Các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT thường gặp trong các kỳ thi THPT quốc gia và thi HSG

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức tay nghề, có lực thực hành, động, sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn kiện Đại hội Đảng tồn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ƣơng Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 ban hành Kết luận số 51 KL/TW Đề án “Đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế” Trong năm qua giáo dục nƣớc ta có đổi mạnh mẽ nội dung, phƣơng pháp thu đƣợc kết khả quan Việc đổi phƣơng pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo ngƣời có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phƣơng pháp dạy học khơng giảng lí thuyết, mà trình luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận mà thơng qua qua cịn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Về mặt phƣơng pháp, từ phƣơng pháp dạy truyền thống nhƣ phƣơng pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), phƣơng pháp trực quan, phƣơng pháp thực hành, luyện tập đến xu hƣớng dạy học đại nhƣ: dạy học giải vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có hỗ trợ cơng nghệ thơng tin, có sử dụng máy tính tạo khơng khí học tập hồn tồn Với tinh thần đó, tơi có đổi mặt phƣơng pháp giảng dạy để phù hợp với giáo dục giai đoạn Trong công tác giảng dạy, ln trau dồi, tích luỹ kinh nghiệm qua học, qua tiết dạy nhƣ dự nhiều tiết dạy đồng nghiệp giúp ngày hồn thiện từ giúp em học sinh hăng say tìm tịi nghiên cứu học tập, em linh hoạt sáng tạo đƣờng chiếm lĩnh tri thức II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Qua đề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ hệ thống kiến thức phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ trƣờng phổ thơng để hình thành cho học sinh phƣơng pháp giải dạng toán cách chủ động, tự tin khoa học III ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Các tốn phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ trƣờng THPT thƣờng gặp kỳ thi THPT Quốc Gia thi HSG IV PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG tài liệu liên quan Phƣơng pháp điều tra thực tiễn: Dự đồng nghiệp, quan sát việc dạy học phần tập Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tiến hành tập thể lớp PHẦN HAI: NỘI DUNG A CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải toán ta thường thực bước: Bƣớc 1: Huy động kiến thức: Là thao tác tƣ nhằm tái kiến thức có liên quan với toán, từ lý thuyết, phƣơng pháp giải, toán gặp, ngƣời làm tốn phải biết cần biết ý tƣởng kiểu nhƣ: ta gặp toán gần gũi với toán hay chƣa? Nhà bác học Polia viết sách kinh điển với nội dung: "Giải toán ơng có đề cập đến nội dung điều kiện thiết yếu” Bƣớc 2: Tổ chức kiến thức: Là tổ hợp hành động, thao tác để xếp kiến thức biết yêu cầu toán lên hệ với nhƣ để từ trình bày tốn theo thể thống Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà phƣơng pháp tƣơng tự hay tổng quát hóa thao tác tƣ cần thiết cho ngƣời làm toán B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chƣơng trình Tốn cấp THCS THPT học sinh thƣờng gặp nhiều tốn phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ (có ẩn dấu thức) Nhƣ vấn đề đặt làm để giải tốt đƣợc loại tốn này? Để trả lời đƣợc câu hỏi thân học sinh cần có kiến thức nắm vững kỹ giải tốn Song hiểu theo cách nói lẽ, nhƣng để giải tốt loại toán lại vấn đề không dễ Khi làm tập dạng đa số học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, lời giải thƣờng thiếu chặt chẽ dẫn đến khơng có kết tốt, có kết khơng cao Với đặc điểm nhƣ vừa nêu, nghiên cứu, tìm tịi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp em học sinh tiếp cận tốn phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ cách đơn giản, nhẹ nhàng nhƣng đảm bảo yêu cầu cần thiết nội dung này, giúp học sinh có nhìn cụ thể, rõ ràng vấn đề khó trƣờng phổ thông, chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia thi học sinh Giỏi” Tôi mong qua đề tài góp phần làm tăng thêm khả tƣ khoa học, khả thực hành, kỹ giải tốn phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ phần đa em học sinh C CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I HƢỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP THU KIẾN THỨC CƠ BẢN Những định lý dấu thƣờng đƣợc sử dụng: 1.1 Định lý dấu nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức f (x) a x (a,b b R,a ) có nghiệm b x0 Khi dấu f (x) a đƣợc thể tóm tắt qua bảng sau: x x0 Dấu trái dấu hệ số a f (x) dấu hệ số a 1.2: Định lý dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức Kí hiệu b + Nếu + Nếu f (x) a x b.x ( 4ac c ' (a,b, c b' ac R;a ) Khi đó: tam thức dấu hệ số a với ) x  (có nghĩa tam thức dấu hệ số a với x a f ( x) x b  ,x  ) (nghĩa a a f (x) b x ) 2a + Nếu tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 b , 2a x2 b 2a Khi dấu tam thức đƣợc thể tóm tắt qua bảng sau x Dấu f(x) x1 dấu a x2 trái dấu a dấu a Các bƣớc thực giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ Bƣớc 1: Nêu điều kiện xác định điều kiện nghiệm (nếu có) Bƣớc 2: Dùng phép biến đổi tƣơng đƣơng để khử dần thức Bƣớc 3: Đƣa hệ gồm phƣơng trình, bất phƣơng trình đơn giản giải hệ thu đƣợc Bƣớc 4: Lấy giao tập nghiệm vừa tìm đƣợc để xác định tập nghiệm cho toán ban đầu (có thể sử dụng trục số để lấy nghiệm) Các phƣơng trình, bất phƣơng trình vơ tỉ bản: Dạng Phƣơng trình f (x) g (x) (1) Đối với phƣơng trình dạng (1) ta đƣa giải hệ sau g (x) f (x) [g ( x )] Ví dụ 1: Giải phƣơng trình 3x 4x 2x Lời giải: Phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ 2x 3x 2 x 4x (2 x 2) x 4x Ví dụ 2: Giải phƣơng trình x 4x x x 2x Vậy, tập nghiệm PT x S 1; Lời giải: Phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ 2x x 5 x 4x 4x x 2 20 x 25 5x 24 x 28 14 x 14 x x Vậy 14 S 5 Dạng Bất phƣơng trình f (x) g (x) (2) g (x) f (x) Đối với bất phƣơng trình dạng (2) ta đƣa giải hệ f (x) Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình x 4x x Lời giải: Bất phƣơng trình (3) x x x 1 g (x) (3) x 1 x 2 x 4x 4x (x Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho 1) 6x x ;1 3; x 1 x S 3 Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình 2(x 1) x Lời giải: Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng hệ sau 2(x 1) x x x x x 1 2(x 1) (x 1) x 2x f (x) x x x Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho Dạng Bất phƣơng trình g (x) S [ 1; ] (III) Đối với bất phƣơng trình dạng (3) đƣợc ta đƣa giải hai hệ g (x) f (x) g (x) (A) hệ Ví dụ 5: Giải bất phƣơng trình f (x) x 4x (B) g (x) x Lời giải: Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với hai hệ sau: x x 4x x (A) x *) Hệ (A) ta có x x 4x (x x x 3) (B) x *) Hệ (B) ta có 3 2x Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho 9 S x ;0 ; Ví dụ 6: Giải bất phƣơng trình x 4x 2x Lời giải: Bất phƣơng trình cho đƣợc viết lại x 4x (6) 2x Bất phƣơng trình (6) tƣơng đƣơng với hai hệ sau: x 4x 2x (A) x 4x x x (3 x) (B)  x * Giải hệ (A) ta đƣợc 2x * Giải hệ (B) ta đƣợc 3x Vậy tập nghiệm BPT cho S 2 2 x 8x x ; II MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP THƢỜNG VẬN DỤNG ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ TRONG THI THPT QUỐC GIA VÀ THI HỌC SINH GIỎI Phƣơng pháp 1: Nâng lũy thừa phép biến đổi tương đương để đưa phương trình, bất phương trình hệ Thuật toán chung: Bƣớc 1: Nhận dạng đặc điểm toán, nêu điều kiện xác định (ĐKXĐ) Bƣớc 2: Biến đổi để hai vế không âm, cần Bƣớc 3: Nâng lũy thừa (thƣờng bậc hai) hai vế để khử dần thức Bƣớc 4: Gộp điều kiện lại để đƣợc hệ gồm PT, BPT Bƣớc 5: Giải hệ thu đƣợc để từ xác định tập nghiệm tốn Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phƣơng trình 2(x 4) Lời giải: Điều kiện xác định: Ta có (1) 2(x 4) 2x 2x x 2x 2x (1) 2(x 4) 2x (2 x 3)( x ) 2x (2 x 3)( x ) 2x 2x 4(2 x x Ta có (1’) 3)( x ) 12 x (1’) 2 x) x 2 (5 44 x 25 x 25 x Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình 5x Lời giải: Điều kiện xác định: x Vậy, tập nghiệm S 4x (2) x x Ta có (2) 5x 4x x 4x x (2’), x 8x 8x , BPT (2’) ln thỏa mãn Vậy, tập nghiệm cần tìm S [ ; ) Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình x Lời giải: Điều kiện xác định: x 2x 3x (3) 3 x Ta có (3) x (3’) x 2x 2x 2x x 5x 5x 3 x x 3 (3 x) x 2x x 3 x 2 x 3 Tập nghiệm bất phƣơng trình S ;2 x x x 2 5x 3 x (3’) 2 Ví dụ 4: Giải phƣơng trình x Lời giải: Điều kiện: x x 2 x x x x 2x x 2x x 3x x x 3x (4) Bình phƣơng hai vế phƣơng trình cho ta đƣợc (x x) (x 2 x) x x x 2x x 6x 4(x x 2 2 x) (6 x x ) 3x x x )( x x 3x Vậy, tập nghiệm phƣơng trình x x S x 28 0; x x 2x 6x x 2 21 21 2(x Ví dụ 5: Giải bất phƣơng trình x Lời giải: Điều kiện: 16 x 16) x x x x 3 x 0 Biến đổi bất phƣơng trình dạng 2x 10 2(x x 16) 2x 10 2(x 2 2(x 16) 10 2x (5’) x Bất phƣơng trình (5’) (5) x 16) 2x) (1 10 Vậy, tập nghiệm bất phƣơng trình cho là: 3x Ví dụ 6: Giải bất phƣơng trình x S x 34 10 x 10 (6.2) 34 34 ; (6) x 3x Lời giải: Điều kiện: x x x ,x Ta xét theo hai trƣờng hợp sau: Trƣờng hợp 1: x , (6) 3x x 2x (6.1) 2x Ta có (6.1) 3x 3x Trƣờng hợp 2: 2 x x x x (2 x 2) 7x 9x 2x , bất phƣơng trình (6) Bất phƣơng trình (6.2) ln ln (vì x x 3x Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho là: S x [ x 1; ) 2x ) (0; ] Nhận xét: Đối với bất phương trình có chứa ẩn mẫu thức, ta chia miền xác định toán để xét Phƣơng pháp 2: Dùng ẩn phụ để đưa phương trình, hệ phương trình bất phương trình đơn giản Thuật toán chung: Bƣớc Đặt t f ( x ) (hoặc t a f ( x ) b g ( x ) ) , với f ( x ) , x a, b, số Nêu điều kiện cho t (nếu cần) g ( x ) , biểu thức Bƣớc Đƣa tốn phƣơng trình, bất phƣơng trình ẩn t Giải tốn theo t Bƣớc Với giá trị nghiệm thỏa mãn, thay trở lại để tìm x Kết luận tập nghiệm Các trƣờng hợp thƣờng gặp cách đặt ẩn phụ: Loại 1: Trong phƣơng trình, bất phƣơng trình có chứa: * Trong trường hợp ta thường đặt Ví dụ 1: Giải phƣơng trình Lời giải: Đặt t t t 2x t 4x t 2x Vì t t 2x 2 2x x 4x nên ta chọn f (x) f (x) ) , Phƣơng trình trở thành t 2x 5x 28 4x 1 2x 4x Giải phƣơng trình ta đƣợc x 0, x Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình Lời giải: Đặt t 4x (t t f (x) 5t 24 t x 5x t Vì x (t 28 x ) t t x nên ta có Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S x t 5x 28 x Bất phƣơng trình trở thành 5x 36 x ( 9; ) Loại 2: Phƣơng trình, bất phƣơng trình cho biến đổi dạng A f (x) g (x) B f ( x ).g ( x ) C h ( x ) Trong đó: A, B, C số, 2(x Lời giải: Điều kiện xác định: 1) ( x x  Phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2(x Đặt t x (t )(t x 2 x (t 3) t Đặt 2x t 2 Do x x (3 2) x x t t 2 t 12 x x x x ) [5 2x x nên ta chọn C h ( x ) (x 2t 2 x x (5 x 2 )] x 2 x t t )t 2t x 2 5t x x (với t f ( x ).g ( x ) biến đổi đưa phương trình, g (x) x t ), phƣơng trình trở thành 12 t t B biểu thức x f (x) g (x) Lời giải: Điều kiện xác định: t 2) f (x) (vì t ) từ ta đƣợc x Vậy, tập nghiệm phƣơng trình S ;1 1) ( t x t ) Phƣơng trình trở thành Ví dụ 4: Giải phƣơng trình t A f ( x ), g ( x ), h ( x ) * Trong trường hợp ta thường đặt bất phương trình ẩn t Ví dụ 3: Giải phƣơng trình (hoặc t 2x x x 2x x Ví dụ 5: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện xác định Đặt t x 2 x t phƣơng trình trở thành * t x 2 3t x x x t 4 x 10 x 2 t x 4 4x x 10 3x x 10 3t t t x x (thỏa mãn điều kiện) * t 12 2 x x 5x x x 2 ( PT vô nghiệm 15 x x Vậy tập nghiệm phƣơng trình cho 2 x VP 12 x 4(2 5x 15 VT ) x) S Loại 3: Sử dụng kỹ thuật nhân, chia cho đại lƣợng (khác 0) để xuất ẩn phụ Ví dụ 6: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện *Xét x x x 11 x Đặt t x *Xét x x 11x x x x 1 x ta đƣợc phƣơng trình x x x (t khơng thỏa mãn phƣơng trình , chia hai vế phƣơng trình cho x x 11 x ), phƣơng trình trở thành t 12 t t 12 t x t x t 12 t (6 5x t) t t x x t x x x x 3 x * Xét x x 4x t x Đặt t x x S 1; x (t ta đƣợc x ), bất phƣơng trình trở thành x t x : thỏa mãn bất phƣơng trình 3 t t t Với Vậy tập nghiệm phƣơng trình cho x x , chia hai vế bất phƣơng trình cho x t x Ví dụ 7: Giải bất phƣơng trình * Xét t Lời giải: Điều kiện Với x x 2 x t 2 x Giải ta đƣợc t t x 10 Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình cho S [0; ] 4; Ví dụ 8: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x 2x 6x 2(x Chia hai vế phƣơng trình cho x 2(x (x thành 2) 2x 2t 2(x 4) 2 (x 3t 2) 2x 2 2x 2x Đặt 4) Do t 2) 2 2x (x (t x x 2x x x (x x 1) 2(x 1) x 2x 6x x t x Do t (x (t x 1) ( x (x 1) 3 x x x 1) x 20 9x 13 x 13 3( x 1) x t x x x x x x(x 2 x x 1) x x 20 x x x(x x Do t 0 x 3t 2t 1 t 2) t S x (t 8x 10 5x 20) 5x x 4x x(x ta đƣợc 2 6;4 4x x 20) x(x 2) x t x 6 Bình phƣơng hai vế ta đƣợc Chia hai vế bất phƣơng trình cho Đặt x 2 Vậy, tập nghiệm BPT Lời giải: Điều kiện 3 Ví dụ 10: Giải bất phƣơng trình x x nên ta chọn ), phƣơng trình trở ), bất phƣơng trình trở thành 0 (x Đặt 4) Bất phƣơng trình đƣợc biến đổi thành 2 x Ví dụ 9: Giải bất phƣơng trình Lời giải: Điều kiện 2x 2 2 t 2 )( x nên ta chọn ta đƣợc x t x t 2(x 4) t x Phƣơng trình đƣợc biến đổi thành x(x 2) x(x 2) ), bất phƣơng trình trở thành x 2t 3t 2(x 1) 2 t t nên ta chọn x(x t 2) x x 6x x 13 x S 13; 13 Kết hợp điều kiện xác định ta suy tập nghiệm BPT 11 Loại 4: Sử dụng hai ẩn phụ để chuyển hệ đơn giản Ví dụ 11: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x 3x Đặt 3x 2x u, 1 2x với v u 0, v u 2u 2u 3x v 2 , v 3v 2x v 2u 10u 2u 3v 2 12u Khi ta thu đƣợc hệ u v Do điều kiện u, v nên ta chọn Ví dụ 12: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x 4x 1/5 v u v /5 3x Đặt u (1 x )( x 4x 2x 5) u, (3 2uv) x x u 0, v x với v u v (u Khi ta thu đƣợc hệ v) 4x *uv 4x 5 x uv uv 4u v u *uv v 2uv u x / x x 16 x Ví dụ 13: Giải phƣơng trình 5x 2 16 x v 12uv uv uv 2uv \ 11 4x (VN) Vậy, tập nghiệm S 1; /4 Lời giải: Điều kiện x Đặt 5x Ta đƣợc hệ 5y Vì x 0, y 2 5x 4y 4x y (y ) 5y 2 4x (x 5y 4x y )(5 x , 5y x 4) y 5x x y 4x 5x 5y (VN) Vậy, tốn vơ nghiệm Phƣơng pháp 3: Nhóm nhân tử chung để đưa dạng tích Thuật toán chung: 1) Nêu điều kiện xác định điều kiện nghiệm, có 2) Nhận dạng biểu thức xuất toán để ghép thành cặp cho xuất nhân tử chung 3) Biến đổi để đƣa phƣơng trình, bất phƣơng trình có dạng tích 4) Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình thu đƣợc từ kết Lấy nghiệm toán 12 Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x BPT tƣơng đƣơng với ( x )( x Hệ (A) x 7 10 x 3)( x 7) x x Hệ (B) S Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 3x 1( x 2x) x x x x x x 3; x x 2; (B) 2x x 2x 2x Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với x x x Tập nghiệm bất phƣơng trình x (A) Lời giải: Điều kiện 21 x x x (x 3) x ( x (3 2x) x )( x ( x 1) 2x x x )( x(x 1) 1) x x x Từ suy nghiệm phƣơng trình x Ví dụ 3: Giải phƣơng trình 4x 8x Lời giải: Điều kiện x 3/ 2 Phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2x 4x 6x 2 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1 2x 2x 2x 2 Giải phƣơng trình dạng ta tìm đƣợc x 21 2x 2x 2x 2x , x 17 Phƣơng pháp 4: Nhân chia với biểu thức liên hợp 1.Thuật toán chung: Bƣớc Nhận dạng đặc điểm toán Nêu điều kiện xác định điều kiện nghiệm, có Bƣớc Nhân hai vế phƣơng trình, bất phƣơng trình với biểu thức liên hợp tƣơng ứng, từ biến đổi làm xuất nhân tử chung chúng Bƣớc Đƣa phƣơng trình, bất phƣơng trình dạng đơn giản Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình Lấy nghiệm tốn 13 Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x x 1 4x 3x Phƣơng trình tƣơng đƣơng với (4 x 1) 3x x (2 x 1) ( x 2x 1) 3x (2 x 1) ( x 1 ) 3x x 2x (do 2x 1 3x Vậy, nghiệm phƣơng trình x x x x ) Ví dụ 2: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x 2x x 2x x Phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 2x 3 x 2(x 3) (x 3)( x 2x 2) x (1) 2x (2) Do x 2x 3 1 2x (2) vơ nghiệm x Vậy, phƣơng trình cho có nghiệm x = 2x Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình (3 Lời giải: Điều kiện x ,x 2x 9) x 21 Nhân, chia vế trái BPT với 2x ta đƣợc 2 x (3 2x (9 (2 x 9) x 21 9) 2x x 21 2x x 2 Kết hợp điều kiện xác định ta suy tập nghiệm BPT S ;0 0; Ví dụ 4: Giải bất phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x 4(x 1) (2 x ) (1 Nhân hai vế BPT với 2x) 2 2x ta đƣợc 4(x 1) (1 4(x 1) (1 2x) 2x) (2 x ) (1 (2 x )( 2 x ) (1 x) x (1 x x 2x) x 2x) (2 x Kết hợp điều kiện xác định ta suy tập nghiệm 10) 2x 3 S ; 1; 14 Ví dụ 5: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x x x Xét hàm x x f (2) x 2x 5x x 1) 1) ( (x 1) (x có x 1) (2 x x 1) (*) 1 f '( x ) Mặt khác 3)( x 3) x 1 x 1 ( 3)( x f (x) x f (x) (x Phƣơng trình tƣơng đƣơng với x g (x) 2x x 2( x 1) hàm đồng biến nên x( g (x) x 2) g (2) Do phƣơng trình (*) có nghiệm x = Phƣơng pháp 5: Dùng tính chất đơn điệu hàm số để rút phương trình hay bất phương trình đơn giản từ phương trình, bất phương trình cho Cơ sở lí thuyết: Định lí 1: Nếu hàm số f ln đồng biến (hoặc ln nghịch biến) liên tục tập D phƣơng trình f ( x ) c (c số) có khơng q nghiệm tập hợp D Định lí 2: Nếu hàm số f ln đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục tập D phƣơng trình f ( u ( x ) ) f ( v ( x ) ) tƣơng đƣơng với phƣơng trình u ( x ) v ( x ) D Định lí 3: Nếu hàm số f ln đồng biến liên tục tập D bất phƣơng trình f (u ( x )) f ( v ( x ) ) tƣơng đƣơng với phƣơng trình u ( x ) v ( x ) D Định lí 4: Nếu hàm số f ln nghịch biến liên tục tập D bất phƣơng trình f (u ( x )) f ( v ( x ) ) tƣơng đƣơng với phƣơng trình u ( x ) v ( x ) D Thuật toán chung: Bước 1: Nhận dạng toán, nêu điều kiện xác định điều kiện nghiệm, có Bước 2: Biến đổi phƣơng trình (hoặc bất phƣơng trình) dạng f (u ) f ( v ) ) với u v ( x ) biểu thức x u(x) , v Bước 3: Xét tính chất hàm y Bước 4: Từ tính chất hàm tƣơng đƣơng f (t ) f (u ) f (v ) (hoặc miền xác định ta suy phƣơng trình (hoặc bất phƣơng trình) f Bước 5: Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình thu đƣợc để xác định tập nghiệm Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x 1/3 x 3x 4x (3 x 2) 3x ( 3x 1) (1) Phƣơng trình tƣơng đƣơng với (x 1) (x 1) 3x (1’) 15 Xét hàm số f ( t ) t t với t  , ta có f '( t ) t biến R, phƣơng trình (1’) tƣơng đƣơng với x x 3x x 3x x Lời giải: Điều kiện Xét hàm số f (t ) t x BPT cho có dạng 8x 2x Khi với t f (2 x) (2) f ( x x (x 2) (2 x) , ta có  t x Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình 3t x x 1 (2) ( f (x 2x (x 1) 3x x 1) (2’)  t 2x f ( 1) nên suy hàm số đồng  t x 2x f '( t ) 1) x 0 x x 4x Giải hệ kết hợp điều kiện xác định ta suy tập nghiệm 4x S x 17 ; Ví dụ 3: Giải bất phƣơng trình Lời giải: Điều kiện (x 1) ( x 2x Xét hàm số f (t ) 1) 4x t t 1) x 2x 4x x x Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với  x (x t x 2 với (x 2x (x , ta có  t 1) ( 1) f '( t ) (x t 1) 2x 4x t t hàm đồng biến, BPT tƣơng đƣơng với Vậy, tập nghiệm BPT S Ví dụ 4: Giải phƣơng trình 8x Lời giải: Điều kiện 36 x 1) f (2 x) 3x Phƣơng trình tƣơng đƣơng với 53x 25 (2 x 3) (2 x 3) ( (x 3 ) (8 x 2x 3 36 x 51x x 20 x 1) 3x t 2  f 2x x (3) 3x 5) 8x 2x Xét hàm số f ( t ) t t với t  Ta có f '( t ) t R, phƣơng trình (3) tƣơng đƣơng với f ( x 2x x  x ; f (x 8x 22 x 20 x 3) f ( suy hàm số đồng biến  t 2x 3) 2 11 x Ví dụ 5: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x 2x 4 x Bình phƣơng hai vế phƣơng trình ta đƣợc 9x 16 2x 16 (4) 9x 8x 32 16 4( x 8) 16 2x x x 16 Xét hàm số f (t ) 4t 2 x t 2x ta có 1 2 với 16t x f '( t ) 8t 16 t biến miền xét, suy phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với hàm 2x f đồng x x 2x x x 9x x 2 32 x Ví dụ 6: Giải phƣơng trình x Lời giải: Điều kiện (x x )( x 4) 2x (x x (x 1) x 2) Xét hàm số x f (t ) 2x 2) x 2) 2 2) (t 1) ( x x x (( x )(t (x 2) Phƣơng trình tƣơng đƣơng với Phƣơng trình (*) tƣơng đƣơng (( x 2x (x 1) 4) )(( x với 2) x 1) 2) x x S 2; x (x 1) ( x f '( t ) 3t (* ) 2 2x 3) 4t x x Vậy, tập nghiệm PT 2) x PT tƣơng đƣơng với x 2x , ta có  t 2 2 x x  t 13 x 3x 17 Ví dụ 7: Giải bất phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x x x 2 Xét hàm số 3x f (t ) t x /3 t t 3x Ta có 3x x 2 với (6 ) (3 x t x 2)  9x x x 6x x x 2 3x (6) (3 x , ta có f '( t ) t t t hàm đồng biến, BPT tƣơng đƣơng với x 3x x (vì Vậy, tập nghiệm BPT x S /3 ).3 x f (x) f ( 3x 2) x 2 t (*)  f 3x nên hai vế BPT (*) dƣơng) 1; Phƣơng pháp 6: Sử dụng bảng biến thiên hàm số để biện luận tốn có chứa tham số 1.Thuật toán chung: Bƣớc 1: Nêu điều kiện xác định điều kiện nghiệm, có 17 Bƣớc 2: Cơ lập tham số vế phƣơng trình, bất phƣơng trình Bƣớc 3: Xét hàm số tƣơng ứng vế lại Lập bảng biến thiên hàm số vừa xét Bƣớc 4: Căn vào bảng biến thiên để qua xác định giá trị tham số cần tìm Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình sau x x x m a) Có nghiệm b) Có nghiệm c) có nghiệm phân biệt Giải : Tập xác định D= -7;3 , Xét hàm số f ( x ) x x x , ta có 2 f '( x ) 3( 21 x) , f’(x) = 4x x x= - (Loại) v x = 2 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x) x -7 f’(x) + 15 - f(x) -30 a) Phƣơng trình có nghiệm m in f ( x ) m - 30 m ax f ( x) ;3 10 m 15 ;3 b) Phƣơng trình có nghiệm - 30 m < 10 m = 15 c) Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt 10 m < 15 Ví dụ 2: Tìm m để bất phƣơng trình: m x x m có nghiệm Lời giải: Điều kiện: x Đặt t x ( t ), bất phƣơng trình trở thành m (t 3) m t m t Xét hàm t f (t ) t có t f '( t ) 2 (t Bảng biến thiên hàm f ( t ) t f’(t) 2t 2 2) , f '( t ) 0 t + Vì t nên t 2 3 f(t) Qua bảng biến thiên hàm số ta suy bất phƣơng trình cho có nghiệm m m a x f (t ) 0; Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình: Lời giải: Đặt h g x x x x 12 x x x g x 12 m 5 x x h x x x x x có nghiệm 12 x x x 18 Suy ra: g x tăng; h > giảm hay x h Suy f x có nghiệm m m m in f tăng f x f ; f g x h x tăng x x x ; m ax f ;4 15 ;1 ;4 Phƣơng pháp 7: Sử dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá Ví dụ 1: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x x 4x 2x (2 x 3) 3/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ta đƣợc x x x x x 2 Vậy, phƣơng trình có nghiệm Lời giải: Ta có 2(x Mặt khác ta lại có: 2(x Từ (1) (2) 2(x x x 1) 1) 1) x x BPT (1 x) x 2x kết hợp với phƣơng trình cho x nên x 1) x 2(x x (x x Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình: 2 1) 2(x 2( x) x 1) x Dấu x x (1) (2) x x x x (nhận) Ví dụ 3: Giải phƣơng trình Lời giải: Điều kiện x x x x 10 x 27 Áp dụng bất đẳng thức Cau chy ta có x x ; x VT Mặt khác: V P VT VP x 10 x x x 27 (x 5) x x Ví dụ 4: Giải phƣơng trình x x x Vậy, phƣơng trình có nghiệm 1 x x x 1 1( x x x ) ; (x 1) suy x , phƣơng trình xảy kh x x x x x 1 x x Áp dụng bất đẳng thức Cau chy ta có x 2 , phƣơng trình xảy x Lời giải: Điều kiện x x x x 1 x Giải kết hợp điều kiện xác định ta đƣợc x 19 PHẦN BA: KẾT LUẬN Kết đạt đƣợc Sau thời gian giảng dạy nhƣ thấy thu đƣợc kết khả quan: Đa số học sinh tiếp thu đƣợc kiến thức Nhiều kĩ giải tốn, trình bày toán, cách tiến hành số dạng tập nhƣ tập vận dụng nâng cao đƣợc học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải tốn, trình bày tốn, cách tiến hành số dạng nhƣ vận dụng nâng cao đƣợc học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải toán, trình bày tốn, cách tiến hành số dạng nhƣ vận dụng nâng cao đƣợc học sinh thực thành Tinh thần học tập em học sinh đƣợc nghiên cứu phần tăng lên đáng kể, em hứng thú việc tìm tịi, khám phá lời giải, đồng thời tạo động lực để thúc đẩy việc nghiên cứu tiếp thu phần kiến thức khác Kết học phần đƣợc nâng lên rõ rệt Trong thi kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 mơn Tốn, có nhiều em đạt kết điểm thi vào Đại học, Cao đẳng với điểm số cao Trên sở chuyên đề với đồng ý Ban giám hiệu nhà trƣờng, tổ chuyên môn ,tôi tiến hành thực nội dung chuyên đề nêu trên ba năm liên tục, lớp 12A3, 12A9, 12A10 (năm học 2013 - 2014), lớp 12A1, 12A5, 12A7 (năm học 2014 - 2015) lớp 12A3,12A5, 12A9 (năm học 2015 2016), (Tổng số học sinh bình quân 140), kết thu đƣợc kì thi thử THPT trƣờng với bảng số liệu sau: Số em tham gia Đạt điểm làm thi 5,0 Đạt từ 5,0 đến 6,5 Đạt từ 6,5 đến 7,5 Đạt từ 7,5 đến 8,5 Đạt 8,5 Thi lần 35 23 32 32 18 Thi lần 30 20 36 32 22 Thi lần 20 23 37 34 26 20 Bài học kinh nghiệm: Nắm vững chuyên mơn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả bao quát kiến thức, có tinh thần trách nhiệm công việc Trong công tác giảng dạy cần đổi phƣơng pháp dạy học, tìm phƣơng pháp phù hợp cho nội dung học Trƣớc lên lớp cần có nghiên cứu kĩ nội dung chƣơng trình, đặc biệt tình hình học sinh để đƣa học sát với khả học sinh, chọn lọc hệ thống tập phù hợp, có hƣớng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng đƣợc tốt Mặc dù tơi cố gắng hồn thiện viết cách cẩn thận nhất, song không tránh khỏi sai sót, mong cấp chuyên mơn đóng góp ý kiến bổ sung để chun đề ngày hồn thiện hữu ích Cũng mong đƣợc góp ý quý đồng nghiệp để chúng tơi có dịp đƣợc trau dồi tích lũy kiến thức nhằm hoàn thành tốt nhiệm vụ giáo dục đƣợc giao XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung ngƣời khác Lê Đức Trung 21 ... ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ TRONG THI THPT QUỐC GIA VÀ THI HỌC SINH GIỎI Phƣơng pháp 1: Nâng lũy thừa phép biến đổi tương đương để đưa phương trình, bất phương trình hệ Thuật... trình vô tỉ trƣờng THPT thƣờng gặp kỳ thi THPT Quốc Gia thi HSG IV PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG. .. giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia thi học sinh Giỏi” Tôi mong qua đề tài góp phần làm tăng thêm khả tƣ khoa học, khả thực hành, kỹ giải tốn phƣơng trình bất