Tại nhìn cái phương trình thứ nhất giống bất đẳng thức nên đoán thử,không ngờ lại đúng...Gặp may ùi...Nhưng khó nhai ghê vậy đó Nên ta ước lượng các giá trị biến từ các phương trình1và2n
Trang 1DIỄN ĐÀN TOÁN THPT
www.k2pi.net
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PT HAY VÀ KHÓ Được sáng tác và giải bởi các thành viên của diễn đàn www.k2pi.net
Bài 1.(Sáng tác : kienqb Tìm tất cả các cặp số(x; y)không âm thỏa mãn hệ:
(2x +p4x2+ 1)(p y2+ 1 − y) = 1
1
1 + 3x + 1
1 + 2y+ 1
1 + 5x = 3
1 + 4x
Lời giải (Con phố quen):
Trước tiên ta cần để ý rằng :
q
y2+ 1 − y 6= 0;
µq
y2+ 1 − y
¶ µq
y2+ 1 + y
¶
= 1
Tiếp đến là một bất thức quen thuộc được dùng trong bài toán này như một bổ đề :
1
1 + a+
1
1 + b+
1
1 + c ≥
3
1 +p3abc vớia, b, c ≥ 1
Với đánh giá thứ nhất ta đưa phương trình thứ nhất trong hệ về phương trình :
2x +p4x2+ 1 = y +
q
y2+ 1
Tới đây xét hàm sốf (t ) = t +pt2+ 1, ∀t ≥ 0 Ta cóf0(t ) = 1 +p t
t2+ 1> 0, ∀t ≥ 0.Từ đó ta có :f (2x) = f (y) ⇔ y = 2x.Với kết quả
này cùng với đánh giá thử hai tức là bổ đề nêu ra ta có :
1
1 + 3x+ 1
1 + 4x+ 1
1 + 5x ≥ 3
1 +p360x ≥ 3
1 +p364x
Dấu đẳng thức xảy ra khix = y = 0
Bài 2.( Trần Thị Cẩm Tú ) Giải hệ phương trình :
(
(x + 6y + 3)px y + 3y = (8y + 3x + 9)y
p
−x2+ 8x − 24y + 417 = (y + 3)p y − 1 + 3y + 17
Lời giải (Ngo Hoang Toan):
Hệ đã cho gồm các phương trình căn thức và đa thức,việc ta nên làm là giải quyết các căn thức khó chịu trên.Và phương pháp thương dùng nhất là đặt ẩn phụ,nhưng đặt ẩn phụ như thế nào là ổn.Đó là điều ta quan tâm ?
Ta viết lại hệ phương trình đã cho như sau:
(
(x + 6y + 3)px y + 3y = (8y + 3x + 9)y (1)
p
−x2+ 8x − 24y + 417 = (y + 3)p y − 1 + 3y + 17 (2)
Ta đặta =px + 3;b =pyvớia, b ≥ 0Tư đó ta viết lại phương trình(1)thành :(a2+ 6b2)ab = b2(8b2+ 3a2)Vậy ta có :b = 0hay
a3+ 6ab2= 8b3+ 3a2bVậy ta có :(i ) b = 0Suy ray = 0không thoả phương trình(2).(i i ) (a − 2b)(a2− ab + 4b2) = 0 ⇒ a = 2bVới
a = 2b ⇒ x + 3 = 4yThay vào(2)ta có :
4p(y + 4)(6 − y) = (y + 3)py − 1 + 3y + 17
Theo bất đẳng thứcAM −GMta có :
4p(y + 4)(6 − y) ≤ 4 (y + 4 + 6 − y)
2 = 20
Và ta có :
(y + 3)p y − 1 + 3y + 17 ≥ 3y + 17 ≥ 3 + 17 = 20
Vậy đẳng thức xảy ra khiy = 1thay vào ta cóx = 1 VậyS = (1;1)
Bài 3 (Tác giả :π2) Giải hệ phương trình :
s 11
3 −2y
2
3 +p1 + 2x = y4− 10x2− 24x − 14 2yp
3x + 4(3 + 2x) = 2x y2+ 3y2+ 6x2+ 17x + 12
Lời giải (Nguyễn Đình Thành):
ĐK :x ≥ −1
2
PT(1)⇔ 2x ¡ y2− 2yp3x + 4 + 3x + 4¢ + 3¡y2− 2yp3x + 4 + 3x + 4¢ = 0 ⇔ ¡y −p3x + 4¢2
(2x + 3) = 0 ⇔ y =p3x + 4
Trang 2Thay vào phương trình (1) ta có :p1 − 2x +p1 + 2x = 2 − x2 ⇔ x4¡x4− 8x2+ 20¢ = 0 ⇔ x = 0Hệ có nghiệm :¡x; y¢ = (0;2)
Bài 4 (Tác giả : Nguyễn Đình Thành Giải hệ phương trình :
(
x p8y − 5 + yp8x − 5 = p24(x4 2+ y2+ 4)
11x2− 6x y + 3y2= 12x − 4y
Lời giải (Ngo Hoang Toan):
Một bài toán hay và hấp dẫn,không biết tác giả lấy ý tưởng từ đâu.Đạo hàm và bất đẳng thức chăng? Phân tích: Dự đoán nghiệm xảy ra khix = y = 1 Tại nhìn cái phương trình thứ nhất giống bất đẳng thức nên đoán thử,không ngờ lại đúng Gặp may ùi Nhưng khó nhai ghê vậy đó Nên ta ước lượng các giá trị biến từ các phương trình(1)và(2)nên ta có cách giải như sau Lời giải Điều kiện:x, y ≥5
8 Và ta xét đến phương trình(2) Sử dụng điều kiện có nghĩa theo các biếnx, y
ta đượcx ≤
p
240 − 12
24 , y ≤
p
880 − 4
24
Để ý rằng theo bất đẳng thứcAM −GMta có :
p
3.x.
r
1.8y − 5
3 ≤p3
[8y − 5
3 + 1]
2
Hay
p
3.x.
r
1.8y − 5
3 ≤ x.p34y − 1
3
Vậy ta có :
p
3.x.
r
1.8y − 5
3 +p3.y.
r
1.8x − 5
3 ≤
p 3
3 .(8x y − (x + y)) ≤
p 3
3 (2(x + y)2− (x + y)
Mặc khác theo bất đẳng thứcC auch ySchw ar zta có :
4
q
24(x2+ y2+ 4) ≥ 4
q
12(x + y)2+ 96
Vậy ta cần chứng minh:
4
q
12(x + y)2+ 96 ≥
p 3
3 (2(x + y)2− (x + y)
Hay
2p 3
3 t
2
−
p 3
3 t −p4 12t2+ 96 ≤ 0
240 +p880 + 8
24 ≥ t ≥5
4
Xét hàm sốf (t ) =2
p 3
3 t
2
−
p 3
3 t −p412t2+ 96Ta có
f0(t ) =4
p 3
3 t −
p 3
3 −1
4.(12t
2
+ 96)
−3
4 24t
Và
f00(t ) > 0
Từ đó suy ra :
f0(t ) > f (5
4) > 0
Suy raf (t )là hàm đồng biến Ta chia thành hai trường hợp TH1:2 ≥ t ≥5
4 Dễ thấyf (2) = 0nên ta có điều phải chứng minh TH2 Từ hai trường hợp đó suy rax = y.Thay vào phương trình(2)ta đượcx = y = 1
Bài 5 (Tác giả : Kienqb) Giải hệ phương trình sau:
5x+ 42y= 3x+ 2x + 10x2− 12y
e x + (x − 2y) ln(2x2+ x + y2− 2x y + 2) = e 2y
Lời giải (dan_dhv):
Ta có :
P t (2) ⇔ e x + (x − 2y) ln
µ
(x − y)2+ (x +1
2)
2
+7 2
¶
= e 2y
Vớix > 2y.Khi đó
P t (2) ⇔ ln
µ
(x − y)2+ (x +1
2)
2
+7 2
¶
=e
2y
− e x
x − 2y
Trang 3Nhận thấyV T > 0;V P < 0(Loại) Vớix < 2y.Tương tự trên Do đó PT nghiệm đúng vớix = 2y Thay vào pt(1) ta được
5x+ 4x= 3x+ 2x + 10x2− 6x
Ta thấy rằng: Nếux < 0thì5x+ 4x< 3x+ 2x + 10x2− 6x do đó phương trình chỉ có nghiệm khix ≥ 0Xét hàm số :f (x) =
5x+4x−3x−2x −10x2+6xvớix ≥ 0Ta có:f0(x) = 5 xln 5+4xln 4−3xln 3−2x ln 2−20x+6 f00(x) = 5 xln25+4xln24−3xln23−2xln22−20
f000(x) = 5 xln35 + 4xln34 − 3xln33 − 2xln32 Rõ ràng vớix ≥ 0thì f000(x) > 0Vì vậy f00(x)là hàm đồng biến nên f00(x) = 0có tối đa1nghiệm Lập bảng biến thiên ta sẽ thấy f0(x) = 0có tối đa2nghiệm và dẫn tới f (x) = 0có tối đa 3 nghiệm Ta
có f (0) = f (1) = f (2) = 0 ⇒ x = 0; x = 1; x = 2là 3 nghiệm của phương trình f (x) = 0 Thay vào ta có các nghiệm của hệ là:(x; y) = (0;0), (1;2), (2;4)
Bài 6.(Tác giả :π2) Giải hệ phương trình :
(³
2x + 3 + 3¡ y + 1¢2´p2x + 3 − 6y ¡x + y¢ − 6x − 9y − 11 = 0
y3− 4y2+ 2x +p2x + 3 = 0
Lời giải (Cô Bé Gió Sương)
Đặtp2x + 3 = a y + 1 = bTừ pt(1) Ta có
a3+ 3ab2− 3b(2b − 1) − 3(b − 1)(a2− 3) − 3a2+ 1 = 0
⇔ (a − b)3+ (b − 2)3= 0
⇔ a = 2
Thayp2x + 3 = 2Vào pt(2), có :
y3− 4y2+ 3 = 0
Bài 7 (Tác giả : Vương Thị Hiền ) Giải hệ phương trình :
x + y
x y + x y = 2¡x − y¢
p
x +py+p2
x y
1
py−p1
x + x + y = 4
Lời giải (manlonely838 ):
ĐK:x > 0, y > 0.
P T (1) ⇐⇒
µ 1
px−p1
y+px y
¶2
= 0
⇐⇒ p1y−p1x=px y
⇐⇒px −py = x y
⇐⇒ x + y = 2px y + (x y)2
Thay tất cả vàoP T (2)ta được
(x y)2+ 3px y − 4 = 0 ⇐⇒ x y = 1hoặcx y = (Nghiệm khủng quá!)
Bài 8 (Tác giả : Phạm Thị Trà) Giải hệ phương trình :
x3− y3+5
3(x + y)2+ 5x2−8
3x y + 13x =100
3
x2+ y2+ x y − 3x − 4y + 4 = 0
Lời giải (Cô Bé Gió Sương):
Từ phương trình(2), Ta tìm được :
4
3≥ x ≥ 0
7
3≥ y ≥ 1
Rútx ytừ pt(2).Thay vào(1) (3x3+ 18x2+ 45x) + (3y2− 3y3+ 8y) = 108
Tới đây đạo hàm sẽ tìm được nghiệm
x =4
3
y =4
3
Bài 9 ( Tác giả : Đậu Thị Giang ) Giải hệ phương trình:
y3+ 3x y − 17x + 18 = x3− 3x2+ 13y − 9
x2+ y2+ x y − 6y − 5x + 10 = 0
Trang 4Lời giải (angel):
Từ phương trình (2) ta tìm được : 5
3≤ y ≤ 3,23≤ x ≤ 2Nhân phương trình (2) với−3và cộng với phương trình (1) ta có :
(y − 1)3+ 2(y − 1) = x3+ 2x
Hàm sốf (t ) = t3+ 2tđồng biến trên[23; 2]Nên :y − 1 = xThay vào và giải ra ta được :(x; y) = (1;2);(53;83)
Bài 10 (Tác giả : Lê Thị Xuân ) Giải hệ phương trình :
x3− y6+3
2x y
2
−3
2y
4
= 0
4x
3
y4+ 5y x2− 8y2+ 7 = 0
Lời giải (Cô Bé Gió Sương):
P T 1 ⇔ 2x3− 2y6+ 3x y2− 3y4= 0
⇔¡x − y2¢ ¡2x2
+ 2x y + 5y2¢ = 0
⇔ x = y2
Thayx = y2vào PT(2)⇒ x = 3
Bài 11 (Tác giả : Lê Trung Tín ) Giải hệ phương trình :
x4+ 10y = x2− 2
x2(1 + y) = y2+ 1
Lời giải (Cô Bé Gió Sương):
Từ pt(2) ta cóx2=y
2
+ 1
y + 1
Thay vào pt(1) suy ra :
(y2+ 4y + 1)(y2+ 5y + 2) = 0
Bài 12 (Tác giả : Lê Trung Tín ). Giải hệ phương trình :
x4+ 3y2= 1
x2(1 − y) = y2+ y + 1
Lời giải (FOR U):
Vớiy = 1 Hệ VN Xét :y 6= 1Thayx2=y
2+ y + 1
1 − y vào phương trình (1) Cho ta :4y
4− 4y3+ 5y2+ 4y = 0 Done !
Bài 14 (Tác giả : kienqb ). Giải hệ phương trình:
25y + 9p9x y − 4 = 2y
2+ 18x2+ 2
x(y2+ 1)
x2+ y2+p8x2− 12x y + 8y2= x + y + 2x y
Lời giải (Cô Bé Gió Sương):
P T 2 ⇔ (x − y)2
Ã
1 + 7
p8x2− 12x y + 8y2+ x + y
!
= 0
⇔ x = y
Thay vào PT1 ta có
25x + 9p9x2− 4 = 20x
2
+ 2
x(x2+ 1)
⇔ 9xp9x2− 4 =20x
2+ 2
x2+ 1 − 25x
2
Bình phương 2 vế của phương trình
4(2x2− 1)(13x6+ 117x4+ 78x2+ 1)
(x2+ 1)2 = 0
⇔ x = ±r 1
2
Thử lại nhận thấy rằng phương trình chỉ nhận nghiệmx = −r 1
2
Trang 5Bài 15 (Tác giả : Hoàng Thu Hương ). Giải hệ phương trình :
(
¡x − y¢¡x2+ y2+ x y + 15¢ − ¡x + y¢2= x2− 9y2− 15y + 94 4x2+ 4y2+ 6x + 6y − 2x y − 9 = 0
Lời giải (Cô Bé Gió Sương):
Từ phương trình 2 ta có:
4x2+ 2x(3 − y) + 4y2+ 6y − 9 = 0 4y2+ 2y(3 − x) + 4x2+ 6x − 9 = 0 ⇒
∆x≥ 0
∆y≥ 0 ⇔
y ∈ [−3;1]
x ∈ [−3;1]
Thếx ytừ phương trình (1) vào PT (2) :
x3− 6x2+ 9x − y3+ 4y2− 6y = 85 (∗)
Xét hàm sốf (x) = x3− 6x2+ 9xVớix ∈ [−3;1]
f0(x) = 3(x − 1)(x − 3)
f0(x) = 0 ⇒ x = 1
Dựa vào bảng biến thiên:⇒ f (x) = x3− 6x2+ 9x ≤ 4Xét hàm sốg (y) = −y3+ 4y2− 6yVớiy ∈ [−3;1] g0(y) = −3y2+ 8x − 6 ≤ 0 ⇒
Hàm số nghịch biến⇒g (y) = −y3+ 4y2− 6y ≤ 81 ⇒ f (x) + g (y) ≤ 85Để(∗)có nghiệm⇔
x = 1
y = −3
Nhận thấy nghiệm trên không thoả mãn phương trình hai nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm !
Bài 16 (Tác giả :Lê Thị Xuân ). Giải hệ phương trình :
|3x + 2| +¯5 − 6y¯= 7
(x − 3y)
à 1
px − 2y −py
!
−py = 0
Lời giải (thoheo):
ĐK:x ≥ 2y; x, y > 0Đặtpx − 2y = a;py = (a,b ≥ 0) (2) ⇔ a = 0 ⇒ x = 2yThay vào(1) ta được:| 3x + 2 | + | 5 − 3x |= 7(3)
Mà VT(3)≥| 3x + 2 + 5 − 3x |= 7Dấu ’=’ xảy ra khi:
x =−2
3
x =5
3
Đối chiếu với ĐK ta thấy chỉx =5
3là thỏa mãn
Vậy hệ đã cho có nghiệm
x =5
3
y =5
6
Bài 17 (Tác giả :kienqb ). Giải hệ phương trình:
x2y − 3x + y = (y − x2)p3x − y
p
−x2+ 4x + 21 −p−x2+ y2+ y + 10 = 2
Lời giải (Ngo Hoang Toan):
Bài này thật là khó,khi cái quái nó nằm ở phương trình thứ hai.Dùng phương pháp "chân quê" ta đặta = p3x − y; a ≥ 0 Ta đưa phương trình thứ nhất về :
x2y − a2= a y − x2a ⇐⇒
"
x2= a (1)
y + a = 0 (2)
Ta giải quyết phần(2)trước vậy,thấy phần(1)hơi khó xơi nhỉ ? Thaya = −y; y ≥ 0vào phương trình(2)ta được phương trình căn thức quen thuộc sau:
p
−x2+ 4x + 21 = 2 +p−x2+ 3x + 10
Lại theo cách "chân quê",bình phương lên ta đưa về phương trình bậc hai dễ thở chút
⇐⇒ −x2+ 4x + 21 = 4 − x2+ 3x + 10 + 4p−x2+ 3x + 10
⇐⇒ x + 7 = 4p−x2+ 3x + 10
→ 17x2− 34x − 111 = 0
Ta thử tìm cách giải quyết phương trình khó nhai thứ nhất xem sao ? Từ(1)ta có :y = 3x − x4; x ∈ [−3;7]
Bài 18 (Tác giả : kienqb ). Giải hệ phương trình:
p
x +py + 2(x2+ y2) = 4 + 2x y
x p3x2+ 6x y + y p3y2+ 6x y = 6
Trang 6Lời giải (Ngo Hoang Toan):
Bài toán này rất thú vị,nếu ta không nhận ra rằng nếu sử dụng các bất đẳng thức quá mạnh sẽ dẫn tới làm khó bài toán
và gần như là đưa kết quả về con số0 Ta viết lại đề bài:
p
x +py + 2(x2+ y2) = 4 + 2x y
x p3x2+ 6x y + y p3y2+ 6x y = 6
Từ phương trình thứ hai,áp dụng bất đẳng thứcAM −GMta có :
x
q
3x2+ 6x y + y
q
3y2+ 6x y ≥ 2
s
x y.
µq
3x2+ 6x y.
q
3y2+ 6x y
¶
≥ 2
r
x y
q
(9x2y2+ 18x y(x2+ y2) + 36x2y2) ≥ 2
r
x y
q
(9(x y)2+ 36(x y)2+ 36(x y)2) = 6x y
Suy rax y ≤ 1 (1) Ta lại có theo bất đẳng thứcAM −GMthì :
x
q
3x2+ 6x y + y
q
3y2+ 6x y = x.
p
9x p3x + 6y
3 +y. p9y. p3y + 6x
3 ≤12x
2
+ 6x y
6 +12y
2
+ 6x y
6 = 2(x2+ y2+ x y)
Vậy ta suy ra:x2+ y2+ x y ≥ 3Màx y ≤ 1nênx2+ y2≥ 2 Từ phương trình thứ nhất ta có:
4 + 2x y ≥px +py + 4 ≥ 2.p4
x y + 4.
Vậy suy rax y ≥p4x y ⇐⇒ p4x y ≥ 1Hayx y ≥ 1 (2) Từ(1); (2)ta suy rax y = 1 Và từ các dấu bằng bất đẳng thức ta cóx = y = 1.
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình làS = (x; y) = (1;1)
Bài 19 (Tác giả :Con phố quen ). Tìm tất cả các nghiệmx > 0, y > 0của hệ phương trình :
px + y + 2(2x2
− 5x − 3) = y(1 − y − 5x) +p3 1
16x4+ 2x(12x + 1) + 2(y + 2)+
1
16y4+ 2y(12y + 1) + 2(x + 2)=
2 145
Lời giải (Ngo Hoang Toan):
Lại thêm một bài toán khó và hấp dẫn từ anh Con Phố Quen.Thật may mắn cho em khi nhận ra chút " chân quê" từ bài toán hay này của anh.Thay vì nhận xét cách giải bài toán này,các bạn hãy cùng xem lời giải này của tôi Ta viết lại hệ phương trình
p
x + y + 2(2x2− 5x − 3) = y(1 − y − 5x) +p3 (1)
1
16x4+ 2x(12x + 1) + 2(y + 2)+
1
16y4+ 2y(12y + 1) + 2(x + 2)=
2
145 (2)
-Xét(1) Đặtt =px + y;t > 0 Ta viết phương trình(1)về dạng:
t + 4x2− 10x − 6 = y − y2− 5x y +p3
Theo cách "chân quê" ta cứ rútytheox, tnên ta có :y = t2− xVậy phương trình trên biến đổi lại thành:
t4− t2+ t − 6 −p3 = 3(3 − t2)x
⇐⇒ (t −p3)(t3+p3t2+ 2t + 2p3 + 1) = 3(p3 − t)(p3 + t).x
Đến đây các bạn có thắc mắc tại sao tôi biết được cách phân tích như thế không ? Thật ra,khi nhìn vào phương trình thứ hai,ta dễ nhận thấy phương trình trên là một bất đẳng thức nào đó ,nên điều ta thiết nghĩ lúc này có chăng làx = y Thật vậy,bằng kiểm tra đơn giản,ta có ngay một nghiệm bài toán làx = y =3
2.Đến đây với cách "chân quê" ta lại có biến đổi như trên là điều hoàn toàn giải thích được Phương trình trên cho ta :
"
t =p3 (3)
t3+p3t2+ 2t + 2p3 + 1 = −3(p3 + t).x (4)
Chúng ta hãy tạm giải quyết trường hợpt =p3trước Quay trở lại phương trình(2)ta có:
1
16x4+ 2x(12x + 1) + 2(y + 2)+
1
16y4+ 2y(12y + 1) + 2(x + 2)=
2 145
Theo bất đẳng thứcC auch y Schw ar zta có : 1
16x4+ 2x(12x + 1) + 2(y + 2)+
1
16y4+ 2y(12y + 1) + 2(x + 2)
≥ 4
16(x4+ y4) + 24(x2+ y2) + 4(x + y + 2)
Trang 7Ta biến đổi bất đẳng thức về :
16(x4+ y4) + 24(x2+ y2) + 4(x + y + 2) ≤ 290
Đặtt = x + y Theo bất đẳng thứcAM −GMta có các đánh giá :x + y ≤ p2(x2+ y2) x2+ y2≥p2(x4+ y4)
Đặtu =p2p
2.px4 4+ y4 Vậy ta có :
16(x4+ y4) + 24(x2+ y2) + 4(x + y + 2) ≤ 2t4+ 12t2+ 4(t + 2) ≤ 290
Mà2t4+ 12t2+ 4(t + 2) − 290 = (t − 3)(2t3+ 6t2+ 30t + 94) = 0dot = 3 Vậy đây chỉ là một đẳng thức Vậy dấu bằng xảy ra khi
x = y =3
2 -Ta giải quyết(4)
t3+p3t2+ 2t + 2p3 + 1 = −3(p3 + t).x
Dễ nhận thấy với điều kiệnx, t > 0ta cót3+p3t2+2t +2p3 +1+3(p3 + t).x > 0nên phương trình này vô nghiệm Vậy tóm lại hệ phương trình có nghiêm duy nhất(x; y) = (3
2;
3
2)
Bài 20 (Tác giả :Lê Trung Tín ). Giải hệ phương trình :
x
2x2− x − 3+
x
2x2+ x − 3=
2y2− 3
y y
2y2− y − 3+
y
2y2+ y − 3=
2x2− 3
x
Lời giải (noaht):
Điều kiện Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :
x
2x2− x − 3+
x
2x2+ x − 3=
2y2− 3
y y
2y2− y − 3+
y
2y2+ y − 3=
2x2− 3
x
⇔
1
2x2− 3
x − 1
+2x21
− 3
x +1
=2y
2− 3
y
1
2y2− 3
y − 1
+ 1
2y2− 3
y + 1
=2x
2− 3
x
Đặt :
a = 2x
2− 3
x
b = 2y
2− 3
y
Khi đó hệ trở thành hệ :
1
a − 1+
1
a + 1 = b
1
b − 1+
1
b + 1 = a
Đây là hệ đối xứng loại 2 Với cách nhận dạng như vậy ta dễ dàng tìm hướng đi tiếp bằng cách thực hiện trừ 2 vế phương trình của hệ
Bài 21 (Tác giả :hoanghai1195 ). Giải hệ phương trình :
(8 − 2x3)p
x − 1 + 1 − x
x3+ y2 = x3− y2− 8
2p y − 1 +px − 1 + 12x − 5y = 20
Lời giải (???):
Bài 22 (Tác giả : Nguyễn Thị Nhung ). Giải hệ phương trình :
( q
x2+ 2¡1 − y¢¡x − y¢ +px y = 2y
x ¡2x + 2y − 5¢ + y ¡y − 3¢ + 3 = 0
Lời giải (manlonely838 ):
Điều kiện: Tất cả các biểu thức dưới dấu căn bậc hai đều không âm Nhưng ở đây ta chú ý tới điều kiệnx ≥ 0, y ≥ 0.Phương trình(2)được viết lại như sau:
(x + y − 2)2+ (x + y − 2) + (x − 1)2= 0 ⇒ x + y − 2 ≤ 0 ⇒ x + y ≤ 2 (∗)
Áp dụng bất đẳng thứcC auch y − Schw ar zbên vế tráiP T (1)ta được
(2y)2≤ (12+ 12)(x2+ 2(1 − y)(x − y) + x y)
⇔(x + 2)(x − y) ≥ 0
⇔x ≥ y(vìx + 2 > 0)
Do đó(∗)suy ra2 ≥ x + y ≥ 2y ⇒ 0 ≤ y ≤ 1.Với điều kiện này củay, nhìn lạiP T (1)ta có
V T(1)≥
q
y2+ q
y2= 2y = V P(1)
Trang 8Dấu bằng xảy ra khix = y Thay vàoP T (2)của hệ ta tìm được2nghiệm của hệ là
x = 1
y = 1
;
x =3
5
y =3
5
Bài 23 (Tác giả : Nguyễn Thị Nhung ). Giải hệ phương trình :
( q
x2+¡2y − 1¢¡x − y¢ +px y = 2y
x ¡2x + 2y − 5¢ + y ¡y − 3¢ + 3 = 0
Lời giải (Nguyễn Thị Nhung):
ĐK :
(
x y ≥ 0
x2+ 2¡ y − 1¢¡x − y¢ ≥ 0 Từ phương trình (1) :
q
x2+ 2¡ y − 1¢¡x − y¢ − y +px y − y = 0
⇔ x
2− y2+ 2¡ y − 1¢¡x − y¢
q
x2+ 2¡ y − 1¢¡x − y¢ + y+
x y − y2
px y + y = 0 ⇔¡x − y¢
x + y + 2y − 2
q
x2+ 2¡ y − 1¢¡x − y¢ + y+
y
px y + y
=0(3)
Từ phương trình thứ (2) :2x2+ 2x y − 5x + y2− 3y + 3 = 0 ⇔ ¡x + y¢2− 3¡x + y¢ + (x + 1)2+ 2 = 0 ⇒¡x + y¢2− 3¡x + y¢ + 2 ≤ 0 ⇔
1 ≤ x + y ≤ 2(4)
Từ (3), (4) kết hợp với ĐK cho ta :x = yThay trở lại (2) và giải ra ta được :
(
x = 1
y = 1 ;
x =3
5
y =3
5
Bài 24 (Tác giả : Nguyễn Thị Thanh Nhàn ). Giải hệ phương trình : Giải hệ phương trình :
(
3x2+ 4x − 5 =p−y2− 6y − 1
x + 1 = p17 − 4y − 16x
Lời giải (Hồng Vinh):
Từ pt(1) ta có :
3x2+ 4x − 5 =p−y2− 6y − 1 ≤ 1−y2−6y−12
⇐⇒ 6x2+ 8x − 10 + y2+ 6y ≤ 0 (a)
Từ pt(2)ta lại có :
x2+ 18x + 4y − 16 = 0 (b)
Từ(a)và(b)cho ta :5(x − 1)2+ (y + 1)2≤ 0Thay trở lại suy ra ptVN