Hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán phương trình vô tỉ

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm 2.3 Sáng kiến kinh nghiệm khắc phục hạn chế học sinh 2.3.1 Một số tốn phương trình vơ tỉ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Qua trình giảng dạy trường THPT Lê lợi , mà cụ thể phân môn Đại số 10 em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu căn, nhiên em làm quen với số cách giải thông thường, đơn giản Tơi nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải tốn thân thầy, cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải Từ đòi hỏi người thầy cần phải khơng ngừng tìm tòi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển toán đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học khó cần thiết chưa đủ Là giáo viên dạy tốn trường THPT mong muốn có nhiều học sinh yêu quý, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi Song để thực điều người thầy cần có say mê chun mơn, đặt cho nhiều nhiệm vụ, truyền say mê cho học trò Khai thác sâu toán phần việc giúp người thầy thành cơng nghiệp Với chút hiểu biết niềm say mê tốn học tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình vơ tỉ” mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán Hy vọng đề tài giúp ích phần nhỏ bé cho quý thầy cô công tác giảng dạy 1.2 Mục đích nghiên cứu -Nhằm nâng cao nghiệp vụ chun mơn, rút kinh nghiệm q trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh, phát bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Thông qua đề tài này, tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên học sinh, đặc biệt học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi đại học, cao đẳng 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải toán thi Đại học theo nhiều cách - Đề tài hướng tới đối tượng học sinh lớp chọn, học sinh u thích mơn Tốn, học sinh khá, giỏi học sinh ôn thi Đại học, học sinh khối 10 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn tốn hay, độc đáo, có phương pháp giải sau phân tích, so sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp rút kết luận NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Mơn tốn học mơn quan trọng cần thiết học sinh Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f  x   g  x  trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f  x  �0 Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f  x  �0 điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ, có nhiều tốn đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN tơi hướng dẫn học sinh ba dạng phương trình thường gặp, số toán vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực f  x   g  x  (1) * Dạng 1: phương trình Phương trình � �g  x  �0 f  x  g  x � � điều kiện g  x  �0 điều kiện f x  g x     � cần đủ phương trình (1) sau giải phương trình f  x   g  x  cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện g  x  �0 để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm f  x   g  x  (2) * Dạng 2: phương trình Phương trình � �f  x  �0  g  x  �0  f  x  g  x � � �f  x   g  x  Điều kiện f  x  �0  g  x  �0  điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý khơng thiết phải đặt điều kiện đồng thời f  x  g  x  không âm f (x)  g (x )  Dạng 3: phương trình f  x   g  x   h  x  (3) Bước 1: Đặt điều kiện Bước 2: Chuyển vế để vế dương f (x)  g (x)  h(x) Bước 3: Bình phương vế *Dạng tốn không mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm Học sinh trường THPT Lê Lợi, lớp 10 em học sinh nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Khi gặp tốn phương trình vơ tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi, phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần 2.3 Sáng kiến kinh nghiệm khắc phục hạn chế học sinh - Để khắc phục hạn chế học sinh giải phương trình vơ tỉ, làm sau: + Đầu tiên đưa cho học sinh toán đơn giản mà học sinh giải theo cách sách giáo khoa đưa cho học sinh thấy hạn chế cách giải + Tiếp đến đưa cho học sinh ví dụ phức tạp để học sinh thấy sử dụng cách giải thông thường để giải 2.3.1 Một số toán phương trình vơ tỉ Một tốn đơn giản : Giải phương trình x   x  (1)[1] Nếu giải theo cách sách giáo khoa, học sinh giải Điều kiện x �  1 � x    x  1 � x2  4x   � x  Sau so sánh điều kiện thay vào phương trình xem nghiệm có thoả mãn khơng Theo tơi cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x � điều kiện cần đủ Trong tốn phức tạp cách giải khó khăn Hay tốn giải phương trình x  x   x  [1] � x  x  �0 Học sinh thường đặt điều kiện � sau bình phương vế để giải x  � � phương trình Cách làm rối khơng cần thiết, cần điều kiện x  �0 đủ Ví dụ tốn sau khơng thể giải theo cách thông thường Tôi xin đưa số cách giải tối ưu sau: Bài toán Trong đề thi Đại học khối D năm 2006 có tốn sau Giải phương trình: x   x  3x   (1)[2] Lời giải : Bài toán dạng f (x)  g (x) Tuy nhiên đưa số cách giải Cách 1: ĐK x � Khi đó:  1 � 2x   2x   x  x  Đặt 2x 1  t , Phương trình cho trở thành: t  t  x2  x  � t  x �t   x �2x 1  x Trở lại phép đặt ta có � �2x 1   x Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x  �x   Nhận xét: Cách phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách Điều kiện xác định x � Với điều kiện phương trình tương đương với x  x  1  2x   2x   4 2 � �2x 1  x � 1� � � �x  � � x   �� � � �2x 1   x � 2� � Giải phương trình, so sánh điều kiện ta nghiệm phương trình là: x 1 � � x2 � Nhận xét Cách phương pháp biến đổi tổng hiệu hai bình phương, với cách làm ta khai thác nhiều với cách giải tương tự Cách Cơ lập thức, đặt điều kiện, bình phương hai vế, giải phương trình bậc x 1 � bốn ta tìm nghiệm là: � x 2 � Tuy nhiên Cách không thú vị, nên làm phương trình có nghiệm đẹp, có nghiệm đẹp nên suy nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp để xuất nhân tử chung Không thỏa mãn với cách tiếp tục suy nghĩ đến phương án đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II tơi tìm Cách Điều kiện xác định x �  1 �   x   x    1 x  x 1 x  u � � Đặt � Theo ta có hệ :   x  x  v   � � u  x  v �2 v  x  u � Đến ta hệ phương trình đối xứng loại II, giải hệ ta uv � , trở lại phép đặt giải phương trình, ta nghiệm phương trình là: � u 1 v � x 1 � � x2 � Nhận xét: Trong Cách Tôi chủ động đề cập tới dạng tổng quát  mx  n   b  a a  mx  n   b Đây cách giải mà tâm đắc, với cách giải khiến mở rộng toán thành nhiều toán thú vị, nhiều không làm theo cách gần bế tắc Với xu hướng đề thi phần phương trình, hệ phương trình câu chặn điểm Do dạy học phần phương trình vơ tỷ khơng cung cấp cho học sinh kiến thức bản, kĩ thành thạo phải hướng dẫn học sinh đào sâu suy nghĩ từ tốn quan tâm đến tốn khó Trong khuôn khổ Sáng kiến kinh nghiệm này, tập trung khai thác sâu Cách 4, từ sáng tạo toán thú vị Bài toán [3] Giải phương trình x  11x     x  x  x  Nhận xét: Bài tốn khơng có nghiệm đẹp việc nhân liên hợp hay bình phương hai vế khó khăn; Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn khơng đơn giản, với Cách ta có lời giải sau: Lời giải Điều kiện x �� Phương trình cho tương đương với:   3x     x2  x     x    x    3x    x  x  3  3x  u � � Đặt � , ta thu hệ � 4x  6x   v � u  x2  x     x  v � �2 v  x2  x     x  u � u v � � u  v    x   v  u  �  u  v   u  v  x  1  � � u  v  x 1  � Xét hai trường hợp xảy �  14 �x � �x *) u  v �  x  x  x  � � � 5x2  x   � �  33 �x � �x *) u  v  x   � x  x   x  � � 12 � 12 x  18 x   � �3  14  33 � ; Kết luận tập nghiệm S  � � 12 � � Nhận xét: Mức độ phức tạp tăng thực sự, nguyên dạng tổng quát  mx  n   b  a a  mx  n   b Trong a; b lúc theo thứ tự nhị thức bậc tam thức bậc hai   3x     x2  x     x    x    3x    x  x  3 Ngoài cách làm trên, đặt ẩn phụ khơng hồn tồn thu kết nhiên vất vả Sau mở rộng tiếp để toán phức tạp 16 x  11x  Bài tốn [3] Giải phương trình  x  18 x  x  Lời giải �x �4 Điều kiện � 2 x  x  �0 � Phương trình cho tương đương với 16 x  11x   ( x  4) x  18 x  � (4 x  1)2  x  ( x  4) (4 x  1)( x  4)  3x Đặt 4 x   u;  4 x  1   x    3x  v ta thu hệ phương trình � u  3x  ( x  4)v � � u  v  ( x  4)(v  u ) �2 v  x  ( x  4)u � � uv 4 x   x  18 x  4(1) � �� �� u  v  x   � � � x  18 x   x  3(2) Xét trường hợp � 4 x  �0 � 13  109 �x � � (1) � � � � x   � 12 16 x  x   x  18 x  � � 12 x  26 x   � � x  �0 � �x � � (2) � � � � x  18 x   25 x  30 x  � � 21x  12 x  13  � ( Hệ vơ nghiệm) Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x   13  109 12 Bài tốn [4] Giải phương trình 2(x2  x 6)  x3  Khác với ví dụ biểu thức bậc 3, ta giải theo công thức A B Lời giải Ta bình phương hai vế để thu phương trình bậc bốn Lời giải 2: Ta giải phương pháp đặt ẩn phụ ví dụ sau biến đổi phương trình dạng   2 x  2  x2  2x    x    x  x    1 � u  x  �0 � Đặt � v  x2  x  � �  1 � 2u  2v  5uv � u  2v �v  2u � x   x  x  �2 x   x  x  � x  � 13 10 x2  x   x2  5x  Bài tốn [4] Giải phương trình 2 x  Lời giải Điều kiện x � Phương trình cho tương đương với x  x   ( 2 x  3) x  x  �   x  1  x   (2 x  3) (2 x  3)(  x  1)  x  Đặt  x   u;  2 x  3   x  1  x   x  x   v  v   ta thu � u  x   (2 x  3)v uv � � 2 � u  v  (  x  3)( v  u ) � �2 � u  v  2x   v  x   (2 x  3)u � � Xét trường hợp �x �1 �x �1 � � � x �� *) u  v �  x   x  x  �2 � x  x  x   x  x  � � � 19  73 �x � � x *) u  v  x   � x  x   3x  � � 16 � x  19 x   � Kết luận: Phương trình ban đầu có nghiệm x  19  73 16 Nhận xét Đến nhiều bạn thắc mắc: dạng tổng quát:  mx  n   b  a a  mx  n   b “ Làm để tìm a, b, m, n” ? Câu trả lời sau: x  x    2 x   x  x  �   x  n   x  a.x  b   2 x  3  2x  3   x  n    x  a.x  b  11 � n  b  3 n 1 � � 3n  b  � � �� a0 Đồng hệ số �  n  a   � � b  4 � �  n   a  � Bài toán [3] Giải phương trình   2x2  x  x Lời giải Điều kiện x �0 Phương trình cho tương đương với x   x x  x  �  x    x  x   x x ( x  2)  x  x  Đặt x   u; x  x   v,(v  0) ta thu � u  x  x   xv u v � � 2 � u  v  x ( v  u ) � �2 � uv x0 v  x  x   xu � � Xét trường hợp *) u  v � x   x  x  �x �2 �x �2 � 21 � �2 � � x  � 2 �x  x   x  x  �x  3x   �x �1 � x  3 *) u  v  x  � x  x   2 x  � � 2x  7x   � �3 � 21 � ;3� Kết luận: Phương trình ban đầu có tập nghiệm S  � � � Nhận xét Đối với tốn ,phía ngồi thức có dạng nhị thức bậc nên tạm thời sử dụng : x   x x  x  �  x  n   ( x  a.x  b)  x x( x  n)  x  a.x  b 12 � n2  b  n2 � � b 1 � � �� a  1 � n  a  Đồng hệ số � � b 1 � � 2n  a  � � ( x  2)  x  x   x x( x  2)  x  x  Bài toán [4] Giải phương trình  x  x x    x  x  * Lời giải: Phương trình có dạng  A   A  B    B  A  B  Khi ta có phương trình tương đương với 3 �x �1 � �  x  x �0 � � �� ��  x2  2x x    2x  x2 � �x x     x   � 3 �x �1 3 �x �1 � � � � ��  x  x   �0 �� 2 �x �0 � x  1 �2 �x3  x  16 x  16  � �x  x     x   Bài toán [3] Giải phương trình  2x  (2 x  1)(4 x  3)  Lời giải � �x ‫ڳ‬� x Điều kiện xác định � �  z  1  x  3 �36 � Phương trình cho tương đương với 13  (2 x  1)   (2 x  1)(4 x  3)  � 12 x   (2 x  1) x  x  � x  x   x  x   (2 x  1) x  x   x  x  � (2 x  2)  x  x   (2 x  1) (2 x  1)(2 x  2)  x  x  Đặt x   u; x  x   v,(v �0) ta thu � u  x  x   (2 x  1)v uv � � 2 � u  v  (2 x  1)( v  u ) � �2 � u  v  2x   v  x  x   (2 x  1)u � � Xét trường hợp �x �1 �x �1 � u  v � x   8x2  x  � � � � 2 �4 x  x   x  x  �4 x  x   �3 � 37 � � x �� � � � � �4 x �3 x   � u  v  x   � x  x   4 x  � � �� � x  22 x  12  � x  2 � � 37 � �3  ; 2; Kết luận Phương trình cho có nghiệm x �� � 4 � � Bài tốn [4] Giải phương trình 3x   x   2 x   * Lời giải Bài có dạng f  x  g  x  h x x  �0 � � Điều kiện: �x �۳ � x  �0 � x Khi :  * � 3x   x   2 x  � 4(3x  1)  x   4(2 x  1)  (x  1)(2 x  1) �x �1 � x  3x   3x  � � � x  5(x  �1) 23 x  102 x  65  � Vậy nghiệm phương trình x  14 Bài tốn 10[4] Giải phương trình x  x    4 x  1 x  3x  Lời giải Bài chia vế cho 4 x  có dạng: f  x   g  x  , bình phương hai vế phương trình bậc 4, với biến đổi cồng kềnh, dễ sai Đối với phương trình tơi đặt ẩn phụ sau Điều kiện x  x  �0 Phương trình cho tương đương với  2 x  1  x   4 x  1  4 x  1  2 x  1  x Đặt 2 x   u, x  x   v ta thu hệ phương trình � u  x   4 x  1 v uv � � � u  v   4 x  1  v  u  � � �2 u  v   4x v  x   4 x  1 u � � Xét hai trường hợp xảy 2 x  �0 � *) u  v � 2 x   x  3x  � � x  x   x  3x  � � 1 �x � �� � x  �x  2 � 4x2  x   � �x �0 *) u  v   x � x  x  x  � � 36 x  x  x  � �x �0 �� � x �� 28 x  x   � Kết luận phương trình cho có hai nghiệm x  , x  2 Bài toán 11 [4] Giải phương trình x  19 x   x x  x  Lời giải Điều kiện x  x  �0 15 Phương trình cho tương đương với  x  3  x   x x  x  3  x  Đặt x   u, x  x   v ta thu hệ phương trình u  x   xv uv � � � u  v2  x  v  u  � � �2 u  v  x v  x   xu � � Xét hai trường hợp xảy x  �0 � *) u  v � x   x  x  � � x  12 x   x  x  � � �x � �� � x  4  13 � x  16 x   � �x �1 11  79 *) u  v   x � x    x  x  � � � x 7 x  22 x   � Vậy phương trình cho có hai nghiệm Nhận xét Các tốn bạn giải phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn nhân liên hợp, khơng đơn giản đòi hỏi phải có nhiều kinh nghiệm kĩ thật tốt giải Sau tiếp tục làm phức tạp hóa tốn lên, khiến cho phương pháp khác phải khó khăn x  x  10 Bài tốn 12 [5] Giải phương trình  x3  x  x 2 x  3x  Biến  x  2 đổi   x   x2  3x  PT   2x dạng:   3x   x     x   16 x2u � � Đặt: � x  3x   x     x    v � �       � u  x   x2  3x  v � Ta thu hệ: �2 v  x   x  3x  u � � uv � Giải hệ ta được: � u  v  x  3x   � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện ta tìm x  1 � nghiệm: � x  1  � x  29 x  26  3x  x  15 x  14 Bài tốn 13[6] Giải phương trình x  x3  Biến đổi PT dạng:  3x     x  x  x   x   x   3x      x  3x   u � � Đặt: � x  x   3x      x   v � �       � u   x  x2  x  v � Ta thu hệ: �2 v   x  x2  x  u � � uv � Giải hệ ta được: � u  v  x2  x   � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x  1 � � ta tìm nghiệm: � � 37 x � Bài toán 14 [7] Giải phương trình x2  x   x  x  x  16 2x  x  17 Biến  x  4 đổi PT    2x  x  12  x  x  dạng:   x   x     x  12  x4u � � Đặt: � x  x   x     x  12   v � �       � u  x  12  x  x  v � Ta thu hệ: �2 v  x  12  x  x  u � � u v � Giải hệ ta được: � u  v  2x2  x   � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x0 � � ta tìm nghiệm: � 3 � 17 x � x  10 x  Bài tốn 15 [8] Giải phương trình  x3  x  x  x 1   x Biến đổi PT dạng:  x  3  x   x  x  2   x   x  3   x   x3u � � Đặt: � x  x   x  3   x    v � �       � u  4x   x2  x  v � Ta thu hệ: �2 v  4x   x2  x  u � � u v � uv � Giải hệ ta được: � � u  v  x2  x   u  v  x2  x   � � Đến trở lại phép đặt, giải phương trình, đối chiếu điều kiện x0 � ta tìm nghiệm: � 3  33 � x � 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm : 18 Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập giao nhà tương tự Phương pháp dạy học dựa vào nguyên tắc:  Đảm bảo tính khoa học xác  Đảm bảo tính lơgic  Đảm bảo tính sư phạm  Đảm bảo tính hiệu Khi trình bày ý đến phương diện sau:  Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh  Phát huy lực tư toán học học sinh 2.5 Bài tập tham khảo Giải phương trình: x  x  x3 2 Giải phương trình: x  x   x  Giải phương trình:  x 1 ( x  1)(2 x  3)  Giải phương trình: x    x  1 x  x  2x2  x  2 Giải phương trình: 6x  Giải phương trình: x  11x    x  1 x  x  5� � x  � 2 x  x  Giải phương trình: � x� � 5� � x   � x  x  Giải phương trình: � x� � Giải phương trình: x  10   2 x2  3x  x 10 Giải phương trình: x  13  18  x  x 19   11 Giải phương trình: x  x  12   x  3 x  10 x  48 Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Nếu học sinh biết phương pháp có hiệu em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Tuy nhiên tốn có nhiều cách giải , phương pháp giải dài phương pháp khác lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận phương pháp khác Hoặc tiền đề cho ta sáng tạo dạng tập khác Từ toán thi đại học đào sâu suy nghĩ đưa nhiều cách giải mở rộng thành nhiều toán khác độ khó tăng lên rõ rệt Đó hay, đẹp toán học, khiến người ta say mê toán học 3.2 Kiến nghị: Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 28 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Bùi Anh Tuấn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số 10 [2] Đề thi tuyển sinh vào Đại Học năm từ 2001 đến 2017 [3] Chuyên đề phương trình, hệ phương trình thạc sỹ Lê Văn Đồn-.Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015,2016,2017 nhiều trường THPT 20 [5] Tài liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục [6] Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) [7] Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải [8] Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Anh Tuấn Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên 21 TT Tên đề tài SKKN Một số toán lập Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Ngành C 2009 -2010 Ngành B 2013-2014 Ngành B 2016-2017 phương trình mặt phẳng khơng gian Hướng dẫn học sinh làm Năm học đánh giá xếp loại số tốn khoảng cách khơng gian phương pháp tổng hợp Ứng dụng tỉ số thể tích số tốn hình học không gian 22 ... học sinh thấy sử dụng cách giải thông thường để giải 2.3.1 Một số toán phương trình vơ tỉ Một tốn đơn giản : Giải phương trình x   x  (1)[1] Nếu giải theo cách sách giáo khoa, học sinh giải. .. Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh ba dạng phương trình thường gặp, số toán vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực f  x   g  x  (1) * Dạng 1: phương trình Phương trình � �g  x ... niềm say mê tốn học viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán phương trình vơ tỉ mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán Hy vọng đề