Phương trình vô tỷ, mũ, lôgáit, lượng giác.

PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC 2007-2008 GV: ĐỖ VĂN QUÝ – THPT PHƯƠNG SƠN Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH-HPT-BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. 2.1 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. 2.1.1 Nhị thức - Phương trình – Bất phương trình bậc nhất. 2.1.1.1 Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức f(x)=ax+b nếu a≠0. 2.1.1.2 Dấu của nhị thức bậc nhất 2.1.1.3 Ví dụ. 2.1.1.4 Bài tập. 2.1.2 Tam thức - Phương trình -Bất phương trình bậc hai. 2.1.2.1 Định nghĩa. 2.1.2.2 Giải và biện luận phương trình. 2.1.2.3 Định lí Viét. 2.1.2.4 Ví dụ. 2.1.2.5 Một số ứng dụng của tam thức bậc hai. 2.1.2.6 Bài tập. 2.1.3 Phương trình bậc ba. 2.1.3.1 Định nghĩa 2.1.3.2 Định lí Viét. 2.1.3.3 Khảo sát tính có nghiệm của phương trình bậc ba. 2.1.3.4 Ví dụ. 2.1.3.5 Bài tập. 2.1.4 Phương trình đại số khác. 2.1.4.1 Phương trình phản thương: ax 4 + bx 3 + cx 2 ± bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) 2.1.4.2 Phương trình hồi qui: ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 ( 2 e d a b   =  ÷   ) 2.1.4.3 Phương trình dạng: (x+a) 4 +(x+b) 4 =c. 2.1.4.4 Bài tập. 1. Giải các phương trình sau: 6:23:32 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 1 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH • 4x 4 + 12x 3 - 47x 2 + 12x + 4 = 0 • x 4 - 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 = 0 • x 4 + 2x 3 - 6x 2 + 2x + 1 = 0 • x 4 + 3x 3 - 14x 2 - 6x + 4 = 0 2.1.1 Phương pháp chung giải phương trình. Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Bước 2: Nhận dạng phương trình để lựa chọn một trong các phương án sau: 1/ Đặt ẩn phụ. 2/ Phân tích thành nhân tử. 3/ Đoán nghiệm rồi sử dụng lược đồ Hoocne. 4/ Chứng minh phương trình vô nghiệm (nếu nó vô nghiệm). 5/ Sử dụng phương pháp đồ thị. 6/ Sử dụng bất đẳng thức. 7/ Biến đổi phương trình về dạng tổng của các số không âm rồi sử dụng điều kiện có nghiệm của nó. Bước 3: Kiểm tra nghiệm với điều kiện và kết luận. 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. 2.2.1 Hệ phương trình bậc nhất. 2.2.2 Hệ phương trình bậc hai. 2.2.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc k. 2.2.4 Hệ phương trình đối xứng loại I. 2.2.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình f (x, y) 0 g(x, y) 0 =   =  được gọi là hệ phương trình đối xứng loại I nếu: f (x, y) f (y, x) g(x, y) g(y, x) =   =  . 2.2.4.2 Phương pháp giải. Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa. Bước 2: Đặt 2 x y S (S 4P) x.y P + =  ≥  =  . Bước 3: Thế vào hệ phương trình trên, giải hệ phương trình mới tìm được (S, P), rồi kiểm tra điều kiện 2 (S 4P)≥ nếu (S, P) thoả mãn thì x, y là nghiệm của phương trình 2 z Sz P 0.− + = Bước 4: Kiểm tra điều kiện có nghĩa của hệ phương trình và kết luận. Chú ý: Nếu hệ phương trình đối xứng loại I có nghiệm (x, y) thì (y, x) cũng là nghiệm của nó. 6:23:32 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 2 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.2.3.3 Bài tập áp dụng. 1. Giải các hệ phương trình sau: a/ x y x.y 5 (x y)xy 6 + + =   + =  b/ 2 2 2 2 2 2 x y xy 3 2x y y x x y xy 1 x y xy 2  + + = − −   + + = + + +   c/ 2 2 2x 3y x.y 6 4x 9y 12xy 1 + + =   + − =  . 2. (07-D) Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 3 3 3 3 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 15m 10 x y  + + + =     + + + = −   3. (D-04) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y 1 x x y y 1 3m  + =   + = −   4. Cho hệ phương trình (*) a) Giải (*) khi b) Tìm để (*) có nghiệm 5. Hãy tìm để hệ sau có nghiệm 6. Tìm để hệ sau vô nghiệm: 7. Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2.2.5 Hệ phương trình đối xứng loại II. 6:23:32 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 3 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.2.5.1 Định nghĩa: Hệ phương trình f (x, y) 0 g(x, y) 0 =   =  được gọi là hệ phương trình đối xứng loại II nếu f (x, y) g(y, x) g(x, y) f (y, x) =   =  .(hay hệ phương trình f (x, y) 0 f (y, x) 0 =   =  chính là hệ phương trình đối xứng loại II). 2.2.5.2 Phương pháp giải. Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa. Bước 2: Trừ vế với vế của phương trình này với phương trình kia trong hệ. Bước 3: Kết hợp phương trình mới với một trong hai phương trình trong hệ ta sẽ giải được hệ phương trình. Trong bước này thường xuất hiện một phương trình đối xứng loại I, ta tạo ra một phương trình đối xứng loại I nữa bằng cách cộng vế với vế của hai phương trình đã cho, rồi áp dụng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I Bước 4: Kiểm tra điều kiện có nghĩa của hệ phương trình và kết luận. Chú ý: Trong các nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại II thì nó thường có nghiệm (x, x). 2.2.5.3 Bài tập áp dụng. 1. Giải các hệ phương trình sau: 1. 2x 3y x.y 6 3x 2y x.y 6 + + =   + + =  2. 2 2 2x 3xy 4y 1 2y 3xy 4x 1  + − =  + − =  3. 2 2 x 1 2y x y 1 2x y  + =    +  =   4. (B-03) 2 2 2 2 y 2 3y x x 2 3x y  + =    +  =   . 5. 6. 7. 8. 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 6:23:32 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 4 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ. 2.3.1 Bất phương trình bậc nhất. 2.3.2 Bất phương trình bậc hai. 2.3.3 Bất phương trình khác. Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng f(x)>0, (hoặc f(x)<0). (Chú ý khi ta quy đồng không bỏ mẫu) Bước 3: Lập bảng xét dấu f(x). Bước 4: Kết hợp vói điều kiện và kết luận. Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 2.1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 2.1.1 Bất phương trình vô tỷ cơ bản: Dạng Dạng phương trình Hướng biến đổi Điều kiện hoặc chú ý 1. 2n f (x) g(x).= 2n g(x) 0 f (x) g (x) ≥   =  n Z,n 1∈ ≥ 2. 2n 1 f (x) g(x). + = 2n 1 f (x) g (x) + = n Z,n 1∈ ≥ 3. 2n 2n f (x) g(x).= f (x) 0 g(x) 0 hay f (x) g(x) f (x) g(x) ≥ ≥     = =   n Z,n 1∈ ≥ Ta chọn một trong hai hệ bên tất nhiên chọn hệ đơn giản hơn. 6:23:32 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 5 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 4. f (x) g(x) h(x)+ = [ ] f (x) 0 g(x) 0 h(x) f (x) g(x) f (x)g(x) 2   ≥   ≥   − +  =   Đặt điều kiện, bình phương hai vế đưa về Dạng 1. 5. f (x) g(x) h(x)− = g(x) h(x) f (x)+ = Chuyển vế đưa về Dạng 4. 6. ( ) ax+b cx d k a c x b d− + = − + −    Nhân liên hợp, đưa về hai phương trình đơn giản hơn. Không đơn giản hai vế mà chuyển vế đặt nhân tử chung. 2.1.2 Bài tập áp dụng. 1. (B-04) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ( ) 2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − . 2. (B-06) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 2 x mx 2 2x 1+ + = + . 3. (A-07) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = − . 4. (B-07) CMR với mọi giá trị dương của m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2 x 2x 8 m(x 2)+ − = − . 5. Giải phương trình: x 2 4x 5 x 1 2 + + − − = (A-08). 6. Giải các phương trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 6:23:32 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 6 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 9. 10. 11. 12. 7. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: 8. Định m để phương trình sau có nghiệm : 9. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: 10. Định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 2.2.1 Bất phương trình cơ bản. Dạng Dạng bất phương trình Hướng biến đổi Điều kiện hoặc chú ý 1. 2n f (x) g(x).> 2n g(x) 0 g(x) 0 hay f (x) 0 f (x) g (x) ≥ <     ≥ >   n Z,n 1∈ ≥ 2. 2n f (x) g(x).< 2n f (x) 0 g(x) 0 f (x) g (x)  ≥  >   <  n Z,n 1∈ ≥ 3. 2n f (x) g(x).≥ 2 g(x) 0 g(x) 0 hay f (x) 0 f (x) g (x) > ≤     ≥ ≥   n Z,n 1∈ ≥ 6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 7 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 4. 2n f (x) g(x).≤ 2n f (x) 0 g(x) 0 f (x) g (x)  ≥  ≥   ≤  n Z,n 1∈ ≥ 5. f (x) g(x) h(x)+ > [ ] f (x) 0 g(x) 0 2 f (x)g(x) h(x) f (x) g(x)  ≥  ≥   > − +  6. 2n 1 f (x) g(x). + > 2n 1 f (x) g (x) + > 2.2.2 Bài tập áp dụng. 1. (D-02) Gải bất phương trình: ( ) 2 2 x 3x 2x 3x 2 0− − − ≥ . 2. (A-04) Giải bất phương trình: 2 2(x 16) 7 x x 3 x 3 x 3 − − + − > − − . 3. (A-05) Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4− − − > − . 4. Tìm m để bất phương trình thoả mãn mọi 1 x ,3 2   ∈ −     ( ) ( ) ( ) 2 1 2x 3 x m 2x 5x 3+ − > + − + 5. Giải bất phương trình: 2 3x x 4 2 2 x − + + + < . 6. Giải bất phương trình: 2 x 3 5 x x 8x 18.− + − ≥ − + 2.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 1. (B-02) Giải các hệ phương trình sau: 3 x y x y x y x y 2  − = −   + = + +   . 2. (A-06) Giải hệ phương trình x y xy 3 x 1 y 1 4  + − =   + + + =   3. Giải hệ phương trình: 2 2 x y 3 2 5 y 5x x x 3xy y 3 0  − = +  +   + − + =  6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 8 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 4. Cho hệ phương trình (với ) 1.Giải hệ phương trình khi m=9. 2.Xác định m để hệ có nghiệm. 5. Tìm tất cả các giá trị của a để hệ sau có nghiệm (x, y) thỏa mãn điều kiện : Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. 3.1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. Dạng Phương trình Cách giải Công thức nghiệm 1. sinx=a a 1> vô nghiệm a 1≤ có nghiệm x k2 x k2 α π π α π = +   = − +  (với sinα=a, k∈Z) 2. cosx=a a 1> vô nghiệm a 1≤ có nghiệm x k2 x k2 α π α π = +   = − +  (với cosα=a, k∈Z) 3. tgx=a Có nghiệm với mọi a x k α π = + (với tgα=a, k∈Z) 4. cotgx=a Có nghiệm với mọi a x k α π = + (với cotgα=a, k∈Z) 3.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. Dạng Phương trình Cách giải 5. a.sinx+bcosx=c - Kiểm tra điều kiện có nghiệm 2 2 2 a b c+ ≥ . - Chia cả hai vế cho 2 2 a b+ , đưa phương trình về dạng 2 2 c cos(x- )= a b ϕ + , với 2 2 2 2 a sin a b b cos a b ϕ ϕ  =  +    =  +  6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 9 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 6. đối xứng đối với sinx và cosx. - Đặt t=sinx+cosx, điều kiện t 2≤ , có 2 t 1 sin x.cos x 2 − = . Đưa về phương trình đại số. 7. đối xứng đối với sinx và -cosx. - Đặt t=sinx-cosx, điều kiện t 2≤ , có 2 1 t sin x.cos x 2 − = . Đưa về phương trình đại số. 8. đẳng cấp bậc k. + cosx=0, thay vào phương trình để kiểm tra nghiệm. + cos x 0 ≠ , chia cả 2 vế cho cos k x, đưa về phương trình bậc k ẩn là tgx. 9. chỉ chứa sinx và cosx., tgx + Đặt điều kiện. + Đặt tg(x/2)=t, adct: sinx=2t/(1+t 2 ), cosx=(1-t 2 )/(1+t 2 ), tgx=2t/ (1-t 2 ) . + Đưa về dạng phương trình đại số ẩn t. 3.3 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC. 1. (A-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0. 2π) của phương trình: 2. cos3x sin 3x 5 sin x cos 2x 3 1 2sin 2x +   + = +  ÷ +   3. (B-02) Giải phương trình: 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − 4. (D-02) Tìm x thuộc đoạn [0. 14] nghiệm đúng phương trình: 5. cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0− + − = 6. (A-03) Giải phương trình: 2 cos2x 1 cot gx 1 sin x sin 2x 1 tgx 2 − = + − + 7. (B-03) Giải phương trình: 2 cot gx tgx 4sin 2x sin 2x − + = 8. (D-03) Giải phương trình: 2 2 2 x x sin tg x cos 2 4 2 π   − −  ÷   9. (B-04) Giải phương trình: ( ) 2 5sin x 2 3 1 sin x tg x− = − 10.(D-04) Giải phương trình: ( ) ( ) 2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x.− + = − 11.(A-05) Giải phương trình: 2 2 cos 3xcos 2x cos x 0.− = 12.(B-05) Giải phương trình: 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0.+ + + + = 13.(D-05) Giải phương trình: 4 4 3 cos x sin x cos x sin 3x 0. 4 4 2 π π     + + − − − =  ÷  ÷     14.(D-06) Giải phương trình: cos3x cos 2x cos x 1 0.+ − − = 15.(B-06) Giải phương trình: x cot gx sin x 1 tgxtg 4. 2   + + =  ÷   16.(A-06) Giải phương trình: ( ) 6 6 2 cos x sin x sin x cos x 0. 2 2sin x + − = − 6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 10 [...]... ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 17 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 14 Cho phương trình : với m là tham số Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm 15 Cho phương trình a)Giải phương trình với m=6 b)Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng 16 Xác định m để phương trình sau có nghiệm : Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT 5.1 Phương trình lôgarít cơ... Giải các hệ phương trình sau: 1 6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 21 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2 3 4 5 : 6 7 8 9 10 11 12 13 30 Cho phương trình Tìm (1) để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31 Cho phương trình Xác định tham số 32 Tìm để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: x12+x22>2 để mọi x∈[0, 2] thỏa mãn bất phương trình 6:23:33... 11 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 12 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 13 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH... x − 3 =0 Giải các phương trình sau: 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 19 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Giải các bất phương trình sau: 1 2 3 4 5 6 8 7 9 6:23:33 a6/p6 6/24/2013 ĐỖ VĂN QUÝ THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 20 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 10 11 12 13... TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 62 63 64 65 1 Tìm các nghiệm của phương trình sau thỏa mãn điều kiện 2 Cho phương trình Tìm  π π sao cho phương trình có đúng hai nghiệm: x ∈  − ,   4 4 3 Cho phương trình:  π 3π  Tìm mọi giá trị thực của m để phương trình có nghiệm  ,  2 2  4 Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0, 2π ) của phương trình : 5 Cho phương trình (*) 1 Giải phương trình khi 2 Tìm sao cho... THPT PHƯƠNG SƠN LỤC NAM BÁC GIANG 22 PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm duy nhất : 33 Cho phương trình 1) Giải phương trình khi 2) Tìm để có 2 nghiệm phân biệt trên đoạn [5/4, 2] 34 Cho hệ phương trình: 1 Giải hệ với m=2 2 Tìm m để hệ đã cho có nghiệm 35 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thoả mãn : x>1 và y . Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 2.1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ. 2.1.1 Bất phương trình vô tỷ cơ bản: Dạng Dạng phương trình Hướng. PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 14. Cho phương trình : với m là tham số. Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm. 15. Cho phương trình