Rèn luyện kỹ năng sử dụng một số tính chất của hàm số vào bài toán phương trình vô tỷ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Người thực hiện: Mai Văn Tuấn Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn Học MỤCHĨA LỤC THANH NĂM 2021 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Các định nghĩa tính chất liên quan đến tính đơn điệu hàm số 2.1.2 Giới thiệu tốn, tình có vấn đề, tạo hấp dẫn khả kích thích hoạt động học tập tích cực học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Nội dung 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số, để giải phương trình vơ tỷ 2.3.2 Sử dụng GTLN, GTNN hàm số vào tốn có tham số + Loại 1: Khảo sát trực tiếp + Loại 2: Khảo sát hàm số, sau đặt ẩn phụ 2.3.3 Vận dụng kiến thức học, tư định hướng lời giải toán 2.3.4 Vận dụng hàm đặc trưng, giải hệ phương trình phương pháp KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết luận Đề xuất, kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] -Phương trình-Bất phương trình-Hệ hương trình đại số vơ tỷ- Lê Văn Đồn [ 2] -Đề thi thử ĐH khối A- THPT Tuy Phước – Bình Định – Năm 2014 [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] [ 7] [8] [ 9] -Đề thi Olympic 30/04 năm 200 -Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình 2009-2010 - Đề thi học sinh giỏi trường chuyên Đồng Bằng Bắc Bộ 2010 - Đề thi thử ĐH năm 2014- Chuyên Quốc Học Huế -Tuyển tập đề ôn thi tốt nghiệp THPT- Quốc Gia 2021 - Đề thi Đại Học-Cao Đẳng khối B-2014 - Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2017-2018 Sở GD & ĐT Bình Phước [10] [11] - Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2017-2018 Sở GD & ĐT Thanh Hóa - Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2017-2018 Sở GD & ĐT Hải Dương MỞ ĐẦU Đất nước thời kỳ đổi hội nhập quốc tế, nhân tố định công đổi người, nguồn lực chất lượng cao Việc bắt nguồn từ giáo dục, cụ thể giáo dục THPT Mục tiêu đào tạo người động, sáng tạo biết cách giải vấn đề sống công việc Từ góp phần vào phát triển chung đất nước Thực nghị số 29-NQ/TW năm 2013 đổi toàn diện giáo dục, hướng trọng tâm đến hình thành lực, phẩm chất người học Với mong muốn không truyền tải kiến thức đến học sinh mà sau học em ngồi việc nắm vững kiến thức đó, cịn biết vận dụng để giải tốn khác, qua dẫn đến hình thành lực giải vấn đề thực tiễn sống 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng chương trình tốn học THPT, chủ đề xuất đề thi cao đẳng, đại học, THPT quốc gia đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bên cạnh phương pháp giải đại số, để giải số phương trình vơ tỷ cơng cụ đại số khơng hiệu lời giải dài, phương trình phương pháp giải tích mà cụ thể sử dụng tính đơn điệu hàm số tỏ thực hiệu quả, cách giải khoa học Để vận dung phương pháp giải tích phương trình vơ tỷ học sinh phải nắm cơng thức tính đạo hàm, tính đơn điệu hàm số tốn tìm GTLN,GTNN hàm số đơn vị kiến thức tập trung cuối lớp 11 đầu lớp 12, phương trình vơ tỷ lại tốn lớp 10, cách giải gặp bất cập chưa nhiều giáo viên, học sinh quan tâm mức, phương trình vơ tỷ lại tốn khó xuất nhiều kỳ thi Vậy nhiệm vụ giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh nắm, hiểu rõ chất phương pháp, biết cách nhận dạng, vận dụng linh hoạt vào toán cụ thể, biết cách khai thác kiến thức để giải tốn, từ thấy hiêu phương pháp Vì tơi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ" 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU + Rèn luyện kỹ vận dụng số tính chất hàm số vào tốn giải phương trình vơ tỷ + Rèn luyện tư logic + Rèn luyện tính sáng tạo + Rèn luyện kỹ phân tích, phát vấn đề 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU + Một số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số + Một số dạng phương trình vô tỷ giải cách sử dụng số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp + Nghiên cứu lý luận chung: + Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học + Áp dụng thực nghiệm đối chiếu + Tổng hợp so sánh đúc rút kinh nghiệm Cách thực Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến Tham khảo số đầu sách đề thi đại học qua năm Liên hệ với thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM + Vận dụng kiến thức học sau để giải vấn đề khó trước + SKKN hệ thống tóm tắt nội dung vấn đề cần lưu ý nghiên cứu phương trình vơ tỷ + Qua SKKN này, học sinh nắm phương pháp mới, cách giải gặp phương trình vơ tỷ + SKKN đưa nhiều tập mẫu, tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ phát triển tư trước phương trình vơ tỷ + Qua SKKN này, học sinh tích lũy thành kinh nghiệm cho thân để sáng tạo giải tốn phương trình vơ tỷ đa dạng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận: 2.1.1 Các định nghĩa tính chất liên quan đến tính đơn điệu hàm số *Định nghĩa 1: + Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) ⇔ ∀x1 , x ∈ (a; b), x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) + Hàm số y = f(x) nghịch biến (a; b) ⇔ ∀x1 , x ∈ (a; b), x1 < x ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) *Định nghĩa 2: +Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D f ( x) ≤ M ; ∀x ∈ D , tồn x0 ∈ D / f ( x ) = M +Số N gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D f ( x ) ≥ N ; ∀x ∈ D , tồn x ∈ D / f ( x ) = N *Tính chất 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) (a; b) thì: f ( x1 ) = f ( x ) ⇔ x1 = x Nhận xét: + Vận dụng tính chất trên, từ phương trình ẩn x, ta đưa phương trình dạng: f ( g ( x)) = f (h( x)) , với y=f(t) hàm đơn điệu đặc trưng [a;b] + Một số phép biến đổi bản: *Tính chất 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) (a; b) thì: Phương trình f(x)=0 có nhiều nghiệm (a; b) * Tính chất 3: Cho hàm số y= f(x) xác định liên tục [a;b] Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc [a;b] ⇔ f ( x) ≤ m ≤ max f ( x ) [ a ;b ] [ a ;b ] 2.1.2 Giới thiệu tốn, tình có vấn đề, tạo hấp dẫn khả kích thích hoạt động học tập tích cực học sinh Tình có vấn đề tình đặt cho học sinh khó khăn lý luận thực tiễn mà học sinh cần thiết có khả vượt qua, dựa quy tắc, hay thuật toán cụ thể, mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, suy luận logic Vì địi hỏi tính sáng tạo, biết cách nhận biết vấn đề, biến đổi, suy luận logic sở điều chỉnh kiến thức sẵn có Bài tốn cần làm cho học sinh thấy chưa có lời giải cụ thể, với vốn kiến thức sẵn có kỹ giải phương trình vơ tỷ tích cực suy nghĩ, tư linh hoạt em giải tốn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước thực đề tài này, khảo sát chất lượng số học sinh khá, giỏi thông qua việc kiểm tra việc giải phương trình vơ tỷ, nhận thấy: Kỹ giải phương trình vơ tỷ đa số học sinh yếu Nguyên nhân thực trang là: + Học sinh chưa biết phân tích, tư logic + Tiếp thu thụ động, chưa linh hoạt + Định hướng chưa rõ + Trong kiểm tra cịn đối phó nhiều hình thức Đặc biệt kỳ thi THPT quốc gia , thi hình thức nghiệm nên khả tư logic em Từ ảnh hưởng lớn đến kết quả, củng chất lượng học tập mơn tốn trường THPT, dẫn đến: + Đa số học sinh chưa hứng thú với mơn tốn + Học trước qn sau + Chưa biết cách phân tích 2.3 Nội dung 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số, để giải phương tình vơ tỷ Bài tập 1: Giải phương trình sau: a x − + x − = [1] 2 b x + 3x − − x + = − x + 11 x − + x + [1] (2 x + 1)( + x + x + ) + x(2 + x + ) = [1] c Hướng dẫn giải: a x − + x − = Phân tích tìm lời giải + ĐKXĐ: x≥ + Nếu bình phương hai vế, ta phải bình phương hai lần dẫn đến phương trình bậc cao phức tạp Nhận thấy x tăng ĐKXĐ phương trình vế trái tăng, từ dự đốn hàm số vế trái phương trình đồng biến, cịn vế phải hàm số Đây điều kiện thích hợp cho việc sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình Xét tính đơn điệu hàm số vế trái phương trình, nhẩm nghiệm kết luận nghiệm Lời giải: a Xét hàm: y = x − + x − Đk: y, = 4x − + 4x 4x − x≥ > 0∀x ≥ ⇒ Hàm số đồng biến TXĐ Vậy phương trình có nghiệm Nhận thấy x= nghiệm *Nhận xét: Trong ví dụ ta vận dụng kiến thức: " Nếu y = f(x) đơn điệu D, phương trình f(x) = k(k=const), có nghiệm x = x0 x = x0 nghiệm , nhất" Vậy vấn đề phải nhẩm nghiệm x = x0 f ( x) ≥ 0∀x ∈ D (Đồng , biến) f ( x) ≤ 0; ∀x ∈ D (Nghịch biến) 2 b x + 3x − − x + = − x + 11 x − + x + Phân tích tìm lời giải Đối với phương trình cách giải công cụ đại số không hiệu lời giải dài Vì định hướng định hướng cho học sinh sử dụng đạo hàm Nếu nhẩm nghiệm hai tam thức bậc ta được: 2 x + x − = ( x + 2)( x − 1)  2 x + 11 x − = ( x + 6)( x − 1) Từ ta xác định nhân tử chung chuyển vế trái phương trình tích hai hàm đồng biến, ta hàm đồng biến Lời giải:       ĐKXĐ  x + 3x − ≥ x+6≥0 x + 11 x − ≥ ⇔x≥ x+2≥0 Pt ⇔ ( x + 2)( x − 1) − x + + ( x + 6)(2 x − 1) − x + = ⇔ x + ( x − − 3) + x + ( (2 x − 1) − 3) = ⇔ ( x − − 3)( x + + x + ) = Ta có: x + + x + > 0∀x ≥ ⇒ 2x − − > ⇔ x > +Xét g ( x) = x + + x + > 0Trên (5;+∞) có g , ( x) = x+2 + x+6 > 0∀x > Vậy g(x) đồng biến (5;+∞) (1) +Xét h( x) = x − − (5;+∞) , có h , ( x) = 2x − > 0∀x > Vậy h(x) đồng biến (5;+∞) (2) Từ (1),(2) ⇒ f ( x) = g ( x ).h( x ) đồng biến (5;+∞) Mặt khác: f(7)=4 nên x =7 nghiệm *Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng kiến thức " Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm đồng biến (nghịch biến) D" (2 x + 1)( + x + x + ) + x(2 + x + ) = c Phân tích tìm lời giải +ĐKXĐ: D = R +Đối với phương trình hầu hết cách giải không cho kết Vì biến đổi để sử dụng kết sau: "Nếu hàm số y= f(x) đơn điệu D tồn U(x) V(x) hàm số nhận giá trị thuộc D, ta ln có f(U(x))=f(V(x)) U(x)=V(x)" từ đưa khái niệm:" Hàm đặc trưng" Quan trọng cách giải toán xây dựng hàm đặc trưng hàm đặc trưng phải đơn điệu chiều D.Biến đổi đưa 2 phương trình dạng: (2 x + 1)( + (2 x + 1) + ) = −3x(2 + (−3x) + ) f (2 x + 1) = f (−3x) Hàm đặc trưng là: f (t ) = t (2 + t + ) Lời giải: Pt ĐKXĐ: D = R ⇔ (2 x + 1)( + (2 x + 1) + ) = −3 x(2 + (−3 x) + ) ⇔ f (2 x + 1) = f (−3x ) Xét hàm: f (t ) = t (2 + t + ) , xác định liên tục R f , (t ) = (2 + t + ) + t2 t2 + > 0∀t ∈ R 10  − − 21 x = Pt ⇔ f ( x) = f ( − x ) ⇔ − x = x ⇔   − + 21 x =  Kết hợp với đk ⇒x= − + 21 nghiệm 3 b x − x + 12 x − = − x + x − 19 x + 11 Phân tích tìm lời giải +Sử dụng đồng thức ta chuyển phương trình dạng 3 3 Ta có: m( px + u ) + ( px + u ) = m(− x + x − 19 x + 11) + − x + x − 19 x + 11 Ta thu hệ phương trình: mp + m = p =1   3mup − 9m = −6  ⇔ m =  2 3u mp + p + 19m = 12  mu + u − 11m = −7 u = −1  +Thế vào ta phương trình: 1 ( x − 1) + ( x − 1) = (3 − x + x − 19 x + 11 ) + − x + x − 19 x + 11 2 ⇔ f ( x − 1) = f (3 − x + x − 19 x + 11 ) + Hàm đặc trưng: f (t ) = t +t Lời giải: Pt ⇔ 1 ( x − 1) + ( x − 1) = (3 − x + x − 19 x + 11 ) + − x + x − 19 x + 11 2 ⇔ f ( x − 1) = f (3 − x + x − 19 x + 11 ) Xét f (t ) = 3 t +t f , (t ) = t + > 0∀t ∈ R ⇒ 2 R ⇒ Hàm số đồng biến R ⇒ f ( x − 1) = f (3 − x + x − 19 x + 11 ) ⇔ x − = − x + x − 19 x + 11 x = ⇔ x − x + 11 x − = ⇔  x =  x = 12 Bài Tập Rèn Luyện: Giải phương trình sau: a ( x − 1)( x − + x + ) = x + [ 4] 3 3 b x − x + x − 3x + = 3x + + x + [ 5] 3 c x − 15 x + 78 x − 141 = x − [ 3] 2.3.2 Sử dụng GTLN, GTNN hàm số vào tốn có chứa tham số Bài tốn: Tìm m để phương trình f(x;m) =0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) Trên tập D Phương pháp: + Tách m khỏi biến x đưa phương trình dạng f(x) = A(m) + Khảo sát biến thiên hàm số y= f(x) D + Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị m, để đường thẳng y=A(m) cắt đồ thị hàm số y=f(x) + suy giá trị m để phương trình f(x)=A(m) vơ nghiệm, có nghiệm có k nghiệm D *Chú ý:+ Nếu hàm số y=f(x) đạt GTLN, GTNN Trên D, phương trình có nghiệm f ( x) ≤ A(m) ≤ max f ( x) x∈D x∈D + Nếu tốn u cầu: Tìm m để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng nằm ngang y=A(m) cắt đồ thị k điểm phân biệt Loại 1: Khảo sát trực tiếp Bài Tập 3: a Tìm m để phương trình: m 2x + = x + m b Tìm m để phương trình: phân biệt? [1] Có nghiệm [ 6] x + − − x = m(4 x − 1) có nghiệm thực Hướng dẫn giải: Câu a, b,c Phân tích tìm lời giải - Cơ lập m -Biện luận số giao điểm: (C): y=f(x) Và (d):y=m - Từ suy giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm 13 Lời giải: a TXĐ: D=R ⇔ m( x + − 1) = x ⇔ m = Pt x 2x + − = f ( x ), (do : x + − > 0∀x ∈ R ) x f ( x) = 2x + − , Xét hàm: xác định liên tục R f ( x) = , 2(36 − x )  x = −6 f , ( x) = ⇔  x + (9 + x + 9)( x + − 1) x = , cho 2 2 3 1 f (−6) = − ; f (6) = ; lim f ( x) = − ; lim f ( x) = 4 x→−∞ x →+∞ Ta có: Bảng biến thiên x -∞ -6 f’(x) - +∞ + - f(x) − − − 3 ≤m≤ 4 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: * Nhận xét: + Hình dạng đồ thị tương đồng với hình dạng biểu diển bảng biến thiên, phương trình: f(x)=A(m) có k nghiệm phân biệt hai đồ thị y=f(x) đường thẳng y=A(m) cắt k điểm phân biệt Từ đó, ta tìm giới hạn A(m) thích hợp suy m 14 + Ngồi ta trả lời câu hỏi sau: - Tìm m để phương trình vơ nghiệm - Tìm m để phương trình có hai nghiệm b 3x + − − x = m(4 x − 1) Phân tích tìm lời giải - Cơ lập m -Biện luận số giao điểm: (C): y=f(x) Và (d):y=m - Từ suy giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm - Nhận thấy (3x+1)-(2-x)=4x-1, có chung hạng tử với vế phải Vì ta sử dụng phép nhân liên hợp để lập m, đưa phương trình dạng tích lúc phương trình ln có nghiệm x= Lời giải: ĐK: − ≤ x ≤ Pt 4x − 3x + + − x ⇔ (4 x − 1)( = m(4 x − 1) 3x + + − x − m) =   x = x = ⇔ ⇔  ( 3x + + − x ) = (*) =m  x + + − x m  Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (*) có nghiệm ≠ 1  D = [ − ; 2] \   4 Xét hàm: f ( x) = 3x + + − x Trên f , ( x) = Cho 3x + − 2− x = − x − 3x + (3 x + 1)( − x) f , ( x) = ⇔ − x − 3x + = ⇔ x = 17 12 15 Bảng biến thiên − x f’(x) 17 12 + + - 21 f(x) 7 21 Dựa vào bảng biến thiên suy  21  21 21 21 = ∪ ≤ m < ⇒ m∈( ; ]∪  m 3 7  14  Nhận xét: Hình dạng đồ thị tương đồng với hình dạng biểu thị f(x) bảng biến thiên, để phương trình: f(x)=A(m) có k nghiệm phân biệt ⇔ đồ thị hàm số y=f(x) đường thẳng nằm ngang y=A(m) cắt k điểm phân biệt Loại 2: Khảo sát hàm số, sau đặt ẩn phụ Bài Tập 4: Tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình : m( + sin x + − sin x + 3) + cos x − = 0, có nghiệm thực phân biệt  π π ∈ − ;   2  khoãng ( a; b] Tính p = 5a + 7b A.18 + B.18 − C − D.12 + [ 7] Phân tích tìm lời giải Bài tốn thực tốn tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt đoạn, phát biểu dạng tốn trắc nghiệm Vì giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ, cô lập m sử dụng đạo hàm để biện luận Lời giải: Đặt: t = + sin x + − sin x , (t > 0) ⇒ t ′ = − sin x − + sin x ⇒ t ′ = ⇔ sin x = ⇔ x = Bảng biến thiên 16 − x π π f’(t) + - f(t) 2 ⇒ t = + cos x, t ∈ Phương trình cho trở thành: Xét m= g (t ) = [ ;2 ] −t2 + t +3 −t2 + − t − 6t − ⇒ g ′(t ) = < 0, ∀t ∈ t +3 (t + 3) ⇒ g (2) ≤ g (t ) ≤ g ( ) ⇔ [ ;2 ] 15 − ≤ g (t ) ≤  π π x ∈ − ;   2  t ∈ ;2 , Ngoài t = ta thu nghiệm  π π x ∈ − ;   2 ta thu nghiệm  15 −  ⇒ m ∈  ;  ⇒ p = 18 − ⇒ 5  [ ] chọn B 2.3.3 Vận dụng kiến thức học, tư định hướng lời giải tốn Việc hình thành kỹ định hướng giải tốn mang tính chất quan trọng Nhưng việc hình thành kỹ định hướng, từ tìm lời giải tốn bước có tính chất định việc giải toán học sinh Vì dạy học người giáo viên cần định hướng, giúp cho học sinh biết cách tư duy, suy nghĩ tìm phương pháp hợp lý để giải tốn Trong q trình giải tốn cụ thể, học sinh cần phải biết vận dụng đơn vị kiến thức hợp lý, cần tìm mối liên hệ đơn vị kiến thức để tìm lời giải tối ưu cho toán f ( x) = x + + x Bài Tập 5: Cho hàm số: Số giá trị nguyên tham số m để xf ( x) − phương trình A + 4x + m − = 0, f (−1 − x + m − 1) B.3 có nghiệm phân biệt là: C.6 D.4 [ 7] Phân tích tìm lời giải 17 Đây toán thuộc vận dụng cao đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2021 phương trình hàm, hầu hết học khơng định hướng cách giải Vì giáo viên cần dẫn dắt học sinh, tìm mối liên hệ f (− x) = − x + + x = x + 1+ x = 1 ⇒ f (1 + x + m − 1) = f ( x) f (−1 − x + m − 1) , Biến đổi phương trình cho, xây dựng hàm đặc trưng, chuyễn phương trình cho phương trình vơ tỷ thông thường, cô lập m sử dụng đạo hàm để biện luận Lời Giải x f ( x) = x + + x ⇒ f ′( x) = + 1+ x2 Ta có: f (− x ) = − x + + x = Mặt khác: Vậy phương trình x + 1+ x2 = > 0, ∀x ∈ R Vậy hàm số đb R f ( x) ⇔ xf ( x) − (1 + x + m − 1) f (1 + x + m − 1) = ⇔ xf ( x) = (1 + x + m − 1) f (1 + x + m − 1) Xét hàm đặc trưng: g ′(t ) = 2t + t + + y = g (t ) = tf (t ) = t (t + + t ) = t + t + t t2 t2 +1 >, ∀t ∈ R ⇒ y = g (t ) đồng biến R g ( x) = g (1 + x + m − 1) ⇔ x = + x + m − ⇔ x + m − = x − x ≥ ⇔ m = x − x + Xét hàm: p( x) = x − x + 2' ∀x ≥ ⇒ p ′( x) = x + = ⇔ x = x p ′(x) p (x) +∞ - + +∞ -3 Dựa vào bảng biến thiên trên, để phương trình có nghiệm m ∈ ( − 7;−3] Vậy có giá trị nguyên m = { − 6;−5;−4;−3} 18 *CHú ý: Khi giải tập trên, giáo viện cần có hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh phát giải bước tốn Từ tạo ch học sinh phải tư duy, tìm tịi dẫn đến tạo nhu cầu học tập tích cực học sinh Bài tập 6: Tìm m để phương trình : (1) có nghiệm [ 8] m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x Phân tích tìm lời giải Khi nhìn vào toán học sinh hoang mang tốn chứa cịn có chứa tham số nên việc giải khó khăn, song giáo viên hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t= biết quy + x2 − − x2 toán tương đương tốn lại trở nên quen thuộc Lời Giải : Điều kiện : -1 x Đặt t= ≤ Ta có: t =2-2 ≤ Vậy 1− x ≤ Khi t 1+ x − 1− x ≥ 0≤t ≤ ⇒ ≤ t ≤ ⇒ − x4 = − t Phương trình (1)có dạng : m(t+2) = 2-t +t (2) Vì 0≤t ≤ Nên ta có t+2 >0 PTTT: −t + t + =m t+2 Bài tốn quy tìm điều kiện tham số m để phương trình : −t + t + =m t+2 Xét hàm số Ta có −t + t + y = f (t ) = t+2 −t − 4t f / (t ) = (t + 2) x 0 nên phương trình (2) ⇔ t2 + t +1 =m t +1 với t ∈ 1;  Bài tốn quy tìm điều kiện m để phương trình t ∈ 1;  Xét hàm số , t2 + t +1 =m t +1 (3)có nghiệm y = f (t ) = t + t + t ∈ 1;    t +1 20 t + 2t t ∈ 1;  f / (t ) = > 0, ∀ (t + 1) PT (1) có nghiệm ⇔ nên y = f (t ) đồng biến t ∈ 1;  Phương trình (3) có nghiệm ⇔ f (t ) ≤ m ≤ max f (t ) 1;    1;    ⇔ f (1) ≤ m ≤ f ( 2) ⇔ ≤ m ≤ 2 − Vậy phương trình có nghiệm ≤ m ≤ 2 − 2 log 6x 2x + − + 2( x + − y ) − y Cho phương trình: Bài tập 8: cặp số ( x; y ) thỏa mãn phương trình trên, giá trị nhỏ : T= + 2x = , Với y x + ( x + ) + x + − y ) − 3 , thuộc khoảng sau A (−4;−2) B (−11;−9.5) C (−6;−4) D (−9,5;−8) [ 7] Phân tích tìm hướng giải Bài toán lại toán thuộc vận dụng cao đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2021 Đây tốn tìm GTLN, GTNN hàm hai biến, hai biến lại nghiệm phương trình chứa hai biến Vì từ phương trình thiết phải tìm mối liên hệ x y, từ hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình, xây dựng hàm đặc trưng tìm mối liên hệ x, y chuyễn hàm số biến x sử dụng đạo hàm Đối với học sinh giỏi nhìn thấy y y 2 phương trình ⇔ log ( x + + 1) + ( x + + 1) = log 3 + Lời giải : Đk: x > 2y Phương trình ⇔ log (3( x + + 1)) + 2 x + − y ) − + x = ⇔ + log ( x + + 1) + 2 x + − y ) − ⇔ log ( x + + 1) + ( x + + 1) = log 3 y y + 2x = +3 y (1) 21 Xét hàm: y = f (t ) = log3 t + t ⇒ f ′(t ) = + > 0, ∀t > t ln Vậy hàm số đồng biến 2y (0;+∞) Nên phương trình cho ⇔ ( x + + 1) = y x + 1(2 x + 4) + x + − y ) − 2.3 3 T= T= x + 1(2 x + 4) + x + − y ) − 2.( x + + 1) 3 ⇒ T = t − t − 3t − ⇒ T ′ = t − 2t − = ⇔ 3 Đặt t = x + > ⇒ x = t − t = −1 t =  Bảng biến thiên: t −1 T′ +∞ - + +∞ − T 13 − ⇒ Tmin = − 29 29 ≈ −9,67 ∈ (−11;−9.5) ⇒ chọn đáp án B Bài Tập Rèn Luyện: có nghiệm phân biệt [1] 1.Tìm m để phương trình : x + mx + = x + Tìm m để phương trình có nghiệm : − x + + x − (2 − x)(2 + x) = m 3.Tìm m để phương trình có nghiệm : x +6 x −9 + x−6 x−9 = x+m [1] [1] 2.3.4 Vận dụng hàm đặc trưng, giải hệ phương trình phương pháp 22 Vận dụng kết quả: "hàm số f (t ) đơn điệu chiều (a; b) tồn u; v ∈ (a; b) f (u ) = f (v) ⇔ u = v " Từ ta cần chọn phương trình hệ ( có biến x vế, cịn biến y vế) để xây dựng hàm đặc trưng f (t ) vận dụng kết Nếu x y chưa độc lập hai vế sử dụng kỹ thuật như: Liên hợp, cộng trừ hai phương trình, đặt ẩn phụ, biến đổi đẳng thức, để tách chúng xây dựng hàm đặc trưng có trường hợp không cần độc lập hẳn x y xây dựng tập sau Bài tập 9: Giải hệ phương trình:  y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = ( x, y ∈ R )  (4 x + 3)( − xy ( x − 1) + 3 x + − 1) = [ 9] Phân tích tìm hướng giải Ta khơng làm với hình thức phương trình (2) Đối với học sinh khá, 3 giỏi nhận thấy (1) có dạng: ( x y ) + 3x y = ( y − 1) + 3( y − 1) , với ý , tưởng đó, ta tìm hàm đặc trưng f (t ) = t + 3t , có f (t ) = 3t + > 0∀t ∈ R , Pt (1) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − ⇔ x y − y = −1 khéo đưa y biểu 2 thức − xy ( x − 1) vào ta − x( x y − y ) Lời Giải : ĐK: − xy( x − 1) ≥ ⇒ PT (1) ⇔ x y + 3x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1) + 3( y − 1) , Xét hàm: f (t ) = t + 3t ⇒ f (t ) = 3t + > 0∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến R Pt (1) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x2 y = y −1 ⇔ x y − y = −1 Thay vào phương trình (2) ta được: (4 x + 3)( − xy ( x − 1) + 3x + − 1) = ⇔ (4 x + 3)( + x + 3x + − 1) = 9( x ≠ − ) ⇔ + x + 3x + − = 3x + 23 ⇔ + x + 3x + − Xét hàm: g , ( x) = g ( x) = + x + 3 x + − 4+ x + (3 x + 8) + −1 = 3x +  3 − 1, x ∈ (−4;+∞) \ −  3x +  4 36  3 > 0∀x ∈ ( −4;+∞) \ −  (4 x + 3)  4  x =   y = g (0) = g (−3) = ⇒  x = −3    y = − Vậy hàm số đồng biến tập xác định, mà Bài Tập Rèn Luyện:  x − y − 3(2 x − y + y ) + 15 x − 10 =   x + y − + y − x − y + 13 = Bài tập 1: giải hệ phương trình: [10]  x − x + 13 x = y + y + 10  x + y + − − x − y = x − x + 10 y − [11] Bài tập 2: giải hệ phương trình:  KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận : Trong năm học 2020-2021 thực nghiệm đề tài lớp 12C4, 12C6, 12C7 kết cụ thể sau: Loại Loại giỏi Loại Loại trung Loại yếu bình Đối tượng Áp dụng thường xuyên 10 % 50 % 30 % 10 % lớp 12C4 Không áp dụng thường 5% 30 % 50 % 25 % xuyên lớp 12 C6 Không áp dụng thường 0% 10 % 65 % 25% xuyên lớp 12 C7 Đề tài áp dụng số lớp kết đạt tương đối tốt, học sinh giải nhiều tốn, em thích dần với tập loại này, hăng say tích cực nhiều việc gải toán, tạo cho em có niềm tin giải tốn, góp phần nâng cao kết thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi, khắc phục hạn chế việc học sinh sợ phải giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có chứa tham số, đồng thời tạo 24 hứng thú cho học sinh góp phần cao chất lượng dạy học phát huy tính tích cực học sinh, khơi nguồn cho em tìm tịi, sáng tạo q trình giải tốn có chứa tham số So với cách làm cũ khơng giải phương trình bình thường, mà giúp cho em thấy dạng quen thuộc, kỹ cần thiết Nếu trang bị cho em kỹ cần thiết nhìn vào toán em định hướng cách giải, giải nhanh thành thạo Trên số kinh nghiệm thực tiễn thân qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn phần phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có chứa tham số, mà đặc biệt sử dụng tính chất hàm số tính đơn điệu, GTLN, GTNN giải tốn Với đề tài hy vọng giúp cho em học sinh biết cách sử dụng đạo hàm vào giải toán cải tiến phương pháp giải phương trình vơ tỷ nói chung phương trình vơ tỷ chứa tham số nói riêng 3.2 Kiến nghị đề xuất : Công tác nghiên cứu khoa học cấp cần phát huy nữa, để công tác dạy học ngày đạt hiệu cao Để có giảng hay, sáng kiến đổi giảng dạy mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, phù hợp với phát triển Đất nước Cần tăng cường công tác sinh hoạt tổ nhóm chun mơn để trao đổi chun mơn, xây dựng tiết dạy phù hợp với đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt tổ nhóm chuyên môn công việc để trau dồi chuyên môn, tự học tập lẫn giúp tiến Để đề tài thực tốt cần có buổi sinh hoạt toán học để em học sinh bày tỏ quan điểm tự giúp em phát sai lầm thông qua giải Đề tài chắn không tránh khỏi thiếu xót để hồn thiện tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp./ Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm khơng có chép Vĩnh lộc , ngày 12 tháng 05 năm 2021 Người viết sáng kiến kinh nghiệm Mai Văn Tuấn 25 26 ... "RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ" 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU + Rèn luyện kỹ vận dụng số tính chất hàm số vào tốn giải phương trình vơ tỷ + Rèn. .. luyện tư logic + Rèn luyện tính sáng tạo + Rèn luyện kỹ phân tích, phát vấn đề 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU + Một số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số + Một số dạng phương. .. GTNN hàm số + Một số dạng phương trình vơ tỷ giải cách sử dụng số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp + Nghiên cứu lý luận chung: