SKKN sử dụng tính đồng bậc trong giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

MỤC LỤC NỘI DUNG 1.MỞ ĐẦU.…………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài ……………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… 2.NỘI DUNG …………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận…………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề………………………………………… 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện………………………… Nội dung đề tài………………………………………… 4.1 Sử dụng tính đồng bậc giải phương trình……… 2.4.2 Sử dụng tính đồng bậc giải bất phương trình…… 2.4.3 Sử dụng tính đồng bậc giải hệ phương trình…… 2.4.4 Hiệu đề tài…………………………………… 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.…………………………………… 3.1 Kết luận………………………………………………… 3.2 Kiến nghị………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 2 3 3 4 11 17 22 23 23 23 MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nội dung chương trình tốn THPT phần nội dung đề thi vào Đại học, cao đẳng năm trước thi THPT Quốc gia Chính toán phần đa dạng phong phú Trong trình học, học sinh trang bị phương pháp kỹ để giải toán phần Tuy nhiên với thời lượng hạn chế, nên em lúng túng gặp tốn “lạ” cần phải tư Để giúp em học sinh làm tốt phần này, khơng cịn ngại gặp tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thế, viết này, dựa kinh nghiệm giảng dạy ôn luyện, xin đưa hướng để giải quyết, sử dụng tính đồng bậc để giải, mà sở việc đưa phương trình đẳng cấp ẩn Từ giúp học sinh có tư sáng tạo, khơng cịn lúng túng vận dụng kiến thức để giải tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Vì tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “sử dụng tính đồng bậc giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình” 1.2 Mục đích nghiên cứu Cho học sinh thấy việc vận dụng tính đồng bậc nhiều tốn chìa khóa để giúp mở “nút thắt” toán, từ vận dụng kiến thức tốn học để giải trọn vẹn toán Tất nhiên trình giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta cịn phải vận dụng phương pháp khác như: đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, phương pháp hàm số…,nhất “sử dụng phương pháp hàm số giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình”, đề tài SKKN mà tác giả đạt giải cấp ngành Việc sử dụng tính đồng bậc ẩn để giải toán, nhiều trường hợp, ta giải tốn tưởng khó, phức tạp Tạo cho học sinh nâng cao khả tư duy, hứng thú, bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho em học sinh 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh THPT khối, lớp 10, 11, 12 phân công giảng dạy, sau em học phần hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tính chất đa thức Phạm vi nghiên cứu đề tài tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nằm chương trình tốn phổ thơng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp phương pháp chủ yếu phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết : Dựa sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi kiểm tra kiến thức Đại học, Cao đẳng trước đề thi kiểm tra kiến thức THPT Quốc Gia Tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ phân tích, nhận dạng áp dụng lí thuyết vào tốn cụ thể Phương pháp thực hành: Soạn hệ thống tập theo chuyên đề, tiến hành thực nghiệm lớp 12A3, 10A2 năm học 2016 - 2017 lớp11A2, 10A3 năm học 2017 - 2018 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Trong chương trình phổ thơng, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nội dung toán học Việc rèn luyện cho học sinh vận dụng phương pháp để giải tốn mà cịn cơng cụ để em tiếp thu giải vấn đề tốn học khác Trong viết tơi đưa việc sử dụng tính đồng bậc ẩn tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Thơng qua nhằm giúp em nắm vững kiến thức, đồng thời rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt phương pháp để giải tốn khn khổ chương trình 2.2 Thực trạng vấn đề Trong trình giảng dạy, tơi nhận thấy, giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, học sinh thường khơng hay nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đồng bậc ẩn mà hay sử dụng phương pháp khác Điều có lí từ việc em làm quen với phép biến đổi lớp Mặt khác chương trình phổ thơng, phương pháp sử dụng tính đồng bậc đề cập, song học sinh chưa nắm cách tự nhiên, xem qua lại quên, chưa có tư duy, kỹ vận dụng linh hoạt vào toán khác Nguyên nhân học sinh chưa nắm vững tính chất hàm số, đa thức, biểu thức đồng bậc ẩn việc vận dụng tính chất giải tốn, đồng thời em chưa phân biệt rõ ràng dạng tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải tốn thích hợp, dạng tốn liên quan đến tính đồng bậc ẩn Chính lí trên, q trình dạy học tơi cố gắng trình bày, phân dạng hệ thống tập phần để em có kỹ vận dụng cách tự nhiên vào việc giải toán 2.3 Giải pháp tổ chức thực Để thực đề tài, phân chia thành hệ thống tập có sử dụng phương pháp đồng bậc để giải, tương ứng với phần có sở lý thuyết để vận dụng Tiến hành xen kẽ hướng dẫn học sinh chữa tập lớp tiết học tự chọn Khi gặp tốn sử dụng tính đồng bậc giáo viên cần hướng dẫn để em học sinh sử dụng phương pháp khác, từ so sánh rút kết luận Các tập giải phương pháp sử dụng tính đồng bậc ẩn nhiều trường hợp giải ngắn gọn, sáng, tự nhiên, tạo cho học sinh hứng thú tự tin học tập Các tập đề cập bắt nguồn từ sách giáo khoa, sách tập, đề thi Đại học, Cao đẳng trước đây, đề thi học sinh giỏi tỉnh Các toán đề kiểm tra kiến thức THPT Quốc gia lựa chọn theo hướng bản, có kiến thức, nhận xét để khai thác, khắc sâu 2.4 Nội dung đề tài “Sử dụng tính đồng bậc giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình” * Cơ sở lý thuyết Các vấn đề nêu đề tài xét tập số thực +) Định nghĩa: - Đa thức bậc n ( n ), ẩn x biểu thức dạng P ( x ) a n x n a n x n a2 x a1 x1 a0 ( ai) , hệ số - Giá trị P ( x ) an x n an x n a2 x a1 x1 a0 ( ai) x0 gọi nghiệm P(x) P(x0) = ( P ( x ) an x n a n x n a2 x a1 x1 a0 ( ai) gọi hàm đa thức) +) Một số kết quả: - Nếu tổng hệ số am a n a1 a0 P(x) có nghiệm x0 = - Nếu tổng hệ số x với số mũ chẵn( n 0, 2, ) tổng hệ số x với số mũ lẻ( n 1, 3,5 ) P(x) có nghiệm x0 = -1 - Nếu P ( x ) an x n a n x n a2 x a1 x1 a0 ( ai) có nghiệm x0 P(x) có phân tích P(x)= (x - x0 ).Q(x) Trong để tìm Q(x) ta thực phép chia đa thức P(x) cho (x - x0) tìm hệ số Q(x) sử dụng sơ đồ Hooc-nơ +) Biểu thức đồng bậc n theo hai biến - Cho hai biến thực x, y Biểu thức dạng F( x; y ) a x n a n x n y a x k y n k n k Gọi đồng bậc n - Chẳng hạn: F ( x; y ) x F ( x; y ) x a x2.yn a x y n 1a yn ( a) i xy 5y2 gọi đồng bậc hai hai ẩn x y x y 5xy y3 gọi đồng bậc ba hai ẩn x y +) Phương trình đồng bậc n theo hai biến x, y Dạng an x n a n x n y a k x k y n k a1 x y n a y n ( a n 0; ai) Cịn gọi phương trình bậc n theo hai biến x, y hay phương trình đẳng cấp bậc n 2.4.1 Sử dụng tính đồng bậc giải phương trình Ta thực theo hai hướng sau Hướng 1: - Chuyển phương trình dạng bậc n theo hai biến x, y a x n a n x n y a x k y n n k k a x1 y n 1 ayn 0 (1) ( a n 0; a) i - Với y = thay vào (1) xét trực tiếp - Với y chia hai vế phương trình (1) cho yn ta phương trình x đa thức ẩn t = y bậc n x n n1 x a x a n n1 y ak y k x1 a1 a0 (2) ( an 0; ai) y y Hướng 2: - Chuyển phương trình dạng bậc n theo hai biến A, B a An a n A n B a A k B n n1 k a A1 B n k aBn n (1) ( a 0; a) i A, B biểu thức chứa biến - Với B = thay vào (1) xét trực tiếp - Với B chia hai vế phương trình (1) cho Bn ta phương trình A đa thức ẩn t = B bậc n a An a A n a n n1 B B Ak a A a k B (2) B ( a 0; a) n i Nhận xét: - Ta xét A chia hai vế (1) cho An ta B phương trình đa thức bậc n ẩn t = A - Trong toán thường ta hay gặp đưa phương trình bậc hai bậc ba Bài tốn 1: Giải phương trình: ( x 4) x 3 x 13 Giải: Điều kiện: x 3 x x Phương trình tương tương với x x x 3 x ( x 3) x x x (1) Do x = khơng nghiệm phương trình (1) nên chia hai vế (1) cho x ta x x Đặt x x t x x 3t, 23 412 ta phương trình bậc hai ẩn t x x 6t t = t = (thỏa mãn) +) Với t = ta có x x 1, x x x3 4x +) Với t = ta có 61, x 61 t x Vậy phương trình có nghiệm x 1, x , x 61, x 61 Nhận xét: - Ở phương trình cho ta biến đổi dạng bậc hai hai biểu thức chứa ẩn x2 x - Đối với phương trình đồng bậc hai theo hai biến A, B a2 A a1 A.B a0 B2 ta xét A để chia hai vế cho A2 xét B chia hai vế cho B2 , xét A.B chia hai vế cho A.B ta đưa phương trình bậc hai ẩn Trang toán 1, tác giả tham khảo từ TLTK số Bài tốn 2: Giải phương trình: x x 2x x2 Giải: Điều kiện: x Phương trình tương tương với x x 2(1 x ) x2 (2) Do x = không nghiệm phương trình (2) nên chia hai vế (2) cho x x x2 ta x2 x 1 x , ta có 2t2 + t – = 0t = - 1, t = Đặt t = x 2 x =-11 x x x x , x x= 12 x x +) Với t = - ta có +) Với t = ta có x Vậy phương trình có nghiêm x ( x 0) x 2 4 x x , (0 x 1) x 2 5, x 2 2 Nhận xét: -.Ta đưa phương trình cho dạng bậc hai hai biểu thức chứa ẩn x x Bài tốn 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) x 1) x ((2 x x 1) (1 m) x (2 x Giải: Điều kiện: x +) Có x = khơng nghiệm phương trình với m +) Với x > 0, chia hai vế phương trình cho x2 ta 12 1 m (2) x Đặt 82 x x x x x = t, theo bất đẳng thức Cô Si x x x t x x 8t m có nghiệm t 3 Bài tốn trở thành tìm m để phương trình t Hay t 8t m (3) có nghiệm t Số nghiệm phương trình (3) số giao điểm đường thẳng y = m parabol y = t 8t Từ bảng biến thiên y = f(t) = t 8t , t t + f(t) -14 + Từ - 15 bảng biến thiên để phương trình t 8t m (3)có nghiệm t m - 15 Nhận xét: - phương trình cho dạng đồng bậc hai hai biểu thức chứa ẩn 2x x x - Khi giải tốn có chứa tham số ta sử dụng đặc điểm parabol Trang toán 2, tác giả tham khảo từ TLTK số 2; toán tham khảo từ TLTK số Bài tốn 4: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thực m ( x 4) x 2 x x 24 (1) Giải: Điều kiện x Phương trình tương đương với m ( x 4) x 2 ( x 4) 4( x2 2) (2) +) Có x = - khơng nghiệm phương trình với m +) Với x - 4, chia hai vế (2) cho ( x 4) x2 ta m x x2 x 4 x2 x (3) x - Đặt t = x2 , xét hàm số t = f(x) = f '( x ) 4x (x 2) x ; f '( x ) x x2 , 2 x Bảng bảng biến thiên t = f(x) = x2 x - f’(x) f(x) + + -1 Từ bảng biến thiên t = f(x) = có -1 < t x x2 - Phương trình (3) trở thành m t , (4) với -1 < t t t xét hàm số g (t ) t t , -1 < t ; f '(t ) - Bảng biến thiên g (t ) t , -1 < t t ; f '(t )0 t t t -1 f’(t) f(t) - + 13 + -5 x - +) Từ bảng biến thiên t = f(x) = x2 ta thấy ứng với giá trị t (1;3) có giá trị x phân biệt Bài toán tham khảo từ TLTK số Vậy để (3) có nghiệm x (4) có nghiệm t phân biệt t (1;3) Từ bảng biến thiên g (t ) t t , -1 < t ta có giá trị cần tìm m < m < 13 Nhận xét: - Để có phân tích thành phương trình (2) đồng bậc ta đặt x x 24 = a ( x 4)2 b ( x2 2) đồng hai vế ta có hệ a b a b 8a 16a 2b 24 - Để giải tốn ta cịn sử dụng cơng cụ đạo hàm tính chất hàm số Bài tốn 5: Giải phương trình: 2(x x 6) x3 Giải: Điều kiện x phương trình tương đương với 2(x 2x 4) x 2x x 2(x 2) (*) +) x = - khơng nghiệm phương trình +) x > - 2, chia hai vế (*) cho x + ta x 2x x x 2 x 2x , t > ta có 2t 5t 0t = 2, t = x 2x Đặt t = x - Với t = ta có - Với t = ta có x x 2x = x x 2x x 2 6x x 13 (tm dk) = 4x 9x 14 vơ nghiệm Nhận xét: -Để có phân tích ta biến đổi 2(x x 6) a ( x 2x 4) b(x 2) , từ đồng hệ số hai vế ta a = b = - Ta giải cách khác, sau biến đổi phương trình (*), đặt u = x 2x , v = x phân tích thành nhân tử theo hai biến u, v Bài tốn 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x m x 24 x2 (Đại học khối A- 2007) Giải: Điều kiện x phương trình tương đương với 3(4 x 1)2 m ( x 1)2 24 x 1.4 x Chia hai vế phương trình cho ( x 1)2 ta x 24 x m (1) x x Đặt t x , (1) trở thành 3t x 2t m (2) Trang toán 5, tác giả tham khảo từ TLTK số t x x Xét hàm số f(t) = 3t 2t , Vì t x t t ta có bảng biến thiên 3 f(t) -1 Từ bảng biến thiên để phương trình cho có nghiệm (2) có nghiệm t 11 m Nhận xét: Nhận thấy phương trình cho đồng bậc hai x1 4x , ta sử dụng bảng biến thiên hàm bậc hai để tìm điều kiện m Bài tốn 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 2x (2 2m ) x (m 1) x2 Giải: Điều kiện: x (x 3)(x 3) x Phương trình tương đương với x (2 2m ) x (m 1) x x hoăc x (1) +) x = khơng nghiệm phương trình (1) +) x chia hai vế (1) cho x ta có x 2m (m 1) x (2) x x x Đặt = t, (0 t 1) Khi (2) trở thành x = x 2t 2 2m (m 1)t2t t (t 2)m 2t t , (0 t 1) (3) t Xét hàm số f (t) 2t t , với t 0; ; f(t) liên tục 0; m 2t 8t f '(t ) t 0, t 0; t , ta có x lim f (t) nên f(t) đồng biến 0; Vậy phương trình (1) có nghiệm (3) có nghiệm t m f (t 0) m m (t 1) m Trang toán 7, tác giả tham khảo từ TLTK số Nhận xét: - Ta xét A = 0, A chia hai vế (1) cho An B ta bất phương trình đa thức bậc n ẩn t = A - Trong toán thường ta hay gặp đưa bất phương trình bậc hai bậc ba x3 2x2 3x Bài toán : Giải bất phương trình: Giải: Điều kiện: x Bất phương trình tương đương với x x x ( x 1) 2( x x 1) (*) Do x x x , chia hai vế (*) cho x x x Đặt x2 t,t 0, x x x x x ta (**) x (**) trở thành 3t t 2 t 1, t x +) t ta có x x2 +) t ta có x 4( x x 1) x x vô nghiệm x x x x 1 x x2 x x2 với x thỏa mãn điều kiện x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [1; ] Nhận xét: - Nếu sử dụng phương pháp khác thấy khó khăn Ở ta làm xuất tích x x x Từ phân tích x x = a(x – 1) + b( ( x x 1) suy a =1; b = 2.Ta chuyển bất phương trình dạng đồng bậc hai x x x Bài tốn 2: Giải bất phương trình: 2 2x x 2x x 2x x 34.15 25 Giải: Bất phương trình tương đương với 9.3 2(2 x x ) ta có ta t 34.3 2x x 2(2 x x 2 2x x ) 34 25.5 2(2 x x x2 x2 ) , chia hai vế cho 2(2 x x2 ) x x2 25 , đặt t = ,t>0 25 34t 25 t 1,t +) t < 2x x 25 x x2 > 25 xx 2 x (;13)(13;) Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình S = ( ;1 3) (0;2) (1 3; ) Trang này: toán 2, tác giả tham khảo từ TLTK số 12 Bài toán 3: Giải bất phương trình: 2x x 342x2 x Giải: Điều kiện x Bất phương trình tương đương với 2x 2 x 23 x x (*) Với điều kiện chia hai vế bất phương trình (*) cho 2x 4 x 2x x (**), đặt x 2 ta 2x x = t 0, ta có (**) trở thành t 3t 0 t t +) t ta có x x x 2, ( x +) t ta có x 2 x 2 x 16( x 2), ( x 3) 3x 2 x 3) x 35 vô nghiệm 14 Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình S = ;5 Nhận xét: Dựa vào đặc điểm toán, ta biến đổi bất phương trình dạng bậc hai đối 2x 3; x với Bài toán 4: Giải bất phương trình: x (3x 4x 4) x Giải: Tập xác định bất phương trình D = [ 1; ) Bất phương trình tương đương với x [3x 4(x 1)] x (1) y Đặt (1) trở thành yx x y x (3x y ) y (2) +) y = x = -1 thay vào (1) thõa mãn Vậy x = -1 nghiệm +) y > x > -1 chia hai vế (2) cho y3 ta 3 y x y x (3) t 3t (t 1)(t x x Từ y hay x 1 Đặt t = x y , ta có (3) trở thành 4t 4) t x x x x Trang toán 3, toán 4, tác giả tham khảo từ TLTK số 13 x x 15 x x 2 Kết luận: Từ hai trường hợp bất phương trình có tập nghiệm S = 1; Nhận xét: Thông qua biến phụ ta thiết lập bất phương trình đẳng cấp hai ẩn Bài tốn 5: Giải bất phương trình: 6( x x 1) x x2 (Thi HSG tỉnh 2010 – 2011) Giải: Điều kiện: x Bất phương trình tương đương với 6( x x 1) ( x 1) x2 6( x x 1) ( x x 1)( x x 1) 6( x x 1) 6( x ( x x 1)( x x 1) (*) x 1) Chia hai vế (*) cho x x > x ta x2 x x2 x (**) x2 x Đặt Vậy x x x2 x2 x2 x x = t > ta (**) trở thành x 6t t 00 t 2 x x x x 11x x x2 x 11 21 ; 11 21 x Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình: S = 10 11 21 10 10 ; 11 21 10 Nhận xét: Để có biến đổi ta đặt 6( x x 1) = a( ( x x 1) + b ( x x 1) Từ tìm a = 6,b=6 Bài tốn 6: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với x thõa mãn x x x 2( m 1).6 x x ( m 1).4 x x Trang toán 5, tác giả tham khảo từ TLTK số 4; toán tham khảo từ TLTK số 14 Giải Điều kiện: x Chia hai vế bất phương trình cho x : 2 2(2 x x ) 32x x (*) 2( m 1) x ta có m Xét hàm số bậc hai f ( x ) x x, x ta có x - f(x) + + 2 Vậy f(x) 2x x 0, x Khi (*) có dạng t 2 + , nên đặt t = 32x2 x 30 2( m 1)t m 0, t t 2t (2t 1) m, t t 2t m , t (**) 2t Bài tốn trở thành tìm m để bất phương trình (**) thõa mãn với t Xét hàm số f(t) = t 2t , t , ta có f’(t) = 2t (t 1)(t 2) , t (2t 1)2 2t f’(t) = t , t t f’( t ) f(t) Ta có bảng biến thiên f(t) - + + + Từ m ta có giá trị nhỏ f(t) Vậy giá trị cần tìm m Kết luận: m Nhận xét: Để giải trực tiếp tốn ngồi việc sử dụng tính đồng bậc biểu thức chứa ẩn ta cịn sử dụng cơng cụ đạo hàm tính biến thiên hàm số Điều đòi hỏi khả vận dụng linh hoạt kiến thức học sinh Bài tốn 7: Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực x mx x x 4x x 3.2 ( Kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2012 – 2013) Giải: Điều kiện: x mx x 2x x 20 (1) x 4.2 2x (2) 3.2 15 Từ bất phương trình (2), chia hai vế cho 22 x > (3) ta 2( x x ) 3.2 x x (3) bất phương trình bậc hai ẩn t = 2x x > 0, ta có t 3t 01 t Vậy t hay 2x x x x x x x x (4) Hệ bất phương trình có nghiệm bất phương trình x mx (1) có nghiệm x 0;4 Với x = (1) khơng thõa mãn Với x (0;4] , (1) có nghiệm thõa mãn x (0;4] m x2 g ( x) có nghiệm x (0;4] x m g( x ) , mà g ( x ) x x (0;4] x2 x (BĐT CôSi) x Dấu sảy x = (0;4] Vậy m g( x ) = g(1) = (0;4] Kết luận: hệ có nghiệm m Nhận xét: - Để giải toán trên, trước tiên ta phải giải bất phương trình đồng bậc (2), từ kết hợp phương pháp hàm số để giải toán *.Các tập vận dụng Giải bất phương trình sau 1) 2x 5x x3 2) x 8x x 3x 3) 2x x3 4) 2(x 3x 2) x3 2.3 x x9 6) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm thực 5) x x m.9x (2m 1).6x m.4x 7) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với x thõa mãn x m.9 x x x x 16(1 m).4 x 3x 8) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm thực x x 2x m x 9) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thực 32 x m.3x x 9.9 x 10) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với x thõa mãn x m x x (2 m 1).6 x x m.4 x x0 16 2.4.3 Sử dụng tính đồng bậc giải hệ phương trình Phương pháp chung Ta thực theo bước sau: - Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu thức có hệ - Từ hệ phương trình, rút phương trình đồng bậc ẩn biểu thức chứa ẩn - Từ phương trình đồng bậc rút hệ thức đơn giản ẩn - Sử dụng kết nhận kết hợp phương pháp giải khác để giải hệ phương trình Bài tốn 1: Giải hệ phương trình: x y xy y x y x y x Giải: Điều kiện: x y Hệ x 6x x y x y y xy y x y (1) (2) - Từ phương trình (1) y = x = thay vào (2) không thõa mãn - Với y chia hai vế (1) cho y3 ta x y x 0(3) y Giải phương trình (3) bậc ba ẩn x ta x = x y y x Với = hay x = y thay vào (2) ta y y y Với x = hay x = 4y thay vào (2) ta ( 3) y y y x = 32 15 Vây hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 2) (x; y) = ( 32 15 ; =1 y Vậy x = y = 15 15 ) Nhận xét: Ta nhận thấy phương trình đầu đồng bậc ba x y, từ ta đưa phương trình bậc ba ẩn để tìm mối liên hệ đơn giản x y Bài toán 2:Giải hệ phương trình: x 3y 2 x y 2y x 4x y 32x 1 Trang toán 1,bài toán tác giả tham khảo từ TLTK số 17 Giải: Điều kiện: y ( x 2) y x x x Hệ 3y x 4x y 2x2 y 2y x2 4x y x 4x y (1) (2) 2x 1 - Từ phương trình (1) y = x2 không thõa mãn 2 y y (3) - Với y ta có (1) ( x 2) x Chia hai vế (3) cho y > ta phương trình bậc hai ẩn x2 > ta x2 2 x2 y yy x x2 = - (loại) y = (thỏa mãn); y Từ x2 = ta có y = x2 + thay vào (2) ta 4x 2x 1 (4) y Giải (4), xét hàm số f (x ) 4x liên tục 2x f '(x ) ; có 0, x 4x 33 (2x 1) f (x ) 4x 2x phương trình (4) có nghiệm đồng biến x1 y Kết luận: Hệ có nghiệm (x; y) = ( ;9 ) 2 ; , mà f( ) = nên (thõa mãn) Nhận xét: Từ phương trình đâu hệ ta đưa phương trình đẳng cấp bậc hai hai ẩn x2 y Ngồi ta sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình (4) Bài tốn 3: Giải hệ phương trình: Giải : x ( y 1) 2x y x y Điều kiện: x ( y 1) , hệ tương đương với 2x ( y 1) x y x ( y 1) (1) (2) Từ phương trình (2) ta có x y x nên từ điều kiện x ( y 1) ta có y Trang tốn 3, tác giả tham khảo từ TLTK số 18 - Vói y = - thay vào (1) có x = thay vào (2) không thõa mãn - Với y > -1 ta có y + >0 chia hai vế (1) cho y + ta 2x x 2x x 10(3) y y y y x >0, nên ta có y = y x thay vào (2) ta (3) phương trình bậc hai ẩn x = (loại), y x x (x 1) y x3 x2 2x ( x 2)( x x 4) x = Kết luận: hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) Nhận xét: Dựa vào phương trình đầu ta ta làm xuất phương trình đồng bậc hai biểu thức chứa ẩn x y Bài tốn 4: Giải hệ phương trình: 18 y 36 xy 5(2 x y ) xy y x (y 2 x 1) 2x 8x (x,y ) Giải: Điều kiện: ĐK: xy≥0, -1≤x≤9 Nếu x = y = thay vào hệ không thỏa mãn Vậy xy>0 Từ phương trình đầu, 2x+ 3y0, từ x>0, y>0 Phương trình đầu hệ tương đương với 2(2 x y ) 2(6 xy ) 5(2 x y ) 6xy = 2x 6xy Đặt t = x 3y 2 x.3y , t≥ y Ta có t 2x 3y 6xy t t Pt thứ hai x x 2 2 xy 6xy loại, từ 2x =3y thỏa mãn, t = y x (3 y 6 x 1) x x ( x 3 x 1) =0 ( x 3) x ( x 3) x x ( x 3) x x 3 x x ( x 8) 3( x 3) 2( x 1) (do x 3 ( x 8) ( x 8)(1 ( x 8)( 3( x 8) 2(8 x) x x x x x x =0 x 0) ) x–8 x 1) 19 Trang toán 4, tác giả tham khảo từ TLTK số Vậy hệ có nghiệm x= 8, y = 16/3 Nhận xét:- Đối với tốn trên, dựa vào đặc điểm phương trình đầu ta có phân tích x 18 y2 36xy theo (2 x y ) 6xy sau: x 18 y2 36xy = a( (2 x y ) + b(6xy) từ đồng hai vế ta a= b = - Trong lời giải ta làm xuất nhân tử chung phép kết hợp nhân với biểu thức liên hợp Bài toán 5: y x2 y xy2 y3 Giải hệ phương trình: x Giải: Ta có x x2 y 31 (1) y xy y3 (2) Thay (1) vào (2) ta có x2 y xy2 y3 x2 y xy2 y3 2( x3 y3 ) x3 x2 y xy2 y3 (3) - Từ (3) y = suy x = thay vào (1) không thỏa mãn - Với y chia hai vế (3) cho y3 ta x3 x2 y y (4) phương trình bậc ba ẩn t = x = y +) Với x = y x y x y 0(4) x x , từ ta y +) Với +) Với = y x thay vào (1) ta x = y = vào (1) vô nghiệm x y y 2x thay vào (1) ta 9x = 2 ; y x thay y = 3 x x 39 ,y 23 3 1 3 Kết luận: hệ có hai nghiệm (x; y) = ( ; ) ; (x; y) = ( 33 ; 33 ) ; Nhận xét: - Trong hệ, phương trình khơng ẩn, đặc điểm hai phương trình, ta khéo léo để tạo nên phương trình đồng bậc ba hai ẩn x y - Từ cách giải hệ ta suy cách giải hệ hai phương trình bậc hai thường gặp bxy cy d a ' x2 b ' xy c ' y2 ax (1) d ' (2) số (a, b, c) (a’, b’, c’) không đồng thời không; +)d = d’ = ta có phương trình đẳng cấp bậc hai đối vơi x y 20 Trang toán 5, tác giả tham khảo từ TLTK số +) d d’ đồng thời khác không Bằng cách nhân hai vế (1) với d’, hai vế (2) với d trừ cho ta phương trình đẳng cấp bậc hai ( ad ' a ' d ) x2 (bd ' b ' d) xy ( cd ' c ' d ) y2 Bài toán 6: Giải hệ phương trình: Giải: 5x Ta có x3 5x y x 3xy x3 x2 y2 3y3 y x 3xy 5x x2 y2 3y3 x2 xy x y y2 (1) x3 y3 (2) TH1: x y x 3y thay vào hệ ta có x = y = TH2: x2 y2 = x y thõa mãn hệ x 3y TH3: nhân vế với vế (1) với (2) ta x2 y2 (5 x xy)( x2 y2 ) ( x y )( x3 y3 ) x4 x y2 y4 (3) - Xét phương trình (3) phương trình đồng bậc (4) hai ẩn x y +) y = x (loại) x2 y2 x2 , từ +) y , chia hai vế (4) cho y4 ta x y 2 x = x y y Với x2 9 (loại) x y Nếu x = y cho x = y = y y Nếu x = -y cho x = -1; y = 1 Kết luận: hệ có ba nghiệm (x; y) = ( ; ) ; (x; y) = (- 1; 1); (x; y) = (0; 0) ; Nhận xét: Do hệ phương trình, ta thấy xuất nhóm biểu thức chứa ẩn có số mũ, từ ta tạo hệ thức có mối liên hệ đồng bậc.Ở ta đưa phương trình đồng bậc bốn Các tập vận dụng Giải hệ phương trình sau 1) 2x3 y3 (x y)(2xy 3) x2 xy y2 18 y 36 xy 5(2 x y ) xy 2) x y2 30 8x 3) (x,y ) 2x2 y2 3xy 2x4 y4 21 Trang toán 6, tác giả tham khảo từ TLTK số x22 x( y 1) y2 3y x2 xy 3y x2y 52x 22 y3 x 3xy x3 x y 3y 4) 5) 6) x3 y3 5 x y x2 y2 x xy x y y2 xy y 9x 7) x3 x2 12 x 16 y3 36 y2 24 y 8) 9) x 9) x( y 1) x 2y 2x y 10) y x 2x y 3y 2 x y y0 x y 2x y 2.4.4 Hiệu đề tài Để kiểm tra tính hiệu đề tài, tơi tiến hành kiểm lớp dạy năm qua thấy tính hiệu rõ rệt Cụ thể năm học 2017 – 2018 tiến hành hai nhóm đối tượng có lực học tương đương lớp 10A3 Nhóm (I) hướng dẫn sử dụng phương pháp đồng bậc giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, nhóm (II) chưa hướng dẫn Với hình thức kiểm tra làm tự luận, thời gian tiết học (45 phút), với đề bài: Câu 1: Giải phương trình: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (2 x x 1) x ((2 x x 1) (1 m) x Câu 2: Giải bất phương trình: 2( x2 x 2) x3 Câu 3: Giải hệ phương trình: x 4y y y2 16x 5(1 x2 ) Kết thu sau Lớp Nhóm (I) - Số Giỏi Khá HS SL % SL 22 36,36 Trung bình Yếu % SL % SL % 36,36 27,28 0 thực nghiệm Nhóm (I) đối chứng 9,52 23,81 11 52,38 14,29 21 22 Tư bang kêt qua nêu cho thây nhóm day thưc nghiêm co kêt qua hoc tâp đat đươc cao Như vây cách sử dụng tính đồng bậc giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, học sinh giải yêu cầu đề tốt hơn, gọn hơn, hiệu Điều phản ánh kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Đồng thời qua việc rèn luyện cho học sinh vận dụng phương pháp vào giải toán, cac em có tư tích cực, độc lập tạo cho em mạnh dạn, tự tin hơn, u thích, ham mê với mơn tốn KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua đề tài nhận thấy, phải cho học sinh làm nhiều toán với cách giải khác nhau, giúp em không thấy phương hướng đứng trước dạng tập dạng khác Đồng thời thấy tính linh hoạt việc sử dụng phương pháp khác giải toán biết cách vận dụng tốt phương pháp Thơng qua rèn luyện kỹ trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, logic Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh 3.2 Kiến nghị Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nội dung bản, cần tiếp tục ôn tập, đưa hệ thống tập để em biết vận dụng tốt phương pháp làm, có phương pháp sử dụng tính đồng bậc ẩn Sử dụng phương pháp đồng bậc toán khác, toán trắc nghiệm khách quan có chứa tham số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác LÊ NGỌC HÀ 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Các đề thi Đại học, Cao đẳng Bộ giáo dục đào tạo, đề kiểm tra kiến thức Đại học, Cao đẳng THPT trường trước Các đề tham khảo đề thi thức giáo dục đào tạo kì thi THPT Quốc Gia năm 2017 [2].Giải Tốn Đại số 10 (Dùng cho lớp chuyên) ; Võ Anh Dũng – Trần Đức Huyên(Chủ Biên) [3] Phương Pháp Giải toán Mũ – Loogarit; Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí [4] Đề thi Học Sinh Giỏi tỉnh Thanh Hóa qua năm 24 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Ngọc Hà Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Yên Định 1Yên Định- Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại “Sử dụng phương pháp hàm số giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình”, Sở GD&ĐT Kết đánh giá xếp loại C Năm học đánh giá xếp loại 2014-2015 * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH I - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BẬC TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Lê Ngọc Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HOÁ, NĂM 2018 26 ... dụng kiến thức để giải toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Vì tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu: ? ?sử dụng tính đồng bậc giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình? ??... số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tính chất đa thức Phạm vi nghiên cứu đề tài tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nằm chương trình tốn phổ thơng 1.4 Phương. .. vận dụng tốt phương pháp làm, có phương pháp sử dụng tính đồng bậc ẩn Sử dụng phương pháp đồng bậc toán khác, tốn trắc nghiệm khách quan có chứa tham số phương trình, bất phương trình, hệ phương