Một số biện pháp nâng cao chất lượng dạy giải phương trình vô tỷ cho học sinh lớp 9

A MỞ ĐẦU I Lý chọn chọn đề tài Chúng ta biết toán học sở ngành khoa học, môn toán đóng vai trò quan trọng nhà trường Thông qua môn toán, học sinh nắm vững kiến thức toán học, từ dễ dàng học tập môn học khác để ứng dụng kiến thức học vào ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng lao động, quản lý kinh tế, việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Dạy học sinh học toán không cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng toán, từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo, hoàn thiện nhân cách Trong chương trình Toán THCS (Trung học sở), chuyên đề phương trình chuyên đề xuyên suốt năm học học sinh, toán đơn giản dành cho học sinh lớp 6,7 đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình cuối năm học lớp hoàn thiện nội dung phương trình đại số lớp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh THCS phải nắm bắt có kỹ giải phương trình cách thành thạo Trong vấn đề phương trình, phương trình vô tỉ kiến thức quan trọng đề cập từ lớp kiến thức vô quan xuyên suốt đến bậc phổ thông trung học Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ giải phương trình vô tỉ số học sinh hạn chế, học sinh không ngỡ ngàng bối rối giải phương trình kiến thức khó có nhiều dạng phương trình phức tạp Đặc biệt, với học sinh tham gia kỳ thi học sinh giỏi vấn đề quan trọng mà bắt buộc học sinh phải vượt qua Là giáo viên giảng dạy toán bậc THCS, trăn trở vấn đề này, làm để giúp học sinh giải thành thạo phương trình vô tỉ, gặp dạng toán phương trình vô tỉ em giải cách tốt Chính tìm ra: “ Một số biện pháp nâng cao chất lượng dạy giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9” II Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp cho học sinh hiểu sâu sắc thực hành thành thạo dạng toán “Giải phương trình vô tỉ” để nâng chất lượng tăng số học sinh giỏi III Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải phương trình vô tỉ tìm biện pháp nâng cao chất lượng giải phương trình vô tỉ cho học sinh giỏi bậc THCS IV Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp khảo sát thực tiễn - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp phân tích, tổng hợp B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Phương trình mảng kiến thức quan trọng toán học Theo Ăng ghen “ Toán học nghiên cứu mối quan hệ số lượng hình dạng không gian, giới khách quan Quan hệ đại lượng quan hệ số lượng “ Quan hệ số lương” hiểu theo nghĩa tổng quát trừu tượng Chúng quan hệ logic “ nhau”; “ ≤ ” ; “ ≥ ”; “”; tập hợp số mà hiểu phép toán tập hợp có phần tử đối tượng loại tùy ý: Mệnh đề, phép biến hình ” Những kiến thức phương trình nhiều nhà toán học nghiên cứu phát triển thành lý thuyết đại số cổ điển Không lý thuyết phương trình giữ vai trò quan trọng nhiều môn khác Toán học Có thể nói chương trình toán THCS phương trình vô tỉ chiếm vị trí đặc biệt Vì nội dung Toán học phong phú đa dạng với nhiều phương pháp khác Được làm việc với toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh vận dụng nhiều kiến thức khác để đến đích, trình tìm lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh lời giải với tìm lời giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu Tìm cách giải, phương pháp giải cho phương trình tốt Xong vấn đề thực có hiệu học sinh tìm cách giải toán theo phương pháp định Để việc tiếp thu học sinh đạt kết giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Đứng trước phương trình vô tỉ, học sinh phải biết phương pháp làm, hướng biến đổi để đưa toán từ chỗ phức tạp trở thành đơn giản tìm đến đáp số cách nhanh II Thực trạng việc dạy học giải phương trình vô tỉ trường trung học sở: Về phía giáo viên: - Chương trình SGK tiêt cho phương trình vô tỉ - Đối với dạng toán giải phương trình vô tỉ, kiến thức sách giáo khoa tập đề cập đến, để xây dựng phương pháp chung cho giải phương trình nói chung giải phương trình vô tỉ điều hạn chế Về phía học sinh: - Học sinh chưa hiểu sâu rộng toán phương trình vô tỉ đặc biệt toán khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo - Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng toán khác - Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học - Các em chưa có phương pháp học tốt, thiếu nhẫn nại gặp toán khó * Khảo sát thực tiễn Khi chưa thực đề tài này, hầu hết em làm tập lúng túng, thời gian làm nhiều, chí không tìm cách giải Để thực đề tài tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số kiểm tra kết sau: Tổng số HS 50 Xếp loại Khá Trung bình Giỏi Yếu SL % SL % SL % SL % 14 16 35 70 0 Thông qua kết khảo sát nghĩ cần phải tìm biện pháp rèn kỹ tư học sinh đồng thời phát huy tính chủ động tích cực, sáng tạo học tập để em chủ động chiếm lĩnh kiến thức, khả suy luận để giải tốt toán phương trình vô tỉ III Các giải pháp sử dụng dạy học giải phương trình vô tỉ: Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, sách giáo viên tài liệu tham khảo phương trình vô tỉ: Phương trình vô tỉ giới thiệu chương trình sách giáo khoa toán lớp 9, giải phương trình vô tỉ không gói gọn hay nhiều tiết dạy mà kiến thức xen kẽ phần luyện tập Tuy sách giáo khoa không viết sâu tập mức độ đơn giản sách tham khảo giải phương trình lại phong phú đa dạng Nhiều tập khó phức tạp Rèn kỹ tự học tự đọc tài liệu: Đối với học sinh THCS việc tự học, tự tìm tài liệu vô quan trọng Đây điều cần để học sinh có lượng kiến thức phong phú kiến thức mà người thầy cung cấp Để rèn luyện kĩ này, trước hết phải biết xác định rõ mục tiêu học tập giai đoạn phần kiến thức chương trình thân Với mục tiêu học tập, vàò kiến thức mà giáo viên cung cấp học sinh phải tự học, tự đọc tài liệu đểm học tốt mạch kiến thức đó, có với nâng cao chất lượng học học sinh đẻ đạt mục tiêu đè Sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học vận dụng để giải phương trình vô tỉ: * Khái niệm: Phương trình vô tỉ phương trình đại số chứa ẩn dấu thức (ở đề cập đến phương trình mà ẩn nằm dấu bậc hai bậc ba) * Phương trình vô tỉ phong phú đa dạng, hướng chung để giải phương trình vô tỉ làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ 3.1 Phương pháp nâng lên luỹ thừa: a Kiến thức vận dụng: + (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 + (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3  g ( x) ≥ + n f ( x ) = g ( x) ⇔  2n  f ( x) = g ( x ) + A = m ⇔ A = m3 b Ví dụ: *Ví dụ 1: Giải phương trình sau: + x − = x (1) Giải Điều kiện có nghĩa: x − ≥ ⇔x≥ (2) (1) ⇔ x − = x − (3) Với điều kiện x − ≥ ⇔x≥2 (3) ⇔ 2x - = (x-2)2 (4) (5) ⇔ 2x − = x − 4x + ⇔ x − 6x + = Giải ta x1=1 không thoả mãn (4) x2 = thoả mãn (2) (4) *Ví dụ 2: Giải phương trình: x − − x − = 3x − (1) x −1 ≥  Phương trình (1) có nghĩa: ⇔ 5 x − ≥ ⇔ x ≥ (2) 3x − ≥  (1) ⇔ x − = 3x − + x − Hai vế dương, bình phương hai vế ta x − = x − + x − + (3 x − 2)(5 x − 1) ⇔ − x = 15 x − 13x + 2 − x ≥ ⇔ 2 4(15 x − 13 x + 2) = (2 − x)   x ≤ (3) ⇔ 11x − 24 x + =  Ta thấy ĐK (3) ĐK (2) mâu thuẩn với Vậy phương trình vô nghiệm *Ví dụ 3:Giải phương trình x +1 − x − = (1) Giải Điều kiện: x ≥ (2) Viết PT (1) dạng x + = x − + (3) Hai vế (3) không âm, bình phương hai vế ta x +1 = x − +1+ x − ⇔ 2=2 x−2 ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = thoả mãn điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm x= *Lưu ý: + Nếu để nguyên PT (1) bình phương hai vế ta phải đặt ĐK x+1 ≥ x − ( đk đúng) + Nếu biến đổi (1) thành x +1 ≥ ⇔ x ≥ đặt ĐK x − = x + − bình phương hai vế ta phải *Ví dụ 4: Giải phương trình: x + = − − x (1) Giải (1) ⇔ x + + − x = ⇔ (3 x + + − x ) = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = ⇔ ( x + 1)(7 − x) = Giải (1) ( thỏa mản ĐK )  x = −1 ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x =-1 ; x = * Ví dụ 5: Giải phương trình: x + + x −1 = 5x Giải: Lập phương hai vế ta có: x + 3 x − 1( x + + x − 1) = x ⇔ x + 3 x − x = x ⇔ 3 x − x = 3x ⇔ x − x = x x( x − 1) = x3 x3 − x = x = x = ⇔  4 x − =  x = ± Vậy: x ∈ { 0; − ; 5 } c Chú ý: - Khi bình phương hai vế phương trình cần ý điều kiện hai vế dương - Trước lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình dạng thuận lợi để hạn chế trường hợp có lời giải ngắn gọn d Bài tập tương tự: Giải pt sử dụng phép bình phương 1/ x2 - 4x =8 x − (x = 4+2 ) 7 + x− = x x x 2/ x2 − 3/ x + - x + = x + - x + 10 (x = 2) (x= - 1) Sử dụng phép lập phương: 1/ x − + x − = x − (x = 4; 2) 3/ x + + 3x + = x − (x=- 1) 4/ + x + − x =1 (x= 28 27 ) 3.2 Phương trình đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: a Kiến thức vận dụng : +) f ( x) = f ( x) = f (x ) f ( x) ≥ − f (x) f ( x ) < +) Phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ) b Ví dụ: *Ví dụ 6: Giải pt: x − x + + x = (1) Giải: ( x − 2) + x = ⇔ x−2 +x =8 Nếu x ≥ x − + x = ⇔ x = ( thỏa mãn ĐK xét) Nếu x < − x + x = ⇔ = => vô nghiệm Kết luận : x=5 nghiệm pt *Ví dụ :Giải phương trình : x + − x x − + x + − x − = (1) Giải: Điều kiện : x-2 ≥ hay x ≥ (2) ⇔ ( x − − 2) + ( x − − 3) = ⇔ x−2 −2 + x −2 −3 =1 Cách 1: Chia trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b , dấu “=” xảy a.b ≥ Khi x − − + 3− x − ≥ x −2 −2+3− x −2 =1 (3) Dấu “=”xảy khi: ( )( ) x − − − x − ≥ (4) Giải (4) ta được: ≤ x ≤ 11 Thoả mãn (2) Vậy nghiệm phương trình (1)là : ≤ x ≤ 11 c Chú ý : + Phương pháp thường áp dụng biểu thức dấu bậc hai viết thành bình phương biểu thức + Có phương trình cần phải biến đổi có dạng d Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1) x + 2x + + x − 2x + = 2) x + x2 −1 − x − x2 −1 = 3) ( x ≥ 1) ( x = 2) 5   ≤ x ≤ 3 2  x + + 2x − + x − − 2x − = 2 3.3 Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp:  f ( x) + g( x)   f ( x) − g( x)  = f ( x) − g ( x)    * Ví dụ 8: Giải phương trình sau: x + 3x + + x − x + = 3x Giải Xét phương trình x + 3x + + x − 3x + = 3x (1) Với x = nghiệm phương trình cho Phương trình(1) có nghiệm x > ( x + 3x + ) –( x − 3x + ) = 6x hay ( x + 3x + + x − 3x + ) ( x + 3x + − x − 3x + ) = 6x Hay: 3x( x + 3x + − x − 3x + ) = 6x Ta có ( x + 3x + − x − 3x + ) = (2) Cộng (1) (2) vế với vế ta 2 x + 3x + = 3x + 2 Để phương trình có nghiệm cần phải có điều kiện x ≥ − Tiếp tục bình phương hai vế ta có : ( x + 3x + ) = x + 12 x + Hay x2 = 16 suy x = ( thỏa mãn ĐK) ; x = − 4  ( bị loại) Vậy phương trình có nghiệm x = Hướng dẫn ( x + 13 − x + )( x + 13 + x + ) = 3x + 12 Đáp số x = − * Ví dụ 9: Giải phương trình: 3(2 + x − 2) = x + x + Giải: Phương trình tương đương: x − − x + = x − (1) (Đkxđ x ≥ −2 ) Nhân biểu thức liên hợp vế trái vào hai vế ta có: 9( x − 2) − ( x + 6) = (2 x − 6)(3 x − + x + 6) 9( x − 2) − ( x − 6) 8( x − 3) ⇔ x−2 + x+6 = = 2( x − 3) 2( x − 3) Thử x=3 vào phương trình cho thấy thỏa mãn, x=3 nghiệm phải tìm Giải tiếp với x≠ 3, suy x−2 + x+6 = (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta được: x − = x − ⇔3 x − = x −1 x −1 > x >1 ⇔ ⇔  2 9( x − 2) = ( x −1) x −11 +19 = Nghiệm x = 11 ± bị loại không thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x = * Bài tập tương tự: 1) Giải phương trình x + − 3x − = ĐKXĐ x ≥ x+3 (1) ta có ( x + 1) − ( 3x − ) = x + Hay ( x + − 3x − 2)( x + + 3x − 2) = x + (2) Thay (1) vào (2) ta có :  x+3  ÷   ( ) x + + 3x − = x + ⇔ x + + 3x − = 5(3) Từ (1) (3) : 4x +1 = x + 28 (ĐK x ≥ -28) Từ (1) (3) Ta có 3x − = 22 − x 56 (ĐK 22 − x ≥ ⇒ x ≤ 22 ) Vậy S= { } 2) Giải phương trình x + + x + 13 = x + 12 (1) 3) x + 45 − x − 16 = giải tương Đáp số x = Đáp số x = -109 ; x = 80 3.4 Phương pháp đặt ẩn phụ: a Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn mới: *Ví dụ 10: Giải phương trình x − x + 13 = x − x + (1) Giải : Ta có :  11  x − 5x + =  x −  + >0 2  Đặt: x − x + = y ≥ ⇒ x − x + = y (2) Khi (1) ⇔ y2 + = 4y ⇔ y2 + - 4y = ⇔ ( y-2) ⇔ y=2 Thay vào (2) ta có ⇔ x − x + = ⇔ x − 5x + =  5+ x =   5− x =  ⇔  Vậy nghiệm phương trình là:  x =  5+ 5− ;x = 2 *Ví dụ 11: Giải phương trình: x + x + + x + =2 (1) Giải: Điều kiện: x ≥ − Đặt: x+ (2) = y≥0 10 ⇒ x = y2 − 4 Khi (1) trở thành y − + ( y + ) =  −2 −1 y = ⇔ 4y2 + 4y − = ⇔   2 −1 y =  Trường hợp y = − 2 −1 < loại ⇒ x = − , thoả mãn điều kiện (2) Vậy nghiệm phương trình : x = − *Ví dụ 12: Giải phương trình: x +1 + x + + x + = (1) Giải: x+2 = y Đặt: (1) ⇔ y − + y + = − y Lập phương hai vế ta có : y = y3 y − y = ⇔  y = y − (+) Nếu: y = ⇔ x + = ⇔ x = −2 (+) Nếu y = y − ⇔ y = y − , vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình : x = -2 b Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: * a Dạng: ax + b = r (ux + v) + dx + e (1) Với a, u, r ≠ Đặt u y + v = ax + b Khi phương trình (1) đưa dạng : u ( x − y )(ruy + rux + 2ur + 1) = * Ví dụ 13: Giải phương trình: x + 15 = 32 x + 32 x − 20 (1) Giải: Điều kiện: x + 15 ≥ ⇔ x ≥ − 15 11 Khi đó: (1) ⇔ x + 15 = 2(4 x + 2) − 28 Đặt: y + = x + 15 Điều kiện: y + ≥ ⇔ y ≥ (2) (3) −1 Khi (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4) Từ (3) ta có : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5) (4 x + 2) = y + 15(4) Từ (4) (5) có hệ:  (4 y + 2) = x + 15(5) Trừ vế với vế (4) cho (5) ta (x- y)(8x + 8y + 9) = +) Nếu: x-y = ⇔ x = y thay vào (5) ta : 16x2 + 14x-11 =0  x = ⇔  x = − 11  với x = − 11 , loại +) 8x + 8y + = ⇔ y = −8 x − , Thay vào (4) ta được: 64x2 + 72x-35 =0  −9 − 221 (loai ) x = 16  ⇔  −9 + 221 x = 16  − + 221 x2 = 16 Vậy nghiệm phương trình : x1 = * Dạng: ax + b = r (ux + v) + dx + e (1) Đặt uy + v = ax + b (1) đưa dạng: u ( y − v)(rP + rPQ + rQ + 1) = Trong đó: P = uy + v Q = ux + v 12 * Ví dụ 14: Giải phương trình: 3x − = x − 36 x + 53x − 25 (1) Giải (1) ⇔ 3x − = (2x-3)3- x+2 (2) Đặt: 2y - = 3x − ⇔ 3x − = (2 y − 3) (2) ⇔ y + x − = (2 x − 3) (3) (4) 3 x − = (2 y − 3) Từ (3),(4) có hệ :  2 y + x − = (2 x − 3) Trừ vế với vế ta : ( x − y )( P + Q + PQ + 1) = (5) Trong : P = y − Q = 2x − ∀x, y Vì: P + Q + P.Q + > Do :(5) ⇔ x = y Thay vào (3) ta được: (x-2)(8x -20+11)=0 ⇔ x =2 ; x = + ; x3 = 5− *Một số dạng khác: *Ví dụ 15: Giải phương trình: x − + x + = (1) Giải Điều kiện: x ≥ −1 Đặt: (2) x − = y ⇒ x − = y3 x +1 = z ≥ ⇔ x +1 = z2 ⇒ z2 − y2 = Với điều kiện (2) (1) đưa hệ: y + z =  2 z − y = z ≥  y = z = Giải hệ ta được:  Từ suy ra: x = nghiệm phương trình (1) 13 1 =2 * Ví dụ 16: Giải phương trình: x + − x2 (1) Giải: Điều kiện: Đặt: x ≠  − < x < 2 − x2 = y > ⇒ x2 + y2 = x + y =  Ta có hệ: (1)  1 x + y =  Đặt: x +y = S ; xy = P (1)  P = 1, S = S − P = ⇔ ⇔  P = − , S = −1 S = P    −1+ x =  +Trường hợp 1: Ta x= y =1; Trường hợp 2:  y = −1−   −1− x =   y = −1+  Từ ta x = 1; x = −1− nghiệm c Chú ý: * Giải phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải nhiều toán khó, nhiên để đặt làm ẩn phụ có ẩn phụ phải biết nhận xét tìm mối liên quan biểu thức phương trình, liên quan ẩn * Cần phải có kỹ giải phương trình hệ phương trình d Bài tập áp dụng: 1) x + x − = + x + x 2) x + x − + x − x − = (đặt x − = y ≥ 0; x = ) Đặt hệ phương trình: 1- x3 + = 2x − 6x + 14 Đặt: 2- x + = a, x − x + = b x + = 2( x + 2) Đặt: x + = a; x − x + = b( x − ± 37 ) x = + 13; x = − 13 3- x x− Đặt: 4- 1 + 1− = x x x 1 1+ = a; − = b; x = x x 2 − x + x −1 = Đặt − x = a; ⇒ x ∈ { 1; 2;10} 5- 3x + = −4 x + 13 x − (Đặt y − = 3x + 1, x = 1; 11 11 + 37 ; ) - x − 4x − = x − (Đặt x + = y − 2, x = −1; + 29 ) - x + = 33 − (Đặt 3x − = y, x = 1;−2) 3.5 Phương pháp bất đẳng thức: Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời phương trình vô nghiệm: * Phương trình: f(x) = g(x) Nếu tập giá trị f(x), g(x) là: S 1, S2 mà S1 giao với S2 rỗng phương trình vô nghiệm * Ví dụ 17: Giải phương trình: x − − x − = x − (1) Giải Điều kiện: x ≥ Với điều kiện thì: x − < x − Khi vế trái (1) âm, vế phải dương phương trình (1) vô nghiệm 2- Sử dụng tính đối nghịch hai vế: * Phương trình F(x) = G(x) (1) 15 Nếu: F(x) ≥ K, dấu đẳng thức sảy x = a G(x) ≤ K, dấu đẳng thức sảy x = b (k,a,b số) ) a = b ⇒ (1) có nghiệm là: x = a ) a ≠ b ⇒ (1) vô nghiệm * Ví dụ 18: Giải phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (1) Giải Vế trái: 3( x + 1) + + 5( x + 1) + ≥ + = Vế phải: 4-2x – x2 = 5- (x+1)2 ≤ Do hai vế x =-1, với giá trị hai bất đẳng thức đẳng thức Vậy x = -1 nghiệm phương trình * Ví dụ 19: Giải phương trình: − x + x + = x − x + 13 (1) Giải Sử dụng bất đẳng thức: a1b1 + a b2 ≤ a1 + a 2 b1 + b2 a a (Với dấu “=” xảy b = b ) Vế trái: − x + x + ≤ 12 + 12 − x + x − = Dấu “=” xảy x=3 Vậy phương trình vô nghiệm * Sử dụng tính đơn điệu hàm số: * Ta nghiệm cụ thể chứng minh trường hợp khác ẩn không nghiệm phương trình * Ví dụ 20: Giải phương trình: x − + x + = (1) Giải Ta thấy x = nghiệm phương trình + Với x > x − > 1và x + > ⇒ vế trái (1) lớn + Với -1 ≤ x < x − < 1và x + < ⇒ vế trái (1) nhỏ Vậy x = nghiệm phương trình * Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt *Dạng áp dụng bất đẳng thức Côsi *Ví dụ 21 :Giải phương trình 16 x2 + x + 5 + x2 − x + = 4 Bằng phương pháp bình phương hai vế giải PT ,song tương đối phức tạp Ta sử dụng phương pháp sau Áp dụng bất đẳng thức Côsi a+b ≥ 2ab Với a,b số không âm Dấu “=” xảy ⇔ a=b Ta nhận thấy x2 + x + 5 + x2 − x + ≥ 4 5 x2 + x + x2 − x + 4 5 25 x + x + x − x + = (x + )2 − x = x + x + ≥ 4 16 mà Nên x + x + + x − x + 5 ≥2 = 4 5 Dấu đẳng thức xảy ⇔ x + x + = x − x + Vậy PT có nghiệm * Ví dụ 22: Giải phương trình: ∀x ⇔x=0 x=0 x 4x − + 4x − =2 x (1) Giải Điều kiện: x > (2) Sử dụng bất đẳng thức: a b + ≥2 b a Với a,b > dấu “=” xảy a = b Do đó: x 4x − + 4x − ≥2 x Dấu “=” xảy ⇔ x = x − ⇔ x − 4x + = ⇔ x = 2± Thoả mãn (2) Vậy nghiệm phương trình là: x = ± * Bài tập áp dụng: 17 1) x − + − x = x − 10 x + 27 (x = 5) 2) 3x 2−12 x +6 + y − y + 13 = (x = y = 2) 3) x + = x − x − (Vô nghiệm) 4) x − + x + + ( x − 1)( x − 3x + 5) = − x 5) 16 x−3 + y −1 + 1225 z − 665 = 82 - x − − y − − z − 665 (x = 19; y = 5; z = 1890) *Những ý: * Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh sai lầm sau: + Không ý đến điều kiện có nghĩa thức + Không đặt điều kiện có nghĩa thức * Để giải phương trình vô tỉ thành thạo kiến thức sau cần nắm vững + Các phép biến đổi thức + Các phép biến đổi biêủ thức đại số + Các kiến thức phương pháp giải phương trình hệ phương trình + Các kiến thức bất đẳng thức IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm : Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường THCS Trần Mai Ninh thu kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua học, qua kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật giải toán * Khảo sát thực tiễn Tổng số HS 50 Xếp loại Khá Trung bình Giỏi Yếu SL % SL % SL % SL % 15 30 30 60 10 0 18 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ I- Kết luận : Phương trình vô tỷ (PTVT) dạng toán thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa chưa đủ, đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm vấn đề Để dạy học cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải PTVT thân giáo viên phải hiểu nắm vững PTVT: Các dạng PTV, phân biệt khác PTVT với dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững phương pháp giải PTVT Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho thân nâng cao kiến thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề khác tốt suốt trình dạy học Trong trình giảng dạy, rút số biện pháp nêu Đây kinh nghiệm nhỏ hy vọng góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán bậc THCS Trong trình nghiên cứu khôngh thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rrất mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp II Kiến nghị Nhà trường tạo điều kiện để đề tài áp dụng tốt năm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ TP Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực Tô Thị Huyền 19 ... với nâng cao chất lượng học học sinh đẻ đạt mục tiêu đè Sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học vận dụng để giải phương trình vô tỉ: * Khái niệm: Phương trình vô tỉ phương trình đại số chứa ẩn dấu... hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Đứng trước phương trình vô tỉ, học sinh. .. dụng dạy học giải phương trình vô tỉ: Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, sách giáo viên tài liệu tham khảo phương trình vô tỉ: Phương trình vô tỉ giới thiệu chương trình sách giáo khoa toán lớp 9, giải