Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ

Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ

Sở giáo dục và đào tạo hà nội Phòng giáo dục và đào tạo huyện thanh oai

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Thuộc: Huyện Thanh Oai

Đề tài thuộc lĩnh vực: Giảng dạy

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Nguyễn Trực

Thanh Oai - Hà Nội

Trình độ chuyên môn : Đại học -Toán

Bộ môn giảng dạy : Toán 9

Khen thởng : - Nhiều năm là chiến sĩ thi đua cấp cơ sở

- 2 năm có sáng kiến kinh nghiệm đạt cấp tỉnh

II nội dung đề tài

“Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ”.

Trong SGK Toán 9 đã đa ra cho học sinh một số phơng trình vô tỉ songmới chỉ là các phơng trình ở mức độ đơn giản, các em cha có hệ thống phơngpháp giải Vì vậy khi gặp các bài toán giải phơng trình vô tỉ các em lúng túng và

thờng mắc những sai lầm khi giải Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Hớng dẫn học

sinh giải phơng trình vô tỉ” để tránh đợc cho các em những sai lầm hay mắc

phải và có hệ thống phơng pháp giải phơng trình vô tỉ để luyện tập đợc nhiềudạng bài và phơng trình vô tỉ trở thành quen thuộc đối với các em

3 Phạm vi, thời gian thực hiện đề tài:

Phạm vi: Lớp 9A2 - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai

Thời gian: 12 tiết trong đó có 2 tiết kiểm tra

III Quá trình thực hiện đề tài

A- Khảo sát thực tế

Khi cha thực hiện đề tài này, gặp các bài toán giải phơng trình vô tỉ các

em lúng túng, đa số mắc phải sai lầm trong quá trình giải nh không đặt điều kiệncho ẩn để phơng trình có nghĩa và điều kiện cho ẩn trong các phép biến đổi tơng

đơng dẫn đến sai nghiệm của phơng trình

x 4 4

1 x 1 x 2

1 x 1 x 2

Để khắc phục sai lầm này ta có 2 cách:

Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức

Cách 2: Thử lại giá trị tìm đợc vào phơng trình ban đầu

Lời giải đúng nh sau:

Điều kiện có nghĩa của căn thức: x 1

0 1 x

0 1 x

Lời giải sai (2)  x  1  3  x

 x - 1 = 9 - 6x + x2

 x2 - 7 x + 10 = 0

 x1 = 2 ; x2 = 5Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 5

Nhng giá trị x2 = 5 không phải là nghiệm của phơng trình (2)

0 1 x 5

0 1 x

không phải là nghiệm của phơng trình (3)

Để khắc phục sai lầm này ta cần tìm điều kiện có nghĩa của căn thức hoặc phảithử lại các giá trị tìm đợc vào phơng trình (3)

* Các em không đặt ĐK để biến đổi tơng đơng:

Thật vậy các phơng trình (3’) và (3’’) là không tơng đơng khi 2 - 7x < 0 Phơngtrình (3’)  (3’’) với điều kiện 2 - 7x > 0, do đó x = 2 cũng không phải lànghiệm của phơng trình (3) Nên phơng trình vô nghiệm

Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho căn thức của (3) là x > 1, sau đó đặt điều

kiện cho (3’) tơng đơng với (3’’) là x <

7

2

các giá trị x1; x2 không thoả mãn các

điều kiện đó kết luận phơng trình vô nghiệm

Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa của các căn thức là x > 1  x <5x

 x  1  x  1  VT  0 ; VP  0 từ đó kết luận phơng trình (3) vô nghiệm

Biện pháp 3: Hớng dẫn cho các các em một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ thờng dùng Mỗi phơng pháp giáo viên nêu ra một số ví dụ cho HS làm, sau đây là một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.

I Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:

Để làm mất dấu căn ta nâng hai vế lên lũy thừa cùng bậc

Ví dụ 1: Giải phơng trình 3 + 2  x 3 = x (4) ĐK x >

2 3

VÝ dô 4: Gi¶i PT 10  x  x  3  5 (7)

0 3 x 0 x 10

VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh 1  x x  4 = x + 1 (8)

Gi¶i : §K 1 + x x2 4

 > 0(8)  1 + x x2 4

0 x

VÝ dô 6: Gi¶i PT ( 9 )

x

2 9

4 x

1 9

1 x

x 3

Gi¶i: §K : 0 ; x 0

x

2 9

4 x

1 9

4 x

1 9

1 3

1 x

4 x

1 9

1 9

1 x

2 x

4 3

2 x

4 9

4 x

4 x

1 ( x

1 0 x

4 x

4 x

1 0 x

2 9

4 x

1 9

x 3

3    (11)Gi¶i: (11)  2x + 1 + x + 33 x ( 2 x  1 ( 3 x  1  3 x )  1

 3x + 33 x ( x  1 )  0

 3 x ( 2 x  1 )   x

 x (2x+1) = - x3

 x(x2 + 2x + 1) = 0

 x (x+1)2 = 0

 x1= 0; x2 = -1Gi¸ trÞ x2 kh«ng tho¶ m·n (11)

VÝ dô 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh

x

1 1 x

VÝ dô 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x

1 x

3 x

0 3 x

) 3 x )(

1 x (

0 3 x

0 21 x 10

2 3 x 0

3 7 x

0 2 3 x

Các em cần nắm vững hằng đẳng thức A 2 A

 để làm mất dấu căn Sau

đó để phá dấu GTTĐ ta có thể xét khoảng hoặc dùng các bất đẳng thức

A  B  A  B xảy ra dấu “=”  A.B > 0

 x  1 = 0

 x = 1  K§X+ XÐt x  1 > 1  x > 2

2 1

 6  x 9 < -3

 6x - 9 < 9

 x < 3 KÕt hîp víi ®k x >

2 3

2 5

VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x3 + 21 x + 18 + 2 x2 x 7 2





 (21)Gi¶i: §K : x2 + 7 x + 7 > 0

VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2 + 2 x = 2 x2 x 1 x





 (22)Gi¶i: §K : x2 + x > 0  x(x+1) > 0  





 0 x

1 x

1 t

1 t

x

2

5 1

1 x

VËy ph¬ng tr×nh (22) cã 2 nghiÖm:

2

5 1 x

2

5 1 x

2 5 2 t

) loai ( 0 2 2 2

2 5 2 t 0 12 t 2 t

2

1 2

6 x

2 1

VËy ph¬ng tr×nh (16) cã 2 nghiÖm x1= 6 ; x2= - 2

(lo¹i)

0 12 x x 18 6 x x 2 3 6

VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

x

1 2

1 x 1

x x 1

0 x 1

x

(24) 

x

1 x x 1

1 x 0 t x

x 2

 = 1  2x = 1 + x  x = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)VËy PT (24) cã nghiÖm x = 1

VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2

4

1 x 2

1 x

1 t

2 2

1 x 2

1 2 2 t

loai 0 2

1 2 2 t 0 7 t 4 t 4 2 2

1 t

2

4

1 2

6 2 5 t 0 1 t 10 t 10 t

1 t

2

1 2

1 x 2 3 1 x

1 x

1 t 0 3 t 2 t ) 27 ( t 1

3

1 x

1 x 1 1 x

1 x 1 1 x

1 x

1 x 3 1 x

1 x

3 3 3 3

1 x x x

0 1 x

4 2

1 a

0 3 x

0 2 x 3 x

2 2

3 x

0 b

2 x

0 a

1 x

1 a

a

5 a

21 1

x

2

21 1

0 2 x

0 5 x

) loai ( 4 x 1 5 x

VN 3 x 0 2 x 5 x 2 x 5 x 1

b

1 a

b a

VËy (32) cã 1nghiÖm lµ x = -1

VÝ dô 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2 x 2 1 2 x 2 x 2 x

3

x           (33)

Gi¶i: §K:



0 2 x 2 x

0 2 x

0 2 x 3 x

2 x 2 1 b a

3 a

VËy ph¬ng tr×nh (35) cã hai nghiÖm x1 = - 61 ; x2 = 30

a 1

Ví dụ 19: Giải phơng trình 2  2

x 3 x

17    (39)Giải: điều kiện 0  x  17

16 v u

3 v u

4 x

2 2

35 xy 2 ) y x ( 17

7 y

 x=1 hoặc x = 4Vậy phơng trình (40) có 2 nghiệm x1 = 1, x2 = 4

IV Phơng pháp bất đẳng thức:

Ví dụ 1: Giải phơng trình x  1  x  1  x  2 (41)

 vµ

x

1 x

4 

x

1 x 1

1 x 1 x

x 2

x

1 x

1 x x

x 2

0 x

x

0 x

(50)

x

5 x x

1 x x

4

x     



¸p dông c«ng thøc:

b a

b a b a

1 x

x x 4 x

5 x x

x 3 x

) 3 ( 0 1

x 5 x

3

) 2 ( 0 2

x

) 1 ( 0 3

x 7 x

3

2 2 2 2

b a b a

4 x x 2 x 1 x x 3 x x

1 x x 3 x x

2 2

2 2

2 2

2 2

6 x 1

x x 3 x

x

x 4

2 2

2 2

2 x 3 1

x x 3 x

x

x 2 2

2 2

2 2

z

y

x          (52)

5 z

0 2

3 y

0 1

2 x

2 2

7 y

3 x

Vậy phơng trình (52) có 1 nghiệm (x, y, z) = (3, 7,14)

Ví dụ 13: Giải phơng trình : x x 1

3

1 1 x

; 2

5 3

Phơng trình (53) 3 ( x x 1 )

3

1 1 x

1 x x ( )

kết hợp với đk và thử lại thấy x =1 là nghiệm của phơng trình (53)

Đối với PT này ta thờng dùng các hằng đẳng thức nh bình phơng của mộttổng, bình phơng của một hiệu, BĐT Cosi, Bunhiacopxki, so sánh tập giá trị củahai vế, chứng minh nghiệm duy nhất Đặc biệt lu ý các dấu “=” xảy ra để kếtluận nghiệm

Biện pháp 4: Bài tập về nhà

Sau khi hớng dẫn các em một số phơng pháp để giải phơng trình vô tỉ với

53 ví dụ từ dễ đến khó với vốn kiến thức nhất định về phơng trình vô tỉ giáo viênnêu ra một hệ thống bài tập để cho học sinh luyện tập nhằm củng cố khắc sâukiến thức đã học

1 x ) 3 x ( 3 ) 1 x )(

3 x

1 x

38 x 12

IV Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng

Sau một thời gian kiên trì thực hiện các biện pháp trên, các em đã có kỹ nănggiải phơng trình vô tỉ Khi hoàn thành sáng kiến này tôi đã kiểm tra nửa lớp cònlại kết quả 95% học sinh đạt điểm trên 5, 5% học sinh đạt điểm dới 5

* Trong năm học 2009 - 2010 tôi đã có 8 em học sinh giỏi cấp Thành phố, trong

đó có: 2 em giải nhất, 1 em giải nhì, 5 em giải ba

20 em học sinh giỏi cấp huyện, trong đó: 2 em giải nhất, 1 em giải nhì, 2 em giải

3 và có 16 em đợc vào vòng 2 của huyện

* Trên đây là đề tài sáng kiến của tôi áp dụng trong năm học này Bài viết này

có lẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận đợc ý kiến đóng góp của Hội

đồng khoa học các cấp cho đề tài của tôi đợc hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn!

V Những kiến nghị và đề nghị sau quá trình thực hiện đề tài:

- Nhà trờng mua thêm sách tham khảo

- Mong muốn đợc tham khảo để học tập những sáng kiến kinh nghiệm hay

Thanh Oai, ngày 20 tháng 4 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thị Hơng

ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cơ sở

Chủ tịch

ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cấp trên

Chủ tịch