Dạy giải phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan về phương pháp dạy học phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề PH&GQVĐ và thực trạng dạy học nội dung phương t

Dạy giải phương trình, bất phương trình vô tỉ

ở trường trung học phổ thông theo hướng phát

hiện và giải quyết vấn đề

Đỗ Thị Bích

Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán)

Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Hồng Minh

Năm bảo vệ: 2012

Abstract Trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan về

phương pháp dạy học (phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề) PH&GQVĐ và thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường (trung học phổ thông) THPT Nghiên cứu vận dụng phương pháp PH&GQVĐ trong dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu và đề xuất về dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng QH&GQVĐ Tiến hành thực nghiệm sư phạm kiểm chứng các phương pháp đã

được đề xuất

Keywords Phương pháp giảng dạy; Giải phương trình; Toán học; Bất phương trình

vô tỉ

Content

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển ngày càng nhanh và toàn diện trên tất cả các mặt khoa học, kinh tế, xã hội… con người đứng trước thách thức là phải làm sao có đủ năng lực để nhận thức và giải quyết các vấn đề này sinh trong thực tiễn một cách nhanh nhạy và linh hoạt Để làm được điều đó thì năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề (PH&GQVĐ) cần phải được hình thành và rèn luyện từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường

Trong đường lối xây dựng và phát triển đất nước, Đảng và Nhà nước ta rất quan tâm đến sự nghiệp giáo dục, coi sự nghiệp giáo dục là quốc sách hàng đầu Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai của BCH Trung ương Đảng khoá VIII đã chỉ rõ con đường đổi mới giáo dục và

đào tạo là: “Đổi mới mạnh mẽ các phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục một

chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học, phát triển phong trào tự học, tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân, nhất là thanh niên”

Tuy đạt được được nhiều thành quả trong lĩnh vực giáo dục và đào tạo trong thời kỳ đổi mới vừa qua, như hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học trong cả nước, nhưng việc đổi mới phương pháp giáo dục vẫn còn nhiều bất cập, tình trạng dạy học kiểu “thầy đọc, trò chép”; thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi nhớ một cách thụ động, máy móc; dạy nhồi nhét

“dạy kiểu luyện thi” vẫn thường xảy ra Vì vậy xảy ra tình trạng học trò chỉ tiếp thu kiến thức

do thầy giáo cung cấp một cách thụ động Trước tình hình đó, trong định hướng phát triển

giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX đã nhấn mạnh: “Tiếp

tục quán triệt quan điểm giáo dục là quốc sách hàng đầu và tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện trong phát triển giáo dục và đào tạo - Triển khai thực hiện hiệu quả Luật Giáo dục - Định hình qui mô giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào tạo, nhất là cơ cấu cấp học, ngành nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên các cấp”, “Tiếp tục đổi mới chương trình nội dung, phương pháp giảng dạy và phương thức đào tạo đội ngũ lao động có chất lượng cao, đặc biệt trong ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn, công nghệ cao”

Thực hiện theo đường lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây ngành Giáo dục

và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong đó dạy học PH&GQVĐ được đề cập và quan tâm như một biện pháp hữu hiệu để người học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo trong quá trình học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

Phát huy tính tích cực của học sinh là hướng đổi mới đã được nhiều nhà sư phạm nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ 60 của thế kỷ XX phương pháp này đã được Phạm Văn Hoàn rất quan tâm trong việc dạy học môn Toán Đặc biệt gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu áp dụng phương pháp dạy học này theo những phạm vi, chủ đề nội dung cho những đối tượng học sinh khác nhau Điển hình là công trình nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác giả khác Tuy nhiên ở trường trung học phổ thông hiện nay, việc vận dụng các phương pháp dạy học hiện đại để góp phần thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng vừa kể trên vào thực tiễn dạy học môn Toán còn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một cách cụ thể

Mặt khác môn toán là môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tư duy trìu tượng, rèn luyện cho học sinh năng lực PH&GQVĐ

Thực tế dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy học sinh còn rất khó khăn khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ chẳng hạn như: tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó…

Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải phương trình,

bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề ” cho bản luận văn thạc sĩ chuyên ngành Lí luận và phương pháp dạy học (bộ môn

Toán) của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH&GQVĐ để nâng cao chất lượng dạy học một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán THPT

3 Nhiệm nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ

- Thiết kế các bài toán nhằm vận dụng phương pháp dạy học PH& GQVĐ giúp học sinh phát hiện và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng toán

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài trong dạy học

4 Phạm vi nghiên cứu

Quá trình dạy học giải phương trình, bất phương trình vô tỉ cho học sinh ở trường THPT

5 Mẫu khảo sát

Lớp 12A1, 12A2 trường THPT Thịnh Long

6 Vấn đề nghiên cứu

Làm thế nào để áp dụng được phương pháp dạy học PH&GQVĐ vào dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán THPT

7 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lý luận của phương pháp dạy học PH&GQVĐ, thực tiễn dạy phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT nếu khai thác và vận dụng được quy trình dạy học PH&GQVĐ trong dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ thì sẽ phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập bộ môn Toán

ở trường THPT

8 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp và hẹ thống hoá các vấn đề lý luận, nghiên cứu, tìm hiểu, phân tích sách báo, tài liệu và các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu thực tiễn: điều tra quan sát tiến trình dạy nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT hiện nay

- Thực nghiệm sư phạm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1, cơ sở lý luận và thực tiễn, trình bày một số vấn đề tổng quan về phương pháp dạy học PH&GQVĐ và thực trạng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô

tỉ ở trường THPT

Chương 2, vận dụng phương pháp PH&GQVĐ trong dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình, trình bày nghiên cứu và đề xuất về dạy một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ theo hướng QH&GQVĐ

Chương 3, thực nghiệm sư phạm kiểm chứng các phương pháp đã được đề xuất

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.1 Lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học PH&GQVĐ ra đời cách đây hàng trăm năm nhưng dưới nhiều tên gọi khác nhau

Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phương pháp dạy học này được nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm rộng rãi ở nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thông Đặc biệt công trình nghiên cứu của Ôkôn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse ([31], [32], [36]) “Ở Việt Nam, trong thời kỳ này phương pháp dạy học cũng có những ảnh hưởng và tác động đáng kể tới quá trình đổi mới phương pháp dạy và học ở nhà trường phổ thông, bởi những công trình nghiên cứu của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([4], [5], [10], [20])

1.1.2 Những khái niệm cơ bản

a) Vấn đề

Một vấn đề (đối với người học) được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:

- Câu hỏi còn chưa được giải đáp (hoặc yêu cầu hành động còn chưa được thực hiện)

- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra ([19]) đồng thời, theo Ôkôn ([36]), trong mỗi vấn đề phải có cái chưa biết, cái

đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi mối liên hệ giữa các yếu tố chưa biết và đã biết đó

b) Tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi đối tượng hoạt động, điều chỉnh kiến thức sẵn có

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:

- Tồn tại một vấn đề

- Gợi nhu cầu nhận thức

- Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân

c) Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học PH&GQVĐ được hiểu là sự tổ chức quá trình dạy học bao gồm việc tạo ra tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học sinh nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức tự lực nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ và hình thành cho các em năng lực tự mình thông hiểu và lĩnh hội thông tin khoa học mới ([18], [31])

Như vậy theo Ôkôn quá trình dạy học này có thể bao gồm các hành động sau:

- Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề và đặt vấn đề để giải quyết vấn

đề

- Giúp đỡ học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề

- Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời giải để hệ thống hoá, củng cố những kiến thức đã tiếp thu được

Tương ứng với các bước hành động đó của giáo viên, hành động học tập cơ bản của học sinh là: phát hiện được vấn đề nảy sinh trong tình huống có vấn đề, học sinh độc lập giải quyết vấn đề dưới sự điều khiển của giáo viên, thực hiện sự liên tưởng nhớ lại liên kết chúng với nhau để củng cố các kiến thức đã học Mục đích cuối cùng là học sinh nắm vững được tri thức và học được cách thức “tự khám phá” tri thức

d) Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học PH&GQVĐ có các đặc trưng cơ bản sau:

- Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn

- Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức và khả năng của mình để PH&GQVĐ chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động

- Làm học sinh không những phát huy kỹ năng lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ học sinh còn được học bản thân việc học

e, Những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Nguyễn Bá Kim [17] đưa ra ba hình thức của dạy học PH&GQVĐ là:

- Tự nghiên cứu vấn đề

- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

- Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

a) Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) có thể phân chia quá trình dạy học PH&GQVĐ thành 4 bước như sau:

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy tạo ra, có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán

- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt

ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Bước 2: Tìm giải pháp

Tìm một cách giải quyết vấn đề Việc này thường được thực hiện theo sơ đồ dưới đây:

Bước 3: Trình bày giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề, và giải quyết nếu có thể

b) Kỹ thuật tạo tình huống gợi vấn đề

Để thực hiện dạy học PH&GQVĐ, điểm xuất phát là tạo ra tình huống gợi vấn đề Một số tình huống gợi vấn đề rất phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập Chẳng hạn, có thể tạo ra những tình huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng như sau:

(i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc…)

(ii) Lật ngược vấn đề

(iii) Xem xét sự tương tự

(iv) Khái quát hóa

(v) Giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải

(vi) Tìm các sai lầm trong lời giải

(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

c) Những ưu, nhược điểm của phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

Ưu điểm

Phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một phương pháp dạy học tích cực Nó phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Phương pháp dạy học này phù hợp với tư tưởng hiện đại về đổi mới mục tiêu và phương pháp dạy học cũng rất phù hợp với yêu cầu đổi mới của thực tiễn, là xây dựng những con người biết đặt và giải quyết vấn đề trong cuộc sống phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, những con người thực sự là động lực của phát triển bền vững và nhanh chóng của đất nước

Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Kết thúc

Giải pháp

S

Đ

Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể kết hợp với nhiều hình thức tổ chức lớp học một cách đa dạng và phong phú lôi cuốn học sinh tham gia cùng tập thể, động não, tranh luận, dưới sự dẫn dắt gợi mở của giáo viên như thảo luận nhóm, báo cáo và trình bày

Nhược điểm

Phương pháp dạy học PH&GQVĐ còn nhiều hạn chế về mặt khách quan về thời gian, giáo viên và học sinh

- Thời gian: Dạy học PH&GQVĐ tốn nhiều thời gian ở trên lớp và ở nhà, đòi hỏi giáo viên và học sinh phải kiên trì và nỗ lực không ngừng

- Giáo viên phải có trình độ cũng như xử lý các tình huống sư phạm linh hoạt

- Học sinh: Phải có trình độ tư duy nhất định

d, Những điểm cần chú ý khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

Khi vận dụng phương pháp PH&GQVĐ cần chú ý những điểm sau: - Yêu cầu giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức công phu (bởi vì, để đạt được kết quả cao của phương pháp dạy học này, giáo viên phải chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều bài toán, nhiều tình huống có vấn đề… cho nhiều đối tượng học sinh)

- Khi tiến hành dạy học ở những lớp có số học sinh đông, tạo tình huống có vấn đề một cách thật khéo léo; nếu không thì sẽ có nguy cơ bị bỏ rơi một số lượng lớn học sinh

1.1.4 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay

a) Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán

Việc vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong môn Toán, theo Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [10] có nghĩa là phải tổ chức việc dạy học toán sao cho các em luôn đứng trước những tình huống có vấn đề mang tính chất toán học phải giải quyết, phải luôn luôn tìm tòi và phát hiện ra vấn đề sáng tạo và những con đường để giải quyết những vấn đề

đó (tự rút ra công thức tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần kiến thức cần lĩnh hội tự tìm ra thuật toán giải bài toán điển hình, tự tìm ra cách giải hay và gọn những bài toán lí thuyết hay thực hành…) Kết quả là học sinh lĩnh hội được kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự khám phá

Khi vận dụng dạy học PH&GQVĐ trong môn Toán cần phải chú ý hình thành và rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tổng quát hoá

Khi dạy theo phương pháp PH&GQVĐ cũng cần chú ý vận dụng quan điểm “dạy học toán là dạy các hoạt động toán học”

b) Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Như đã trình bày ở trên với tư tưởng chủ đạo và cũng là mục đích của quá trình dạy học

là tích cực hoá hoạt động học tập của người học, khi tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tự tìm hiểu, tự PH&GQVĐ trên cơ sở là họ phải tự giác và được tự do, được tạo khả năng và được tạo điều kiện chủ động trong hoạt động đó

Đồng thời, khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy học cần phải tham khảo các chọn lọc kinh nghiệm của thế giới đặc, biệt là phải bám sát các hướng đổi mới của họ Chẳng hạn như thực hiện các phương pháp đổi mới dạy học sau:

- Dạy học PH&GQVĐ

- Dạy học hợp tác

- Dạy học sử dụng phiếu học tập

- Dạy học theo tư tưởng của lý thuyết kiến tạo

- Dạy học với máy tính điện tử nói riêng và dạy học có tính áp dụng các thành tựu của công nghề tin học nói chung

Dạy học PH&GQVĐ có khả năng góp phần tích cực thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng kể trên Sử dụng phương pháp dạy học này không đòi hỏi phải có sự thay đổi lớn về cơ chế trường lớp, bài học, cơ sở vật chất hay trình độ giáo viên hiện nay

Phương pháp dạy học này cũng tỏ ra phù hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể trong dạy học toán

Vì vậy, có thể coi phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một trong những hướng quan trọng để đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay

1.2 Dạy học nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ ở trường THPT

Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán THPT

- Ở THCS học sinh đã được biết đến khái niệm căn thức, một số phương trình vô tỉ đơn giản

- Ở THPT: Ở lớp 10 học sinh được học các phương trình, bất phương

trình vô tỉ dạng f x    g x   , f x    g x   , f x    g x   và các

phương trình, bất phương trình chứa căn quy về bậc hai Nhưng ở lớp 10 học sinh chỉ giải được các phương trình, bất phương trình đó bằng phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả, điều kiện cần và đủ Đến lớp 11 và 12, nhờ có có công cụ lượng giác, đạo hàm, hình học, tính liên tục, đơn điệu của hàm số, sử dụng các định lý Roll, Lagrange,…làm cho các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ đa dạng và phong phú hơn

CHƯƠNG 2 DẠY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Định hướng chung

Chương này trình bày một số phương pháp dạy học giải phương trình, bất phương trình

vô tỉ theo hướng PH&GQVĐ Trong từng chủ đề việc PH&GQVĐ được gợi mở nảy sinh, bổ sung theo trình tự phát triển của các tình huống khai thác bài toán Trong mỗi chủ đề, phương pháp dạy học được xây dựng theo các bước:

- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề: trước hết chúng tôi lựa chọn và đưa ra tình huống có vấn

đề, sau đó hướng dẫn học sinh từng bước giải quyết vấn đề

- Đề xuất và trình bày giải pháp: Từ những tình huống đã nêu giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện và đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu sâu giải pháp: gợi ra một số vấn đề liên quan khác bằng cách: từ mồt số ví

dụ, một số dạng toán liên quan yêu cầu học sinh khái quát hoá đề xuất phương pháp giải quyết từng dạng toán đó cũng có khi là củng cố cách giải quyết vấn đề đã nêu

- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng: các bài tập ở đây giúp học sinh tự luyện tập, vận dụng theo cách giải quyết vấn đề đã có ở trên đồng thời PH&GQVĐ mới nảy sinh

Trong quá trình xây dựng và lựa chọn bài tập chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu tham khảo, một số vấn đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhưng phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, rèn cho học sinh kĩ năng phát hiện vận dụng phương pháp giải quyết vấn đề Qua đó học sinh dần hình thành và phát triển kĩ năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề, củng cố kiến thức rèn luyện kĩ năng giải toán

2.2 Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương nhằm đưa các phương trình, bất phương trình về các dạng tương tự, nhưng đơn giản hơn và dễ giải được Khi sử dụng phương pháp này học sinh cần phải được rèn luyện kĩ năng nhận dạng và thực hiện được các phép biến đổi tương đương, đồng thời củng cố kiến thức về các tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức tương đương, điều kiện để hai phương trình, bất phương trình tương đương và cách giải phương trình tương đương

Cách giải một số dạng phương trình, bất phương trình bằng phương pháp biến đổi tương

đương:

1, f x ( )  g x ( )  ( ) ( )

( ) 0.

f x g x

g x





 



2, f x ( )  g x ( )  ( ) 2( )

( ) 0.

f x g x

g x

 







3, f x ( )  g x ( )  ( ) 0

( ) ( ).

g x

f x g x





 



4, f x ( )  g x ( ), 

2

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ).

f x

g x

g x

f x g x

  







  









5, f x ( )  g x ( )

2

( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ).

f x

g x

f x g x

 



  

 



6,3 f x ( )  3 g x ( )  3 h x ( )

Thay 3 f x ( )  3 g x ( )  3 h x ( )

Ta được phương trình

3

( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )

f x  g x  f x g x h x  h x (*)

Chú ý:

- Phương trình (*) là phương trình hệ quả giải xong (*) nhớ kiểm tra lại xem có thoả mãn hay không

- Học sinh áp dụng tương tự cho trường hợp dấu   , đối với bất phương trình

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Có nhiều trường hợp khi giải phương trình, bất phương trình vô tỉ mà biến đổi tương đương ta sẽ ra một phương trình, bất phương trình phức tạp, có thể là bậc quá cao,…Khi đó

ta có thể sử dụng phươngpháp đặt ẩn phụ nhằm đưa các phương trình, bất phương trình về phương trình, bất phương trình đơn giản và dễ dàng giải quyết hơn Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này:

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ

Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ, giải phương trình vừa tạo ra, đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thích hợp

Bước 3: Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm Phương pháp dạy học PH&GQVĐ có thể được áp dụng một cách hiệu quả trong nội dung dạy học này

2.3.1.Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình, bất phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 1: Phương trình dạng Af x ( )+ B f x ( )   C 0, đặt f x ( )  t t (  0) (điều kiện tối thiểu của t) đưa phương trình về dạng At2  Bt   C 0

Dạng 2: Nếu phương trình có chứa f x ( )  g x ( ), f x ( ) g x ( )

ta đặt f x ( )  g x ( )  t  f x ( ) g x ( )=t2   k h x ( )(trong đó k const) rồi đưa phương trình về dạng 2

0

At  Bt   C Dạng 3: Nếu phương trình có chứa dạng

ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c

đặt 2

ax  bx  t (hoặc ax2  bx   c1 t) được phương trình t  c1; t  c2; t  c3 Dạng 4: Phương trình dạng a fn 2( ) x  b g xn 2( )  c f x g xn ( ) ( )

xét f x ( )  0,

nếu f x ( )  0 chia cả hai vế chon f2( ) x rồi đặt ( )

( )

n g x

t

f x  đưa phương trình về dạng

2

0

At  Bt   C

Chú ý: Đối với phương trình, bất phương trình căn chứa tham số khi đặt ẩn phụ nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ có thể sử dụng định lí, đạo hàm, bất đẳng thức, dấu tam thức bậc hai…

2.3.2.Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để

Cách giải phương trình dạng af x ( )  g x ( ) f x ( )  h x ( )  0

Đặt f x ( )  t đưa phương trình về ẩn t: at2  g x t ( )  h x ( )  0

Giải phương trình ẩn t xem x như là tham số (phương trình chứa cả x và t nên gọi dạng này là đặt ẩn phụ không triệt để)

2.3.3.Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

- Dạng 1: Cách giải phương trình dạng F f x ( ( ),n f x ( )  a ,mb  f x ( ))  c

Đặt n f x ( )   a u và mb  f x ( )  v

Ta đựơc hệ phương trình ( , )

n m

f u v c







  

 Giải hệ được u v , từ đó tìm được x

Chú ý: Chỉ cần tìm x bằng cách giải một trong hai phương trình

( )

n f x   a u hoặc mb  f x ( )  v

- Dạng 2: Cách giải phương trình dạng ( ( )) f x n   b a n af x ( )  b

Đặt t  f x y ( ),  n af x ( )  b ta được hệ

.

n

n

t b ay

y b at

  





 



2.4 Phương pháp lượng giác hoá

Đối với một số phương trình chứa căn thức, ta có thể chuyển chúng sang bài toán lượng giác mà ta gọi là phương pháp lượng giác hoá Việc lượng giác hoá một bài toán làm cho việc giải bài toán đó trở nên đơn giản hơn

- Dạng 1: Nếu phương trình, bất phương trình chứa a2  x2 ,x    a a ; 

Thì ta có thể đặt x  ac t os (0   t  ) hoặc sin , ;

x  a t t     

   

- Dạng 1: Nếu bài toán có chứa x2  a2 thì có thể đặt

 

a

t

 



    

c



 

- Dạng 1: Tuỳ vào mỗi phương trình có chứa các biểu thức:

2

1 x  tương ứng với 2 12

1 tan

os

t

c t

sin

t

t

3

4 x  3 x tương ứng với công thức 4 os c 3t  3 os = cos3 c t t

2

2

2

x





  mà chọn các biến đặt sao cho thích hợp Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp lượng giác hoá gồm:

B1: Tìm điều kiện của x  D (nếu cần)

B2: Đặt x   ( ) t chuyển điều kiện của xvề điều kiện tương ứng của tD1

B3: Chuyển phương trình, bất phương trình về phương trình bất trình lượng giác mới B4: Giải phương trình bất phương trình lưọng giác mới thu được

B5: Quay về bài toán đại số ban đầu

2.5 Phương pháp hàm số

Để giải một số phương trình, bất phương trình vô tỉ ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng cách sử dụng đạo hàm và các tính chất của hàm số làm cho cách giải bài toán trở nên đơn giản hơn

Một số cách giải phương trình, bất phương trình dựa vào tính chất của hàm số:

- Dạng 1: Hàm số y  f x ( )xác định trên D  R và đơn điệu trên D

Giả sử   x0 D f x : ( )0  m thì phương trình f x ( )0  m có nghiệm duy nhất x  x0

- Dạng 2: Nếu y  f x ( )xác định, liên tục và đơn điệu trên D  R thì phương trình

( ) ( )

f x  f t   x t

- Dạng 3: Cho y  f x ( ) và y  g x ( ) là hai hàm số xác định trên D  Rvà biến thiên ngược nhau trên đó

Giả sử   x0 D f x : ( )0  g x ( ),0 thì phương trình f x ( )  g x ( ) có nghiệm duy nhất

0

x  x

- Dạng 4: Nếu f đồng biến trên D  Df ( Df là tập xác định của f ) thì trên D ta có





    

     

    

    