0

SKKN Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

20 1,822 1
  • SKKN Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 18/04/2015, 08:01

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Vũ Thị Hương Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Hồng Phong SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán BỈM SƠN NĂM 2013 MỤC LỤC Trang ĐẶT VẤN ĐỀ ……………………………………………… 1 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………… 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT………………………………………….2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA…………………………………… 4 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM………………………………….17 KẾT LUẬN………………………………………………… 18 A. ĐẶT VẤN ĐỀ  Qua quá trình giảng dạy phần phương trình ,bất phương trình và hệ phương trình ở lớp 10 và ôn thi đại học lớp 12 tôi nhận thấy rằng có những dạng bài tập không thể giải quyết được bằng các phương pháp thông thường như SGK đã nêu hoặc nếu có thì cũng rất phức tạp. Trong khi đó ngay từ đầu lớp 10 các em đã được học về hàm số ,mà định nghĩa phương trình , bất phương trình lại có liên quan đến hàm số. Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác. SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân ban năm 2006 ) đã trình bày rất rõ về định nghĩa và các tính chất của hàm số; phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình. Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 có thể tìm hiểu sâu hơn về hàm số và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như ứng dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó là: Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình , bất phương trình và hệ phương trình. Đây là một vấn đề được rất nhiều người đề cập đến. Trong phạm vi đề tài của mình tôi chỉ xin nêu ra một số bài toán mới và một số bài toán trong chương trình cũng như trong các đề thi mà một số đáp án được giải bằng phương pháp khác. Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I/ Cơ sở lý thuyết : SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một ẩn như sau: Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định D f , g(x) với tập xác định D g . Đặt f g D D D= ∩ . Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x) ” là một phương trình (bất đẳng thức f(x) > g(x) là một bất phương trình) một ẩn với D gọi là tập xác định của phương trình Số thực 0 x được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình) nếu 0 0 ( ) ( )f x g x= 0 0 ( ( ) ( ))f x g x> là mệnh đề đúng Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó. Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình và bất phương trình. 1. Tính đơn điệu của hàm số: a.Định nghĩa: - Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi )()();;(, 212121 xfxfxxbaxx <⇒<∈∀ . - Hàm số f được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi )()();;(, 212121 xfxfxxbaxx >⇒<∈∀ . b.Tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì );(,;)()( 212121 baxxxxxfxf ∈∀=⇔= ( suy ra từ định nghĩa ). Tính chất 2: Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình 0)( =xf có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Chứng minh: a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b) Giả sử có hai số )(, 2121 xxxx < sao cho 1 2 ( ) ( ) 0f x f x= = . Điều này là vô lý vì với );(),;()()( 212121 baxbaxxfxfxx ∈∈∀<⇒< (do hàm số f tăng trong khoảng (a;b)). b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b). Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn. Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên khoảng (a;b). 2.Đồ thị của hàm số: a.Định nghĩa: - Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp các điểm có tọa độ (x,f(x)) với x D∈ gọi là đồ thị của hàm số f . b.Tính chất : + Tính chất 1: Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y= f(x) và y=g(x). + Tính chất 2: Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y= f(x) và y=g(x). + Tính chất 3: Mệnh đề 1 : Phương trình f(x) =a , x D∈ có nghiệm khi và chỉ khi : ( ) max ( ) min x D x D m f x a f x ∈ ∈ = ≤ ≤ =M Mệnh đề 1 : 1) Bất phương trình ( ) ,f x a x D≥ ∈ có nghiệm khi và chỉ khi M a≥ 2) Bất phương trình ( )f x a≥ nghiệm đúng với x D∀ ∈ khi và chỉ khi m a≥ 3) Bất phương trình ( ) ,f x b x D≤ ∈ có nghiệm khi và chỉ khi m b≤ 4) Bất phương trình ( )f x b≤ nghiệm đúng với x D∀ ∈ khi và chỉ khi M b≤ Chứng minh: TC1: Gọi 1 2 ( ),( )C C lần lượt là đồ thị của hàm số y= f(x) và y=g(x). 0 x là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x) ⇔ 0 0 0 ( ) ( )f x g x y= = Xét điểm M( 0 x ; 0 y ) vậy 1 2 àM C v M C∈ ∈ chứng tỏ rằng M là một giao điểm của 1 2 ( ),( )C C TC2:Suy ra từ tính chất 1 II/ Các ví dụ minh họa: Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình , bất phương trình và hệ phương trình Ví dụ 1:Giải phương trình: a)log(x 2 -x-6) + x = log(x+2) + 4 b) 2 3 log (1 ) logx x+ = Lời giải: a)Điều kiện để phương trình có nghiã là: 2 6 2 x x x  − −  +  2 3 3 2 x x x x  < −    ⇔ ⇔ > >    > −  . Với x>3 phương trình đã cho tương đương với log(x 2 -x-6)-log(x+2) =4-x 2 6 log 4 2 x x x x − − ⇔ = − + ⇔ log(x-3) = 4-x. (1) Ta có hàm số f(x)=log(x- 3) đồng biến khi x>3, hàm số g(x)=4- x là hàm nghịch biến . mà x=4 thỏa mãn (1) ,Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của (1) ,tức là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. b) Điều kiện của phương trình là x> 0 Đặt y= 3 log x ta có x=3 y . do đó ,phương trình đã cho trở thành 2 log (1 3 ) y y+ = 1 3 2 y y ⇔ + = 1 3 ( ) ( ) 1 2 2 y y ⇔ + = (*) Ta thấy y=2 thỏa mãn phương trình (*). Mặt khác hàm số 1 3 ( ) 2 2 y y f y     = +  ÷  ÷  ÷     luôn nghịch biến trên R vì ' 1 1 3 3 ( ) ln ln 0 2 2 2 2 y y f y     = + <  ÷  ÷  ÷     với mọi y thuộc R Do đó y=2 là nghiệm duy nhất của (*). Khi đó ,x =3 2 = 9 Ví dụ 2:Giải phương trình: a) 257 1 2 3 2 1 )223 2 ( 5 log = −− +++−       xx xx (1) b) 2 2 3 6 3 26 1 2 4 2007 log +−= ++ + xx xx x (*) Lời giải: a) Đặt )2,1(23 2 ≥≤+−= xxxxu , suy ra 0≥u và 2 2 3 2 −=− uxx , thay vào (1) ta có : )2(257 2 2 2 1 )2( 5 log257 2 1 2 1 )2( 5 log =++⇔= − ++       u u u u . Đặt 2 2 2 1 )2( 5 log)( u uuf ++= , vì f’(u) > 0, [ ) +∞∈∀ ;0u nên f đồng biến trên );0[ +∞ . Mặt khác .257 9 2 2 1 5 5 log)3( =+=f Vì vậy, 2 333 323 2 3)3()()2( ± =⇔=+−⇔=⇔=⇔ xxxufuf Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 2 333 ± =x b)Đặt 33 26 ;11 2 4 ≥++=≥+= xxvxu Ta có : )3(2007.2007. 2007 log 2007 log 2007 log(*) v v u u vvuuuv v u =⇔ +=+⇔−=⇔ Xét hàm số: t ttf 2007.)( = trên );2[ +∞ Ta có );2[,0)2007ln.1(2007)(' +∞∈∀>+= tt t tf => hàm số đồng biến trên );2[ +∞ nên từ phương trình (3) suy ra u = v, hay 02 2 3 6 3 26 1 2 4 =+−⇔++=+ xxxxx Đặt     −= = ⇔=+−⇒≥= )(2 1 023 3 0 2 loaïX X XXxX Với 11 ±=⇒= xX Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1±=x Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình:      =++++ −=− )4(01sincos2sin2cos (*)sinsin yxyx yxyx Lời giải: Ta có (*) yyxx sinsin −=−⇔ (5). Đặt tttf sin)( −= , với Rt ∈ Rtttf ∈∀≥−= ,0cos1)(' . Vậy hàm số tăng trên R do đó, ( ) yxyfxf =⇔=⇔ )()(5 , thế vào (4) ta có phương trình : 0)1cos2)(cos(sin 0cosx)2cosx(sinxcosxsinx 0 2 cos2cossin2cossin 01sincos2sin2cos =++⇔ =+++⇔ =+++⇔ =++++ xxx xxxxx xxxx * )( 4 10cossin Zkkxtgxxx ∈+−=⇔−=⇔=+ π π * )(2 3 2 2 1 cos01cos2 Zkkxxx ∈+±=⇔−=⇔=+ π π Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm: π π kyx +−== 4 và π π 2 3 2 kyx +±== )( Zk ∈ Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:        ++=+ ++=+ ++=+ xxxz zzzy yyyx 23 12 23 12 23 12 (6) Lời giải Xét hàm số : ttttf ++= 23 )( , với Rt ∈ . Khi đó: (6)      =+ =+ =+ ⇔ )(12 )(12 )(12 xfz zfy yfx Ta có : ⇒∈∀>++= Rttttf ,012 2 3)(' hàm số f(t) đồng biến trên R. Nếu x < y thì f(x) < f(y) zyzyxfzfxzxz <⇔+<+⇒<⇒<⇔+<+⇔ 1212)()(1212 . Từ đó, suy ra: xzyx <<< . Điều này vô lý. Nếu y < x thì f(y) < f(x) yzyzzfxfzxzx <⇔+<+⇒<⇒<⇔+<+⇔ 1212)()(1212 Từ đó, suy ra: yzxy <<< . Điều này vô lý. Do đó , hệ chỉ có thể có nghiệm x = y = z . Thế vào hệ ta được:    ==−= === ⇔ =−−⇔ =−−+⇔++=+ zyx zyx xx xxxxxxx 1 1 0)1 2 )(1( 01 2323 12 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1). Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt lưu ý sự liên tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng. Chẳng hạn đối với bài toán: Giải hệ phương trình:      += −=− 12 11 3 xy y y x x (I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003) Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng : Đặt Rt t tf t ttf ∈∀>+=⇒−= 0 1 1)(' 1 )( 2 nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ đề giải. Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương pháp này, bởi vì hàm số t ttf 1 )( −= có Rt t tf ∈∀>+= 0 1 1)(' 2 nhưng hàm f(t) gián đoạn tại t = 0. Nhận xét: Với f Dxxf ∈∀≥ ,0)(' và y = f(x) liên tục trên f D thì    = = ⇔    = = 0);(0);( )()( yxF yx yxF yfxf Ví dụ 5: Giải bất phương trình 02005 6 log 2cos 3 2 sin 3 2 ≥−+       x x Lời giải: 2005 6 log 2 sin2 3 1 .3 2 sin 3 2 2005 6 log 2 sin 3 2 sin1 3 2 sin 3 2 2005 6 log 2 sin 3 2 cos 3 2 sin 3 2 02005 6 log 2cos 3 2 sin 3 2 ≥+⇔≥ − +⇔ ≥+⇔≥−+                         x x x x x x x x x Đặt [ ] 1;0, 2 sin ∈= txt Bất phương trình trở thành: 2005 6 log 9 1 .3 3 2 ≥+             tt Hàm tt tf             += 9 1 .3 3 2 )( nghịch biến với [ ] 1;0∈∀t 4)0()( =≤⇒ ftf Mà 42005 6 log > . Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 6: Cho phương trình x+3= 1 2 +xm (1) Biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m. Lời giải: Phương trình (1) ⇔ 1 3 2 + + x x =m Xét hàm số f(x)= 1 3 2 + + x x 32 ' )1( 31 )( + − =⇒ x x xf 3 1 0)( ' =⇔=⇒ xxf    − == + + = + + = ±∞→±∞→±∞→±∞→ 1 1 1 1 3 1 3 )( limlimlimlim 2 2 x x x xx x x x xf xxxx Lập bảng biến thiên của hàm số : x ∞− 3 1 ∞+ )( ' xf + 0 - f(x) 10 1 -1 Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= 1 3 2 + + x x và đường thẳng y = m Căn cứ vào bảng biến thiên ta có : Nếu 1 −≤ m hoặc m 10≥ thì pt vô nghiệm Nếu -1< m < 10 thì pt có hai nghiệm phân biệt Nếu -1 < m < 1 thì pt có duy nhất một nghiệm. Nếu m= 10 thì pt có nghiệm kép Ví dụ 7: Cho x m x m x xf 4)2(10)12(25.2)( +++−= . (7) Tìm m để ,0)( ≥xf với 0 ≥∀ x Lời giải: Ta có: 0)( ≥xf với 0≥∀x 0,02 2 5 )12( 2 2 5 2 ≥∀≥+++−⇔                     xm x m x mtftm t tt x tmtmt ≥ +∞ ⇔≥∀≥ − +− ⇔ ≥=∀+++−⇔       )( min );1[ 1, 12 2 2 2 1 2 5 2)12( 2 2 [...]... 2 5 2 Dạng 2: Sử dụng đồ thị của hàm số để giải phương trình , bất phương trình và tìm điều kiện của tham số để pt có nghiệm Ví dụ 1 :Giải phương trình b) 16x = log 1 x 2 a)2-x =3x+10 Lời giải: a) vẽ đồ thị hàm số y = 2 và y= 3x+10 trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = - 2 thử lại ta thấy x = -2 thỏa mãn phương trình đã cho -x x Mặt khác , hàm số y=2 -x 1 = ... 3 .Giải phương trình: log 2 ( x − 1) 2 = x − 4 x 4 Giải phương trình: log 2007 ( x + 1) = 2007 x − 1 5 Tìm m để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x 2 − 2 x + m đúng ∀x ∈ [ − 4;6] 6 Giải bất phương trình x( x 8 + 2 x + 16) > 6(4 − x 2 ) (5) 7 Giải bất phương trình 5 x + 12 x > 13 x (7)  tgx − tgy = y − x (*)  8 Giải hệ phương trình: 2 x + 7 y = 4π  π π − < x, y < 2  2 3 9 Giải phương trình : 4 x... 0) Đồ 2 thị của hàm số y = x ( 4 x − 3) Lấy điểm B (0;-1) ,suy ra đường thẳng AB có hệ số góc là 1 2 Vẽ tiếp tuyến AM của đường cong y = x ( 4 x − 3) ,gọi k0 là hệ số góc của tiếp tuyến Như vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = k(x-1) nằm giữa đường thẳng AB và tiếp tuyến AM ,tức là 1< k < k0 Bài toán đã cho trở thành : Tìm hệ số góc k0 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( và. .. nghịch biến, hàm số y = 3x+ 10 luôn 2 đồng biến vậy x = -2 là nghiệm duy nhất b) Vẽ đồ thị hàm số y = 16x và y= log 1 x trên cùng một hệ trục tọa độ ta 2 thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1 1 thử lại ta thấy x = 4 4 thỏa mãn phương trình đã cho.Mặt khác , hàm số y=16x luôn đồng 1 biến, hàm số y = log 1 x luôn nghịch biến Vậy x = là nghiệm duy nhất 2 4 Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau... ≤ 6 − x Lời giải: 1 x a)Vẽ đồ thị hàm số y =  ÷ và đường thẳng y= x + 1 trên cùng một hệ trục 3 tọa độ Oxy ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ x = 0 Từ đồ thị ta thấy x 1 : Khi x < 0thì đường cong y =  ÷ nằm phía trên đường thẳng  3 y= x+1 vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( −∞;0] b)Vẽ đồ thị hàm số y = log 2 x và đường thẳng y= 6 - x trên cùng một hệ trục tọa... ứng dụng các tính chất của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn Tuy nhiên với khuôn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một ứng dụng trên Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học sinh khá giỏi của trường THPT trong quá trình dạy bồi dưỡng lớp 12 , luyện thi đại học ,cao đẳng và. .. thu tương đối chủ động , đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương trình toán học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này  TÀI... độ Oxy Ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ x = 4 Từ đồ thị ta thấy : Khi x< 4 thì đường cong y = log 2 x nằm phía dưới đường thẳng y= 6 - x vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( −∞; 4] Ví dụ 3: Tìm a để phương trình sau có nghiệm x − x2 = a − x Lời giải: Ta vẽ đồ thị hàm số y = x − x Đó chính là đồ thị của 2 y ≥ 0 y ≥ 0  2 ⇔   2 1 1 2 2 x + y − x = 0  x − 2 ÷ +... ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này  TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phân loại chuyên đề và giải đề thi đại học theo phương pháp mới Tác giả : Trần Phương NXB TP Hồ Chí Minh 2 .Phương pháp đồ thị để giải phương trình , bất phương trình ,hệ có tham số Tác giả : Phan Huy Khải NXB Giáo Dục Nhận xét, đánh giá của HĐCM trường THPT Lê Hồng Phong ... bằng phương pháp này cần đặc biệt lưu ý tính chính xác khi vẽ đồ thị và phải chứng minh được tính duy nhất của nghiệm Bài tập tương tự: 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm: x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0 (Đại học, cao đẳng khối D – 2004) 2 Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 (Đại học, cao đẳng khối B – 2004) 2x + 1 2 3 .Giải phương . DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG. cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó là: Vận dụng tính đơn. dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình , bất phương trình và hệ phương trình. Đây là một vấn đề được rất nhiều người đề cập đến. Trong phạm vi đề tài của mình tôi
- Xem thêm -

Xem thêm: SKKN Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, SKKN Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, SKKN Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

Từ khóa liên quan