Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình vơ tỷ bản: g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: a) b) x2 + x + = x + 2x +1 + x = 4x + Lời giải: a) Phương trình tương đương với: x = 2+ b) Điều kiện: x ≥ Bình phương vế ta được: x ≥ −8 3x + + 2 x + x = x + ⇔ 2 x + x = x + ⇔ 2 4(2 x + x) = ( x + 8) x = x ≥ −8 ⇔ ⇔ Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = − 16 x − 12 x − 64 = có x = nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: II MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Giải phương trình vô tỷ phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: Dấu hiệu: + Khi ta gặp toán giải phương trình dạng: n f ( x) + m g ( x) + h( x) = Mà đưa ẩn, đưa ẩn tạo phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích giải trực tiếp khó khăn + Nhẩm nghiệm phương trình đó: thủ cơng ( sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp: • Đặt điều kiện chặt phương trình ( có) Ví dụ: Đối phương trình: x2 + + = x2 + + x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: Phương trình xác định với x ∈ R Nhưng chưa phải điều kiện chặt Để giải triệt để phương trình ta cần đến điều kiện chặt là: + Ta viết lại phương trình thành: Để ý rằng: x + − x + < phương trình có nghiệm x − < ⇔ x < • x2 + − x2 + = x − 3 Nếu phương trình có nghiệm x : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta phân tích phương trình sau: Viết lại phương trình thành: n f ( x) − n f ( x0 ) + m g ( x ) − m g ( x0 ) + h( x) − h( x0 ) = Sau nhân liên hợp cho cặp số hạng với ý: + ( + ( a −b )( a −b )( ) a + ab + b = a − b3 ) a + b = a − b2 + Nếu h( x) = có nghiệm x = x0 ta ln phân tích h( x) = ( x − x0 ) g ( x) Như sau bước phân tích rút nhân tử chung x − x0 x − x0 = phương trình ban đầu trở thành: ( x − x0 ) A( x ) = ⇔ A( x ) = Việc lại dùng hàm số , bất đẳng thức đánh giá để kết luận A( x) = vô nghiệm • Nếu phương trình có nghiệm x , x theo định lý viet đảo ta có nhân tử chung là: x − ( x1 + x2 ) x + x1.x2 Ta thường làm sau: + Muốn làm xuất nhân tử chung n f ( x) ta trừ lượng ax + b Khi nhân tử chung kết sau nhân liên hợp n f ( x) − (ax + b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Để tìm a, b ta xét phương trình: n f ( x) − (ax + b) = Để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ta cần tìm a, b cho ax1 + b = n f ( x1 ) ax2 + b = n f ( x2 ) + Hoàn toàn tương tự cho biểu thức lại: Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x3 − + x − + x − = b) x − + − x = x2 − 5x − Giải: a) Phân tích: Phương trình đề gồm nhiều biểu thức chứa quy ẩn Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu , tạo phương trình tối thiểu bậc Từ ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu thức liên hợp để tách nhân tử chung Điều kiện x ≥ Ta nhẩm nghiệm phương trình là: x = Khi x − = − = 2; x − = − = Ta viết lại phương trình thành: x3 − − + x − − + x − = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ⇔ x3 − 5x −1 + = 2x − + ( x − 1) 5( x + x + 1) ⇔ ( x − 1) + x3 − + + 2x −1 +1 + x −1 = + 1 = ( x − 1) + x − + Dễ thấy : 5( x + x + 1) + Với điều kiện x ≥ x − + ( x − 1) + 2x −1 + +1 > Nên phương trình cho có nghiệm x = b) Điều kiện: x ∈ [ 2; 4] Ta nhẩm nghiệm phương trình là: x = Khi x − = − = 1; − x = − = Từ ta có lời giải sau: Phương trình cho tương đương với: x − − + − − x = x2 − 5x − ⇔ x−3 x −3 + = ( x − 3)(2 x + 1) x − −1 1+ − x 1 ⇔ ( x − 3) + − (2 x + 1) = x − −1 1+ − x x = 1 + − (2 x + 1) = x − + 1 + − x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Để ý rằng: Với điều kiện x ∈ [ 2; 4] 1 ≤ 1; ≤ 1; x + ≥ nên x − +1 1+ − x 1 + − (2 x + 1) < x − +1 1+ − x Từ suy ra: x = nghiệm phương trình Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối vô nghiệm ta thường dùng ước lượng bản: A + B ≥ A với B ≥ từ A+ B > A ≤ với số A, B thỏa mãn A+ B B ≥ suy Ví dụ 2: Giải phương trình: a) x − + x = x3 − b) x − x − ( x − ) x − − 3x + 28 = Giải: a) Điều kiện: x ≥ Ta nhẩm nghiệm x = Nên phương trình viết lại sau: ⇔ x − − + x − = x3 − − x2 − x2 −1 + x2 −1 + + x−3= x − 27 x3 − + x+3 x + 3x + ⇔ ( x − 3) + 1− =0 3 x − + x − + x − + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x = ⇔ x+3 x + 3x + +1− =0 x − + x − + x3 − + Ta dự đoán: x+3 +1− x + 3x + x2 −1 + x2 −1 + thay giá trị x ≥ ta thấy x+3 x2 −1 + x2 −1 + +1− Ta chứng minh: x + 3x + x3 − + x3 − + < 0) x+3 < ( Bằng cách x2 − + x2 − + < x + 3x + x3 − + >2 Thật vậy: + Ta xét Đặt x+3 (x − 1) + x − + x − x − = t > ⇒ x = t + Bất phương trình tương đương với t + 2t + > t + ⇔ t + 3t + 6t + 4t > Điều hiển nhiên + Ta xét: x + 3x + x −2 +5 > ⇔ x + 3x − > x3 − ⇔ x + x3 + x − x + > ∀x ≥ 0(*) Điều ln Từ suy phương trình có nghiệm nhất: x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b.) Điều kiện: x ≥ Để đơn giản ta đặt x = t ≥ ⇒ x = t3 Phương trình cho trở thành: t − 2t − (t − 4) t − − 3t + 28 = ⇔ 3t − t + 2t − 28 + (t − 4) t − = Nhẩm t = Nên ta phân tích phương trình thành: ⇔ 4t − t + 2t − 32 + (t − 4) ( ) t3 − −1 = t + 2t + ⇔ (t − 2) ( 4t + 7t + 16 ) + (t − 4) ÷ = t − + Để ý 4t + 7t + 16 > t ≥ nên ta có t + 2t + ( 4t + 7t + 16 ) + (t − 4) ÷ > Vì phương trình có t − +1 nghiệm t = ⇔ x = Nhận xét: Việc đặt x = t toán để giảm số lượng dấu giúp đơn giản hình thức tốn Ngồi tạo liên hợp (t − 4) > nên ta tách khỏi biểu thức để thao tác tính tốn đơn giản Ví dụ 3: Giải phương trình: a) x + + 19 − x = x + x + b) 3x − − x + = c) x+ x − 11 x2 + (Tuyển sinh vòng lớp 10 Trường = x ( x + 1) THPT chuyên Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội 2012) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x3 + x + x + = x2 + x + d) x + 2x + a) Điều kiện: −3 ≤ x ≤ 19 Ta nhẩm nghiệm x = 1, x = −2 nên ta phân tích để tạo nhân tử chung là: x + x − Để làm điều ta thực thêm bớt nhân tử sau: + Ta tạo x + − ( ax + b) = cho phương trình nhận x = 1, x = −2 nghiệm a= a + b = ⇔ Để có điều ta cần: −2a + b = b = 20 + Tương tự 19 − x − (mx + n) = nhận x = 1, x = −2 nghiệm a=− m + n = ⇔ Tức −2 m + n = b = 13 Từ ta phân tích phương trình thành: 20 4 13 x x + − x + ÷+ 19 − x − − ÷− ( x + x − ) = 3 3 ⇔ 4 + 19 − x − (13 − x ) − ( x − x − ) = x + − x + ( ) 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ⇔ − x2 − x + − x2 − x + + − ( x2 + x − 2) = x + + ( x + ) 3 19 − x + (13 − x) 1 ⇔ − ( x2 − x − 2) + + 1 = 3 x + + ( x + ) 3 19 − x + (13 − x) Dễ thấy với −3 ≤ x ≤ 3 19 − 3x + (13 − x) 19 > 0, x + + ( x + 5) >0 1 +1 > Nên x + + x + + ( ) 3 19 − 3x + (13 − x) x = Phương trình cho tương đương với x + x − = ⇔ x = −2 Vậy phương trình có nghiệm là: x = 3, x = b) Điều kiện: x ≥ Phương trình viết lại sau: x − − x + = x − 11 Ta nhẩm nghiệm x = 3, x = nên suy nhân tử chung là: x − 11x + 24 Ta phân tích với nhân tử x − sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ⇒ 2y + 2y + 4y < 2y + 4y < 2y + 2y = 4y < y Phương trình vơ nghiệm Với < x < Chứng minh tương tự, ta có phương trình vơ nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình 12) Ta có (*) ⇔ Giải: − x + x − − 2x − = x x x (1) Đặt u = x − ; v = x − u , v ≥ u − v = − x x x x 2 Do (1) thành: u − v + u − v = ⇔ ( u − v ) ( u + v + 1) = ⇔ u = v (vì u, v ≥ ) x− 5 = 2x − ⇔ x − = 2x − ≥ x x x x Phương trình x − = x − có nghiệm x = ±2 x x Từ ta có: (2) Từ (2) suy có x = nghiệm phương trình cho 13) Giải:Điều kiện x ≥ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương trình tương đương với: x+9 = x+ 2x 9x + 2x + ⇔ − =0 x +1 x +1 x +1 x +1 2x 8x 2x ⇔ − + = ⇔ − 1÷ ÷ =0 x +1 x +1 x +1 ⇔ 2x = ⇔ x = x + ⇔ x = (thỏa mãn x +1 Giải: 14) Điều kiện: x ≥ Dễ thấy x = nghiệm (1) Với x ≠ , chia hai vế (1) cho (1) ⇔ 3+ Đặt u = + x ≠ , ta được: 1 − 1− = x x 1 ≥ 0, v = − ≥ x x u = v + u − v = ⇔ Ta có hệ phương trình: 2 2 ( + v ) + v = u + v = (2) (3) Giải hệ ta v = 0, u = từ ta có x = 15) Giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( ) ⇔ ( x2 − 6x + 9) + x + − x + + = ⇔ ( x − 3) + ( x +1 − ) =0 x − = ⇔ ⇔ x=3 x +1 − = Vậy phương trình có nghiệm x = 16) Giải: Điều kiện: x ≥ −2 Nhân hai vế phương trình (1) với x + + x + > , ta phương trình tương đương: + x + x + 10 = x + + x + x + = x = −4 ⇔ ⇔ x + = x = −1 17) (l ) (tm) Giải: Đặt y = x , y ≥ , ta có (*) thành: 12 − 3 = 4y − 4y − y y Bình phương biến đổi thành: ( y2 − − y ) = ⇔ y2 − y − = Do nghiệm phương trình x = 1, x = −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Điều kiện: 18) ≤ x ≤1 Nhân tử mẫu vế trái với biểu thức x + + x ta thu được: ( x+3− x )( ) 1− x +1 = ⇔ x+3 + x ( ) 1− x +1 = ⇔ − x + = x + + x (*) Nếu x = VT (*) = = VP (*) nên x = nghiệm phương trình Nếu ≤ x < − x > ⇒ − x + > hay VT(*) > với ≤ x : áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 4x + 2x2 + 5 x2 + = x+ ≥ 3 x x = 25 x ( x + ) x 3x 3 3x Dấu xảy 2x2 + x= ⇔x= 3 3x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Trường hợp x < : từ phần ta thấy, với x < thỏa mãn bất phương trình x = Đáp số x < Giải: 20) Điều kiện x > Chia hai vế bất phương trình cho x ( x + 1) đặt t = x + , t ≥ , ta đưa bất phương trình x 1 1− ≤ t − t − t t Với điều kiện t ≥ hai vế (1) dương Bình phương hai vế ta đưa bất phương trình tương đương t − − 1÷ ÷ ≥0 t Bất phương trình nghiệm với t ≥ Vậy nghiệm bất phương tình cho x > 21) Giải: Điều kiện: ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: ( x − 2) ( − x ) ≤ x−2+4− x =1; http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x−2 = 4− x ≤ x − +1 +1 x − +1 x +1 ; ≤ = 2 x − 2.1 ≤ −x + ; x x = x 3.27 ≤ x + 27 Do VT ≤ VP với x thỏa mãn ≤ x ≤ Vậy nghiệm bất phương trình ≤ x ≤ 22) Đặt t = x2 − x ≥ ⇒ x2 − x = t Phương trình trở thành : t − ( x + 1) t − x − = Ta có x + − ( x + 3) = −1 t = 2 ∆ = x + x + + x + = ( x + 3) ⇒ Do t ≥ ta x +1+ x + = x+2 t = x ≥ x2 − x = x + ⇔ ⇒ x = + 13 x − 6x − = 2 x − ≥ Điều kiện: 1 − x ≥ Bình phương vế ta thu x − x2 ≥ cần giải: 23) được: x − + − x + ⇔ −2 x + x − ⇔ ( ( x − 1) ( − x ) ( x − 1) ( − x ) − x2 − 2x −1 ) = ( x − x2 ) =0 −1 − x = = ⇔ 1− 2x2 = 2x − ⇔ x2 + x − = ⇔ −1 + x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đối chiếu với điều kiện nài tốn có nghiệm x = −1 + thỏa mãn điều kiện 24) Ta viết lại phương trình thành: 16x2 + 32x − 40 − x + 15 = ⇔ ( 4x + 4) − 56 = 4x + 60 Đặt 4x + 60 = 4y + ta có hệ sau: 4y + = 4x + 60 4y + = 4x + 60 ) ) ( ( ⇔ 2 ( 4x + 4) − 56 = 4y + ( 4x + 4) = 4y + 60 Trừ vế phương trình hệ ta có: ( 4x + 4) − ( 4y + 4) = 4( y − x) ⇔ 16( x − y ) ( x + y + 8) = 4( y − x) x = y ⇔ 4( x + y + 8) = Giải phương trình ứng với trường hợp ta thu được: x = 1;x = −9 + 221 3− x ≤ Điều kiện: 25) 3+ x ≥ Ta viết lại phương trình thành: ( 2x − 3) + (x + 1) = (x − 1) (x − 1)(2x − 3) − (x + 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word u = 2x − v = (x − 1)(2x − 3) − (x + 1) Đặt ta có hệ phương trình: u + x + = (x − 1)v v + x + = (x − 1)u Trừ vế hai phương trình ta có: u = v ( u − v) ( u + v + x − 1) = ⇔ u = −v − x + Giải theo hai trường hợp ta thu phương trình vơ nghiệm 26) Cách 1: Ta viết lại phương trình thành: x2 − 3x + = − x2 − 3x + 1= − ( (x 3 )( )( ) ) ( ( ) + x + x2 − x + ⇔ x2 − x + − x2 + x + = − ) ( )( ) ( )( 3 ) 3 x + x + x2 − x + ⇔ x2 − x + − x2 + x + = − x + x + x2 − x + 3 ) ( Chia phương trình cho x + x + > ta thu được: x2 − x + 1 x2 − x + 1 Đặt ⇔ 2 ÷− 1= − ÷ t= x2 + x + 1÷ x2 + x + 1÷ Ta có phương trình: 2t2 + Giải x2 − x + 1 ÷> x2 + x + 1÷ t − 1= ⇒ t = 3 x2 − x + 1 ÷= ⇔ x=1 x2 + x + 1÷ * Cách 2: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word (x )( + x + x2 Xét x − 3+ Xét vế phương trình ta có: ta có: ≥ ta có phương trình: t − = − t −1 x chia x< x − 3+ hai =− x + 1+ x x2 Đặt t = x + hai vế phương trình = x + 1+ x x2 Đặt t = x + 27) chia x> ta có phương trình: t − = t −1 x Điều kiện: 1≤ x ≤ Phương trình viết lại: Ta viết lại phương trình thành: x − − + − x + 3x2 − 30x + 75 = ⇔ − 30x + 75 = ⇔ ( x − 5) x−1+ ( x − 5) x− 1+ + − x + (x − 5)(3x − 15) = + − x + (x − 5)(3x − 15) = x = ⇔2 + − x + (x − 5)(3x − 15) = 0 −2 − x x − 1+ x − + + − − x(3x − 15) = ( x − 5) Ta thấy − − x(3x − 15) ≥ 0∀x ∈ 1;5 Ta chứng minh: −2 − x x− 1+ + ≥ ⇔ x − + − − x ≥ điều hiển nhiên do: − x ≤ − = nên − 5− x > Vậy phương trình có nghiệm x = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Điều kiện x≥ 28) cho trở thành Đặt phương trình u = x − 1;v = 2x − ( 2u − 1) v = ( 2v − 1) u ⇔ ( u − v ) ( 2uv + 1) = 2 x ≥ + Nếu u = v ⇒ x − = 2x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x = 2+ 1 2 + Nếu 2uv + = ⇔ 2( 1− x) 2x − = 1⇒ x ∈ ;1÷ 1 Mặt khác ta có: 2( 1− x) < 2 1− ÷ = ; 2x − ≤ − = nên phương trình cho vơ nghiệm Kết luận: x = + 29) Sử dụng đẳng thức: ( a + b) = a3 + b3 + 3ab( a + b) Phương trình ⇔ 2x − + 33 ( x − 1) ( x − 2) ( ) x − + x − = 2x − x − + x − = 2x − 3 ⇔ (*) ⇔ x = 1;x = 2;x = ( x − 1) ( x − 2) ( 2x − 3) = 30) Điều kiện: −1 < x < Đặt t = 1− x2 x x2 + ⇒ t2 = + + 2 x x − x 1− x PT cho thành: 2t2 + 5t + = ⇔ t = −2; http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word −1< x < 1− x2 x + = −2 ⇔ ⇔ x= − * t = −2 ⇔ t = − x2 2 x =3 2+ 1− x 1− x2 x −1< x < 1− x2 x + =− ⇔ x2 hệ vô nghiệm x + =− 1− x2 2 1− x x * t=− ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm x = − 31) Điều kiện x ≥ −1 ) ( ( ) PT ⇔ ( x + 1) x2 − x + = x2 − x + + 2( x + 1) ⇔2 x+1 x − x+ −5 x+1 x − x+1 + = 0(Do : x2 − x + > 0∀x) t = ,t ≥ , ta có: 2t − 5t + = ⇔ Đặt t = t = x − x+ x+ * t = 2⇔ * t= x+1 x − x+ = ⇔ 4x2 − 5x + = PT vô nghiệm x+1 ± 37 ⇔ = ⇔ x2 − 5x − = ⇔ x = 2 x − x+ 32) Do VT ≥ nên ⇒ VP ≥ ⇔ x ≥ −1 3 3 Ta có PT ⇔ 2x + − 2x + ÷+ 2x − 2x + 1÷ = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2x2 − 2x − ⇔ ( 2x + 1) ( 2x + 1) ( 2x + 2) + ( 2x + 2) 2 +3 ⇔ 2x2 − 2x − = ⇔ x = 1± 2 2x2 − 2x − + x + 2x2 ( 2x + 1) + ( 2x + 1) 2 =0 nghiệm phương trình cho 33) Điều kiện: x ≥ − 3 Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình nên ta có: Phương trình ⇔ x + 6x − 2x + = x3 + 5x − ⇔ (1) x3 + 6x2 − 2x + x3 − 4x2 + − 2x = x3 + − 2x ⇔ = x3 + − 2x 5x − 5x − * Nếu x ≤ x3 + − 2x = ⇔ ⇔ x − 4x + = x ≤ − 21 ⇔ x= 2 ( x − 1) x − 3x − = − 21 Khi (1) ⇒ x = ( ) nghiệm phương trình * Nếu − 21 x3 − 4x2 + x3 − 4x2 + x≠ ⇒ ( 1) ⇔ = ⇔ 5x − x3 + + 2x x3 − 4x2 + = x3 + + 2x = 5x − (1) (2) Ta thấy: (1) có nghiệm x = 1;x = + 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x≥ x = x ≥ (2) ⇔ x3 + = 3x − ⇔ ⇔ ⇔ x3 − 9x2 + 6x + = ( x − 1) x2 − 8x − = x = + ( ) x = ⇔ 1) x2 − 8x − = x = + ( ) Vậy phương trình có nghiệm: x = 1;x = ± 21 ;x = + 22 34) Điều kiện: x > −4 x2 + x + PT ⇔ 2 − 1÷ + x2 − = ÷ x+ x2 + x + x+ ⇔ x2 + x + +1 x+ ( ) ( −1 ) + x2 + 1 x2 + ÷ x2 − ⇔ x2 + − x2 + + x − 3+ ( x + 4) ( x2 + x + 1) + x + + x2 − + =0 x2 − =0 + x2 + 1 x2 + ÷ ⇔ x2 − + 1+ =0 + x2 + 1 x2 + ( x + 4) x2 + x + + x + ÷ ( ) ) ( ⇔ x2 − = ⇔ x = ± 35) Điều kiện: x ≥ 3 * Với x ≥ , phương trình cho tương đương với: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 9x2 − 18 (1) = + 2 x x x +1 25 + Dễ thấy phương trình (1) có VP ≤ 25 − 9 − phương trình cho tương đương với x = 2 x + 18 x +1 9 = t < t ≤ ÷, phương trình (2) thành: 4 x 36( t − 2) Lưu (2) 25 − 9 − 4t = 2t + ⇔ ta có 162 + < 25 nên phương trình cho vơ nghiệm 13 * Với x ≤ − Đặt VT > 25 x ≥ − 4t + ý = 18t 18t ⇔ − 9 − 4t = 2t + − 16 1+ t 1+ t 2( t − 2) ( t + 4) t+1 0< t ≤ với t+ 18 = 1+ < 4< nên t+1 t+1 Vậy (3) ⇔ t = ⇒ x = − 18 t + 4 ⇔ ( t − 2) − ÷= − 4t + t + có 18 (1) 18 − 4t + ≥ t+ > − 4t + t + 18 − 2 KL: Phương trình có nghiệm x = − 2 36) Điều kiện: x ≥ −2 BPT viết lại: 5( 2x + 1) + 20( 3x + 6) ≤ 2x + 1+ 3x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đặt a = 2x + 1; b 3x + 6; BPT ⇔ 5a2 + 20b2 ≤ a + 4b a + 4b ≥ a = 2x + 1;b = 3x + 6;BPT ⇔ 5a2 + 20b2 ≤ a + 4b ⇔ 2 ⇔ a= b 5a + 20b ≤ ( a + 4b) x ≥ − 2x + = 3x + ⇔ ⇔ x=1 4x2 + x − = Kết luận: Nghiệm bất phương trình là: x = 37) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Bình phương vế ta có : x2 13 1− x2 + 1+ x2 ÷ = 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ) ( ( 13 13 1− x2 + 3 1+ x2 ≤ 13 + 27 13 − 13x2 + + 3x2 = 40 16 − 10x2 ) ÷ ( ( ) 16 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: 10x2 16 − 10x2 ≤ ÷ = 64 2 x= + x 1− x = ⇔ Dấu ⇔ 2 x = − 10x = 16 − 10x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ) ... nghiệm phương trình đó: thủ cơng ( sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp: • Đặt điều kiện chặt phương trình ( có) Ví dụ: Đối phương trình: x2 + + = x2 + + x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình. ..1 Giải phương trình vơ tỷ phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: Dấu hiệu: + Khi ta gặp tốn giải phương trình dạng: n f ( x) + m g ( x) + h( x) = Mà đưa ẩn, đưa ẩn tạo phương trình bậc cao... thấy: Phương trình xác định với x ∈ R Nhưng chưa phải điều kiện chặt Để giải triệt để phương trình ta cần đến điều kiện chặt là: + Ta viết lại phương trình thành: Để ý rằng: x + − x + < phương trình