 2x mx x x 2 3 2 3 3 2 1 3 4 2 (2 1)( 4 2 3 ) 2 3 2 ( ) '( ) 2 9/4 2 4 2 x x x x x x x m m f x f x x m x x x 24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 8 ( 2)x x m x 2 0 ( : 2; 2 ( ) ( 2)( 4) '( ) 3 ( 4) 0n x x m f x x x f x x x nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và 2 2)x 25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn: 3 4 1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m - ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm 0;1a thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì a = 1-a 3 1/ 2 2 2 0; 1a m m m - ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT. 26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 2 1;1 : 1 ,( 2)x x x m m 27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm: 31mx x m 2 3 1 1 3 1 3 1 ( ) 0; 1 2 4 4 xt m f t m xt DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên 6 28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 2 2 2 0;1 :( 1) 2 4x x m x x 22 ( 2 0; 3 ( ) 3 3;3,25 3)t x x m f t t t m 29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x: 2 27a x x a 2 21 21 21 ( ) ; 6 6 6 2 7 1 x a f x a x 30/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 2 4;6 : ( 4)(6 ) 2 ;( 6)x x x x x m m 31/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 2 2;4 : 4 ( 2)(4 ) 2 18;( 10)x x x x x m m 32/ Tìm các giá trị của m để PT sau có một số lẻ nghiệm: 2 4 2 3 1 1x x m x x 2 4 2 2 2 4 2 3/2 ( ) ( 3 1)/ 1 '( ) ( 1)(3 3)/( 1) 3/3;5 3/3m f x x x x x f x x x x x x m . DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên 1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường: 1/ 3 6 3;2/ 4 1 1 2 ;3/ 9 5 2 4;4/ ( 1) ( 2). u v u v x x x x III.Biện luận PT và BPT vô tỉ: Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm: 2 1/ 2 2 (2 )(2 ) ;( 2 2 4 2 (2 )(2 ) 2 2 2x. - ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT. 26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi 2 1;1 : 1 ,( 2)x x x m m 27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm: