phương pháp cơ bản để giải các bài toán về phương trình và hệ phương trình nghiệm nguyên thường gặp

Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Phương trình nghiệm ngun dạng tốn hay khó Tổng quát đề tài lí thú số học đại số - Việc giải phương trình vơ định tức việc tìm nghiệm nguyên phương trình hệ phơng trình đại số với hệ số ngun, ln đòi hỏi học sinh khả phân tích, tổng hợp, đối chiếu, dự đốn, phương pháp tư logic để lựa chọn nghiệm thích hợp - Trong nội dung chương trình sách giáo khoa mơn tốn lớp trung học sở phương pháp thủ pháp giải phương trình nghiệm nguyên không đề cập đến cách cụ thể chi tiết mà giới thiệu thông qua số tập - Các dạng toán thường thấy tạp chí tốn học sơ cấp, đề thi học sinh giỏi cấp đề thi vào đại học - Với tốn phương trình hệ phương trình nghiệm ngun khơng có phương pháp giải tổng qt - Vì chọn đề tài nhằm trao đổi giới thiệu với đòng nghiệp vài phương pháp hay thủ pháp để giải toán phương trình hệ phương trình nghiệm nguyên thường gặp Từ áp dụng vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi đạt hiệu cao II.PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Phạm vi nghiên cứu đề tài: Các toán phương trình hệ phương trình nghiệm nguyên Đối tượng: Học sinh giỏi trường THCS Mục đích: Trao đổi kinh nghiệm giúp HS có phương pháp để giải phương trình hệ phương trình nghiệm nguyên GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm B PHẦN NỘI DUNG I MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương pháp 1: Đưa dạng tích * Nội dung phương pháp: Vận dụng phương pháp phan tích đa thức thành nhân tử để biến đổi phương trình dạng: vế trái tích đa thức chứa ẩn, vế phải tích số nguyên Thí dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình y3 – x3 = 91 Lời giải: Ta có y3 – x3 = 91 (y – x)(y2 + xy + x2) = 91 Vì y2 + xy + x2 > nên y – x >  y − x = 91 Ta có trường hợp sau:  y − x =1 ;  y − x = 13 ; y − x = ; 2 2 2 2  x + xy + y =  x + xy + y = 91  x + xy + y =  x + xy + y = 13 từ ta có nghiệm phương trình Thí dụ 2: Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) phương trình x2 + x + 13 = y2 HD: Ta có x2 + x + 13 = y2 4x2 + 4x + 52 =4 y2 (2y + 2x + 1)(2y – 2x – 1) = 51 Vì x, y nguyên dương nên 2x + 2y + > => 2y – 2x – > Mặt khác 2x + 2y + 2y – 2x – số lẻ Ta có trường hợp sau: 2 y − x − =   y + x + = 51  y + x + = 17  2 y − x − = Từ trường hợp ta ca nghiệm phương trình Phương pháp 2: Dùng tính chất chẵn lẻ số Một số tính chất: - Tổng hiệu số chẵn số lẻ số lẻ - Tổng hiệu hai số chẵn hai số lẻ số chẵn - Tích số lẻ số lẻ GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm - Tích số , có số chẵn số chẵn - Trong hai số ngun liên tiếp có số lẻ số chẵn Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương ttrình 2x – 3y = Lời giải: * Nếu y chẵn Đặt y = 2a với a nguyên dương Ta có x = + 9a Vì ≡ (mod4) => 9a ≡ (mod4) => 2x ≡ (mod4) => x = y = * Nếu y lẻ Đặt y = 2b + với b nguyên dương Ta có x = 3.9b + số chia cho dư (vì b chia cho dư 1) Suy x = y = Thí dụ 4: Tìm nghiệm ngun phương trình (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Lời giải: Vì 105 số lẻ nên 2x + 5y + số lẻ => 5y + số lẻ => 5y số chẵn => y số chẵn Mà x + y + x2 + x lẻ => x + x2 + x lẻ Mặt khác x2 + x số chẵn => x số lẻ => x = Thay x = => (5y + 1)(y + 1) = 105 5 y + = 21 5 y + = −21   y +1 =  y + = −5 Mà (5y + 1; 5) = => 5y + không bội =>  Từ ta có x = y = nghiệm phương trình Thí dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình  xy + y − x ! = 1(1)   yz + z − y ! = 1(2)  x − y + x − y = 2(3)  Từ phương trình ta có x2 số chẵn => x số chẵn Thay vào => y số lẻ => y+1 chẵn => z(y + 1) chẵn nên từ => y! số lẻ => y = Thay y = vào (1) (2) ta x = 2; z = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2, 1, 1) Phương pháp 3: Dùng tính chất chia hết GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm * Nội dung: Dùng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vơ nghiệm để tìm nghiệm phương trình Thí dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – 2y2 = Lời giải: Từ phương trình ta có x số lẻ Thay x = 2k + ( k ∈ Z) ta 4k2 + 4k + – 2y2 = 2(k2 + k – 1) = y2 => y2 số chẵn => y số chẵn Đặt y = 2t ( t ∈ Z), ta có: 2(k2 + k – 1) = 4t2 => k(k + 1) = 2t2 + => phương trình vơ nghiệm Thí dụ 7: Chứng minh khơng tồn số nguyên x, y, z thoả mãn: x + y3 + z3 = x + y + z + 2000 Lời giải: Ta có x3 – x = x(x – 1)(x + 1) tích ba số nguyên liên tiếp Do x – x chia hết cho Tương tự ta có: y3 – y z3 - z chia hết cho Suy x3 + y3 + z3 – x – y – z chia hết cho Mà 2000 không chia hết cho Vậy phương trình cho vơ nghiệm Thí dụ 8: Tìm số có chữ số xyz thoả mãn: xyz + xzy = zzz Lời giải: Ta có xyz + xzy = zzz 100x + 10y + z + 100x + 10z + y = 111z 200x + 11y = 100z => 11y M100 mà (11, 100) = => y M100 mà ≤ y ≤ => y =  z = 2x mà < z < 10 => < x < => x = 1; 2; 3; => z = 2; 4; 6;  Vậy số cần tìm 102; 204; 306; 408 Thí dụ 9: Tìm cặp số nguyên dương thoả mãn phương trình: 1! + 2! + 3! + + x! = y3 Lời giải: Nếu x > => x! M27 => 9! + 10! + + x! M27 Mà 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! = 46233 M9 không chia hết cho 27 GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm => với x > 1! + 2! + 3! + + x! M9 không chia hết cho 27 Mà với x > 1! + 2! + 3! + + x! M9 => y3 M9 => y M3 => y3 M27 => mâu thuẫn => ≤ x ≤ => cặp số x, y Phương pháp 4: Dùng tính chất đồng dư thức * Nội dung: Dùng tính chất đồng dư thức để chứng minh phương trình vơ nghiệm để tìm nghiệm phương trình Thí dụ 10: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 19x2 + 28y2 = 729 Ta có 729 ≡ (mod4) 28y2 ≡ (mod4) 19x2 ≡ - x2 (mod4) Suy x2 ≡ - (mod4) hay x2 ≡ (mod4) Mặt khác số phương chia cho có số dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Thí dụ 11: Tìm số tự nhiên x, y biết a/ x2002 – 2000y2001 = 2003 (1) Nếu x ≡ (mod4) Từ (1) => vơ lí Nếu x ≡ (mod4) => x2002 ≡ (mod4) Mà 2003 ≡ (mod4) => mâu thuẫn Vậy phương trình vô nghiệm b/ 2002x – 2001y = 2002x = 2001y + Ta có 2001 ≡ (mod4) => 2001y ≡ (mod4) => 2001y + ≡ (mod4) => 2002x ≡ (mod4) => 2x ≡ (mod4) => x = Thay x = vào phương trình (1) ta có y = Vậy phương trình có nghiệm x = 1; y = GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp 5: Sắp thứ tự biến * Nội dung: Nếu ẩn x, y, z, phương trình có vai trò bình đẳng, ta giả sử x ≤ y ≤ z ≤ để tìm nghiệm thoả mãn điều kiện này.Từ dùng phép hốn vị để suy nghiệm phương trình cho Thí dụ 12: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình a/ x + y + z = xyz Do vai trò bình đẳng x, y, z phương trình, trước hết ta giả sử x ≤ y ≤ z Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ Do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ => x.y ∈ { 1; 2;3} Nếu xy = => x = y = => Thay vào phương trình ta có + z = z => vơ lí Nếu xy = 2, x ≤ y nên x = y = 2, thay vào phương trình ta có z = Nếu xy = 3, x ≤ y nên x = y = 3, thay vào phương trình ta có z = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (1, 2, 3) hốn vị 1 b/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = Do vai trò bình đẳng x, y, z phương trình, trước hết ta giả sử x ≤ y ≤ z 1 1 Ta có = x + y + z ≤ z => x ≤ => x = 1 1 Thay vào phương trình ta có + y + z = => = y + z ≤ y => y ≤ => y = y = Nếu y = thay vào phương trình => Nếu y = => = vơ lí z 1 = => z = z Vậy nghiệm phương trình (1, 2, 2) hốn vị GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức * Nội dung: Dùng bất đẳng thức để đánh giá ẩn từ đánh giá suy giá trị ngun ẩn Thí dụ 13: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 – xy + y2 = y 3y2  Ta có x – xy + y =  x − ÷ = − 2  2 y 3y2  ≥ => −2 ≤ y ≤ Vì  x − ÷ ≥ => − 2  Lần lượt thay giá trị y tìm vào phương trình để tìm giá trị x Ta nghiệm phương trình (- 1, - 2); (1, 2); (-2, -1); (2, 1); (- 1, 1);(1, -1) Thí dụ 14: Tìm nghiệm ngun phương trình zy xz xy + + =3 x y z Lời giải: Điều kiện x, y, z khác Ta có y2z2 + z2x2 + x2y2 = 3xyz => xyz > y2z2 + z2x2 + x2y2 ≥ 3 x y z Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có Suy 3xyz ≥ 3 x y z => xyz ≤ => xyz = xyz > Từ suy nghiệm phưng trình là(1, 1, 1); (1,- 1,- 1); (- 1, 1, - 1); ( - 1, - 1, 1) Phương pháp 7: Xét chữ số tận Thí dụ 15: Tìm nghiệm ngun dương phương trình 1! + 2! + 3! + + x! = y Nếu x > x! có chữ số tận mà 1! + 2! + 3! + 4! = 33 có chữ số tận Suy 1! + 2! + 3! + + x! có chữ số tận Mà y2 số phương nên khơng có tận Suy x ≤ GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm Thử trường hợp x vào ta có nghiệm phương trình (1, 1); (3, 3) Thí dụ 16: Tìm nghiệm ngun dương phương trình x2 + x - = 32y+1 Nếu x ≡ (mod10) => x2 + x - ≡ (mod10) Nếu x ≡ (mod10) => x2 + x - ≡ (mod10) Nếu x ≡ (mod10) => x2 + x - ≡ (mod10) Nếu x ≡ (mod10) => x2 + x - ≡ (mod10) Nếu x ≡ (mod10) => x2 + x - ≡ (mod10) => x2 + x - có tận là1; Mặt khác ta có 32y+1 = 32y.3 = 9y.3 ≡ (mod10) => Mâu thuẫn Vậy phương trình cho khơng có nghiệm nguyên Phương pháp 8: Đưa dạng tổng Thí dụ 17: Tìm nghiệm ngun phương trình x + y2 – x – y = Ta có x2 + y2 – x – y = (2x - 1)2 + (2y - 1)2 = 34 Mà 34 = 32 + 52 cách phân tích  (2 x − 1) = 32  2  (2 y − 1) = 2 2 => (2x - 1) + (2y - 1) = + =>  => 2  (2 x − 1) =    (2 y − 1) = 32    x − =    y − =   x − =    y − = => cặp số cần tìm Thí dụ 18: Tìm nghiệm nguyên phương trình 5x2 – 4xy + y2 = 169 Ta có 5x2 – 4xy + y2 = 169 x2 + (2x – y)2 = 169 = 02 + 132 = 122 + 52 Khi ta có trường hợp sau: GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm  x = TH1:  2 (2 x − y ) = 13 2  x = 13 TH2:  (2 x − y ) =  x = 122 TH3:  2 (2 x − y ) =  x = 52 TH4:  2 (2 x − y ) = 12 Phương pháp 9: Sử dụng định lí nghiệm ngun phương trình bậc hai để giải phương trình Định lí 1: Phương trình ax2 + bx + c = với hệ số nguyên c khác có nghiệm nguyên x0 c chia hết cho x0 Định lí 2: Phương trình ax2 + bx + c = với hệ số nguyên ∆ = b − 4ac bình phương số nguyên Định lí 3: Phương trình với hệ số ngun x2 + by2 + cxy + dx + ey + f = có nghiệm nguyên ∆ = (cy + d )2 − 4(by + ey + f ) bình phương số nguyên Thí dụ 19: Tìm số ngun x cho x2 + 28 số phương Đặt x2 + 28 = y2 => x y phải tính chẵn, lẻ Đặt y = x + 2v với v nguyên dương, thay vào phương trình ta v2 – xv – = Áp dụng định lí => v = v = x = – nghiệm nguyên phương trình cho Thí dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 + 3y2 + 4xy + 2x + 4y – = Ta có: x2 + 3y2 + 4xy + 2x + 4y – = x2 + 2(2y + 1).x + 3y2 + 4y – = Áp dụng định lí phương trình cho có nghiệm ngun (2y + 1)2 – (3y2 + 4y – 9) = v2 có nghiệm nguyên Ta có (2y2 + 1)2 – (3y2 + 4y – 9) = v2 v2 = y2 + 10 Đặt v = y + 2t thay vào phương trình ta có 2(t2 + t) = => phương trình cho khơng có nghiệm ngun GV: Lê Phúc Lợi Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm Thí dụ 21: Giải phương trình nghiệm ngun: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Phương trình 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = có nghiệm nguyên (2x – 1) – (3x2 + 4x + 5) = v2 có nghiệm nguyên Ta có (2x – 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = v2 x2 – = v2 Đặt v = x – t thay vào phương trình ta có t – 2xt + = Đặt t = 2u ta có phương trình u – xu + = Áp dụng định lí ta có u = u = -1 x = x = -2 Thay vào phương trình cho ta nghiệm phương trình (x, y) = (2, - 5) (- 2, 3) 10 Phương pháp 10: Phương pháp kẹp * Phương pháp kẹp thường dùng nhận xét sau: Nhận xét 1: Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương khác Nhận xét 2: xn < yn < (x + a)n yn = (x + i)n với i = 1; 2; 3; ; (a -1) Nhận xét 3: x(x + 1)(x + 2) (x + n) < y(y + 1)(y + 2) (y + n) < (x + a)(x + a + 1)(x + a + 2) (x + a + n) y(y + 1)(y + 2) (y + n) = (x + i)(x + i + 1)(x + i + 2) (x + i + n) với i = 1; 2; 3; ; (a -1) Thí dụ 22: Giải phương trình nghiệm ngun Ta có x2 + x + = (x + ) + > 0; + x + x + x3 = y3 5x2 + 11x + = 5(x + 11 19 ) + >0 10 20 Nên + x + x2 + x3 – ( x2 + x + 1) < + x + x2 + x3 < + x + x2 + x3 + 5x2 + 11x + x3 < y3 < (x + 2)3 => y3 = (x + 1)3 => y3 = x3 + 3x2 + 3x + => x3 + x2 + x + = x3 + 3x2 + 3x + => x2 + x = => x = x = - Vậy nghiệm nguyên phương trình cho (0, 1) (- 1, 0) Thí dụ 23: Giải phương trình nghiệm ngun x3 – y3 – 2y2 – 3y – = GV: Lê Phúc Lợi 10 Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm Ta có x3 – y3 – 2y2 – 3y – = x3 = y3 + 2y2 + 3y + Vì y2 ≥ 0; 5y2 + > Nên ta có y3 + 2y2 + 3y + – (5y2 + 2) < y3 + 2y2 + 3y + ≤ y3 + 2y2 + 3y + + y2 Do (y – 1)3 < x3 ≤ (y + 1)3 => x3 = y3 x3 = (y + 1)3 Nếu x3 = y3 => 2y2 + 3y + = => y = - => x = - Nếu x3 = (y + 1)3 => y2 = => y = => x = Vậy nghiệm nguyên phương trình (- 1, - 1); (1, 0) x4 + x2 – y2 + y + 10 = Thí dụ 24: Giải phương trình nghiệm ngun Ta có x4 + x2 – y2 + y + 10 = y(y – 1) = x4 + x2 + 10 Mà x4 + x2 < x4 + x2 + 10 < x4 + x2 + 10 + 6x2 + Do x2(x2 + 1) < y(y – 1) < (x2 + 3)(x2 + 4)  y ( y − 1) = ( x + 1)( x + 2) =>  2  y ( y − 1) = ( x + 2)( x + 3) Kết hợp với đề ta x2 = x2 = từ tìm nghiệm nguyên phương trình cho 11 Phương pháp 11: Chỉ nghiệm nguyên * Nội dung: Thử trực tiếp số giá trị ẩn nghiệm chứng minh phương trình có giá trị nghiệm Thí dụ 25: Tìm số tự nhiên x thoả mãn phương trình: 2x + 3x = 5x x x  2  3 Ta có + =  ÷ +  ÷ =  5 5 x x x (2) Với x = => vế trái loại Với x = => vế trái phương trình GV: Lê Phúc Lợi 11 Trường THCS Vĩnh Tường x Sáng kiến kinh nghiệm x x x 2 3  2 3 Với x ≥  ÷ <  ÷ < =>  ÷ +  ÷ < Suy trái với đề 5 5 5 5 Vậy x = nghiệm phương trình II BÀI TP P DNG Bài 1: Tìm số nguyên dơng x, y, z biÕt: a/ 2x + 2y + 2z = 2336 b/ 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z Bài 2: Tìm tất số có ba chữ số cho tích cđa ba ch÷ sè b»ng tỉng cđa ba ch÷ sè Bài 3: Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số cho tổng sáu số có hai chữ số khác đợc viết từ ba chữ số nó Bài 4: Tìm tất số có ba chữ số cho số tổng bình phơng chữ số Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y biết a/ x2 + 4x + = 2y 2− y b/ (x + y)(xx + y y) = 1981 Bài 6: Tìm tất số có ba chữ số cho tổng nghịch đảo chữ số hàng trăm hàng chục nghịch đảo chữ số hàng đơn vị chữ số hàng đơn vị số nguyên tố Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng: 1 1 + = + x y xy 10 x+ = Bµi 8: Tìm số tự nhiên x, y, z biết y+ z a/ 1 − = x y b/ Bài 9: Tìm ngiệm nguyên phơng tr×nh a/ 19x2 + 28y2 = 729 b/ 15x2 - 7y2 = c/ 29x2 - 28y2 = 2000 d/ 1999x2 - 2000y2 = 2001 Bài 10: Có tồn hay không số tự nhiên m, n cho m - n2 = 101010 Bài 11: Tìm sè tù nhiªn n biÕt a/ x2002 - 2000y2001 = 2003 b/ 5x = + 2y c/ 2002x - 2001y = d/ 2x - 3y = C PHẦN KẾT LUẬN GV: Lê Phúc Lợi 12 Trường THCS Vĩnh Tường Sáng kiến kinh nghiệm - Khi nghiên cứu đề tài số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhận thấy việc áp dụng đề tài vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu Tạo cho học sinh khả phân tích, tổng hợp phương pháp tư logic học tập Đặc biệt học sinh có hứng thú u thích tốn học - Chắc chắn nhiều phương pháp hay thủ pháp khác để giải phương trình hệ phương trình nghiệm ngun Đặc biệt thí dụ tốn phương trình hệ phương trình nghiệm nguyên hay hấp dẫn khác Mong tiếp tục trao đổi đồng nghiệp bạn đọc Vĩnh tường, ngày 15 tháng 12 năm 2008 Người viết đề tài Lê Phúc Lợi GV: Lê Phúc Lợi 13 ... kinh nghiệm B PHẦN NỘI DUNG I MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương pháp 1: Đưa dạng tích * Nội dung phương pháp: Vận dụng phương pháp phan tích đa thức thành nhân tử để biến... kiến kinh nghiệm * Nội dung: Dùng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vơ nghiệm để tìm nghiệm phương trình Thí dụ 6: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 – 2y2 = Lời giải: Từ phương trình ta... thay vào phương trình ta có z = Nếu xy = 3, x ≤ y nên x = y = 3, thay vào phương trình ta có z = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (1, 2, 3) hốn vị 1 b/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: