SKKN Giúp HS rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIÚP HỌC SINH LỚP 10 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ " I. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cũng như cách giải một vài dạng toán cơ bản của phần này. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng. Đặc biệt, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - THCN các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ mà chỉ có một số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần phương trình và bất phương trình có chứa dấu căn chỉ là một mục nhỏ trong bài: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai của chương IV. Thời lượng dành cho phần này lại rất ít, các ví dụ và bài tập trong phần này cũng rất hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ năng biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục. Muốn vậy, trong các tiết luyện tập giáo viên cần tổng kết lại cách giải các dạng phương trình và bất phương trình thường gặp, cũng như bổ sung thêm các dạng bài tập nâng cao, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Giới hạn nghiên cứu của đề tài: - Phương trình và bất phương trình vô tỉ: Các dạng toán cơ bản và nâng cao nằm trong chương trình Đại số 10. - Một số bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học - Cao đẳng. II. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết. Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, ttrong quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập và giải một bài tập với nhiều cách khác nhau. III. CƠ SỞ THỰC TIỄN: Bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ học sinh chỉ được học trong chương trình Đại số 10. Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất ít, học sinh không được tiếp cận nhiều dạng toán khác nhau. Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao chỉ đưa ra ba dạng cơ bản: BABA <= , và BA > , phần bài tập cũng chỉ nêu những bài tập nằm trong ba dạng này. Tuy nhiên, trong thực tế phương trình và bất phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú. Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải. Đặc biệt, các đề thi Đại học - Cao đẳng các em sẽ gặp phương trình và bất phương trình vô tỉ ở nhiều dạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ ba dạng trên. Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay. Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình và bất phương trình vô tỉ, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh các sai lầm thường mắc phải và phân tích nguyên nhân sai lầm để các em hiểu sâu hơn nhằm có được một bài giải tốt sau này. IV. NỘI DUNG: A. Phương pháp biến đổi tương đương: Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến đổi tương đương của phương trình, bất phương trình nhằm đưa các phương trình và bất phương ban đầu về phương trình và bất phương trình đã biết cách giải. 1) Dạng :)()( xgxf = Ví dụ 1: Giải phương trình: 1312 +=+ xx Hướng dẫn giải: Ta thấy VT luôn không âm, do đó nếu VP âm thì phương trình vô nghiệm, nên ta chỉ cần giải phương trình khi 013 ≥+ x 3 1 −≥⇔ x . Khi đó hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương.             −==⇔ −== −≥ ⇔ =+ −≥ ⇔    +=+ ≥+ ⇔ 9 4 0 9 4 ,0 3 1 049 3 1 )13(12 013 2 2 Vxx xx x xx x xx x pt Nhận xét: *    = ≥ ⇔= )()( 0)( )()( 2 xgxf xg xgxf (không cần đặt đk: 0)( ≥xf ) * Ở bài toán trên ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ: 12 += xt Ví dụ 2: Giải phương trình: xxx 2114 −=−−+ . Hướng dẫn giải: ĐK: 2 1 4 ≤≤− x (*). pt xxxxxxxx −+−−+−=+⇔−+−=+⇔ 1)1)(21(22141214 0 072 2 1 )1)(21()12( 012 )1)(21(12 2 2 =⇔      =+ −≥ ⇔    −−=+ ≥+ ⇔−−=+⇔ x xx x xxx x xxx . Đối chiếu đk (*) ta thấy x = 0 thỏa mãn. Vậy nghiệm của pt đã cho là x = 0 Nhận xét: Ở phương trình trên ta chuyển x−1 qua vế phải rồi mới bình phương. Mục đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau khi bình phương ta thu được phương trình tương đương. 2) Dạng :)()( xgxf <      < ≥ > ⇔< )()( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xf xg xgxf Ví dụ 3: Giải phương trình: 2162 2 +<+− xxx (1) Giải:      −<+− ≥+− >− ⇔ 22 2 )2(162 0162 02 )1( xxx xx x      <−− + ≥ − ≤ > ⇔ 032 2 73 2 73 2 2 xx Vxx x      <<− + ≥ − ≤ > ⇔ 31 2 73 2 73 2 x Vxx x 3 2 73 <≤ + ⇔ x . 3) Dạng :)()( xgxf >          ≥ ≥    < ≥ ⇔> )()( 0)( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xg xg xf xgxf Ví dụ 4: Giải bpt: 3 7 3 3 )16(2 2 − − >−+ − − x x x x x (ĐH Khối A - 2004) Giải: ĐK: 4 ≥ x bpt          −>− ≥−    <− ≥− ⇔−>−⇔−>−+−⇔ 22 2 22 )210()16(2 0210 0210 016 210)16(273)16(2 xx x x x xxxxx 3410 53410 5 −>⇔    ≤<− > ⇔ x x x Ví dụ 5: Giải phương trình: 1162 2 +=++ xxx Giải:    +=+ −≥ ⇔    +=+ −≥ ⇔    +=++ ≥+ ⇔ 2222222 )1(16 1 116 1 )1(162 01 xx x xx x xxx x pt    ==⇔ =− −≥ ⇔ 2,0 04 1 24 xx xx x Ví dụ 6: Giải phương trình: .2)2()1( 2 xxxxx =++− Hướng dẫn giải: ĐK: (*) 0 1 2      = ≥ −≤ x x x . Pt )12()2(24)2)(1(22 22222 −=−+⇔=+−++⇔ xxxxxxxxxxx 2222 )12()2(4 −=−+⇔ xxxxx (do đk (*)) ( )     = = ⇔=−⇔ 8 9 0 098 2 x x xx (thỏa (*)). Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau: 1) Bài toán trên còn có cách giải như sau: * x = 0 là một nghiệm của phương trình. * 12222211 2 −=−+⇔=++−⇔⇒≥ xxxxxxptx 8 9 144844 22 =⇔+−=−+⇔ xxxxx (nhận) * ))((2)2()1(2 xxxxxxptx −−=−−−+−−⇔⇒−≤ 8 9 1222221 2 =⇔+−=−+⇔−=−−+−⇔ xxxxxxx (loại) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0 và x = 8 9 2) Khi biến đổi như trên, chúng ta thường mắc sai lầm khi cho rằng !. baab = Đẳng thức này chỉ đúng khi 0, ≥ba . Nếu 0, ≤ba thì baab −−= Ví dụ 7: Giải phương trình: 333 3221 −=−+− xxx . Hướng dẫn giải: 32)21()2)(1(332 33 3 −=−+−−−+−⇔ xxxxxxpt (*) 0)32)(2)(1( 3221 3 333      =−−− −=−+− ⇔ xxx xxx . 2 3 ;2;1 ===⇔ xxx Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau: a) Khi giải phương trình trên chúng ta thường biến đổi như sau: ?!0)32)(2)(1(32)21()2)(1(332 3 33 3 =−−−⇔−=−+−−−+− xxxxxxxxx .Phép biến đổi này không phải là phép biến đổi tương đương! Vì ở đây chúng ta đã thừa nhận phương trình ban đầu có nghiệm. Do đó để có được phép biến đổi tương đương thì ta phải đưa về hệ như trên. Chẳng hạn ta xét pt sau: .0111)11(132111 3 2 33 3 2 33 =⇔=−⇔−=++−−+⇔−=++− xxxxxxx Thay x = 0 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 0 không thỏa mãn. b) Với dạng tổng quát: 333 cba =± ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức )(3)( 333 baabbaba ±±±=± , ta có phương trình tương đương với hệ:    =±± =± 0 3 3 333 cbaba cba . Giải hệ này ta được nghiệm của phương trình. Ví dụ 8: Giải phương trình: a) 77 2 =++ xx (1) b) 5 3 2314 + =−−+ x xx (2) Hướng dẫn giải: a) 0)17)(7(0)7()7( 2 =++−++⇔=++++−⇔ xxxxxxxxpt    +=+ −=+ ⇔ 17 7 xx xx     = − = ⇔ 2 2 291 x x . Vậy pt đã cho có hai nghiệm: 2 = x và 2 291− =x . b) )23()14()2314(5 −−+=−−+⇔ xxxxpt )2314).(2314()2314(5 −++−−+=−−+⇔ xxxxxx    =⇔ =−++ =−−+ ⇔ 2 02314 02314 x xx xx Nhận xét: *Với phương trình (1) ta có thể giải như sau: Đặt 7+= xy ta có hệ phương trình:    =+ =− 7 7 2 2 yx xy , trừ vế theo vế hai phương trình trên ta được: 0)1)(( =−−+ xyxy . Giải ra ta tìm được x. * Dạng tổng quát của pt (1) là: aaxx =++ 2 . *Với pt (2) ta còn có cách giải khác như sau: (2) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 223 )2(3 314 )2(4 5 2 223314 − = +− − − ++ − ⇔ − =−−−−+⇔ x x x x xx xx     = +−++ −+−− = ⇔ (*) 5 1 )223)(314( 11423 2 xx xx x . Vì VT(*) < 0 (do ) 3 2 ≥x nên (*) vô nghiệm. Ví dụ 9: Giải các bất phương trình sau: a) 4 )11( 2 2 −> ++ x x x (1) b) 0232)3( 22 ≥−−− xxxx (2) Hướng dẫn giải: a) ĐK: 1−≥x . *Với x = 0 ta thấy bất phương trình luôn đúng. *Với x ≠ 0 011 ≠+−⇒ x . Nhân lượng liên hợp ở vế trái của bpt ta được: 8314)11(4 )11.()11( )11( 2 22 22 <⇔<+⇔−>+−⇔−> +−++ +− xxxxx xx xx . Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: )8;1[−=T b) Ta xét hai trường hợp: TH 1: 20232 2 =⇔=−− xxx V 2 1 −=x , khi đó bpt luôn đúng. TH 2: BPT 3 2 1 30 2 2 1 03 0232 2 2 ≥−<⇔           ≥≤ >−< ⇔ ≥− >−− ⇔ Vxx Vxx Vxx xx xx . Vậy nghiệm của bpt đã cho là: );3[}2{] 2 1 ;( +∞∪∪−−∞=T . Qua ví dụ trên, lưu ý cho học sinh các điểm sau: *Ở bài toán (2) ta thường không chú ý đến trường hợp 1, đây là sai lầm mà chúng ta thường gặp trong giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. *Khi giải bất phương trình, nếu ta muốn nhân hoặc chia hai vế của bất phương trình cho một biểu thức thì ta phải xác định được dấu của biểu thức đó. Nếu chưa xác định được dấu của biểu thức mà ta muốn nhân thì ta có thể chia làm hai trường hợp. Ví dụ 10: Tìm m để phương trình: 132 2 +=−+ xmxx có hai nghiệm phân biệt. Hướng dẫn giải:    =−−+ ≥ ⇔ (*)04)2( 1 2 xmx x pt . Phương trình (*) luôn có hai nghiệm: 0 2 842 ;0 2 842 2 2 2 1 < +−−− => +−+− = mmm x mmm x . Phương trình đã cho có hai nghiệm (*)⇔ có hai nghiệm phân biệt 1−≥ .2 84)4( 4 8441 22 2 2    ≤⇔ +−≥− ≤ ⇔+−≥−⇔−≥⇔ m mmm m mmmx Vậy 2 ≤ m là những giá trị cần tìm. B. Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1: 0)(( = n xfF , với dạng này ta đặt: n xft )(= (nếu n chẵn thì phải có điều kiện )0≥t và chuyển về phương trình F(t) = 0, giải phương trình này ta tìm được t .x⇒ Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: .0)()( =++ cxfbxaf Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) 3111 22 =++ xx b) xxxx 33)2)(5( 2 +=−+ [...]... các dạng phương trình và bất phương trình vô tỉ thường gặp Ngoài ra, cho các em làm quen với các bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học và Cao đẳng; đồng thời bổ sung một số dạng bài tập nâng cao với nhiều cách giải khác nhau Với cách làm như vậy, đa số học sinh lớp 10 và học sinh lớp 12 đã có được kĩ năng giải... đưa một phương trình hay bất phương trình vô tỉ về dạng quen thuộc đã biết cách giải VII KẾT LUẬN: Phương trình và bất phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung Vì vậy, bản thân tôi rất chú trọng khi dạy phần này cho học sinh Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương. .. lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương trình (bpt) bậc hai đối với t Ví dụ 3: Cho phương trình: a) Giải phương trình khi b) Tìm m 3 + x + 6 − x = m + (3 + x)(6 − x ) m = 3 để phương trình đã cho có nghiệm Hướng dẫn giải: Đặt: t = 3 + x + 6 − x ⇒ t 2 = 9 + 2 (3 + x )(6 − x ) (*) Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 (3 + x)(6 − x ) ≤ 9 nên Phương trình đã cho trở... trong phương trình, bất phương trình đã cho qua ẩn phụ vừa đặt Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp chúng ta không thể biểu diễn được hết các biểu thức chứa x có mặt trong phương trình, bất phương trình qua ẩn phụ được Đối với loại này ta xét dạng sau đây: Dạng 4: a f ( x) + g ( x ) f ( x) + h( x ) = 0 Với phương trình dạng này ta có thể đặt đó ta được phương. .. bài toán lượng giác này Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 + 1 − x2 = 2x2 Với bài toán này, học sinh có thể giải bằng phương pháp bình phương hoặc đặt ẩn phụ Cách tiến hành hai phương pháp này tuy khác nhau nhưng cùng một mục đích là làm mất căn thức Tuy nhiên, chúng ta có thể gợi ý cho học sinh: ĐK xác định của phương trình −1 ≤ x ≤ 1 và phải biến đổi... bình phương hai vế Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bình phương hai vế ta thu được phương trình tương đương 2  2  (1) ⇔ 1 + x − x2  =  3  ( x + 1− x ⇔ 2( x − x ) − 3 x − x = 0 ⇔ 2 2 ) 2 ⇔ 1+ 4 4 x − x2 + (x − x2 ) = 1 + 2 x − x2 3 9  x − x2 = 0  x = 0Vx = 1 x− x 2 x− x −3 = 0 ⇔  3⇔ 2  x−x =  VN 2  2 ( 2 ) Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương. .. hợp lí vì phương trình x ∈ [ 0;1] ) đã cho 2 1 + sin t cos t = sin t + cos t ⇔ 3((1 − sin t ) + (1 − sin t )(1 + sin t ) (2 sin t − 3) = 0 3 sin t = 1 ⇒ x = 1 x =1   x =1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 3 1 − sin t = (3 − 2 sin t ) 1 + sin t sin t (4 sin t − 6 sin t + 8) = 0 x = 0 trở thành: Qua ví dụ trên, ta thấy có nhiều cách để giải phương trình và bất phương trình vô tỉ Mọi phương pháp... phương trình và bất phương trình vô tỉ Mọi phương pháp đều chung một ý tưởng, đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình mà ta đã biết cách giải VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Phương trình và bất phương trình vô tỉ một mảng kiến thức tương đối khó đối với học sinh lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung nhưng lại thường gặp trong... dụ 6: Giải phương trình: Hướng dẫn giải: Đặt: x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3 x 2 + 4 x + 1 a = x 2 + 2 x , b = 2 x − 1 ⇒ 3 x 2 + 4 x + 1 = 3a 2 − b 2 Phương trình trở thành: a + b = 3a 2 − b 2 ⇔ a 2 − ab − b 2 = 0 ⇔ a = 1+ 5 b⇔ 2 Giải phương trình này ta được nghiệm x= x2 + 2x = 1+ 5 2 1+ 5 2x −1 2 và đây là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Ví dụ 7: Tìm m để phương trình... 0 do đó phương trình này có hai nghiệm: Đây là phương trình t = 2, t = −2 x x 2 + 2 x − 1 = 2 ⇔ x 2 + 2 x − 5 = 0 ⇔ x = −1 ± 6 * t = −2 x ⇔ x≤0  x 2 + 2 x − 1 = −2 x ⇔  2 hệ 3 x − 2 x + 1 = 0 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: này vô nghiệm x = −1± 6 Đặt ẩn phụ các hàm lượng giác: Khi giải phương trình và bất phương trình chứa căn, đôi khi ta còn đặt ẩn phụ . phương trình và bất phương trình vô tỉ thường gặp. Ngoài ra, cho các em làm quen với các bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học và. cách để giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. Mọi phương pháp đều chung một ý tưởng, đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình. tế phương trình và bất phương trình vô tỉ rất đa dạng và phong phú. Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bài toán đưa về phương trình và bất phương