SKKN Vận dụng tính đơn điệu và đồ thị của hàm số vào bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Vũ Thị Hương Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Hồng Phong SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn BỈM SƠN NĂM 2013 MỤC LỤC Trang ĐẶT VẤN ĐỀ ……………………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………… CƠ SỞ LÝ THUYẾT………………………………………….2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA…………………………………… KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM………………………………….17 KẾT LUẬN………………………………………………… 18 A ĐẶT VẤN ĐỀ  Qua trình giảng dạy phần phương trình ,bất phương trình hệ phương trình lớp 10 ơn thi đại học lớp 12 tơi nhận thấy có dạng tập giải phương pháp thông thường SGK nêu có phức tạp Trong từ đầu lớp 10 em học hàm số ,mà định nghĩa phương trình , bất phương trình lại có liên quan đến hàm số Tốn học nói chung Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng quan trọng đời sống ngành khoa học khác SGK Đại số lớp 10 nhà xuất Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp năm 2000 sách phân ban năm 2006 ) trình bày rõ định nghĩa tính chất hàm số; phương trình ; bất phương trình hệ phương trình Để giúp học sinh THPT đặc biệt học sinh lớp 12 tìm hiểu sâu hàm số ứng dụng làm sở để tham gia kỳ thi cuối cấp ứng dụng thực tế sống, phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày ứng dụng hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình hệ phương trình là: Vận dụng tính đơn điệu đồ thị hàm số vào tốn giải phương trình , bất phương trình hệ phương trình Đây vấn đề nhiều người đề cập đến Trong phạm vi đề tài tơi xin nêu số toán số toán chương trình đề thi mà số đáp án giải phương pháp khác Trong trình biên soạn đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài sau tốt Tôi xin chân thành cảm ơn B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I/ Cơ sở lý thuyết: SGK Đại số 10 định nghĩa phương trình bất phương trình ẩn sau: Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định Df , g(x) với tập xác định Dg Đặt D = D f ∩ Dg Mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” phương trình (bất đẳng thức f(x) > g(x) bất phương trình) ẩn với D gọi tập xác định phương trình Số thực x0 gọi nghiệm phương trình (bất phương trình) f ( x0 ) = g ( x0 ) ( f ( x0 ) > g ( x0 )) mệnh đề Giải phương trình ( bất phương trình ) tìm tất nghiệm Định nghĩa nêu lên mối quan hệ hữu khái niệm hàm số, phương trình bất phương trình Tính đơn điệu hàm số: a.Định nghĩa: - Hàm số f gọi đồng biến ( tăng ) khoảng (a;b) ∀x1 , x ∈ (a; b); x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) - Hàm số f gọi nghịch biến ( giảm ) khoảng (a;b) ∀x1 , x ∈ (a; b); x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) b.Tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) f ( x1 ) = f ( x ) ⇔ x1 = x ; ∀x1 , x ∈ (a; b) ( suy từ định nghĩa ) Tính chất 2: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f ( x) = có không nghiệm khoảng (a;b) Chứng minh: a) Trường hợp hàm số f tăng khoảng (a;b) Giả sử có hai số x1 , x ( x1 < x ) cho f ( x1 ) = f ( x2 ) = Điều vơ lý với x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) ∀x1 ∈ (a; b), x ∈ (a; b) (do hàm số f tăng khoảng (a;b)) b) Trường hợp hàm số f giảm khoảng (a;b) Lập luận tương tự a) , ta gặp mâu thuẫn Vậy phương trình f(x) = khơng thể có nhiều nghiệm khoảng (a;b) 2.Đồ thị hàm số: a.Định nghĩa: - Cho hàm số y=f(x) xác định tập D Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tập hợp điểm có tọa độ (x,f(x)) với x ∈ D gọi đồ thị hàm số f b.Tính chất : + Tính chất 1: Nghiệm phương trình f(x) = g(x) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y= f(x) y=g(x) + Tính chất 2: Số nghiệm phương trình f(x) = g(x) số giao điểm đồ thị hai hàm số y= f(x) y=g(x) + Tính chất 3: Mệnh đề : Phương trình f(x) =a , x ∈ D có nghiệm : m = f ( x) ≤ a ≤ max x∈D f ( x) =M x∈D Mệnh đề : 1) Bất phương trình f ( x) ≥ a, x ∈ D có nghiệm M ≥ a 2) Bất phương trình f ( x) ≥ a nghiệm với ∀x ∈ D m≥a M ≤b 3) Bất phương trình f ( x) ≤ b, x ∈ D có nghiệm m ≤ b 4) Bất phương trình f ( x) ≤ b nghiệm với ∀x ∈ D Chứng minh: TC1: Gọi (C1 ), (C2 ) đồ thị hàm số y= f(x) y=g(x) x0 nghiệm phương trình f(x) = g(x) ⇔ f ( x0 ) = g ( x0 ) = y0 Xét điểm M( x0 ; y0 ) M ∈ C1vàM ∈ C2 chứng tỏ M giao điểm (C1 ), (C2 ) TC2:Suy từ tính chất II/ Các ví dụ minh họa: Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình , bất phương trình hệ phương trình Ví dụ 1:Giải phương trình: a)log(x2-x-6) + x = log(x+2) + b) log (1 + x ) = log3 x Lời giải: a)Điều kiện để phương trình có nghiã là:   x < −2  x2 − x −  ⇔  x > ⇔ x >   x +  x > −2  Với x>3 phương trình cho tương đương với x2 − x − = − x ⇔ log(x-3) = 4-x (1) log(x -x-6)-log(x+2) =4-x ⇔ log x+2 Ta có hàm số f(x)=log(x- 3) đồng biến x>3, hàm số g(x)=4- x hàm nghịch biến mà x=4 thỏa mãn (1) ,Vậy x = nghiệm (1) ,tức nghiệm phương trình cho b) Điều kiện phương trình x> Đặt y= log x ta có x=3y ,phương trình cho trở thành log (1 + y ) = y ⇔ + y = y ⇔ ( ) y + ( ) y = 2 (*) Ta thấy y=2 thỏa mãn phương trình (*) y y 1  3 Mặt khác hàm số f ( y ) =  ÷ +  ÷ ln nghịch biến R 2  ÷   y y  3 1 f ( y ) =  ÷ ln +   ÷ ln < với y thuộc R ÷  2  ' Do y=2 nghiệm (*) Khi ,x =32 = Ví dụ 2:Giải phương trình: 3x− x2 −1 − 3x + + 2) +   a) log ( x = 257    2 4x + log = x − 3x + b) 2007 x + x + (1) (*) Lời giải: a) Đặt u = x − 3x + thay vào (1) ta có : ( x ≤ 1, x ≥ 2) , suy u ≥ x − 3x = u − , 1−u 2 = 257 ⇔ log (u + 2) + 2u = 257 (2) 2 Đặt f (u ) = log (u + 2) + 2u , f’(u) > 0, ∀u ∈ [ 0;+∞ ) nên f đồng biến [0;+∞) Mặt khác f (3) = log + 29 = 257 Vì vậy, ± 33 (2) ⇔ f (u ) = f (3) ⇔ u = ⇔ x − 3x + = ⇔ x = 1 log (u + 2) +    2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = ± 33 b)Đặt u = x + ≥ 1; v = x + x + ≥ Ta có : u (*) ⇔ log = v − u ⇔ log u + u = log v+v 2007 v 2007 2007 ⇔ u.2007u = v.2007 v (3) Xét hàm số: f (t ) = t.2007t [2;+∞) Ta có f ' (t ) = 2007 t (1 + t ln 2007) > 0, ∀t ∈ [2;+∞) => hàm số đồng biến [2;+∞) nên từ phương trình (3) suy u = v, hay x + = x + x + ⇔ x − 3x + = X =1 ≥ ⇒ X − 3X + = ⇔  Đặt X = x  X = −2 (loaï )  Với X = ⇒ x = ±1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = ±1 Ví dụ : Giải hệ phương trình:  x − y = sin x − sin y (*)   cos x + sin y + cos x + sin y + =  (4) Lời giải: Ta có (*) ⇔ x − sin x = y − sin y (5) Đặt f (t ) = t − sin t , với t ∈ R f ' (t ) = − cos t ≥ 0, ∀t ∈ R Vậy hàm số tăng R ( 5) ⇔ f ( x) = f ( y) ⇔ x = y , vào (4) ta có phương trình : đó, cos x + sin x + cos x + sin x + = ⇔ sin x + cos x + sin x cos x + cos x = ⇔ sinx + cosx + 2cosx(sinx + cosx) = ⇔ (sin x + cos x)(2 cos x + 1) = π * sin x + cos x = ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z ) 2π + k 2π (k ∈ Z ) * cos x + = ⇔ cos x = − ⇔ x = ± π 2π (k ∈ Z ) + k 2π Vậy hệ cho có nghiệm: x = y = − + kπ x = y = ± 2 x + = y + y + y   Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2 y + = z + z + z  2 z + = x + x + x  (6) Lời giải t ∈ R Khi đó: f ( y) f ( z) f ( x) Xét hàm số : f (t ) = t + t + t , với 2 x + =  (6) ⇔ 2 y + = 2 z + =  Ta có : f ' (t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ hàm số f(t) đồng biến R Nếu x < y f(x) < f(y) ⇔ z + < x + ⇔ z < x ⇒ f ( z ) < f ( x) ⇒ y + < z + ⇔ y < z Từ đó, suy ra: x < y < z < x Điều vơ lý Nếu y < x f(y) < f(x) ⇔ x + < z + ⇔ x < z ⇒ f ( x) < f ( z ) ⇒ z + < y + ⇔ z < y Từ đó, suy ra: y < x < z < y Điều vơ lý Do , hệ có nghiệm x = y = z Thế vào hệ ta được: x + = x3 + x + x ⇔ x3 + x − x − = ⇔ ( x − 1)( x − 1) = x = = y = z ⇔  x = −1 = y = z Vậy nghiệm hệ phương trình : (1;1;1) ( -1;-1;-1) Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp cần đặc biệt lưu ý liên tục hàm số đặc trưng tập xác định chúng Chẳng hạn toán: 1  x − x = y − y Giải hệ phương trình:  (I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003) 2 y = x +  Rất nhiều học sinh giải toán theo hướng : t Đặt f (t ) = t − ⇒ f ' (t ) = + > 0∀t ∈ R nên f(x) = f(y) => x = y vào t2 phương trình cịn lại hệ đề giải Đây sai lầm thường mắc phải em học sinh sử dụng phương pháp này, hàm số f (t ) = t − 1 có f ' (t ) = + > 0∀t ∈ R hàm t t f(t) gián đoạn t = Nhận xét: Với f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D f y = f(x) liên tục D f  f ( x) = f ( y) x = y ⇔   F ( x; y ) =  F ( x; y ) = Ví dụ 5: Giải bất phương trình     3  2    3 sin x  2 ⇔   3 sin x + 3cos x − log 2005 ≥ Lời giải: 2 + 3cos x − log 2005 ≥ ⇔   3 sin x sin x 3cos x + ≥ log 2005 sin x sin x 31−sin x  2 + ≥ log 2005 ⇔   + ≥ log 2005 6  3 sin x 2sin 3 Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] t t Bất phương trình trở thành:   + 3.  ≥ log 2005     3 9 t t Hàm f (t ) =   + 3.  nghịch biến với ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f (t ) ≤ f (0) =      3 9 Mà log 2005 > Suy ra, bất phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 6: Cho phương trình x+3= m x + (1) Biện luận số nghiệm phương trình theo tham số m Lời giải: Phương trình (1) ⇔ x+3 x2 +1 =m Xét hàm số f(x)= lim f ( x) = lim x → ±∞ x → ±∞ x+3 x +1 x+3 x2 +1 ⇒ f ' ( x) = = lim x → ±∞ x + x x 1+ Lập bảng biến thiên hàm số : x −∞ +∞ + ' f ( x) f(x) x2 − 3x ( x + 1) = lim x → ±∞ ⇒ f ' ( x) = ⇔ x = x 1 = x −  - 10 -1 Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y= đường thẳng y = m Căn vào bảng biến thiên ta có : Nếu m ≤ −1 m ≥ 10 pt vơ nghiệm Nếu -1< m < 10 pt có hai nghiệm phân biệt Nếu -1 < m < pt có nghiệm Nếu m= 10 pt có nghiệm kép Ví dụ 7: Cho f ( x) = 2.25 x − (2m + 1)10 x + (m + 2)4 x (7) Tìm m để f ( x) ≥ 0, với ∀x ≥ Lời giải: Ta có: f ( x) ≥ với ∀x ≥ x   x  5 ⇔ 2   − (2m + 1)  + m + ≥ 0, ∀x ≥  2      x − (2m + 1)t + m + ∀t =   ≥ ⇔ 2t    2 2t − t + ⇔ ≥ m, ∀t ≥ ⇔ f (t ) ≥ m 2t − [1;+∞) x+3 x2 +1 Đặt f (t ) = 2t − t + , ∀t ≥ 2t −  − 4t − t = 4t ⇒ f ' (t ) = =0⇔ t = − ( 2t − 1)   Bảng biến thiên: −∞ t f’(t) − + 2 - - +∞ + +∞ f(t) Vậy m ≤ kết qủa cần tìm Dạng 2: Sử dụng đồ thị hàm số để giải phương trình , bất phương trình tìm điều kiện tham số để pt có nghiệm Ví dụ 1:Giải phương trình b) 16x = log x a)2-x =3x+10 Lời giải: a) vẽ đồ thị hàm số y = y= 3x+10 hệ trục tọa độ ta thấy chúng cắt điểm có hoành độ x = - thử lại ta thấy x = -2 thỏa mãn phương trình cho -x x Mặt khác , hàm số y=2 -x 1 =  ÷ ln nghịch biến, hàm số y = 3x+ 10 2 đồng biến x = -2 nghiệm b) Vẽ đồ thị hàm số y = 16x y= log x hệ trục tọa độ ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ x = 1 thử lại ta thấy x = 4 thỏa mãn phương trình cho.Mặt khác , hàm số y=16x đồng biến, hàm số y = log x nghịch biến Vậy x = nghiệm Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau x 1 a)  ÷ ≥ x +  3 b) log x ≤ − x Lời giải: 1 x a)Vẽ đồ thị hàm số y =  ÷ đường thẳng y= x + hệ trục 3 tọa độ Oxy ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ x = Từ đồ thị ta thấy x 1 : Khi x < 0thì đường cong y =  ÷ nằm phía đường thẳng  3 y= x+1 tập nghiệm bất phương trình cho ( −∞;0] b)Vẽ đồ thị hàm số y = log x đường thẳng y= - x hệ trục tọa độ Oxy Ta thấy chúng cắt điểm có hồnh độ x = Từ đồ thị ta thấy : Khi x< đường cong y = log x nằm phía đường thẳng y= - x tập nghiệm bất phương trình cho ( −∞; 4] Ví dụ 3: Tìm a để phương trình sau có nghiệm x − x2 = a − x Lời giải: Ta vẽ đồ thị hàm số y = x − x Đó đồ thị y ≥ y ≥  ⇔   1 2 x + y − x =  x − ÷ + y =   1  Vậy nửa đường trịn tâm I  ;0 ÷bán kính 2  Cịn y= a – x đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai Ta tính IB = 2 +1 ⇒ OB = 2 Vậy đường thẳng y = a – x cắt nửa đường tròn ≤ a ≤ KL: phương trình có nghiệm ≤ a ≤ +1 2 +1 Ví dụ 4:Tìm k để phương trình sau có nghiệm x ( x − 3) − k ( x − 1) − = Lời giải: Phương trình cho viết dạng x ( x − 3) − = k ( x − 1) Với k , họ đường thẳng y = k(x-1) qua điểm cố định A(1; 0) Đồ thị hàm số y = x ( x − 3) Lấy điểm B (0;-1) ,suy đường thẳng AB có hệ số góc Vẽ tiếp tuyến AM đường cong y = x ( x − 3) ,gọi k0 hệ số góc tiếp tuyến Như phương trình cho có nghiệm đường thẳng y = k(x-1) nằm đường thẳng AB tiếp tuyến AM ,tức 1< k < k0 Bài toán cho trở thành : Tìm hệ số góc k0 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm ( ý x0 < ),ta có hệ phương trình sau  k0 x0 − k0 = −4 x03 + x0 − 1(1)    k0 = −12 x0 + 3(2)  Thay (2) vào (1) ,ta có 1  x03 − 12 x0 + = ⇔  x0 − ÷( x0 − x0 − ) = 2  1− Do x0 < , nên x0 = Vậy từ (2) ta có k0 = − ĐS: < k < − Ví dụ 5:Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx − x − ≤ m + (1) Lời giải: Ta có (1) ⇔ m( x − 1) − ≤ x − (2) Ta thấy y = m(x-1) họ đường thẳng có hệ số góc m ln qua điểm cố định A(1; -1) Xét tiếp tuyến qua A(1;-1) đường cong y = x − Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp  m( x0 − 1) − = x0 − 3(3)  điểm ta có m = (4)  x0 −  x0 −  x0 > = + x0 −  ⇔ Thay (4) vào ( ) ta có x0 − 5 − x0 = x0 −  3 < x0 ≤  ⇔ ⇔ x0 = −  x0 − 14 x0 + 37 =  Vậy hệ số góc tiếp tuyến qua A k = Từ suy (2) có nghiệm ⇔ m ≤ k ⇔ m ≤ = 4−2 3 +1 = 2( − 1) 1+ Chú ý : Khi dạy học sinh phương pháp cần đặc biệt lưu ý tính xác vẽ đồ thị phải chứng minh tính nghiệm Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x − x − x − = (Đại học, cao đẳng khối D – 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x (Đại học, cao đẳng khối B – 2004) 2x + 3.Giải phương trình: log ( x − 1) = x − x Giải phương trình: log 2007 ( x + 1) = 2007 x − Tìm m để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x − x + m ∀x ∈ [ − 4;6] Giải bất phương trình x( x + x + 16) > 6(4 − x ) (5) Giải bất phương trình x + 12 x > 13 x (7)  tgx − tgy = y − x (*)  Giải hệ phương trình: 2 x + y = 4π  π π − < x, y <  Giải phương trình : x + x − ( x + 1) x + 10 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:  x +1 − − x > m III.Kết thực nghiệm : Tôi tiến hành khảo sát môt số lớp 12 mà phân công giảng dạy qua năm 2010, 2011,2013 kết thu sau Trước thực đề tài Lớp 12C3 12C2 12C3 Năm học 2009- 2010 2010 - 2012 2012 - 2013 Sĩ số 51 45 35 Điểm 15 10 Điểm 36 30 30 Sĩ số 51 45 35 Điểm 35 30 20 Điểm 21 15 15 Sau thực đề tài Lớp 12C3 12C2 12C3 Năm học 2009- 2010 2010 - 2012 2012 - 2013 C KẾT LUẬN Nói ứng dụng tính chất hàm số khơng có ứng dụng tơi trình bày đề tài này, mà ứng dụng vơ rộng lớn Tuy nhiên với khn khổ đề tài tính thực tiễn tơi nêu ứng dụng Trong năm qua vận dụng phương pháp cho đối tượng học sinh giỏi trường THPT trình dạy bồi dưỡng lớp 12 , luyện thi đại học ,cao đẳng thấy học sinh tiếp thu tương đối chủ động , đa số học sinh hiểu vận dụng tốt trình giải dạng tập Trên số suy nghĩ đề xuất tơi, mong đóng góp đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt ứng dụng hàm số chương trình tốn học phổ thơng làm sở tham gia kỳ thi cuối cấp nghiên cứu ứng dụng thực tiễn sống sau  TÀI LIỆU THAM KHẢO Phân loại chuyên đề giải đề thi đại học theo phương pháp Tác giả : Trần Phương NXB TP Hồ Chí Minh 2.Phương pháp đồ thị để giải phương trình , bất phương trình ,hệ có tham số Tác giả : Phan Huy Khải NXB Giáo Dục Nhận xét, đánh giá HĐCM trường THPT Lê Hồng Phong Nhận xét, đánh giá HĐCM Sở GD&ĐT Thanh Hóa XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Bỉm Sơn, ngày tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Vũ Thị Hương ... dụng thực tế sống, phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày ứng dụng hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình hệ phương trình là: Vận dụng tính đơn điệu đồ thị hàm số. .. dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình , bất phương trình hệ phương trình Ví dụ 1 :Giải phương trình: a)log(x2-x-6) + x = log(x+2) + b) log (1 + x ) = log3 x Lời giải: a)Điều kiện để phương. .. 2: Sử dụng đồ thị hàm số để giải phương trình , bất phương trình tìm điều kiện tham số để pt có nghiệm Ví dụ 1 :Giải phương trình b) 16x = log x a)2-x =3x+10 Lời giải: a) vẽ đồ thị hàm số y =