Đề tài nghiên cứu: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông

MỤC LỤC Mục lục i MỞ ĐẦU Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư 1.2 Tư sáng tạo 1.3 Một số yếu tố đặc trưng tư sáng tạo 1.3.1 Tính mềm dẻo 10 1.3.2 Tính nhuần nhuyễn 11 1.3.3 Tính độc đáo 13 1.3.4 Tính hồn thiện 15 1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề 15 1.3.6 Vận dụng tư biện chứng để phát triển tư sáng tạo cho học sinh 16 1.4 Tiềm tốn phương trình hệ phương trình việc bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh 19 1.5 Kết luận chương 20 Chương MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO 22 2.1 Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh qua tốn phương trình hệ phương trình giải phương pháp đánh giá giá trị hai vế 22 2.1.1 Nội dung phương pháp đánh giá giá trị hai vế 22 2.1.2 Ví dụ minh họa 23 2.2 Xây dựng hệ thống toán gốc giúp học sinh qui lạ quen 28 2.3 Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho phương trình, hệ phương trình 31 2.4 Rèn luyện tư sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học sinh xây dựng phương trình hệ phương trình 43 2.4.1 Xây dựng phương trình giải cách đưa hệ phương trình 44 2.4.2 Xây dựng phương trình từ phương trình bậc hai cho trước 50 2.4.3 Xây dựng phương trình hệ phương trình đại số số phức 51 2.4.4 Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác đặc biệt 55 2.5 Chuyển việc tìm tịi lời giải phương trình hệ phương trình tốn hình học 57 2.5.1 Phương pháp đồ thị 57 2.5.2 Phương pháp giải phương trình hệ phương trình tọa độ vectơ mặt phẳng 62 2.5.3 Phương pháp giải phương trình hệ phương trình tọa độ vectơ không gian ii 67 2.6 Rèn luyện khả phát vấn đề tư biện chứng cho học sinh thơng qua hoạt động tìm tịi giải phương trình hệ phương trình 73 2.7 Rèn luyện tư sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu toán học 79 2.8 Thực nghiệm sư phạm 84 2.8.1 Mục đích thực nghiệm 84 2.8.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 84 2.8.3 Đối tượng địa bàn thực nghiệm 85 2.8.4 Kế hoạch thực nghiệm 85 2.8.5 Nội dung tổ chức thực nghiệm 85 2.9 Kết luận chương 87 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghị trung ương Đảng khoá VII nhận định rằng: “Con người đào tạo thường thiếu động, chậm thích nghi với kinh tế xã hội đổi mới”, từ đạo phải đổi giáo dục đào tạo, đổi phương pháp giáo dục Điều 24.2 Luật Giáo dục ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ” Nghị Trung ương khoá VIII khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, sinh viên đại học” Những qui định phản ánh nhu cầu đổi phương pháp giáo dục nhằm đào tạo người có đủ trình độ kĩ tham gia trình cơng nghiệp hố, đại hố đất nước Xã hội ngày phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thơng tin bùng nổ Cùng với đó, địi hỏi người phải có tính động có khả thích nghi cao với phát triển mạnh mẽ mặt khoa học kĩ thuật, đời sống Như rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết nhà trường phổ thơng Mặt khác, Tốn học môn khoa học bản, công cụ để học tập nghiên cứu mơn học khác Tốn học có vai trị to lớn phát triển ngành khoa học kĩ thuật Nó liên quan chặt chẽ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật đời sống Vì thế, dạy học mơn Tốn nhà trường phổ thơng giữ vai trị quan trọng việc rèn luyện, bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Từ trước đến có nhiều tác giả nước quan tâm đến vấn đề bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Trong "Sáng tạo toán học”, Polya sâu nghiên cứu chất q trình giải tốn , q trình sáng tạo toán học đúc rút kinh nghiệm giảng dạy thân Krutecxki trình bày nghiên cứu ơng cấu trúc lực tốn học học sinh nêu bật phương pháp bồi dưỡng lực toán học cho học sinh “Tâm lí lực tốn học học sinh” Ở nước ta có nhiều cơng trình giáo sư Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn nghiên cứu lí luận thực tiễn việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh Có thể thấy vấn đề bồi dưỡng phát triển tư sáng tạo giảng dạy mơn Tốn thu hút quan tâm ý nhiều nhà nghiên cứu Tuy nhiên, tác giả thường không sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việc phát triển tư sáng tạo thơng qua dạy học phương trình hệ phương trình chương trình phổ thơng Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm là: "Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh qua toán phương trình hệ phương trình trường trung học phổ thơng" Mục đích, nhiệm vụ đề tài Nghiên cứu đề xuất số biện pháp nhằm góp phần phát triển khả sáng tạo cho học sinh qua giảng phương trình hệ phương trình chương trình tốn trung học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu 3.1 Nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu tài liệu giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học mơn Tốn - Các tài liệu sách báo, viết phục vụ cho đề tài 3.2 Điều tra, quan sát Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh trình khai thác tập sách giáo khoa, sách tập hệ thống tập chọn lọc 3.3 Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm lớp học đối chứng đối tượng Phạm vi đề tài Nghiên cứu tập phương trình hệ phương trình chương trình tốn trung học phổ thơng Thời gian: Năm học 2010 – 2011 Đối tượng khảo sát Học sinh lớp 10D1, 10A6, 12A5 trường trung học phổ thông Xuân Đỉnh, Hà Nội Giả thuyết khoa học Nếu dạy học phương trình hệ phương trình chương trình tốn trung học phổ thơng theo biện pháp đề xuất sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư sáng tạo cho học sinh Điểm đề tài - Trình bày sở lí luận tư sáng tạo - Thực trạng dạy học mơn Tốn phần phương trình hệ phương trình nhà trường phổ thơng - Đề xuất hai biện pháp dạy học giải phương trình hệ phương trình theo hướng phát huy tư sáng tạo cho học sinh (kèm theo hai giáo án cụ thể) - Kết thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi hiệu - Kết đề tài làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp cho quan tâm đến dạy học bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Ngoài phần mở đầu, kết luận khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo mục lục, SKKN trình bày ba chương: Chương Cơ sở lí luận thực tiễn Chương Một số nội dung dạy học phương trình hệ phương trình theo định hướng phát triển tư sáng tạo cho học sinh Chương Thực nghiệm sư phạm CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư Hiện thực xung quanh có nhiều mà người chưa biết Nhiệm vụ sống hoạt động thực tiễn ln địi hỏi người phải hiểu biết chưa biết ngày sâu sắc, đắn xác hơn, phải vạch chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi tư Tư trình tâm lý phản ánh thuộc tính, chất mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tượng thực khách quan mà trước ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương - Nguyễn Quang Cẩn) Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lý luận Tư xuất trình hoạt động sản xuất xã hội người đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật Tư tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người tư người thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết tư ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư q trình trừu tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chung, việc đề xuất giả thiết, ý niệm Kết trình tư ý nghĩ đó" Từ ta rút ta đặc điểm tư • Tư sản phẩm não người q trình phản ánh tích cực giới khách quan • Kết q trình tư ý nghĩ thể qua ngơn ngữ • Bản chất tư phân biệt, tồn độc lập đối tượng phản ánh với hình ảnh nhận thức qua khả hoạt động người nhằm phản ánh đối tượng • Tư q trình phát triển động sáng tạo • Khách thể tư phản ánh với nhiều mức độ khác từ thuộc tính đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể người 1.2 Tư sáng tạo Theo định nghĩa từ điển sáng tạo tìm mới, cách giải vấn đề khơng bị gị bó phụ thuộc vào có Nội dung sáng tạo gồm hai ý có tính (khác cũ, biết) có lợi ích (giá trị cũ) Như sáng tạo cần thiết cho hoạt động xã hội loài người Sáng tạo thường nghiên cứu nhiều phương diện trình phát sinh tảng cũ, kiểu tư duy, lực người Các nhà nghiên cứu đưa nhiều quan điểm khác tư sáng tạo Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập tính phê phán điều kiện cần thiết tư sáng tạo, đặc điểm mặt khác tư sáng tạo Tính sáng tạo tư thể rõ nét khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Nhấn mạnh nghĩa coi nhẹ cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học mơn Tốn) Theo Tiến sỹ Tôn Thân: "Tư sáng tạo dạng tư độc lập tạo ý tưởng mới, độc đáo, có hiệu giải vấn đề cao" Và theo tác giả "Tư sáng tạo tư độc lập khơng bị gị bó phụ thuộc vào có Tính độc lập bộc lộ vừa việc đặt mục đích vừa việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm tư sáng tạo mang đậm dấu ấn cá nhân tạo (Tơn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi Toán trường THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội) Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho "Tư sáng tạo hạt nhân sáng tạo cá nhân, đồng thời mục tiêu giáo dục" Theo ông, tư sáng tạo đặc trưng mức độ cao chất lượng, hoạt động trí tuệ tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính xác Trong đó, J.DanTon lại cho "Tư sáng tạo lực tìm thấy ý nghĩa mới, tìm thấy mối quan hệ, chức kiến thức, trí tưởng tượng đánh giá, trình, cách dạy học bao gồm chuỗi phiêu lưu, chứa đựng điều như: khám phá, phát sinh, đổi mới, trí tưởng tượng, thí nghiệm, thám hiểm" Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư gọi có hiệu tư dẫn đến lời giải tốn cụ thể Có thể coi sáng tạo tư tạo tư liệu, phương tiện giải toán sau Các toán vận dụng tư liệu phương tiện có số lượng lớn, có dạng mn màu mn vẻ, mức độ Khi phương pháp thơng thường ta áp dụng khơng cịn hiệu quả, thực tế địi hỏi ta phải tìm phương pháp mới, cách nghĩ để giải tốn Nhìn vào phương trình (2.44), khơng khó khăn để thấy quan niệm m biến số coi x tham số phương trình (2.44) trở thành phương trình bậc ẩn m Nếu phương trình bậc giải tức ta tính m theo x đưa toán dạng đơn giản Ta thực điều lời giải sau Lời giải Viết lại phương trình (2.43) dạng m2 + 5mx + 3x3 + 2x2 + 3x − x4 − = (2.45) Ta coi (2.45) phương trình bậc m Ta có: ∆m = 25x2 − 3x3 + 2x2 + 3x − x4 − ⇔ ∆m = 4x4 − 12x3 + 17x2 − 12x + = 2x2 − 3x + 2 Do đó:  ⇔ m = x − 4x + m = −x2 − x −  ⇔ x2 − 4x + − m = (1) x2 + x + + m = (2) ∆1 = m + 3, ∆2 = −4m − √ Các nghiệm có phương trình (1) là: x2 = ± m + √ −1 ± −4m − Các nghiệm có phương trình (2) là: x34 = Mặt khác để ý x − 4x + − m + x + x + + m = 2x −3x+2 = x − 2 2 + > 0, ∀x Do phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung Phương trình cho có nghiệm phân biệt   ∆ >0  m+3>0 ⇔ ⇔ −3 < m < −  ∆2 >  −4m − > 75 Nhận xét 2.6.1 Việc tráo đổi vai trò ẩn tham số điều mẻ học sinh Có thể lúc đầu em thấy lạ chút em làm quen với phương pháp nhanh Thực tế cho thấy học sinh ln thấy tị mị thích thú giải tốn phương pháp Ẩn số tham số vốn hai mặt đối lập phương trình chúng tráo đổi vai trò cho để giúp ta giải phương trình, suy nghĩ thực độc đáo sáng tạo Ví dụ 2.6.2 Với m, gọi xm nghiệm phương trình x4 + 2x2 + 2mx + m2 + 2m + = Hãy tìm m để có xm đạt giá trị nhỏ Phân tích Đây kiểu đề lạ lẫm học sinh em chưa gặp cách hỏi Hơn nữa, phương trình đề lại phương trình bậc khơng trùng phương, khả đưa phương trình bậc khơng thể thực Với kinh nghiệm có từ ví dụ trước, ta giải toán phương pháp tráo đổi vai trò ẩn tham số sau Lời giải Gọi xm nghiệm phương trình cho, viết lại phương trình dạng m2 + (xm + 1) m + x4 + 2x2 + = m m (2.46) Coi phương trình bậc m Khi (2.46) có nghiệm ∆m ≥ ⇔ (xm + 1)2 − x4 + 2x2 + ≥ ⇔ (xm + 1)2 − x2 + m m m ⇔ x − x2 m ≥0 x2 + xm + ≥ ⇔ ≤ xm ≤ ⇒ xm = m Thay lại vào phương trình (2.46) ta có m2 + 2m + = ⇔ m = −1 Vậy giá trị cần tìm m −1 76 Ví dụ 2.6.3 Giải phương trình x6 − 7x2 + √ 6=0 (2.47) Phân tích Thoạt nhìn ta lựa chọn cách đặt ẩn phụ t = x3 để đưa √ phương trình cho phương trình bậc có dạng: t3 − 7t + = Vấn đề chỗ phương trình bậc khơng có nghiệm hữu tỷ ta khơng thể nhẩm nghiệm để đưa phương trình dạng phương trình tích Để tránh khỏi khó khăn này, ta sử dụng phương pháp số biến thiên cách linh hoạt để giải phương trình sau Lời giải Đặt t = √ 6, ta có = t2 + Khi phương trình (2.47) viết lại dạng: x2 t2 − t − x6 + x2 = (2.48) Dễ thấy phương trình (2.47) khơng có nghiệm x = Với x = 0, coi (2.48) phương trình bậc ẩn t Ta có ∆ = − 4x2 −x6 + x2 = 4x8 − 4x4 + = 2x4 − Do nghiệm phương trình (2.48) − x4 t1 = x ; t2 = x2 Suy  (2.48) ⇔  t = x2 1−x4 x2  ⇔ t = x2 x4 + tx2 − =    √ √ 2 x=± x =t x =  √ √ √ √ √  ⇔ − + 10 ⇔  −t ± t2 + ⇔ 10 − 2 x = x = x=± 2 √ √ √ 10 − Vậy phương trình cho có nghiệm x ∈ ± 6; ± t= 77 Nhận xét 2.6.2 Khó khăn mẹ đẻ sáng tạo Khi giải phương trình (2.47) ta gặp phải khó khăn khơng thể nhẩm nghiệm hữu tỷ phương trình Tình đo làm nảy sinh ý nghĩ táo bạo √ coi số ẩn số, để từ thành lập phương trình bậc hai Ý nghĩ táo bạo ngược hoàn toàn với cách làm thơng thường mang lại hiệu vơ to lớn giúp ta có lời giải ngắn gọn độc đáo cho toán Ví dụ 2.6.4 Giải phương trình x+ 3+ √ x=3 (2.49) lời giải Điều kiện: < x ≤ Khi ta có (2.49) ⇔ − x = 3+ ⇔ (3 − x)2 = + √ √ x x (2.50) Đặt = t, phương trình (2.50) viết lại √ (t − x)2 = t + x ⇔ t2 − (2x + 1) t + x2 − √ x =0 Coi (2.51) phương trình bậc hai ẩn t ta có √ √ ∆ = (2x + 1)2 − x2 − x = x + Do  (2.51) ⇔  t=x+ (2.51) √ x+1 √ t=x− x (2.52) Thay t = ta có   √ √ √ x=1 3=x+ x+1 x+ x−2=0 √ (2.52) ⇔  ⇔ ⇔√ √ √ + 13 3=x− x x− x−3=0 x= Kết hợp với điều kiện ta có x = nghiêm phương trình 78 2.7 Rèn luyện tư sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu toán học Theo Giáo sư, viện sỹ Nguyễn Cảnh Toàn, nhà toán học học sinh tập dượt nghiên cứu tốn, có điểm khác giống Đối với nhà tốn học, họ có vấn đề để nghiên cứu lí luận tốn học thực thiễn nội lí luận tốn học có mâu thuẫn Đối với học sinh, vấn đề để nghiên cứu phát sinh chủ yếu từ nhu cầu nhận thức, muốn biết rộng hơn, sâu Giải xong vấn đề, nhà toán học cung cấp hiểu biết cho lồi người, cịn học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức chưa học bao giờ, với thân Tuy nhiên thu hoạch học sinh khơng phải kiến thức kiến thức thứ yếu, quan trọng họ học kĩ lớp, mà đáng quý đáng trân trọng qua lao động, tìm tịi, sáng tạo, họ quen dần với kiểu tư mà lâu nhà trường dạy: tư biện chứng, tư sáng tạo Từ khơi dạy họ tự tin vào khả sáng tạo mình, lịng ham muốn tìm tịi phát minh Các kiến thức đáng q học sinh tìm khơng phải khác mang đến cho họ Để đến kiến thức toán học, học sinh phải kết hợp tư logic tư biện chứng, tư hình tượng thói quen tìm tịi thực nghiệm Trong việc phát vấn đề định hướng giải tư biện chứng có vai trị chủ đạo Khi giải vấn đề tư logic đóng vai trị Do để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh việc cần làm nên làm tập cho họ làm quen dần với nghiên cứu toán học Ta làm rõ điều qua ví dụ sử dụng mâu thuẩn việc giải phương trình bậc để tới khái niệm số phức 79 ĐI TÌM SỐ PHỨC Phần Phát đặt vấn đề nghiên cứu Khi đa biết tập số tự nhiên, số nguyên, số hưu tỷ, số thực hầu hết học sinh cảm thấy đủ dùng Liệu có họ cảm thấy thiếu thứ số ngồi thứ số trên? Thậm chí học phương trình bậc hai ax2 + bx + c = gặp trường hợp ∆ = b2 − 4ac < không thấy nhu cầu mà lịng với nhận định phương trình vơ nghiệm Điều dễ hiểu lẽ phương trình thực tế khơng có lời giải Lấy ví dụ, muốn xây phòng rộng 30m2 chu vi lại có 10m để đỡ tốn gạch chắn lẽ hai cạnh phịng nghiệm phương trình x2 − 5x + 30 = Phương trình vơ nghiệm ∆ = −95 < Tuy nhiên biết giải phương trình bậc hai, dù chưa có nhu cầu thực tế nhu cầu hiểu biết thỏa mãn tư thúc đẩy người ta tìm cách giải phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = (a = 0) (2.53) Nhớ lại để giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ta thay b đổi ẩn số phép đặt ẩn phụ X = x + , từ đưa phương trình 2a dạng khuyết X: 4ac − b2 aX + D = 0, với D = 4a Cũng theo cách làm này, ta tìm phép thay đổi ẩn số dạng X = x + m chon m cho phương trình bậc khuyết X : a(X − m)3 + b(X − m)2 + c (X − m) + d = 80 Hệ số X b − 3am Vậy ta lấy m = b chia hai vế cho a, ta 3a đưa phương trình dạng X + pX + q = (2.54) Khi biến đổi đến đây, hẳn muốn tiếp tục thực phép thay ẩn số để làm khuyết nốt X Nhưng vấn đề ta thực phép thay ẩn lần lẽ thay ẩn X = X + n tìm n để X triệt tiêu X triệt tiêu nói chung X không triệt tiêu ta tới phương trình X + p X + q = phức tạp dạng (2.54) Mỗi lần thay đổi ẩn số thực chất lần ta cho quyền lựa chọn Ở với phép thay ẩn số ta cho quyền lựa chọn tham số m Vì khơng thể tiếp tục thực cách làm này, ta lựa chọn cách thay ẩn khác, chẳng hạn ta coi ẩn cũ hàm hai ẩn có ràng buộc với theo quan hệ (quan hệ giúp cho hai ẩn lại một) Xét cách đặt ẩn phụ đơn giản nhất: X =Y +Z Khi phương trình (2.54) trở thành: Y + Z + (3Y Z + p) (Y + Z) + q = (2.55) Để đưa phương trình (2.55) dạng đơn giản ta chọn quan hệ 3Y Z + p = hay Y Z = − p Khi (3) trở thành: Y + Z = −q Như X , Y hai nghiệm phương trình bậc 2: z + qz − p3 =0 27 (2.56) Tính Y Z , ta tính Y, Z từ tính X = Y + Z Bài toán giải xong 81 Sau có lời giải tổng quát ta áp dụng vào phương trình bậc cụ thể chẳng hạn: X3 − X = Rõ ràng phương trình có nghiệm X = −1; X = 0; X = Ở p = −1; q = Do phương trình (2.56) trở thành z2 + =0 27 Nhưng thật đáng tiếc phương trình lại vơ nghiệm lấy đâu Y Z Đến xuất mâu thuẫn: Để giải phương trình bậc chắn có nghiệm ta dẫn tới phương trình bậc vơ nghiệm Phần Sáng tạo Ở lý luận ta thấy rõ giưa lí luận thực tiễn có khơng ăn khớp Tình mâu thuẫn làm nảy sinh ý tưởng táo bạo Hãy thử chấp nhận bậc hai số âm xem Nếu ta có: √ √ √ √ 3 Z = − −1 Y = −1 ; 9 √ Để tìm Y Z ta phải tìm cho bậc ba −1 Rõ ràng √ √ − −1 bậc ba −1 vì: √ − −1 √ = − −1 √ √ √ − −1 = (−1) − −1 = −1 Nhưng chưa hết, ta cần phải cẩn thận cịn số có dạng √ √ m + n −1 mà lập phương cho ta kết −1 Ta có: √ √ √ m3 + 3m2 n −1 − 3mn2 − n3 −1 = −1   m3 − 3mn2 = ⇔  3m2 n − n3 = √ Giải hệ này, ta tìm bậc ba −1 là: √ √ √ √ √ −1 −1 − −1; + ; − + 2 2 82 √ Để ý = √ 3 , ta có ba giá trị Y Z là: √ 3√ −1; Y2 = Y1 = − 3 √ √ √ 3√ Z1 = −1; Z2 = − 3 √ + √ + √ −1 √ −1 √ ; Y3 = √ ; Z3 = − √ − + √ √ − + −1 √ −1 Vì X = Y + Z nên có vấn đề sinh phải xác định xác xem lấy p Y cộng với Z Nhớ Y Z = − = nên phải lấy Y1 + Z1 ; Y2 + Z3 ; Y3 + Z2 Vậy ta có ba nghiệm phương trình X − X = X1 = Y1 + Z1 = 0; X2 = Y2 + Z3 = 1; X3 = Y3 + Z2 = −1 Chính ba nghiệm mà ta thấy từ ban đầu Phần Phân tích kết luận Trong trình giải phương trình bậc vơ tình ta vấp phải tình mâu thuẫn tưởng chừng giải Bằng việc chấp √ nhận tồn −1 ta vượt qua mâu thuẫn Thực tế cho thấy ta bắt buộc phải chấp nhận tồn "số bí hiểm" √ √ −1 Vì bí hiểm số dạng b −1, người ta gọi tên chúng √ √ số ảo Số −1 gọi đơn vị ảo kí hiệu i = −1 Những số có dạng a + bi gọi số phức, a phần thực b phần ảo Họ hàng nhà số phải chấp nhận thành viên mà việc tìm khơng đơn giản Trước hết cần khẳng định giảng thuyết trình lịch sử phát minh số phức Tuy nhiên giảng dựa thực tế phát minh số phức cịn người tìm kiếm cách giải cho phương trinh bậc cao Cũng tù ta rút qui luật quan trọng sống tốn học là: Khi tất việc ăn khớp, khơng có khó khăn, khơng có mâu thuẫn khơng có thúc đẩy người tìm tịi suy nghĩ nên chắn khơng có điều tạo 83 Trái lại gặp khó khăn, gặp mâu thuẫn, điều thúc đẩy người nghiên cứu, tìm tịi, thử nghiệm tìm cách giải chắn lúc đời.Chính "Mâu thuẫn động lực cho phát triển" Ở gặp bế tắc việc giải phương trình bậc người ta phát minh số phức để giải bế tắc Trong học tập học sinh vậy, người giáo viên cần phải tạo tình có vấn đề, phải tìm tình làm bật mâu thuẫn từ kích thích học sinh động não suy nghĩ Sự nhạy cảm để phát mâu thuẫn, cách thức tìm tịi, nghiên cứu để giải mâu thuẫn bước sở quan trọng để hình thành tư biện chứng, tư sáng tạo cho học sinh 2.8 Thực nghiệm sư phạm 2.8.1 Mục đích thực nghiệm Nhằm kiểm nghiệm giả thuyết khoa học mà SKKN đề xuất qua thực tế dạy học phương trình hệ phương trình chương trình Tốn THPT Thực nghiệm cịn nhằm thử nghiệm biện pháp dạy học thích hợp để rèn luyện, bồi dưỡng phát triển tư sáng tạo học sinh Qua xem xét tính khả thi tính hiệu vấn đề đề xuất 2.8.2 Nhiệm vụ thực nghiệm Trang bị cho học sinh kiến thức phương trình hệ phương trình đặc biệt phương pháp giải phương trình hệ phương trình chương trình THPT Soạn tài liệu thực nghiệm thực số dạy nhằm rèn luyện phát triển tư sáng tạo cho học sinh Phân tích xử lý số liệu thực nghiệm nhằm đánh giá hiệu việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh qua tốn phương 84 trình hệ phương trình chương trình THPT Đánh giá kết thực nghiệm theo hai phương diện, định tính định lượng 2.8.3 Đối tượng địa bàn thực nghiệm Đối tượng thực nghiệm tốn phương trình hệ phương trình chương trình THPT Tơi chọn trường THPT Xuân Đỉnh, huyện Từ Liêm, thành phố Hà Nội để làm địa bàn tiến hành thực nghiệm Trong khối 11,lớp 11A2 chọn làm lớp thực nghiệm lớp 11D1 chọn làm lớp đối chứng; khối 12, lớp 12D1 chọn làm lớp thực nghiệm, lớp 12D3 chọn làm lớp đối chứng 2.8.4 Kế hoạch thực nghiệm Từ ngày 10 tháng 09 đến ngày 25 tháng 11 năm 2011 2.8.5 Nội dung tổ chức thực nghiệm Hệ thống tập lựa chọn giảng dạy tiết tự chọn Sau chủ để dạy có kiểm tra khảo sát Các kiểm tra rèn luyện tính sáng tạo học sinh: Bài kiểm tra số 1: Giải phương trình sau: √ a 2x − = − x √ √ b x − x2 − + x + x2 − = Bài kiểm tra số 2: Cho phương trình: √ x+1+ √ 3−x− (x + 1) (3 − x) = m a Giải phương trình m = b Tìm m để phương trình có nghiệm 85 c Tìm m để phương trình có nghiệm Bài kiểm tra số 3: Giải phương trình sau: a xlg x = 1000x2 b 3.25x−2 + (3x − 10) 5x−2 + − x = Bài kiểm tra số 4: Giải phương trình sau: x a 2x = + b log2 x + 3log6 x = log6 x Các đề số 1, số tiến hành kiểm tra lớp 10A2 10D1 Các đề số 3, tiến hành kiểm tra lớp 12D1, 12D3 Kết thực nghiệm: Khối 10: Tỷ lệ học sinh không làm (dưới điểm): Đề số 1: Lớp 10A2: 4% Lớp 10D1: 12% Đề số 2: Lớp 10A2: 0% Lớp 10D1: 3% Tỷ lệ học sinh đạt điểm 5-7 : Đề số 1: Lớp 10A2: 70% Lớp 10D1: 53% Đề số 2: Lớp 10A2: 80% Lớp 10D1: 86% Tỷ lệ học sinh đạt điểm 9-10 : Đề số 1: Lớp 10A2: 5% Lớp 10D1: 0% Đề số 2: Lớp 10A2: 20% Lớp 10D1: 14% Khối 12: Tỷ lệ học sinh không làm (dưới điểm): Đề số 1: Lớp 12D1: 5% Lớp 12D3: 18% Đề số 2: Lớp 12D1: 0% Lớp 12D3: 8% Tỷ lệ học sinh đạt điểm 5-7 : Đề số 1: Lớp 12D1: 67% Lớp 12D3: 58% Đề số 2: Lớp 12D1: 70% Lớp 12D3: 56% 86 Tỷ lệ học sinh đạt điểm 9-10 : Đề số 1: Lớp 12D1: 5% Lớp 12D3: 0% Đề số 2: Lớp 12D1: 7% Lớp 12D3: 1% Nhận xét chung: • Hầu hết em học sinh làm câu a tất để dạng nằm hệ thống rèn luyện kĩ, mức độ khó dừng mức trung bình • Những em đạt điểm 9-10 trình làm có nhận định riêng, nhiều lạ để giải toán cách ngắn gọn 2.9 Kết luận chương Trong chương này, tác giả xây dựng hệ thống tập nội dung phương pháp tâm nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh Ở mức độ học sinh trung bình, mục tiêu giúp em hiểu "tại người ta lại biết làm vậy?" Ở mức độ học sinh giỏi, em tự xây dựng cách giải mới, chí đặt cho thân đề Việc rèn luyện tính sáng tạo cho học sinh thể nhiều mức độ, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp 87 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Qua trình nghiên cứu đề tài "Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh qua tốn phương trình hệ phương trình trường trung học phổ thơng " tơi thu kết sau: Làm sáng tỏ số khái niệm liên quan đến tư duy, tư sáng tạo Đề xuất số vấn đề nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Bước đầu khẳng định tính khả thi tính hiệu vấn đề đề xuất thông qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán trường THPT Qua nhận xét trên, nhận định: Giả thuyết khoa học sáng kiến kinh nghiệm chấp nhận được, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Quốc Phong (2005), Một số chuyên đề toán THPT, Nhà xuất đại học sư phạm Hà Nội [2] Phan Huy Khai (1998), Toán nâng cao cho học sinh 10-11-12, Nhà xuất Hà Nội [3] G.Polya (1997), Sáng tạo toán học, Nhà xuất Giáo dục [4] PVV) Phạm Viết Vượng (1997), Giáo dục học, Nhà xuất Đại học sư phạm ... rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh 21 CHƯƠNG MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO 2.1 Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh qua tốn phương. .. thơng qua dạy học phương trình hệ phương trình chương trình phổ thơng Vì vậy, chọn đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm là: "Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh qua tốn phương trình hệ phương trình. .. trưng tư sáng tạo, vận dụng tư biện chứng để phát triển tư sáng tạo, đồng thời nêu tiềm lớn chủ đề phương trình hệ phương trình việc rèn 20 luyện tư sáng tạo cho học sinh Việc rèn luyện tư sáng tạo