Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát hiện và tìm lời giải cho bài toán phương trình, bất phương trình vô tỉ trong đề thi THPTQG môn toán với sự hỗ trợ của máy tính FX 570VN PLUS

MỤC LỤC Mục A ĐẶT VẤN ĐỀ B C Nội dung Trang Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát tìm lời giải cho tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ đề thi THPTQG mơn Tốn với hỗ trợ máy tính FX-570VN 3.1 Hướng dẫn học sinh hiểu, biết sử dụng phím SOLVE chức TABLE để tìm nghiệm phương trình 3.2 Hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao với hỗ trợ máy tính cầm tay 3.3 Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp lũy thừa hai vế với hỗ trợ máy tính cầm tay 3.4 Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp nhân liên hợp với hỗ trợ máy tính cầm tay 3.5 Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp hàm số với hỗ trợ máy tính cầm tay 3.6 Hướng dẫn học sinh phát tìm lời giải cho tốn phương trình vơ tỉ đề thi THPT QG 2015 với hỗ trợ máy tính cầm tay Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1 1 2 A MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 12 15 18 18 Từ năm 2015, Bộ GD &ĐT tiến hành sát nhập kỳ thi tốt nghiệp THPT kỳ thi tuyển sinh Đại học thành kỳ thi chung gọi kỳ thi THPT Quốc gia Điều đặt nhiều trăn trở cho cán quản lý, thầy cô giáo giảng dạy thân học sinh phải tìm hiểu, nắm bắt chương trình, đề thi tìm phương án dạy, học để có hai mục tiêu đỗ tốt nghiệp trúng tuyển vào Đại học Để đỗ tốt nghiệp học sinh cần tập trung làm 60% câu hỏi Đối với học sinh học tốt muốn trúng tuyển vào trường Đại học tốp việc làm tốt câu cần phải có phương án học tập để làm 40% câu phân loại với độ khó tăng dần Có thể nói phương trình bất phương trình vơ tỉ chuyên đề sâu rộng có nhiều mức độ phân loại khác thường xuất câu lấy điểm đề thi tuyển sinh vào Đại học kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn năm gần Để làm câu yêu cầu học sinh không nắm vững tư tổng hợp phương pháp đại số, giải tích, hình học mà cịn phải có khả sử dụng tốt máy tính cầm tay Qua nhiều năm giảng dạy tham gia luyện thi học sinh giỏi Đại học mơn Tốn Trường THPT Thạch Thành mạnh dạn chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát tìm lời giải cho tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ đề thi THPTQG mơn Tốn với hỗ trợ máy tính FX-570VN PLUS” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp cho học sinh đồng nghiệp có thêm hướng tiếp cận tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay phát tìm lời giải cho tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ đề thi THPTQG mơn Tốn học sinh lớp 12 trường THPT Thạch Thành PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thực tổng hợp phương pháp: Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin xử lý số liệu B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CƠ SỞ LÝ LUẬN Trang - Các ứng dụng máy tính cầm tay vào việc dạy học tốn trở nên phổ biến năm trở lại Đặc biệt số chuyên đề khó trở nên dễ dàng với học sinh yếu tham gia kỳ thi THPTQG với hỗ trợ máy tính cầm tay Chính hàng năm sở giáo dục đạo tạo đấu mối để mở lớp tập huấn cho giáo viên nhằm trang bị kiến thức ứng dụng máy tính cầm tay giải tốn Các trường THPT tăng cường việc bồi dưỡng giải tốn máy tính cầm tay cho học sinh nhằm đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay tổ chức năm có kiến thức để làm tốt câu phân loại đề thi THPT QG - Trên sở Qui chế thi THPTQG ban hành kèm theo Thông tư số 02/2015/TT-BGD ĐT ngày 26/2/2015 Bộ GD ĐT, ngày 17/6/2015 Bộ GD ĐT công văn số 3013/BGD ĐT – CNTT việc danh sách máy tính cầm tay mang vào phịng thi có FX- 570 VN Plus dịng máy tính học sinh ưa dùng - Phương trình, bất phương trình vơ tỷ dạng toán thường gặp đề thi Đại học THPTQG năm gần Dạng tốn địi hỏi học sinh phải có tầm nhìn bao qt, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác tìm hướng giải nhanh chóng xác Công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình, bất phương trình máy tính bỏ túi Tuy nhiên nhiều học sinh chưa khai thác chức máy tính THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trường THPT Thạch Thành trường đóng địa bàn miền núi tỉnh Thanh Hóa Điều kiện học tập, sinh hoạt học sinh ngày cải thiện Chất lượng giáo dục nhà trường ngày lên bước khẳng định vị nhà trường Hàng năm tỉ lệ đỗ tốt nghiệp 98 đến 100%; tỉ lệ học sinh đỗ vào trường Đại học cao đẳng từ 35 đến 40% Tuy nhiên chưa vượt lên trường THPT địa bàn huyện nhà Số lượng học sinh đỗ vào trường Đại học tốp cịn khiêm tốn Mơn Tốn có vai trị quan trọng số để đưa chất lượng nhà trường lên Qua thống kê điểm thi mơn Tốn kỳ thi Đại học THPTQG học sinh nhà trường qua vài năm gần thấy hàng năm số lượng học sinh đạt từ điểm trở lên cịn Phần đơng em đặt mức độ điểm đến điểm Như nói em chưa làm Trang câu hỏi phân loại đề thi (câu lấy điểm 8-9-10) mà phần phương trình, bất phương trình vơ tỉ hay gặp Điều có nhiều nguyên nhân, nhiên thấy phần lớn học sinh chưa có tư sáng tạo việc học phần vơ tỉ, có đầy đủ máy tính cầm tay khơng biết cách khai thác ứng dụng giải toán mà dùng lại việc tính tốn đơn Mặt khác, việc thay đổi chế thi cử không lúng túng cho học sinh việc tìm phương pháp học tập phù hợp mà thân thầy cô giáo nhà trường gặp nhiều khó khăn, trăn trở Việc sử dụng máy tính để giải tốn nói đến nhiều nhà trường chưa có tài liệu thống giúp học sinh ứng dụng tốt kỳ thi THPTQG mơn Tốn Trước tình hình đó, tơi đưa số kinh nghiệm giúp học sinh nhà trường biết khai thác máy tính cầm tay tìm lời giải cho tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ câu hỏi phân loại đề thi THPTQG MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ TRONG ĐỀ THI THPTQG MƠN TỐN VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH FX-570VN PLUS 3.1 Hướng dẫn học sinh hiểu, biết sử dụng phím SOLVE chức TABLE để tìm nghiệm phương trình - Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi SOLVE: Nguyên tắc hoạt động chức ta nhập giá trị hình hiển thị ”X=?” xử lý quay hình trịn có tâm điểm ta vừa nhập trục hồnh, với bán kính lớn dần Khi gặp giá trị gần thỏa mãn máy dừng lại hiển thị giá trị dạng phân số tối giản số thập phân Nếu thời gian định mà máy chưa tìm nghiệm máy hiển thị giá trị gần máy tìm thỏa mãn phương trình với sai số hai vế thấp L-R hàng thứ hai hình sai số hai vế (thơng thường sai số bé khoảng 10-6 trở xuống) - Chức TABLE: (MODE 7) Chức cho phép hiển thị đồng thời kết biểu thức giá trị biến ta gán cấp số cộng Chức cho phép ta nhìn tổng thể giá trị biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục dấu biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm cách tiết kiệm thời gian Trang Ví dụ 1: Hãy dự đốn nghiệm phương trình x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) x2 − x + Điều kiện x ≥ −2 (Đề thi THPTQG 2015) Ta sử dụng Chức TABLE: (MODE 7) để dự đoán nghiệm sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính f ( x) = x2 + 2x − − ( x + 1)( x + − 2) x2 − 2x + - Bắt đầu tính từ giá trị -2 - Đến giá trị 10 - Bước nhảy - Ta xem hình kết Từ bảng kết ta đến nhận xét sau: - Ta thấy với x = f(x) = Vậy x = nghiệm phương trình đề - Ta thấy f(3) = 0,2223; f(4) = -0,792 Theo tính chất hàm số liên tục chứng tỏ phương trình cịn có nghiệm khác khoảng (3; 4) Tiếp tục ta dùng chức SOLVE để tìm nghiệm cịn khoảng (3; 4) - Nhập phương trình vào hình máy tính x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) x2 − x + - Bấm SHIFT CALC = - Ta có nghiệm gần x = 3,302775638 Việc tìm nghiệm x =2 nghiệm gần x = 3,302775638 giúp ích cho ta nhiều việc tìm cách giải mà tìm hiểu mục Trang 3.2 Hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao với hỗ trợ máy tính cầm tay Đối với phương trình bậc hai, bậc ba có nghiệm hữu tỉ học sinh dễ dàng tìm nghiệm cách bấm trực tiếp mode máy tính cầm tay Đối với phương trình bậc cao mà có nghiệm hữu tỉ Ta hướng dẫn học sinh sử dụng lược đồ Hoocne để đưa phương trình dạng tích nhân tử có bậc thấp Đối với phương trình bậc cao có nghiệm vơ tỉ ta sử dụng máy tính cầm tay để phát cách giải Cơ sở lý luận việc sử dụng định lý Viet đảo: Nếu hai số có tổng S, có tích P hai số nghiệm phương trình x − Sx + P = Từ ta có nhận xét: Nếu phương trình f(x) = có nghiệm có tổng S, có tích P ta có f ( x) = ( x − Sx + P).g ( x) Ví dụ 2: Giải phương trình x − 25 x3 + 16 x − = Ta nhẩm nghiệm chức SOLVE sau: - Nhập phương trình vào hình máy tính - Bấm SHIFT CALC = - Máy cho nghiệm x1 ta gán vào A - Nhập phương trình vào hình máy tính Bấm SHIFT CALC = - Máy cho nghiệm x2 ta gán vào B - Ta tính A+B = - Ta tính A.B = -3 Vậy phương trình cho có nhân tử x − x − Ta thực phép chia x − 25 x3 + 16 x − cho x − x − thương 2 x − x + Như x − 25 x + 16 x − = ( x − x − 3) ( x − x + 3) Trang 2 Ta đến lời giải: x − 25 x + 16 x − = ⇔ ( x − x − 3) ( x − x + ) =  x2 − 5x − = ± 37 ⇔ ⇔x=  x − x + = 0( PTVN ) Nhận xét: Đối với phương trình bậc cao dùng lệnh SOLVE tìm nghiệm có tổng S tích P hai giá trị hữu tỉ ta ln tìm nhân tử x − Sx + P Từ ta tìm nhân tử cịn lại nhanh chóng giải phương trình Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1/ x + x − x − = Đáp số: x = 1; x = −3 2/ x − x − x − x + x − 22 x − = Đáp số: x = Đáp số: x = ± 3; x = ± 3/ x − x + x + 12 x + = 4/ 225 x − 30 x − 153 x + x + 21 = ± 13 Đáp số: x = ± 13 −1 ± 29 ;x = 10 ± 13 3.3 Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp lũy thừa hai vế với hỗ trợ máy tính cầm tay Hai dạng thường giải phương pháp lũy thừa hai vế là: 5/ 27 x − x − x − = 1/  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x) Đáp số: x = 2/ f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) Ví dụ 3: Giải phương trình x − x − = − x (Trích đề thi khối B 2014) Khi gặp phương trình học sinh lực học trung bình lúng túng tìm phương pháp giải Tuy nhiên với hỗ trợ máy tính cầm tay giúp học sinh khơng cịn ngại việc lũy thừa hai vế để có phương trình bậc sau tiến hành nhẩm nghiệm tìm nhân tử  x − x − ≥  x ∈ ( −∞; −1] ∪ [3 / 2; +∞) 2x − x − = − x ⇔  ⇔ (*) 4 x − x − 11x + x + = ( x − x − 3) = − x Trang Dùng lệnh SOLVE ta nhẩm phương trình (*) có nghiệm thỏa mãn  x1 + x2 = Từ phương trình (*) có nhân tử x − x − Thực phép chia  x x = −  x − x3 − 11x + x + cho x − x − thương x −  1± x = 2 Ta có x − x − 11x + x + = ⇔ ( x − x − 1) ( x − ) = ⇔   ± x =  Kết hợp với điều kiện suy phương trình có nghiệm là: x= 1± ;x = − 2 Ngoài cách lũy thừa hai vế trên, để giải phương trình với hỗ trợ máy tính cầm tay hướng học sinh làm phương pháp nhân liên hợp, hay tách nhân tử biết đến phần sáng kiến Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: Đáp số: x = + 3; x = − 1/ x − x − = x + 2/ x − x − = x + Đáp số: x = 3/ x − x − = x + Đáp số: x = + 17 − 13 ;x = 2 + 17 − 13 ;x = 2 1± 4/ x3 − 3x + 3x = 16 x − 24 Đáp số: x = 2; x = 5/ 3x − = x3 − 36 x + 53x − 25 Đáp số: x = 2; x = 5± 3.4 Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp nhân liên hợp với hỗ trợ máy tính cầm tay Để giải tốn phương trình vơ tỉ phương pháp nhân liên hợp quan trọng phải nhẩm nghiệm phương trình Với phương trình có chứa n f ( x) mà nhẩm nghiệm x = a để tạo nhân tử (x – a) ta phải tạo biểu thức ( n ) f ( x) − n f (a ) sau tiến hành nhân chia cho biểu thức liên hợp Trang Đối với tốn có nghiệm hữu tỉ, nhiều nghiệm hữu tỉ, hay tốn có nghiệm vô tỉ Ta khai thác ứng dụng máy tính cầm tay ví dụ tương ứng sau Ví dụ 4: Giải phương trình (Trích đề thi khối B 2011) 3x + − − x + 3x − 14 x − =   Điều kiện: x ∈  − ;6   Trước hết ta dùng TABLE để tìm nghiệm khoảng nghiệm phương trình sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính f ( x ) = 3x + − − x + 3x − 14 x − - Bắt đầu tính từ giá trị - Đến giá trị - Bước nhảy - Ta xem hình kết việc di chuyển phím lên xuống Ta nhận thấy có nghiệm x = qua ta thấy khơng có khả xuất nghiệm khác Thay x= vào 3x + ta 3x + = Thay x= vào − x ta − x = Vậy để có nhân tử (x – 5) ta cần tạo nhóm ( 3x + − 4) ( − x − 1) Từ ta đến lời giải sau:   Điều kiện: x ∈  − ;6 Ta có:   Trang 3x + − − x + x − 14 x − = ⇔ ( ) ( 3x + − − ) − x − + ( x − 14 x − ) =  x − 15   − x  ⇔ ÷−  ÷+ ( x − ) ( 3x + 1) =  3x + +   − x +    ⇔ ( x − 5)  + + ( x + 1) ÷ = − x +1  3x + +    + + ( 3x + 1) > với x ∈  − ;6  3x + + − x +1   ⇔ x − = ⇔ x = Do Ví dụ 5: Giải bất phương trình (Trích đề thi khối D 2014) Điều kiện: x ≥ −2 Do để tạo nhân tử bất phương trình ta dùng TABLE sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính ( x + 1) x + + ( x + 6) x + ≥ x + x + 12 f ( x) = ( x + 1) x + + ( x + 6) x + − ( x + x + 12) - Bắt đầu tính từ giá trị -2, đến giá trị 6, bước nhảy Xem kết quả: Ta nhận phương trình thấy có nghiệm x = qua ta khơng thấy có khả xuất nghiệm khác Thay x= vào x + ta x + = Thay x= vào x + ta x+7 = Vậy để có nhân tử (x – 2) ta cần tạo nhóm ( ) x + − ( x +7 −3 ) Từ ta đến lời giải sau: Điều kiện: x ≥ −2 Ta có phương trình ( x + 1) x + + ( x + 6) x + ≥ x + x + 12 ⇔ ( x + 1) ( ) x + − + ( x + 6) ( ) x + − − ( x + x − 8) ≥ x+6  x +1  ⇔ ( x − 2)  + − x − 4 ≥ ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ x+7 +3  x+2+2  (Do với x ≥ −2 ta có: x +1 x+6 x+2  x+6 x+6  x+2 + −x−4 = − + − − < 0) ÷ ÷   x+7 +3  x+2+2 x+7 +3 x+2+2  x+2+2 Trang 10 Vậy tập nghiệm bất phương trình T = [ −2; 2] Ví dụ 6: Giải phương trình (Trích đề thi khối B 2013) Điều kiện: x ≥ −1/ Do để tìm nghiệm phương trình ta dùng TABLE sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính 3x − x + = 3x + + x + f ( x ) = x − x + − 3x + − x + - Bắt đầu tính từ giá trị 0, đến giá trị 6, bước nhảy Xem kết quả: Ta nhận phương trình thấy có nghiệm x = 0; x = qua ta khơng thấy có khả xuất nghiệm khác Vậy cần tìm biểu thức liên hợp biết nghiệm hữu tỉ Chúng ta làm sau: Cho 3x + = ax + b Thay x = x = ta a = 1; b = Cho x + = cx + d Thay x = x = ta c = 1; d = 2 Để có nhân tử ( x − x ) phương trình ta cần tạo nhóm biểu thức ( ) x + − ( x + 1) ( ) 5x + − ( x + 2) Từ ta đến lời giải sau: Điều kiện: x ≥ −1/ Ta có phương trình ( ) ( ) 3x − x + = 3x + + x + ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = x = 1   ⇔ ( x − x ) 3 + +  = ⇔ ( x − x) ⇔ x =  x + + 3x + x + + 5x +   1 + > với x ≥ −1/ ) (Do + x + + 3x + x + + x + Ví dụ 7: Giải bất phương trình x − x − + 3x + x + ≤ x + Điều kiện: x ≥ − Do để tìm nghiệm phương trình ta dùng TABLE sau: - Bấm MODE nhập vào hình máy tính f ( x) = x − x − + x + x + − x + Trang 11 - Bắt đầu tính từ giá trị 0, đến giá trị 8, bước nhảy Xem kết quả: Qua bảng ta thấy phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ nhiên có nghiệm thuộc (1; 2) Vậy ta dùng lệnh SOLVE để nhẩm nghiệm - Nhập phương trình vào hình máy tính - Bấm SHIFT CALC = - Máy cho nghiệm gần x = 1,366025404 ta gán vào A - Với x = 1,366025404 Ta tính 3x + x + x + - Ta tính A2 + A + = 3,366025404 = A + - Ta tính A + = 3,732050808 = 2A + Đến ta cần phải tạo nhóm biểu thức ( ( x + x + − ( x + 2) ) ) x + − (2 x + 1) Khi thực nhân liên hợp ta nhân tử ( x − x − 1) Chìa khóa tốn việc sử dụng máy tính để tìm biểu thức ( ) x + x + − ( x + 2) ( ) x + − (2 x + 1) sau tiến hành nhân liên hợp Từ ta đến lời giải sau: Điều kiện: x ≥ − Ta có bất phương trình: x − x − + 3x + x + ≤ x + ⇔ 2x2 − x −1 + ( ) ( ) 3x + x + − ( x + 2) + (2 x + 1) − x + ≤    x2 − x −  2x2 − 2x − ⇔ ( x − x − 1) +  ≤0 ÷+  x + x + + ( x + 2) ÷  (2 x + 1) + x + ÷      ⇔ ( x − x − 1) 1 + + ÷≤  ÷ (2 x + 1) + x + 3 x + x + + ( x + 2)   Trang 12 1 − +  ⇔ ( x − x − 1) ≤ ⇔ x ∈  ;    (Do ta có + x + x + + ( x + 2) + ≥ với x ≥ − ) (2 x + 1) + x + 1 − +  ;    Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình : T =  Qua ví dụ nhấn mạnh học sinh cần ý cách tìm biểu thức liên hợp tìm nghiệm hữu tỉ, nhiều nghiệm hữu tỉ, hay tìm nghiệm vơ tỉ Bài tập áp dụng: Giải phương trình, bất phương trình sau: 1/ x − x + − 21x − 17 ≥ x − x 2/ x + + 2( x − 1) x + = x + 13x − 13   Đáp số: x ∈  ;1 ∪ [ 2; +∞ )  21  Đáp số: x = −3; x = 17 3/ ( x + x ) x − − x − − 16 x + 16 = Đáp số: x = 3; x = 4/ x + x + = ( x + 1) x + + x + Đáp số: x = ± 5/ x − x + − x − + x − x + = Đáp số: x = ± 17 3.5 Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ phương pháp hàm số với hỗ trợ máy tính cầm tay - Nếu hàm số f(x) liên tục đơn điệu khoảng K Khi với u, v thuộc K ta có: f (u ) = f (v) ⇔ u = v - Nếu hàm số f(x) liên tục đồng biến khoảng K Khi với u, v thuộc K ta có: f (u ) > f (v) ⇔ u > v - Nếu hàm số f(x) liên tục nghịch biến khoảng K Khi với u, v thuộc K ta có: f (u ) > f (v) ⇔ u < v Vấn đề đặt để tìm u, v chọn hàm số f(t) liên tục, đơn điệu? Ta xem xét ví dụ Ví dụ 8: Giải phương trình x3 + x − ( x + 1) x + = (Câu lấy điểm 10 Đề thi tuyển sinh Cao đẳng 2012) Trang 13 Điều kiện: x ≥ − Ta dùng TABLE để dự đốn nghiệm phương trình Thấy khơng có nghiệm nguyên có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Ta dùng lệnh SOLVE để nhẩm nghiệm ta được: - Nhập phương trình vào hình máy tính - Bấm SHIFT CALC = - Máy cho nghiệm gần x = 0,8090169944 ta gán vào A - Ta tính A + = 1,618033989 = 2A Như x + = x Vậy ta tìm hàm đặc trưng liên tục đơn điệu f(t)  2x +1  ÷ ÷   cho f (2 x) = f ( x + 1) f ( x ) = f  Cách biến đổi 1: x3 + x − ( x + 1) x + = ⇔ x3 + x = (2 x + 2) x + ⇔ ( x ) + x = [ (2 x + 1) − 1] x + ⇔ ( x ) + x = 3 ( ) 2x +1 + 2x +1 Ta nghĩ đến việc xét hàm số f (t ) = t + t Từ ta có hàm số liên tục đồng biến R nên phương trình đưa về: x ≥ 1+ f (2 x ) = f ( x + 1) ⇔ x = x + ⇔  ⇔x= 4 x − x − = Cách biến đổi 2: x3 + x − ( x + 1) x + = ⇔ x + x = ( x + 1) x +  2x +1   2x +1  2x +1 ⇔ x + x = (2 x + 2) ⇔ x + x =  ÷ ÷ ÷ +  ÷     Ta nghĩ đến việc xét hàm số g (t ) = 4t + t Từ ta có hàm số liên tục đồng biến R nên phương trình đưa về:  2x +1  x ≥ 1+ g ( x ) = g  ⇔ x = x + ⇔ ⇔x= ÷  ÷ 4 x − x − =   Ví dụ 9: Giải phương trình x + x − 14 x3   = ( x + 14 x + x + ) 1 − ÷ x+2 x+2   (Đề thi thử THPTQG Lần năm 2016 Trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh) Trang 14 Ta dùng TABLE để dự đoán nghiệm phương trình Thấy phương trình có nghiệm x = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Với nghiệm đẹp x = ta tiến hành thêm bớt để nhân liên hợp tạo thành nhân tử sau: x + 3x − 14 x3   = ( x + 14 x3 + x + ) 1 − ÷ x+2 x+2   ⇔ x + x − 14 x = ( x + 14 x + x + ) ( x+2−2 ) ⇔ x ( x − 2)(2 x + 7)( x + + 2) = ( x + 14 x + x + ) ( x − ) x = ⇔  x (2 x + 7)( x + + 2) = x + 14 x + x + 2(*) Đến ta dùng lệnh SOLVE để nhẩm nghệm lại khoảng (0; 1) Ta dùng lệnh SOLVE để nhẩm nghiệm ta được: - Nhập phương trình vào hình máy tính - Bấm SHIFT CALC = - Máy cho nghiệm gần x = 0,6180339887 ta gán vào A - Ta tính A + = 1,618033989 Nhận thấy x+2 = Như A+ = A Vậy ta tìm hàm đặc trưng liên tục đơn điệu x 1 f(t) cho f ( x + ) = f  ÷ x   Nhận thấy x = khơng nghiệm ta có: (*) ⇔ x3 (2 x + 7) x + = x + ⇔ 2( x + 2) x + + x + = + x3 x Ta nghĩ đến việc xét hàm số f (t ) = 2t + 3t Từ ta có hàm số liên tục đồng biến R nên phương trình đưa về: f ( −1 +  x > 1 x + = f  ÷⇔ x + = ⇔  ⇔x= x  x  x x + = ) Trang 15 Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 2; x = −1 + Bài tập áp dụng: Giải phương trình, bất phương trình sau: Đáp số: x = 1/ (9 x + 1) x − = x3 − 12 x + 10 x − 2/ x(4 x + 1) + ( x − 3) − x = 3/ x ≥ Đáp số: x =  x − x3 + x − x3 − x + x Đáp số: x ∈  0;  4/ x3 − x + x3 − 3x + = 3x + + x + 2 5/ 24 x − 60 x + 36 − 13 + 137 −1 + 21 3+    Đáp số: x = − ; x = 1 + =0 5x − x −1 1± Đáp số: x = 3.6 Hướng dẫn học sinh phát tìm lời giải cho tốn phương trình vơ tỉ đề thi THPT QG 2015 với hỗ trợ máy tính cầm tay Ví dụ 10: Giải phương trình x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) x2 − x + (Đề thi THPTQG 2015) Trước hết ta nhận thấy phương trình vơ tỉ khơng mẫu mực Do ta sử dụng máy tính cầm tay dự đốn nghiệm Bằng cách làm Ví dụ 1, ta biết phương trình có nghiệm x =2 gán vào biến A nghiệm gần x = 3,302775638 gán vào biến B Thực tính A + ta thấy A + = , ta cần tìm nhóm nhân tử ( ) x + − Tiếp tục tính nhân tử ( B + ta thấy ) B + = 2,302775638=B - , ta cần tìm nhóm x + − ( x − 1) Từ ta đến cách giải sau: Cách 1: Phân tích để tạo nhân tử ( x+2 −2 )( ) x + − ( x − 1) : Điều kiện x ≥ −2 x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) ⇔ x + x − = ( x − x + 3) ( x + 1)( x + − 2) x − 2x + ⇔ ( x − ) ( x + ) = ( x − x + 3) ( x + 1)( x + − 2) ⇔ ( x+2 −2 )( ) x + + ( x + ) = ( x − x + 3) ( x + 1) ( x+2 −2 ) Trang 16 ⇔ ( )( x + − x3 − x + x + − ( ) ) x + + ( x + 4) = Đến ta tiếp tục thêm bớt để có lượng nhân tử ( ⇔( ⇔( ⇔( ⇔( ⇔ ( x + − ( x − 1) )( ( )) =0 x + − ) ( ( x + 1) ( x − x − 1) + ( x + ) ( x − − x + ) ) = x + − ) ( ( x + 1) ( x − − x + ) ( x − + x + ) + ( x + ) ( x − − x + − ) ( x − − x + ) ( x + x + + ( x + 1) x + ) = x + − ) ( x − − x + ) ( x + + x + ) + x − x + 3 =   ) x + − x3 − x − x − + ( x + ) x − − x + 2 x+2 )) =0 2 x = x =  x+2 −2 =0  ⇔ ⇔  x − ≥ ⇔  x = + 13   x − − x + =  x − 3x − =   Cách 2: Phương pháp nhân liên hợp: Điều kiện x ≥ −2 Ta có ( x − 2) ( x + 4) = x + x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) ⇔ ( ) x − 2x + x2 − x + ( x − 2) x+2+2  ( x + 4) ( x + 1)  = ⇔ x − x3 − x − x − − x + x + = ⇔ ( x − 2)  − ( ) ( ) (*)  x + + 2  x − 2x + ( ( ) ) ⇔ ( x − )  x3 − x − x − + ( x + ) x − − x +  =    ( x + ) ( x − 3x − 1)  ⇔ ( x − ) ( x + 1) ( x − x − 1) + =0  x −1+ x +    ( )  ( x + 4) ⇔ ( x − ) ( x − x − 1) ( x + 1) +  x −1+ x +  ( Từ (*) ta có x − x − x − − ( x + ) )   =0    x − x − x − = ( x + ) x + x+2 =0⇔   x ≥ −2  x3 − x − x − ≥  x3 − x − x − > ( x − ) ( x + x + 1) > ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x >  x ≥ −2  x ≥ −2  x ≥ −2 Trang 17 x = Từ ta có với x > ta có phương trình ⇔ ( x − ) ( x − 3x − 1) = ⇔  + 13 x=  2 Cách 3: Phương pháp lũy thừa hai vế: ( x − 2) ( x + 4) = x + x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) ⇔ ( ) x2 − x + x2 − x + ( x − 2) x+2+2 x = ⇔ ( x − ) x3 − x − x − − ( x + ) x + = ⇔  (*)  x − x − x − = ( x + ) x + ( ) Từ (*) ta chứng minh x > (như cách 2) Lũy thừa vế (*) ta được: (x − x2 − x − 5) = ( x + 4) 2 ( x + ) = ⇔ x − x5 − x − x + x − 22 x − = Dùng lệnh SOLVE nhẩm nghiệm có tổng 3, có tích -1 nên phương trình có nhân tử ( x − 3x − 1) Ta có phương trình đưa về; (x − x − 1) ( x + x + x + x + ) = ⇔ x = + 13 (Do x>2) Cách 4: Phương pháp hàm số: ( x − 2) ( x + 4) = x + x2 + x − = ( x + 1)( x + − 2) ⇔ ( ) x − 2x + x2 − x + ( x − 2) x+2+2  ( x + 4) ( x + 1)  = ⇔  x = ⇔ ( x − 2)  −  x + + 2 ( x + 1) ( x − x + 3) = ( x + )  x − 2x + ( x+2 +2 ) (*) Dùng lệnh SOLVE nhẩm nghiệm gần x = 3,302775638 gán vào biến B Thực tính B + ta thấy B + = 2,302775638=B - , ta cần tìm hàm số f(t) liên tục đơn điệu cho f ( x + ) = f ( x − 1) Thật ta đặt u = x + ta có VP = (u + 2)(u + 2) Đặt v = x − ta có VT = (v + 2)(v + 2) Vậy ta đến xét hàm số f ( t ) = (t + 2)(t + 2) hàm số liên tục đơn điệu R x −1 ≥ Từ (*) ⇔ f (u ) = f (v) ⇔ x + = x − ⇔   x − 3x − = ⇔x= + 13 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM Trang 18 Thực kiểm nghiệm hiệu tác động sáng kiến lớp thực nghiệm 12A3 lớp đối chứng 12A2 đánh giá có học lực đầu vào ngang Thống kê kết thi thử THPTQG lần (Chưa có tác động) lần (Đã có tác động) hai lớp sau: THỐNG KÊ KẾT QUẢ THI THỬ THPTQG LẦN Lớp SL dự < điểm Điểm từ Điểm từ > điểm thi đến điểm đến điểm 12A2 35 17% 26 74% 9% 0% (Lớp đối chứng) 12A3 (Lớp thực nghiệm) Lớp 12A2 (Lớp đối chứng) 12A3 (Lớp thực nghiệm) 35 23% 25 71% 6% 0% THỐNG KÊ KẾT QUẢ THI THỬ THPTQG LẦN SL dự < điểm Điểm từ Điểm từ > điểm thi đến điểm đến điểm 35 11% 28 80% 6% 3% 35 11% 23 66% 9% 14% Qua thống kê thấy số lượng học sinh đạt điểm > lớp 12A3 tăng hẳn so với lớp 12A2 Mặt khác lực tư sáng tạo học sinh lớp thực nghiệm để làm câu hỏi phân loại đề thi THPTQG cải thiện nhiều Việc khai thác sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn ngày hiệu Tác động sáng kiến kinh nghiệm thấy với nhiều đồng nghiệp từ trước đến chưa coi trọng việc sử dụng máy tính giải tốn Hiện hăng hái tìm hiểu áp dụng sáng kiến giảng dạy nâng cao trình độ thân C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Các ứng dụng máy tính cầm tay vào việc dạy học toán trở nên phổ biến năm trở lại Đặc biệt với chuyên đề phương trình bất phương trình vơ tỉ ln có mặt kỳ thi THPTQG Chính thân giáo viên cần trang bị kiến thức ứng dụng máy tính cầm tay giải tốn Trang 19 Các thầy cô giáo lên lớp không dừng lại việc truyền thụ kiến thức cho học sinh mà cần phải truyền cảm hứng học tập cho em, giúp học sinh tự tìm kiến thức mới, lĩnh hội kiến thức cách sáng tạo không bị gượng ép chất lượng học sinh nâng lên rõ rệt Sáng kiến kinh nghiệm có khả áp dụng tốt lớp khác có số lượng học sinh đăng ký xét tuyển Đại học cao 12A1, lớp có chiều hướng theo khối A nhà trường Ngồi cịn áp dụng cho đối tượng học sinh khối 12 nói chung trường THPT địa bàn toàn tỉnh Ngồi sáng kiến kinh nghiệm cịn tài liệu tham khảo tốt cho giáo viên toán em học sinh Vì nên trưng bày thư viện nhà trường để người tham khảo Hiện nhà trường chưa có tài liệu ứng dụng máy tính cầm tay giải đề thi THPTQG XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Văn Hải TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 20 Phương pháp sử dụng máy tính Casio giải tốn - Đồn Trí Dũng Bùi Thế Việt - NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Bộ đề thi tuyển sinh Đại học cao đẳng THPT Quốc gia mơn Tốn – Nguồn Bộ GD&ĐT Tuyển tập đề thi thử THPT Quốc gia 2016 nguồn http://violet.com.vn Trang 21 ... thác máy tính cầm tay tìm lời giải cho tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ câu hỏi phân loại đề thi THPTQG MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH,... tốn phương trình, bất phương trình vơ tỉ đề thi THPTQG mơn Tốn với hỗ trợ máy tính FX- 570VN PLUS? ?? MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp cho học sinh đồng nghiệp có thêm hướng tiếp cận tốn phương trình, bất. .. TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ TRONG ĐỀ THI THPTQG MƠN TỐN VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH FX- 570VN PLUS 3.1 Hướng dẫn học sinh hiểu, biết sử dụng phím SOLVE chức TABLE để tìm nghiệm phương trình -