Đề tài nghiên cứu: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông

Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương trình trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.. Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển khảnăng

MỤC LỤC

Mục lục i

MỞ ĐẦU 1 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5 1.1 Tư duy 5

1.2 Tư duy sáng tạo 6

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 9

1.3.1 Tính mềm dẻo 10

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn 11

1.3.3 Tính độc đáo 13

1.3.4 Tính hoàn thiện 15

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề 15

1.3.6 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 16

1.4 Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương trình trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 19 1.5 Kết luận chương 1 20

Chương 2 MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN

LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO 222.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán

về phương trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp

đánh giá giá trị hai vế 222.1.1 Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế 222.1.2 Ví dụ minh họa 232.2 Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh qui lạ về quen 282.3 Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một

phương trình, hệ phương trình 312.4 Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học

sinh xây dựng phương trình và hệ phương trình mới 432.4.1 Xây dựng phương trình giải được bằng cách đưa về

hệ phương trình 442.4.2 Xây dựng phương trình mới từ phương trình bậc hai

cho trước 502.4.3 Xây dựng phương trình và hệ phương trình đại số

bằng số phức 512.4.4 Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng

thức lượng giác đặc biệt 552.5 Chuyển việc tìm tòi lời giải phương trình và hệ phương trình

về các bài toán hình học 572.5.1 Phương pháp đồ thị 572.5.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình

bằng tọa độ vectơ trong mặt phẳng 622.5.3 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình

bằng tọa độ vectơ trong không gian 67

2.6 Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề và tư duy biện chứng

cho học sinh thông qua hoạt động tìm tòi cái mới khi giải

phương trình và hệ phương trình 73

2.7 Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu toán học 79

2.8 Thực nghiệm sư phạm 84

2.8.1 Mục đích thực nghiệm 84

2.8.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 84

2.8.3 Đối tượng và địa bàn thực nghiệm 85

2.8.4 Kế hoạch thực nghiệm 85

2.8.5 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 85

2.9 Kết luận chương 2 87

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89

iii

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghị quyết trung ương Đảng khoá VII đã nhận định rằng: “Con ngườiđược đào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xãhội đang đổi mới”, từ đó chỉ đạo chúng ta phải đổi mới giáo dục và đàotạo, đổi mới phương pháp giáo dục Điều 24.2 trong Luật Giáo dục ghirõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tích cực, chủ động,sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vàothực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập chohọc sinh ”

Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII đã khẳng định: “Phải đổi mớiphương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rènluyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng cácphương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảmbảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinhviên đại học”

Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dụchiện nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng thamgia quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước Xã hội ngày nayđang phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ Cùng với

đó, nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghicao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống

Như vậy rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quantrọng, cấp thiết của nhà trường phổ thông.

Mặt khác, Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập vànghiên cứu các môn học khác Toán học có vai trò to lớn trong sự pháttriển của các ngành khoa học kĩ thuật Nó liên quan chặt chẽ và có ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đờisống

Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quantrọng trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâmđến vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Trong cuốn "Sáng tạotoán học”, Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán ,quá trình sáng tạo toán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy củabản thân Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc nănglực toán học của học sinh và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng nănglực toán học cho học sinh trong cuốn “Tâm lí năng lực toán học của họcsinh”

Ở nước ta cũng có nhiều công trình của các giáo sư Hoàng Chúng,Nguyễn Cảnh Toàn nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh

Có thể thấy rằng vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo tronggiảng dạy bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiềunhà nghiên cứu Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thácvào nghiên cứu cụ thể việc phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy họcphương trình và hệ phương trình trong chương trình phổ thông

Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là:

"Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán vềphương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông"

2 Mục đích, nhiệm vụ của đề tài

2

Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển khảnăng sáng tạo cho học sinh qua các bài giảng về phương trình và hệ phươngtrình trong chương trình toán trung học phổ thông.

3 Phương pháp nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học mônToán

- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài

3.2 Điều tra, quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quátrình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và hệ thốngbài tập chọn lọc

5 Đối tượng khảo sát

Học sinh các lớp 10D1, 10A6, 12A5 trường trung học phổ thông XuânĐỉnh, Hà Nội

6 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học phương trình và hệ phương trình trong chương trình toántrung học phổ thông theo các biện pháp đề xuất trong sáng kiến kinhnghiệm này thì sẽ phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

7 Điểm mới của đề tài

- Trình bày cơ sở lí luận về tư duy sáng tạo

- Thực trạng dạy học môn Toán phần phương trình và hệ phương trình ởnhà trường phổ thông

- Đề xuất được hai biện pháp dạy học giải phương trình và hệ phươngtrình theo hướng phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh (kèm theo haigiáo án cụ thể)

- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệuquả

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp

và cho những ai quan tâm đến dạy học bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho họcsinh

8 Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo

và mục lục, SKKN trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Một số nội dung dạy học phương trình và hệ phương trình theođịnh hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

4

ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trìnhnhận thức đó gọi là tư duy.

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chấtmối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượngtrong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đạicương - Nguyễn Quang Cẩn)

Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thếgiới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuấthiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảophản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợpquy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạtđộng lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ngườicho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽvới lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ.Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và

tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyếtchung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình

tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó"

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy

• Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phảnánh tích cực thế giới khách quan

• Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thểhiện qua ngôn ngữ

• Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đốitượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả nănghoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng

• Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

• Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau

từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể làcon người

1.2 Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giảiquyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dungcủa sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và cólợi ích (giá trị hơn cái cũ) Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạtđộng nào của xã hội loài người Sáng tạo thường được nghiên cứu trênnhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảngcái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sángtạo Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán

là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về

6

những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thểhiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng

đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹcái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học bộ môn Toán)

Theo Tiến sỹ Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lậptạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Vàtheo tác giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụthuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mụcđích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đềumang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó (Tôn Thân - Xâydựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tưduy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường THCS Việt Nam,luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục

Hà Nội)

Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạtnhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục"Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng,hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tínhchính xác Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó lànhững năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan

hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, làmột quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứađựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởngtượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm"

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi

là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó

Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiệngiải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phươngtiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ

sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của người giảivạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việclàm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta

để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho ngườikhác những suy nghĩ có hiệu quả"

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán:

"Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họđương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà

họ chưa từng biết Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu

tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đóchi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trướcthuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biếttrước Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạtđộng sáng tạo theo nội dung vừa trình bày

Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạothì đó là tư duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đếnnhững tri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động Lene đã chỉ

ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo:

• Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sángtạo

• Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quycách"

• Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

• Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu

• Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìmhiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đãbiết thành một phương thức mới)

8

• Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưngphương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)

• Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng khôngphải trong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong

tư duy độc lập đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan

hệ giữa các khái niệm dưới dạng vòng trong đồng tâm

Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởngmới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

1.3 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạoTheo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, về cấu trúccủa tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:

• Tính mềm dẻo

và điều phán đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cáchmáy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiệnmới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnhhưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cáchsuy nghĩ đã có từ trước Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quenthuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duysáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể chocác em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của

tư duy

10

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cáchnhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàncảnh, đưa ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tốchất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượngnhất định các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiềukhả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làmnảy sinh ra chất lượng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặctrưng sau:

Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìmđược nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứngtrước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanhchóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm đượcphương án tối ưu

Ví dụ 1.3.1 Tìm tham số thực m để bất phương trình

p(4 + x)(6 − x) 6 x2+ 2x + m

nghiệm đúng với mọi x ∈ [−4; 6]

Chứng minh Cách 1.(Phương pháp điều kiện cần và đủ)

a Điều kiện cần Giả sử bất phương trình đúng với mọi x : −46 x 6 6,nói riêng nó phải đúng khi x = 1, tức là ta phải có:

m − 1 ≥ 5 ⇒ m ≥ 6

Vậy điều kiện cần là m ≥ 6

b Điều kiện đủ Giả sử m ≥ 6 Theo bất đẳng thức AM-GM, với mọi

x ∈ [−4; 6] ta có:

p(4 + x)(6 − x) ≤ (4 + x) + (6 − x)

Mặt khác x2 − 2x + m = (x − 1)2 + m − 1 ≥ 5 do m ≥ 6 Vì thế với mọi

x ∈ [−4; 6], ta có:

p(4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m

Nói cách khác, m ≥ 6 là điều kiện cần và đủ để bất phương trình đã chođúng với mọi x ∈ [−4; 6]

Cách 2 (Phương pháp đồ thị) Đặt y = p(4 + x)(6 − x) ≥ 0 , suy ra

y2 = 24 + 2x − x2 ⇒ x2 − 2x + 1 + y2 = 25 ⇒ (x − 1)2 + y2 = 25

Do đó vế trái của bất phương trình trên là nửa đường tròn tâm tại điểmI(1; 0) bán kính 5 Ta thấy y = x2 − 2x + m là parabol có cực tiểu nằmtrên đường thẳng x = 1

-2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

O M

Hình 1.2

Để bất phương trình đúng với mọi x : −4 ≤ x ≤ 6 thì parabol y =

x2 − 2x + m luôn luôn nằm phía trên nửa đường tròn Điều đó xảy rakhi và chỉ khi đỉnh của parabol là điểm M (1; 5), tức là m ≥ m0 trong đóparabol y = x2 − 2x + m0 qua M , suy ra 5 = m0 − 1 ⇒ m0 = 6 Vậy điều

12

kiện đặt ra là m ≥ 6.

Cách 3 (Phương pháp chiều biến thiên hàm số)

Đặt t =p(4 + x)(6 − x) = √−x2+ 2x + 24 Khi đó bất phương trình đãcho trở thành:

t2+ t − 24 ≤ mTheo bất đẳng thức AM-GM, với mọi x ∈ [−4; 6] ta có:

p

(4 + x)(6 − x) ≤ (4 + x) + (6 − x)

2 = 5 ⇒ 0 ≤ t ≤ 5Xét hàm số: f (t) = t2 + t − 24 trên đoạn [0; 5]

Ta có:f0(t) = 2t + 1 > 0 với mọi t ∈ [0; 5] Do đó ta có bảng biến thiên:

t 4 5 ( )

có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứkhông phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

1.3.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng

• Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.

• Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bênngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau

• Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải phápkhác

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệmật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từhoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điềukiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huốngkhác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương ánkhác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Cácyếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chínhxác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưngnói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong cáchoạt động trí tuệ của con người

Ví dụ 1.3.2 Cho phương trình

√

x + 1 +√

4 − x +p(x + 1) (4 − x) = m (1.1)

Hãy tìm tham số thực m để phương trình trên có nghiệm duy nhất

Chứng minh Về nguyên tắc bài toán trên có thể giải bằng một trong bốncách đã nêu trong ví dụ 1.3.2 Tuy nhiên, nhờ vào mỗi liên hệ giữa các cănthức của bài toán ta đi đến lời giải ngắn gọn và đẹp hơn Ta sẽ giải bàitoán này bằng phương pháp điều kiện cần và đủ

Điều kiện cần Nhận thấy rằng nếu x0 là nghiệm của phương trình (1.1)thì 3 − x0 cũng là nghiệm của (1.1) Bởi vậy điều kiện cần để phương trình

14

Điều kiện đủ Với m = 5

Dấu đẳng thức trong (1.4) xảy ra khi và chỉ khi dấu đẳng thức trong (1.2)

và (1.3) đồng thời xảy ra Nghĩa là:

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:

1 Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

2 Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu

từ đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở họcsinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tậpToán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển,thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp,dùng phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bàylời giải Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưngcủa tư duy sáng tạo Điều quan trọng là người giáo viên phải có phươngpháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn nănglực sáng tạo ở các em.

1.3.6 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng

tạo cho học sinh

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh vànhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xétcác đối tượng và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ,mối mâu thuẫn và trong sự phát triển

Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề

và định hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tinkhi trong việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vữnglòng tin rằng rồi sẽ có ngày thành công và hướng tìm đến thành công là cốnhìn cho được mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càngnhiều càng tốt

Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suynghĩ nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phươngdiện mới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnhhoàn toàn mới, xem xét sự vật hiện tượng, về mối quan hệ theo một cáchmới có ý nghĩa, có giá trị Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào

đó chúng ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khíacạnh khác nhau, đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau, như thế mớigiải quyết vấn đề một cách sáng tạo được Mặt khác tư duy biện chứng đã

16

chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tínhphức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mốiquan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn

vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở để học sinh học toán một cáchsáng tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cách giải khác nhau

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho họcsinh hay nói cách khác là rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh từ đó

có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học sinh Xét ví dụ sau đây

Chứng minh Điều kiện 0 < x 6= 1

Đặt log2x = t, khi đó logx2 = 1

0, (x + a)4 + (x + b)4 = c, hay x4 = ax2 + bx + c, Nhưng rất đáng tiếcphương trình này không rơi vào những dạng quen thuộc như vậy

Ngay lập tức, ý tưởng thường trực mà mỗi khi ta giải phương trình bậccao là đoán nghiệm để từ đó đưa về phương trình tích được áp dụng vì hệ

số tự do ở đây là 25 Nhưng thật không may, phương trình này không cónghiệm hữu tỷ

Khi những phương pháp thường dùng nhất không khả thi, ta sẽ nghĩđến cách cuối cùng đó là dùng phương pháp hệ số bất định để đưa vế trái

của phương trình về dạng (x2+ mx + n)(x2+ px + q) Tuy đây là cách về

lý thuyết có thể thực hiện được nhưng vấn đề là ở chỗ ta phải giải một hệphương trình với 4 ẩn m, n, p, q vốn là việc không hề đơn giản

Khi mọi ngả đường để giải bài toán gần như đi vào bế tắc, ta nhớ lạirằng với phương trình chứa tham số, chúng ta có thể tráo đổi vai trò của

ẩn và tham số để đưa phương trình bậc cao về phương trình tích Vậy cóthể áp dụng cách này để giải bài toán hay không?

Theo dõi tiếp lời giải dưới đây:

2 ⇔ log2x = 1 ±

√212

⇔ x = 2

1 ±√

21

2 (thỏa mãn điều kiện)

Nhận xét 1.3.1 Khi giải phương trình chứa tham số chúng ta thườngđược yêu cầu giải phương trình với một giá trị cho trước nào đó của tham

số Đây là bài toán quen thuộc, tuy nhiên với phương trình trên hằng số

đã quay ngược lại đóng vai trò là tham số Vì lẽ đó những phương trìnhdạng này thường được giải bằng phương pháp đặc biệt mà ta gọi là phươngpháp hằng số biến thiên

18

1.4 Tiềm năng của các bài toán về phương trình và

hệ phương trình trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọngnhất, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiếnthức Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập,

sự độc đáo và khả năng sáng tạo

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà cácphương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngạihoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuấthiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ"

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khaithác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển

tư duy sáng tạo biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khảnăng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kếtquả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnhkhác nhau của một bài toán)

Chủ đề phương trình và hệ phương trình chứa đựng nhiều tiềm năng tolớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bêncạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên cóthể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tậpmới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triểnnăng lực sáng tạo của mình

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệthống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đềquan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng và rèn luyện cho học sinh

Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sáchgiáo khoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính

nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy.

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặctrưng của nó và dựa vào quan điểm: rèn luyện và bồi dưỡng từng yếu tố

cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp

để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho các em Các bài tập chủ yếunhằm rèn luyện và bồi dưỡng tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo với cácđặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệkhác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mới trong điềukiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quenbiết Các bài tập chủ yếu nhằm rèn luyện và bồi dưỡng tính nhuần nhuyễncủa tư duy sáng tạo với các đặc trưng: khả năng tìm được nhiều giải pháptrên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tượngdưới những khía cạnh khác nhau Các bài tập chủ yếu nhằm rèn luyện vàbồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặc trưng:nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bàitoán mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic.Chủ đề phương trình và hệ phương trình là một chủ để quan trọng vàhấp dẫn của chương trình toán phổ thông Việc rèn luyện, bồi dưỡng cũngnhư phát triển tư suy sáng tạo cho học sinh luôn gắn liền với việc pháttriển của phương pháp suy luận mà ở cấp độ cao đó là sự phát triển tưduy đại số

Như vậy tiềm năng của chủ đề phương trình và hệ phương trình trongviệc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là rất lớn

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương này luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duysáng tạo, nêu được các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, và vận dụngđược tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo, đồng thời nêu đượctiềm năng lớn của chủ đề phương trình và hệ phương trình trong việc rèn

20

luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.

Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạyhọc giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinhhọc tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh tronghọc tập và trong cuộc sống

Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra đượccác phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho họcsinh

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO

2.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các

bài toán về phương trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá giá trị hai vế

2.1.1 Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế

Cho phương trình

Phương pháp đánh giá giá trị hai vế (gọi tắt là đánh giá hai vế) củaphương trình (2.1) là tìm các giá trị của đối số x thuộc miền xác định củaphương trình (2.1) để giá trị hai vế bằng nhau Khi đó các giá trị đó chính

là nghiệm của phương trình (2.1)

Khi đánh giá hai vế của phương trình ta phải đánh giá theo hai chiềungược nhau Nghĩa là nếu đánh giá f (x) theo chiều f (x) ≥ M thì phảiđánh giá g(x) theo chiều g(x) ≤ N Khi đó các khả năng sau đây có thểxảy ra:

1 Nếu N < M thì khi đó g(x) ≤ N < M ≤ f (x) suy ra g(x) < f (x) vớimọi x thuộc miền xác định và do đó phương trình (2.1) vô nghiệm

2 Nếu N = M khi đó có hai trường hợp xảy ra:

• g(x) ≤ N , dấu bằng xảy ra khi x = x1 còn f (x) ≥ M , dấu bằngxảy ra khi x = x2 mà x1 6= x2 thì phương trình (2.1) vô nghiệm

• Dấu bằng trong hai bất đẳng thức g(x) ≤ N và f (x) ≥ M cùngxảy ra tại x = x0 thì phương trình có nghiệm x = x0

3 Nếu M < N Giao của hai miền giá trị là đoạn [M, N ] Trường hợpnày thường rất khó tìm được giá trị x0 ∈ [M ; N ] để f (x0) = g(x0)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

p

x2 − 4x + 9 +px2+ 4x + 9 ≥ 2

qp

x2 − 4x + 9px2+ 4x + 9

⇔px2 − 4x + 9 +px2+ 4x + 9 ≥ 2

rq(x2 + 9)2− (4x)2

⇔px2 − 4x + 9 +px2 + 4x + 9 ≥ 2

qp

x4 + 2x2 + 81 ≥ 2.3 = 6

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Lời giải Giả sử (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình Nhận xét rằng từ

hệ đã cho ta suy ra x0, y0 cùng dấu dương

Phương trình đã cho có dạng f (x) = g(x) với x ∈ D

Theo trên ta có g(x) ≥ 2 còn f (x) ≤ 2, với x ∈ D Vậy

Lời giải Viết lại phương trình đã cho dưới dạng

p(x2 + x + 1) (5x − 2) = x

là điều kiện để phương trình có nghĩa

Từ (2.2) suy ra có dấu bằng trong bất đẳng thức Cauchy Vậy

Do đó phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3

Ví dụ 2.1.5 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học-cao đẳng khối A-2006).Giải hệ phương trình

Lời giải Viết lại hệ đã cho dưới dạng

x = 1; y = −1

26

x + 2 =

1

√2x − 1

1 +√

52

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1+

√ 5

2

2.2 Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh

qui lạ về quen

Ví dụ 2.2.1 Giải phương trình (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2

Lời giải Đặt t = x + 3 + x + 5

2 = x + 4 ⇒ x + 3 = t − 1, x + 4 = t + 1.Phương trình đã cho trở thành

Đây là phương trình trùng phương mà ta đã biết cách giải

Ví dụ 2.2.2 Giải phương trình cos4x + (1 − cos x)4 = 17

Lời giải Phương trình đã cho tương đương cos4x + (cos x − 1)4 = 17Đặt

2 ≤ t ≤ 1

2 Phương trình trở thành



t + 12

4

+



t − 12

4

= 17 ⇔ 2t4+ 3t2+ 1

8 − 17 = 0

28

⇔ 



t = 32

t = −3

2 (loại)Với t = −3



x + 1x

at2 + bt + c ∓ 2ka = 0 (2.11)

(2.11) là phương trình bậc hai, bài toán đã được giải quyết

Ví dụ 2.2.4 Giải phương trình

tan2x − 3 tan x − 9 cot x + 9cot2x + 2 = 0 (2.12)

Lời giải Điều kiện sin x cos x 6= 0 ⇔ x 6= kπ2

(2.12) ⇔

tan2x + 9

tan2x



− 3

tan x + 3

tan x

+ 2 = 0 (2.13)

Lời giải Nhận thấy phương trình không có nghiệm x = 0 Chia cả hai vếcủa phương trình cho x2 ta có:



x + 1x

Từ (2.17) và (2.18) ta có điều phải chứng minh

2.3 Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải

cho một phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 2.3.1 Cho phương trình

√

1 + x +√

8 − x +p(1 + x)(8 − x) = m

1 Giải phương trình khi m = 3

2 Tìm tham số thực m để phương trình có nghiệm

Lời giải 1 Giải phương trình khi m = 3

Điều kiện xác định: −1 ≤ x ≤ 4 Với bài toán này ta có tới bốn cách giải.Cách 1 Đặt t = √

32

Phương trình đã cho trở thành: 3 sin u + 3 cos u + 9 sin u cos u = m

Tiếp tục đặt t = sin u+cos u ⇒ t2 = 1+2 sin u cos u ⇒

-3 -2 -1

1 2 3

u v

O

M

N

Hình 2.1

Dựa vào đồ thị ta thấy C và d có hai giao điểm là M (0; 3) và N (3; 0).Suy ra hệ trên có nghiệm {u = 3; u = 0}.

34

Cách 2 Nối tiếp cách giải 2 ở câu 1 Yêu cầu bài toán trở thành tìm tham

1 + x +√

8 − x ⇒ 3 ≤ t ≤ 3√

2 Tathu được phương trình:

t2 + 2t − 9 = 2m với t ∈ [3; 3√

2]

Đến đây, ta quay lại bài toán đã giải ở cách 1 - câu2

Cách 3 Nối tiếp cách giải 3 ở câu 1 Yêu cầu bài toán trở thành tìm tham

Hình 2.3

Ta phải tìm m để đường thẳng u + v = −1 +√

2m + 10 nằm giữa haiđường thẳng u + v = 3 và u + v = 3√

f (t) = f (1) = 6

max

[1; √ 2]

Ví dụ 2.3.2 Giải phương trình:

3x2 − 5x + 6 = 2xpx2 + x − 3 (2.19)

36

Lời giải Cách 1 Đặt ẩn phụ không toàn phần

Viết lại phương trình (2.19) dưới dạng