Phát triển tư duy hàm cho học sinh qua các bài toán về phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Người thực hiện: Trần Thanh Minh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ, NĂM 2016 MỤC LỤC Nội dung I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích đề tài Đối tượng, phạm vi Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các mệnh đề tính chất thường dùng Các dạng toán cụ thể Dạng Các toán sử dụng hàm số đại diện Dạng 2: Các toán áp dụng trực tiếp đạo hàm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Hiệu sáng kiến III KẾT LUẬN Trang 12 13 TÊN ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, chuyên đề phương trình chiếm lượng lớn chương trình toán học phổ thông Tuy nhiên, số tập có lượng lớn tập mà ta giải phương pháp thông thường, giải gặp nhiều khó khăn phức tạp Nhưng ta biết phương trình hàm số có mối liên hệ chặt chẻ với nhau, định nghĩa phương trình người ta dựa khái niệm hàm số, nên biết sử dụng kiến thức hàm số để giải toán phương trình lời giải nhanh gọn đơn giản nhiều Tuy nhiên, toán sử dụng hàm số để giải, ứng dụng đạo hàm hàm số để giải phương trình, hệ phương trình…, lớn Chính chọn đề tài “ Phát triển tư hàm cho học sinh qua toán phương trình vô tỉ” nhằm giúp em học sinh có thêm phương pháp khi giải toán phương trình vô tỉ Mục đích yêu cầu - Trang bị cho học sinh thêm phương pháp giải phương trình vô tỉ mang lại hiệu cao - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo giải toán Đối tượng nghiên cứu - Các dạng toán phương trình vô tỉ chương trình toán học phổ thông - Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải Phương pháp nghiên cứu Phương pháp chung dạng tập này: Sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các mệnh đề tính chất thường dùng a) Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng ( a; b ) Nếu hàm số y = f ( x) đơn điệu khoảng ( a; b ) phương trình f ( x) = , có nghiệm khoảng ( a; b ) nghiệm b) Cho hàm số y = f ( x) đơn điệu khoảng ( a; b ) , ∀x1; x2 ∈ ( a; b ) Ta có f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇔ x1 = x2 c) Cho phương trình f ( x) = g ( x) xác định khoảng ( a; b ) Nếu hai hàm số f ( x) g ( x) hàm đơn điệu khoảng ( a; b ) , hàm lại hàm số đơn điệu ngược lại với hàm khoảng ( a; b ) , phương trình có nghiệm nghiệm Các dạng toán cụ thể Dạng Các toán sử dụng hàm số đại diện Phương trình cho biến đổi dạng f (u ) = f (v) u = u ( x ) , v = v ( x) Bước 1: Biến đổi phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f (t ) D (với t biến đại diện cho u, v D chứa tập giá trị hàm số u = u ( x); v = v( x) ) - Tính y ' Xét dấu y ' - Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) D Bước 3: Kết luận - Phương trình cho có nghiệm u = v , giải phương trình u = v - Kết luận nghiệm phương trình cho Các ví dụ cụ thể: Ví dụ Giải phương trình: (4 x + 1) x + ( x − 3) − x = (1) Giải: Điều kiện xác định phương trình x ≤ 5  Tập xác định: D =  −∞;   2 (1) ⇔ (2 x)3 + x = ( − x ) + − x (2) Xét hàm số f (t ) = t + t , t ∈ R ; f '(t ) = 3t + > 0; ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến R x ≥ (2) ⇔ f (2 x) = f ( − x ) ⇔ x = − x ⇔  4 x + x − = −1 + 21 Vậy nghiệm phương trình x = ) ( ⇔x= ( −1 + 21 ) 2 Ví dụ Giải phương trình: ( x + 1) + x + x + + x + x + = (1) Giải: Tập xác định: D = R ( ) ( ) (1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) + = ( −3 x ) + ( −3x ) + (2) ( ) 2 Xét hàm số f (t ) = t + t + D = R t2 Đạo hàm f '(t ) = + t + + t2 + > 0, ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến D = R Phương trình (2) ⇔ f (2 x + 1) = f (−3x) ⇔ x + = −3 x ⇔ x = − Vậy nghiệm phương trình (1) x = − 5 Ví dụ Giải phương trình: x3 + 3x + x + = ( 3x + ) 3x + (1) Giải: Điều kiện xác định x ≥ −   Tập xác định: D =  − ; +∞ ÷   (1) ⇔ ( x + 1)3 + x + = ( 3x + ) + 3x + (2) Xét hàm số f (t ) = t + t , t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến R x = x =1 Để (2) xảy f ( x + 1) = f ( 3x + 1) ⇔ x + = 3x + ⇔  x = Vậy nghiệm phương trình  x = Ví dụ Giải phương trình: x + x + 17 x + = 2( x + 4) x + Giải : Tập xác định : D = R Phương trình ⇔ ( x + 2) + ( x + 2) + ( x + 2) = ( x + ) x + + ( x + ) + x + Xét hàm số f (t ) = t + t + t , t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t ) hàm số đồng biến R Phương trình có dạng  x ≥ −2 x = ⇔ ⇔ x = x − 4x + = f ( x + 2) = f ( ) 2x + ⇔ x + = 2x + x = Vậy nghiệm phương trình  x = Ví dụ Giải phương trình: x + x − x ( + x − ) + x − + = (1) Giải: Điều kiện xác định x ≥   Tập xác định: D =  ; +∞ ÷ 6  (1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x − ) + ( x − ) 3 (2) Xét hàm số f (t ) = 2t + 3t , t ≥ Đạo hàm f '(t ) = 6t + 6t ≥ 0, ∀t ≥ ( f '(t ) = có nghiệm [ 0; +∞ ) ) Vậy hàm số f (t ) đồng biến nửa khoảng [ 0; +∞ ) (2) ⇔ f ( x + 1) = f ( x − 1) ⇔ x − = x + ⇔ x = ± Vậy nghiệm phương trình x = ± 2 Ví dụ Giải pgương trình: x x − = ( x − 3) ( x − ) + x − (1) Giải: Điều kiện xác định x ≥ Tập xác định: D = [ 1; +∞ ) (1) ⇔ ( x − ) + ( x − ) + x − = ( x − 3) + ( x − 3) + ( x − 3) (2) 3 Xét hàm số f (t ) = t + t + t , t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t ∈ R f (t ) đồng biến R  x≥    x ≥ ⇔   x = ⇔ x = (2) ⇔ f ( x − 1) = f (2 x − 3) ⇔ x − = x − ⇔  2 4 x − 13 x + 10 =    x =  Vậy nghiệm phương trình x = 2 Ví dụ Giải phương trình: ( x + ) ( x + + ) = ( x + 1) ( x − x + 3) (1) Giải: Điều kiện xác định x ≥ −2 Tập xác định: D = [ −2; +∞ )   (1) ⇔ ( x + ) + 2 ( x + + ) = ( x − 1) +  ( ( x − 1) + ) (2)   2 Xét hàm số f (t ) = ( t + ) ( t + ) , t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + 4t + > 0, ∀t ∈ R hàm số f (t ) đồng biến R (2) ⇔ f ( x + 2) = f ( x − 1) ⇔ x + = x − ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = + 13 + 13 Ví dụ 8: Giải phương trình: x3 − x − x + = x + x − (1) Giải: Tập xác định: D = R Phương trình (1) ⇔ ( x + 1)3 + x + = ( ) x2 + x − + x2 + x − (2) Xét hàm số f (t ) = t + t , t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R hàm số đồng biến R (2) ⇔ f ( x + 1) = f ( ) x2 + 9x − ⇔ x + = x2 + 9x − x = ⇔ x − 4x − 6x + = ⇔   x = −1 ±  x = Vậy nghiệm phương trình  −1 ± x=  Ví dụ 9:Giải phương trình: x − 15 x + 78 x − 146 = 10 x − 29 (1) Giải: Tập xác định: D = R Phương trình (1) ⇔ ( x − ) + 10 x − = ( x − ) + 10 ( x − ) (2) 3 Xét hàm số f (t ) = t + t , t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R hàm số đồng biến R x =  (2) ⇔ f ( x − ) = f x − ⇔ x − = x − ⇔ x − 15 x + 68 x − 96 = ⇔  x =  x = x =  Vậy phương trình có nghiệm  x =  x = ( ) Ví dụ 10: Giải phương trình ( x + 5) x + + = 3x + (1) Giải: Điều kiện xác định x ≥ −1 Tập xác định: D = [ −1; +∞ ) (1) ⇔ ( x + + 1) + ( x + + 1) = ( 3x + ) + 3 x + (2) 3 Xét hàm số f (t ) = t + t , t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R hàm số đồng biến R (2) ⇔ f ( x + + 1) = f ( 3x + ) ⇔ x + + = 3x + Đặt 3x + = t ⇔ x = Ta có phương trình: t3 − t ≥ t3 −1  = t −1 ⇔ t3 −1 ⇔ t =1 = ( t − 1)   Với t = ⇔ 3x + = ⇔ x = −1 Vậy nghiệm phương trình x = −1 Dạng 2: Các toán áp dụng trực tiếp đạo hàm Phương trình cho biến đổi dạng f (u ) = g (u ) u = u ( x) ) f ( x) = g ( x) (hoặc Bước 1: Biến đổi phương trình dạng f ( x) = g ( x) (hoặc f (u ) = g (u ) ) Bước 2: Xét hàm số y1 = f ( x ); y2 = g ( x) D - Tính y1 ' , xét dấu y1 ' , kết luận tính đơn điệu hàm số y1 = f ( x ) D - Tính y2 ' , xét dấu y2 ' , kết luận tính đơn điệu hàm số y2 = g ( x) D - Kết luận hai hàm số y1 = f ( x ); y2 = g ( x) đơn điệu ngược môt hai hàm hàm số - Tìm x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) (hoặc tìm u0 ch f (u0 ) = g (u0 ) Bước 3: Kết luận - Phương trình có nghiệm x = x0 (hoặc u = u0 giải phương trình u = u0 ) - Kết luận nghiệm phương trình cho Các ví dụ cụ thể: Ví dụ 1.Giải phương trình: + x + x − = (1) Giải Tập xác định: D = [ 0; +∞ ) Đặt f ( x ) = + x + x − (1) ⇔ f ( x) = Xét hàm số f ( x ) = + x + x − D Đạo hàm f ' ( x ) = x + x2 + x > 0; ∀x > ⇒ Hàm số đồng biến D Nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm Ta thấy x = nghiệm (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: x − = − x3 + x − x + (1) Giải Tập xác định: D = [ 1; +∞ ) Đặt f ( x ) = x − g ( x ) = − x + x − x + Phương trình (1) ⇔ f ( x) = g ( x) Ta có f ' ( x ) = > 0; ∀x > ; g ' ( x ) = −3 x + x − < 0; ∀x ≥ x −1 Vậy hàm số f ( x ) = x − đồng biến D ; hàm số g ( x ) = − x + x − x + nghịch biến D Nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm Ta thấy x = nghiệm (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: 4 x − + x + = (1) Giải Tập xác định: D = [ 2; +∞ ) Đặt f ( x) = 4 x − + x + (1) ⇔ f ( x) = Xét hàm số f ( x) = 4 x − + x + D Đạo hàm f '( x) = ( x − 8) + > 0; ∀x > 2x + Vậy hàm số đồng biến D Nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm nhất, ta thấy x = nghiệm (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình x + + x + + x − = (1) Giải: Tập xác định: D = [ 2; +∞ ) Đặt f ( x) = x + + x + + x − (1) ⇔ f ( x) = Xét hàm số f ( x) = x + + x + + x − D = [ 2; +∞ ) Đạo hàm f '( x) = 1 + + > 0, ∀x > 2 x +1 x + x − Vậy f ( x) đồng biến D = [ 2; +∞ ) Nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm Ta thây f (3) = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình : x3 + 3x + x + 16 − − x = (1) Giải:  x + x + x + 16 ≥ ( x + 2)(2 x + x − 8) ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ Điều kiện xác định  4 − x ≥ 4 − x ≥ Tập xác định: D = [ −2; 4] Đặt f ( x) = x3 + 3x + x + 16 − − x (1) ⇔ f ( x) = Xét hàm số f ( x) = x3 + 3x + x + 16 − − x D = [ −2; 4] 3( x + x + 1) Ta có đạo hàm f '( x) = + > 0, ∀x ∈ (−2; 4) 4− x x + x + x + 16 ⇒ Hàm số f ( x) đồng biến đoạn D = [ −2; 4] Nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm nhất, ta thấy f (1) = Nên x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: x − − x = − x (1) Giải: Tập xác định D = [ 0; +∞ ) (1) ⇔ x − − x + x = (2) Đặt f ( x) = x − − x + x (2) ⇔ f ( x) = Xét hàm số f ( x) = x − − x + x Trên D = [ 0; +∞ ) Đạo hàm f '( x) = x + (1− x) + > 0; ∀x ≠ 0;1 Vậy f ( x) đồng biến D Nên phương trình (2) có nghiệm nghiệm Ta thấy f (1) = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: x + x3 − − 3x + = (1) Giải: 1  Tập xác định: D =  −∞;  3  Điều kiện xác định x ≤ Đặt f ( x) = x + x3 − − x + (1) ⇔ f ( x) =   Xét hàm số f ( x) = x + x − − x + D =  −∞;   ' Ta có f ( x) = x + x +  > 0, ∀x < − 3x 10   Vậy hàm số f ( x) đồng biến D =  −∞;  ⇒ phương trình (1) có nghiệm   nghiệm Ta thấy x = −1 nghiệm phương trình Vậy nghiệm phương trình x = −1 Ví dụ 8: Giải phương trình x + 15 = x − + x + (1) Giải: Tập xác định: D = R (1) ⇔ x − + x + − x + 15 = (2) 2 2 Nếu x ≤ ⇒ 3x − ≤ 0, x + − x + 15 < Vì ∀x ≤ không 3 nghiệm (2) Xét x > Đặt f ( x) = 3x − + x + − x + 15 Ta có (2) ⇔ f ( x) = Xét hàn số f ( x) = 3x − + x + − x + 15 , với x >   ' − > 0, ∀x > Đạo hàm f ( x) = + x  ÷ x + 15   x +8 2  Vậy f ( x) đồng biến khoảng  ; +∞ ÷ ⇒ phương trình (2) có nghiệm 3  nghiệm Ta thấy x = nghiệm phương trình Vậy nghiệm phương trình (1) x = Ví dụ 9.Giải phương trình: ( x + ) ( x − 1) − x + = − ( x + ) ( x − 1) + x + (1) Giải: Điều kiện xác định x ≥   Tập xác định: D =  ; +∞ ÷ 2  (1) ⇔ ( 2x −1 − )( ) x + + x + = (2) Từ (2) ta thấy để phương trình có nghiệm 2x − − > ⇔ x > Đặt f ( x) = x − − g ( x) = x + + x + 11 Ta có hàm số f ( x) = x − − g ( x) = x + + x + Chỉ nhận giá trị dương đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Nên hàm số f ( x).g ( x) đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) ⇒ phương trình (2) có nghiệm nghiệm Ta thấy x = nghiệm phương trình Vậy nghiệm phương trình x = Ví dụ 10 Giải phương trình: 3x − − x − = Giải (1) x − 11   x ≥ Điều kiện xác định   x ≠ 11   11   11  Tập xác định D =  ; ÷∪  ; +∞ ÷ 3    Xét f ( x) = 3x − − x + 1; g ( x) = Phương trình (1) ⇔ f ( x) = g ( x) với x ∈ D x − 11 x + − 3x − 3 > ∀x ∈ D \   ⇒ f ( x ) đồng biến khoảng x − x + 8   11   11  ; đồng biến khoảng ÷  ; +∞ ÷   2  10  11  Và g '( x) = − x − 11 > ∀x ∈ D ⇒ g ( x) đồng biến khoảng  ; ÷ ( ) 3  Ta có f '( x) =  11  đồng biến khoảng  ; +∞ ÷ 2  x = ⇒ phương trình (1) có nhiều hai nghiệm D Ta thấy  hai x = nghiệm (1) x = Vậy nghiệm phương trình (1)  x = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải phương trình sau: 1) ( x − ) − 2) 1 = x2 − 5x − x −1 x +1 − = 2x + − x + 3) x3 − 15 x + 78 x − 141 = x − 4) 27 x3 − 54 x + 36 x − 54 = 27 81x − 5) x3 − 10 x + 17 x − + x x − x = 12 Hiệu sáng kiến: Trong năm phân công dạy học sinh khối 12 đặc biệt ôn thi đại học ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thấy học sinh gặp nhiều khó khăn giải phương trình vô tỉ phức tạp Điều làm phải suy nghĩ tìm tòi thêm cách giải khác cho phương trình vô tỉ cách giải quen thuộc lâu Chính đề tài “ Phát triển tư hàm cho học sinh qua toán phương trình vô tỉ” thúc đẩy niềm đam mê tính sáng tạo học sinh giải phương trình vô tỉ Để kiểm tra tính hiệu sáng kiến, năm học 2014-2015 phân công dạy lớp 12B1, 12B2 trường THPT Nông Cống 1-Thanh Hoá, dùng sáng kiến dạy lớp 12B2 lớp 12B1 dạy phương pháp quen thuộc biết, khã nhận thức tiếp thu kiến thức hai lớp tương đương Kết qua kiểm tra thử lớp cụ thể sau: Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Lớp Sĩ số Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ 12B2 41 20 48,8% 18 43,9% 7,3% 12B1 41 7,3% 20 48,8% 18 43,9% Qua thấy đề tài mang lại hiệu cao cho học sinh giải phương trình vô tỉ III KẾT LUẬN - Hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng tính đơn điệu hàm số vào việc giải phương trình vô tỉ mà trình bày - Đề tài nêu phương pháp giải cho dạng toán loại phương trình, đồng thời đưa hệ thống tập tương đối đầy đủ với mức độ khác - Tuy nhiều nguyên nhân chủ quan khách quan nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận góp ý bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học trường THPT Nông Cống 1, Hội đồng khoa học sở GD & ĐT Thanh Hoá để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Trần Thanh Minh 13 ... cho phương trình vô tỉ cách giải quen thuộc lâu Chính đề tài “ Phát triển tư hàm cho học sinh qua toán phương trình vô tỉ thúc đẩy niềm đam mê tính sáng tạo học sinh giải phương trình vô tỉ Để... toán sử dụng hàm số để giải, ứng dụng đạo hàm hàm số để giải phương trình, hệ phương trình , lớn Chính chọn đề tài “ Phát triển tư hàm cho học sinh qua toán phương trình vô tỉ nhằm giúp em học. .. toán áp dụng trực tiếp đạo hàm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Hiệu sáng kiến III KẾT LUẬN Trang 12 13 TÊN ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài