phương trình vô tỉ

Phơng trình chứa ẩn trong căn thức Phơng trình chứa ẩn trong căn thức (phơng trình vô tỉ) I. Phép biến đổi tơng đơng 1/ )( 12 )()( 12 )( x k gxfxg k xf + == + 2/ )()( 12 )( 12 )( xgxf k xg k xf = + = + 3/ ( ) = = )( 2 )( 0 )( 2 )( x k gxf xg xg k xf 4/ ( ) = = )()( 0f(x) hoặc0)( 2 )( 2 )( xgxf xg k xg k xf Đặc biệt: a) = = g(x)f(x) 0)f(x)Hay(0g(x) g(x)f(x) b) = = )(gf(x) 0g(x) g(x)f(x) 2 x II. Phơng pháp giải chung Để giải phơng trình có chứa ẩn trong căn thức ta làm nh sau: + Tìm điều kiện xác định của phơng trình + Tách riêng căn thức và tìm cách khử căn thức + Giải phơng trình nhận đợc + Thử các giá trị tìm đợc của ẩn vào phơng trình đã cho để loại giá trị không phù hợp. Lu ý: + Khi giải phơng trình ta phải hiểu rõ là ta sử dụng phép biến đổi tơng đơng hay phép biến đổi đa đến phơng trình hệ quả Nếu đa đến phơng trình hệ quả thì phải thử lại vào phơng trình đã cho để loại bỏ nghiệm ngoại lai + Phép bình phơng hai vế của một phơng trình nói chung không phải là phép biến đổi tơng đơng II. Một số phơng pháp giải Dựa vào các phép biến đổi tơng đơng ở trên ta có các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ : Nâng lên lũy thừa ; đặt ẩn phụ sau đây 1. Phơng pháp luỹ thừa: Đặc biệt: nếu cả hai vế của phơng trình không âm thì khi bình phơng cả hai vế ta đợc ph- ơng trình tơng đơng: Nếu A 0 và B 0 thì A = B A 2 = B 2 Ví dụ: Giải phơng trình: 1 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức xx = 71 Giải + Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa x - 1 0 x 1 + Điều kiện để vế trái không âm: 7 - x 0 x 7. xx = 71 (1) ( ) ( ) 2 2 71 xx = (2) x - 1 = 49 -14x + x 2 x 2 - 15x + 50 =0 x = 5 hoặc x = 10 ( loại vì không thỏa mãn điều kiện của ẩn ) Phơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5 Nhận xét : a) Phơng trình (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1) do đó ta nên dùng dấu () x = 5 , x = 10 là các nghiệm của phơng trình (2) . Chỉ giá trị tìm đợc nào thỏa mãn điều kiện 1 x 7 mới là nghiệm của phơng trình (1) b) Ta có thể không cần tìm ĐKXĐ của phơng trình , ta chỉ cần thử giá trị tìm đợc của ẩn vào phơng trình đã cho để loại giá trị không phù hợp. Ví dụ: Giải phơng trình xx = 71 Giải xx = 71 (1) ( ) ( ) 2 2 71 xx = (2) x - 1 = 49 -14x + x 2 x 2 - 15x + 50 =0 x = 5 hoặc x = 10 Thử x = 5 , x = 10 vào phơng trình xx = 71 ta chỉ có x = 5 là nghiệm Phơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5 c) Ta có thể trình bầy theo phép biến đổi tơng đơng: ( ) ( ) 5 10 x hoặc5 7 71 07 71 2 2 = == = = x x x xx x xx Phơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5 Ví dụ 2: Giải phơng trình 4322 =++ xx (1) Giải Diều kiện để các căn bậc hai có nghĩa: x 3 Vì hai vế của phơng trình đã cho không âm nên bình phơng cả hai vế của phơng trình ta có phơng trình : 2 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức ( )( ) ( ) xxx =+ 633122 (2) Điều kiện để vế trái không âm : 6x . Khi đó bình phơng hai vế của phơng trình 2 ta có ph- ơng trình x 2 - 88x + 336 = 0 (3) Phơng trình (3) có hai nghiệm x 1 = 4 và x 2 = 84 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện 6 x Bài tập: Bài 1: Giải các phơngtrình Bài 1: Giải các phong trình sau: a) xx =+ 323 b) xx =+ 15 1252 =+ xx Bài: Giải phơng trình sau a) 12315 = xxx b) 213 =++ xx Giải a) Điều kiện xác định của phơng trình 1 01 023 015 x x x x Với x 1 phơng trình đã cho tơng đơng với 23115 += xxx Lúc này cả hai vế của phơng trình không âm , bình phơng hai vế ta đợc phơng trình tơng đ- ơng ( ) ( ) 22 23115 += xxx ( )( ) 23122 =+ xxx Với x 1 thì cả hai vế đều không âm . Bình phơng hai vế ta đợc ( ) ( )( ) ( ) 2 2 23122 =+ xxx 11x 2 - 24x + 4 = 0 Phơng trình này có hai nghiệm x 1 = 2 và x 2 = 11 2 . Chỉ có nghiệm x 1 = 2 thỏa mãn điều kiên x 1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 2 Bài: Giải các phơng trình sau a) 558 =++ xx Bài 1: Giải các phơng trình sau bằng cách da về phơng trình tích a) 322323 22 ++=+++ xxxxxx a) 2. Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phơng trình 3 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức Ví dụ: : Giải phơng trình : 2 2 1 2 1 1 2 =++ + xx x Ngoài ra ta còn sử dụng một số phơng pháp sau: Bài tập: Bài : Giải các phơng trình sau: a) 2 23 1 36 xx xx x += Giải Điều kiện: 2 1 10 01 01 0 x x xx x x 2 23 1 36 xx xx x += ( ) ( ) ( ) 2 23 1 136 xx xx xxx += + ( ) 2 2213 xxxx +=+ đặt )0(1 >=+ yyxx suy ra 12 22 = yxx Ta lại có ( ) ( ) 212121 2 +==++ xxyxxxx Vậy ta có phơng trình Y 2 - 3y + 2 = 0 y = 1 hoặc y = 2 (Loại vì không thỏa mãn 2y 3. Phơng pháp tổng bình phơng Ta áp dụng tính chất: Tổng các bình phơng của các số không âm bằng 0 khi và chỉ khi các số đều bằng 0. X 2 + Y 2 + Z 2 =0 = = = 0Z 0Y 0X Nghĩa là chuyển tất cả về một vế rồi đa về tổng các bình phơng bằng 0 Ví dụ 1: Giải phơng trình : 22122 ++=++ zyxzyx (*) Giải Điều kiện: x 0; y 1; z 2 : (*) 022122 =++ zzyyxx ( ) ( ) ( ) 01222112112 =+++++ zzyyxx 4 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức ( ) ( ) ( ) 012111 222 =++ zyx = = = 012 011 01 z y x = = = 3 2 1 z y x Ví dụ 2: Giải phơng trình : xx + 64 = x 2 - 10x + 27 (*) Giải Điều kiện: 4 x 6. (*) x 2 - 10x + 27- xx 64 = 0 2x 2 - 20x + 54- xx 6242 = 0 2(x 2 - 10x +25) +( x - 4 - 2 14 +x ) + ( 6 - x - 2 x6 +1) = 0 2(x - 5) 2 + ( ) 2 14 x + ( ) 2 16 x = 0 x 5 0 x 4 1 0 6 x 1 0 = = = x = 5 Bài tập Bài 1:Giải các phơng trình sau a) 583422 ++=++ zyxzyx b) 12428 1 4 2 36 = + yx yx Bài 2: Giải các phơng trình a) + + + + =++++ 24 2025 3 4 1 25 1042431 zyx zyx Giải Điều kiện: > > > >+ > >+ 24 3 1 024 03 01 y x x z y x + + + + =++++ 24 2025 3 4 1 25 1042431 zyx zyx 0 24 2025 9024 3 4 43 1 25 101 = + ++ ++ + ++ z z y y x x ( ) ( ) ( ) 0 24 2025249024 3 4343 1 251101 2 2 2 = + +++ + + + + +++ z zz y yy x xx 5 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức ( ) ( ) ( ) 0 24 4524 3 23 1 51 2 2 2 = + + + + + + z z y y x x = = = =+ = =+ 2001 7 24 04524 023 051 z y x x y x b) 6651382 665 1225 1 4 3 16 = + + zyx zyx Bài : Giải các phơng trình sau a) 141232532 2 +=+ xxxx b) xx + 102 =x 2 - 12x + 40 Bài : Giải phơng trình 42 x43x43 =+ Hớng dẫn: 42 x43x43 =+ 2 1 xx 2 1 x43x43 2422 ++=+++ 0 2 1 x 2 1 43x 2 2 2 2 = + + 043x1x 22 =++ x 4 + x 2 - 43 = 0 = = 6x 6x 4. áp dụng bất đẳng thức Ta áp dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế Ta có A m và C m thì A = B = m a) Bất đẳng thức Bunhiacôxki: (ax + by) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Đặc biệt: Nếu x = y = 1 ta có (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ). Dấu ( = ) xẩy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ: Giải phơng trình: xx + 64 = x 2 - 10x + 27 Giải Điều kiện: 4 x 6. Ta có A 2 = ( ) 2 64 xx + ( ) ( ) + 22 642 xx = 4. Vì A 0 nên A = 2 A 4 = 2 Ta lại có B = x 2 - 10x + 27 = (x - 5) 2 + 2 2 Vậy A = B = = 2 2 B A = = 05 64 x xx x = 5 6 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức b) Bất đẳng thức Caushy. Ví dụ: Giải phơng trình: + + + + =++++ 24 2025 3 4 1 25 1042431 zyx zyx Giải Điều kiện: x > -1, y > 3, z > -24 Phơng trình đẵ cho tơng đơng với phơng trình sau 24 2025 24 3 4 3 1 25 1 + +++ ++ + ++ z z y y x x =104 Theo Bất đẳng thức Caushy ta có : 10 1 25 12 1 25 1 = + + + ++ x x x x (1) 4 4 y 3 2 y 3 4 y 3 y 3 + ì = (2) 90 24 2025 242 24 2025 24 = + + + ++ z z z z (3) Từ (1) , (2), (3) ta có : 10424 2025 24 3 4 3 1 25 1 =+ +++ ++ + ++ z z y y x x 104 Dấu ( = ) xẩy ra khi (1), (2), (3) đều xẩy ra dấy ( = ). Hay: 25 x 1 x 1 4 y 3 y 3 2025 z 24 z 24 + = + = + = + x 1 25 y 3 4 z 24 2025 + = = + = x 24 y 7 z 2001 = = = Bài tập: Bài 1: Giải các phơng trình sauâ a) 6651382 665 1225 1 4 3 16 = + + zyx zyx Giải a) Điều kiện : x > 3 , y > 1 , z > 665 Phơng trình đã cho tơng đơng với 16 4 1225 x 3 y 1 z 665 82 x 3 y 1 z 665 + + + + + = áp dụng bất đẳng thức Cósi ta có 81623 3 16 23 3 16 == + x x x x (1) 4421 1 4 21 1 4 == + y y y y (2) 7 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức 7012252665 665 1225 2665 665 1225 == + z z z z (3) Từ (1) , (2) , (3) ta có 82665 665 1225 1 1 4 3 3 16 + ++ ++ z z y y x x Vậy 82665 665 1225 1 1 4 3 3 16 =+ ++ ++ z z y y x x = = = = = = = = = 1990 5 19 35665 11 43 665 665 1225 1 1 4 3 3 16 z y x z y x z z y y x x Bài 1: Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đối lập a) x 2 10 x + =x 2 - 12x + 40 b) 141051963 22 +++++ xxxx = 4 -2x - x 2 c) 91051263 42 +++ xxxx = 3 - 4x -2x 2 d) 3442 22 ++=+ yyxx 1 Giải a) Đặt A = xx + 102 vậy A 2 = 8 + 2 ( ) ( ) x 2 10 x . Ta lại có (x - 2) + (10 - x) = 8 nên tính (x - 2)(10 - x) lớn nhất khi và chỉ khi x - 2 = 10 - x hay x = 6. Vậy A 2 16 nên A 4. Ta lại có B = x 2 - 12x + 40 = (x - 6) 2 + 4 4 . Dấu ( = ) xẩy ra khi x = 6 . Vậy phơng trình có nghiệm x = 6. Bài : Giải phơng trình sau a) 4214105763 222 +=+++++ xxxxxx (1) b) 513416123 22 =+++ xyxx Giải a) (1) ( ) ( ) ( ) 51915413 222 ++=+++++ xxx Ta có 3(x + 1) 2 + 4 4 > 0 ( ) 24413 =++x (2) 5(x + 1) 2 +9 9 > 0 ( ) 39915 =++x (3) Từ (2) và (3) ta có 514105763 22 +++++ xxxx (4) Ta lại có -(x + 1) 2 + 5 5 (5) Vậy 4214105763 222 +=+++++ xxxxxx ( ) 101 542 514105763 2 2 22 ==+ =+ =+++++ xx xx xxxx 8 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức 5. Đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phơng trình: 4412 22 ++++ xxxx = 3 Giải ( ) ( ) 22 21 ++ xx = 3 21 ++ xx = 3 x -2 1 x-1 - - - + x+2 - + + + + Nếu x < - 2 ta có xx = 11 và 22 =+ xx . Ta có phơng trình 1- x -x - 2 = 3 x = 2(Loại) + Nếu -2 x < 1 ta có xx = 11 và 22 +=+ xx . Ta có phơng trình 1- x + x+ 2 = 3 0x = 0 -2 x < 1 + Nếu x 2 thì 11 = xx và 22 +=+ xx . Ta có phơng trình x +1 + x +2 = 3 2x = 0 x = 0 (Loại) Vậy với mọi giá trị -2 x < 1 đều là nghiệm đúng của phơng trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phơng trình 212221222 =++ xxxx Giải: Điều kiện 2 1 012 xx 212221222 =++ xxxx ( ) ( ) 2112112 22 =++ xx 2112112 =++ xx 2112112 =++ xx Nếu 1 2 1 2 1 0112 x x x thì ta có phơng trình 2112112 =++ xx 0x = 0 Phơng trình này nghiệm đúng với mọi x mà 1 2 1 x Nếu 1 2 1 0112 > > x x x thì ta có phơng trình 9 Phơng trình chứa ẩn trong căn thức 2112112 =++ xx 112 =x x = 1 (Không thỏa mãn điều kiện x > 1) Vậy phơng trình đã cho nghiệm dúng với mọi x mà 1 2 1 x Ví dụ 3: Giải phơng trình ( ) ( ) 191614141 =+++ xxxx Giải Điều kiện: 101 xx ( ) ( ) 191614141 =+++ xxxx ( ) ( ) 13121 22 =+ xx 13121 =+ xx Nếu 51 1 21 < < x x x thì ta có phơng trình 11312 =+ xx 21 =x x = 5 ( Không thỏa mãn 51 < x ) Nếu 105 1 312 x x x thì ta có phơng trình 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm 105 x Nếu 10 1 31 > > x x x thì ta có phơng trình: 0x = 6 (phơng trình này vô nghiệm) Vậy phơng trình đã cho có vô số nghiệm 105 x Bài tập Bài 1:Giải phơng trình a) 49612 22 =++++ xxxx b) 24624612 2 +=+ xx 5168143 =+++ xxxx Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) 21212 =++ xxxx b) 4728728 =++++++ xxxx (1) Giải Điều kiện x - 7 (1) 4171741717 =++++=++++ xxxx 10 [...]...Phơng trình chứa ẩn trong căn thức 6 Phơng pháp đặt ẩn phụ: 2x + 1+ x Ví dụ: : Giải phơng trình : 1 1 + =2 2 2x 7 Nhân với nhân tử liên hợp Bài tập Bài 1: Giải các phơng trình sau: a) x + 5 x + 2 1 + x 2 + 7x + 10 = 3 )( ( ) Giải Điều kiện x -2 x + 5 + x + 2 x + 5 x + 2 1 + x 2 + 7x + 10 = 3 x + 2 + x + 5 x + 5 1 x + 5 2 = 0 ( ( )( )( )( ) ) ( ) Một số bài tập Bài Giải phơng trình sau: a)... Một số bài tập Bài Giải phơng trình sau: a) 3x2 + 2x =2 x 2 + x + 1 x Giải Điều kiện x2 + x 0 Phơng trình đã cho có dạng 3( x 2 + x ) 2 x 2 + x 1 = 0 đặt x 2 + x = y ( y 0) 1 (Loại) 2 1 5 hoặc 1+ 5 y =1 x2 + x =1 x = x= 2 2 Ta có phơng trình 3y2 - 2y - 1 = 0 y = 1 hoặc y = Bài Giải phơng trình sau a) 4 1 x 2 + 4 1 x + 4 1 + x = 3 Điều kiện: 1 x 1 áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 4 1 x... phơng trình x 1 Với x 1 ta có x + 34 > x + 7 > 0 nên x + 34 x + 7 > 0 Vậy hai vế của phơng trình đã cho đều dơng nên x 1 + x + 2 = x + 34 x + 7 ( ) ( 2 x 1 + x + 2 = x + 34 x + 7 ) 2 ( x 1)( x + 2 ) = ( x + 34 )( x + 7) ( 20 ( x 1)( x + 2 ) ) = ( ( x + 34 )( x + 7) ) ( ( x 1) )( x + 2 ) = 4 x ( ( ( x 1) )( x + 2 ) ) = ( 4 x ) 20 - 2 2 2 2 x=2 Thử lại ta có x = 2 là nghiệm của phơng trình. .. 1 x 1+ x 1 x + 1+ x 2 (1) Phơng trình chứa ẩn trong căn thức 4 1 x + 1+ x 1 x +1 1+ x +1 = + + 2 2 2 1 x2 + 4 1 x + 4 1+ x 1 x + 1+ x + 1 Ta lịa áp dụng tiếp bất đẳng thức Côsi ta có 1 x +1 1 x =1 2 1+ x +1 =1 2 Suy ra 1 x + 1 + x + 1 3 Vậy 4 1 x 2 + 4 1 x + 4 1 + x 3 Do dó 4 1 x 2 + 4 1 x + 4 1 + x = 3 1 x = 1 x=0 1 + x = 1 1+ x Bài tập: Giải phơng trình sau x 1 + x + 2 = x + 34 x... ( x 1) )( x + 2 ) = 4 x ( ( ( x 1) )( x + 2 ) ) = ( 4 x ) 20 - 2 2 2 2 x=2 Thử lại ta có x = 2 là nghiệm của phơng trình đã cho Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôxki Tập xác định của phơng trình x 1 x 1 + x + 2 = x + 34 x + 7 x 1 + x + 2 + x + 7 = x + 34 12 . 10 1 31 > > x x x thì ta có phơng trình: 0x = 6 (phơng trình này vô nghiệm) Vậy phơng trình đã cho có vô số nghiệm 105 x Bài tập Bài 1:Giải phơng trình a) 49612 22 =++++ xxxx b) 24624612 2 +=+. giải phơng trình vô tỉ : Nâng lên lũy thừa ; đặt ẩn phụ sau đây 1. Phơng pháp luỹ thừa: Đặc biệt: nếu cả hai vế của phơng trình không âm thì khi bình phơng cả hai vế ta đợc ph- ơng trình tơng. ) Phơng trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5 Nhận xét : a) Phơng trình (2) là phơng trình hệ quả của phơng trình (1) do đó ta nên dùng dấu () x = 5 , x = 10 là các nghiệm của phơng trình