phuong trinh vo ti

GV: Nguyễn Văn Huy Chuyên đề Đại số CHUN ĐỀ: SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x XỴ . Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của ¡ . Các bước giải tổng qt: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X. ii) Bước 2: min f(x) g(m) max f(x)£ £ . Chú ý: i) Nếu bài tốn khơng hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem f( x) X D= (miền xác định của f(x)). ii) Nếu hàm f(x) khơng đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT. 4i) Đơi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t). II. CÁC DẠNG BÀI TỐN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x 2x m 2x 1+ - = - (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI (1) 2 2 2 1 1 x x 2 2 x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1. ì ì ï ï ï ï ³ ³ ï ï Û Û í í ï ï ï ï + - = - = - + - ï ï ỵ ỵ Đặt 2 y 3x 6x 1= - + - , với 1 x 2 ³ ta có: Bảng biến thiên x - ¥ 1 2 1 + ¥ y 2 5 4 - ¥ Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1) m 2£ , 2) 5 m m 2 4 < =Ú , 3) 5 m 2 4 <£ . Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 1 x x x m 2 4 + + + + = (2) có nghiệm thực. Trang 1 GV: Nguyễn Văn Huy Chuyên đề Đại số HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt 2 1 1 t x 0 x t 4 4 = + = -³Û , (2) trở thành: 2 2 2 2 1 1 1 1 t t t m t t m t m 4 4 4 2 ỉ ư ÷ ç - + + + = + + = + =Û Û ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Do 2 1 1 t 0 t 2 4 ỉ ư ÷ ç +³ Þ ³ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø nên (2) có nghiệm 1 m 4 ³ . Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 2 m 16 x 4 0 16 x - - - = - (3) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt 2 t 16 x t (0; 4]= - ÞỴ , (3) trở thành 2 m t 4 0 t 4t m t - - = - =Û . Lập BBT của hàm số y = t 2 – 4t, ta có 4 m 0- ££ . Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0. Do đó nên lập BBT để tránh sai sót. Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 x 2 m 2 0 x 2 x 1 - + - + = + - (4) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt x 1 t t (0; ) \ {1} x 2 - = + ¥ÞỴ + , (4) trở thành 2 m t 2 0 t 2t m t - + = + =Û . Lập BBT của hàm số y = t 2 + 2t, ta có 0 m 3< ¹ . Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình 4 2 x 1 m x 1 2 x 1 0+ - - + - = (5) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x 1³ . + x = 1: (5) vơ nghiệm. + x > 1: 4 4 x 1 x 1 (5) m 2 0 x 1 x 1 + - - + =Û - + . Đặt 4 4 x 1 2 t 1 t (1; ) x 1 x 1 + = = + + ¥ÞỴ - - , (5) trở thành 2 m t 2 0 t 2t m t - + = + =Û . Lập BBT của hàm số y = t 2 + 2t, ta có m > 3. Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x 2x 3 x m- - = + (6) 1) có nghiệm thực, 2) có 2 nghiệm phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) 2 x 2x 3 x m.- - - =Û Đặt 2 y x 2x 3 x, x 1 x 3= - - - -£ Ú³ 2 2 2 x 1 x 1 x 2x 3 y ' 1 x 2x 3 x 2x 3 - - - - - = - =Þ - - - - . Bảng biến thiên x - ¥ –1 3 + ¥ y’ – + y + ¥ 1- 1 –3 Dựa vào bảng biến thiên: Trang 2 GV: Nguyễn Văn Huy Chuyên đề Đại số 1) 3 m 1 m 1- < -£ Ú³ , 2) khơng có m. Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x 1 1 x m+ + - = (7). HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số / 2 1 x 1 x f(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x) 2 1 x - - + = + + - - =Ỵ Þ - . Bảng biến thiên x - ¥ –1 0 1 + ¥ f’(x) + 0 – f(x) 2 2- 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m 2 m 2< >Ú : (7) vơ nghiệm. + m = 2: (7) có 1 nghiệm. + 2 m 2<£ : (7) có 2 nghiệm phân biệt. Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình 2 x 9 x x 9x m+ - = - + + (8) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 2 0 x 9 x 9 x 0 (8) (9x x ) 2 9x x 9 m. 9 2 9x x 9x x m ì ì ï £ £ ï + - ³ ï ï ï Û Û í í ï ï - - + - + = + - = - + ï ï ỵ ï ỵ Đặt 2 x (9 x) 9 t 9x x 0 t , x [0; 9] 2 2 + - = - = "Þ££ Ỵ , ta có (8) trở thành: 2 t 2t 9 m- + + = . Lập BBT của hàm số 2 y t 2t 9= - + + trên [0 ; 9/2] ta có 9 m 10 4 - ££ . Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x 4 x 4 x x 4 m+ - + + - = (9) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt 2 t x 4 0 x t 4.= - = +³Þ Ta có (9) trở thành: 2 2 2 t 4t 4 t 4 t m t 2t 6 m.+ + + + + = + + =Û Lập BBT của hàm số 2 y t 2t 6, t 0= + + ³ ta có m 6³ . Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình x m x 6 x 9 x 6 x 9 6 + + - + - - = (10) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt 2 t x 9 0 x t 9= - = +³Û . Ta có (10) trở thành: 2 2 2 t 9 m t 6t 9 t 6t 9 6 + + + + + - + = ( ) 2 6 t 3 t 3 t 9 m+ + - = + +Û 2 2 t 12t 9 m, t 3 (*) t 27 m, 0 t 3 (**) é - + - = ³ ê Û ê - + = <£ ê ë + Lập BBT của hàm số 2 y t 12t 9, t 3= - + - ³ ta suy ra (*) có nghiệm thực m 27Û £ . + Do 2 18 t 27 27, t [0; 3)< - + "£ Ỵ nên (**) có nghiệm thực 18 m 27<Û £ . Vậy với m 27£ thì (10) có nghiệm thực. Trang 3 GV: Nguyễn Văn Huy Chuyên đề Đại số Bài 11. Tìm m để phương trình x 1 3 x (x 1)(3 x) m- + - - - - = (11) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t x 1 3 x 0= - + - ³Þ 2 t 2 2 x 1. 3 x 2 t 2.= + - - ³Þ³ Mặt khác 2 t 2 2 x 1. 3 x 2 [(x 1) (3 x)] 4 2 t 2.= + - - + - + - =£ Þ££ Ta có (11) trở thành: 2 2 t 2 1 t m t t 1 m. 2 2 - - = - + + =Û Lập BBT của hàm số 2 1 y t t 1, t 2; 2 2 é ù = - + + Ỵ ê ú ë û ta có 1 m 2£ £ . Chú ý: Nên lập BBT của t x 1 3 x= - + - để tìm miền giá trị t. Bài 12. Tìm m để phương trình 1 x 8 x (1 x)(8 x) m+ + - + + - = có nghiệm thực. Đáp số: 9 6 2 3 m 2 + £ £ . Bài 13. Tìm m để phương trình 4 4 4 x 4x m x 4x m 6+ + + + + = (13) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt 4 4 t x 4x m 0.= + + ³ Ta có: (13) 4 2 4 4 t t 6 0 t 2 x 4x m 2 x 4x 16 m+ - = = + + = - - + =Û Û Û Û . Lập BBT của hàm số 4 y x 4x 16= - - + trên ¡ ta có m 19£ . Bài 14. Tìm điều kiện của m để phương trình 3 2 2 1 x 2 1 x m- + - = (14) 1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy nếu x 0 là nghiệm của (14) thì – x 0 cũng là nghiệm của (14). Suy ra 0 0 0 x x x 0= - =Û là nghiệm duy nhất của (14). Thế x 0 = 0 vào (14) ta được m = 3. Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất. Vậy m = 3. 2) Đặt 6 2 t 1 x 0 t 1= - Þ££ . Ta có (14) trở thành 3 2 t 2t m+ = . Lập BBT của hàm số 3 2 y t 2t= + trên [0 ; 1] ta suy ra 0 m 3£ £ . Bài 15. Chứng tỏ rằng phương trình 2 3x 1 2x 1 mx 2x 1 - = - + - (15) ln có nghiệm thực với mọi giá trị của m. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 1 1 2x 1 0 x x 2 2 (15) 3x 1 3x 2 3x 2x 2x 1 mx m mx 2x 1 2x 12x 1 ì ì ï ï ì ï ï - > ï > > ï ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û í í í - - - ï ï ï - - = ï ï ï = = ï ï ï ï -ỵ ï ï ï ï -ỵ-ỵ . Xét hàm số / 3x 2 1 3x 1 f(x) , x f (x) 2 2x 1 (2x 1) 2x 1 - - = > =Þ - - - . Mặt khác x 3x 2 lim 2x 1 + ¥® - = + ¥ - , 1 x 2 3x 2 lim 2x 1 + ® - = - ¥ - . Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là ¡ . Vậy (15) ln có nghiệm thực với mọi m. Trang 4 GV: Nguyễn Văn Huy Chuyên đề Đại số Bài 16. Tìm m để phương trình x 1 (x 3)(x 1) 4(x 3) m x 3 + - + + - = - (16) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện x 1 0 x 1 x 3 x 3 + - >³ Û £ Ú - . + Với x 1-£ : (16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m- + - - + =Û . Đặt t (x 3)(x 1) 0, x 1= - + " -³ £ , (16) trở thành 2 t 4t m- = m 4-Þ ³ . + Với x 3> : (16) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0- + + - + =Û Þ ³ . Vậy m 4-³ . Bài 17. Tìm m để phương trình 3 3 1 x 1 x m- + + = (17) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số 3 3 / 2 2 3 3 1 1 1 f(x) 1 x 1 x f (x) 3 (1 x) (1 x) é ù ê ú = - + + = -Þ ê ú + - ê ú ë û / 2 2 3 3 f (x) 0 (1 x) (1 x) x 0 f(0) 2= + = + = =Þ Û Û Þ . ( ) 33 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 x x 3 3 1 x 1 x (1 x) 1 x (1 x) lim f(x) lim (1 x) 1 x (1 x) ¥ ¥® ® é ù - + + - - - + - ê ú ë û = é ù - - - + - ê ú ë û 2 2 x 3 3 3 2 2 lim 0 1 1 1 x 1 1 1 x x x ¥® = = é ù ỉ ư ỉ ư ê ú ÷ ÷ ç ç - - - + + ÷ ÷ ç ç ê ú ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø ê ú ë û . Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2]. Vậy 0 m 2< £ . Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình: ( ) 2 2 4 2 2 m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ - - + = - + + - - (18) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt 2 2 t 1 x 1 x , 1 x 1= + - - - ££ ( ) 2 2 2 2 x 1 x 1 x t ' 0 x 0 1 x . 1 x + + - = = =Þ Û + - t( 1) 2, t(0) 0 t 0; 2 , x 1; 1 . é ù é ù ± = = " -ÞỴ Ỵ ê ú ë û ë û (18) trở thành 2 2 t t 2 m(t 2) 2 t t m t 2 - + + + = - + =Û + . Xét hàm số 2 2 2 t t 2 t 4t y y ' 0, t 0; 2 t 2 (t 2) - + + - - é ù = = "Þ £ Ỵ ê ú ë û + + . Bảng biến thiên x - ¥ 0 2 + ¥ y’ 0 – y 1 2 1- Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực 2 1 m 1.-Û £ £ Trang 5 GV: Nguyễn Văn Huy Chuyên đề Đại số Bài 19. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 m x 2 x m+ = + (19). HƯỚNG DẪN GIẢI (19) ( ) ( ) 2 2 2 x m x 2 1 x m do x 2 1 0, x x 2 1 + - = = + - > "Û Û Ỵ + - ¡ . Xét hàm số 2 x y x 2 1 = + - ( ) 2 2 2 2 2 x x 2 1 x 2 y ' x 2 1 + - - + =Þ + - ( ) 2 2 2 2 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 1 - + = = = ±Û + + - . Giới hạn x x x 2 x lim y lim lim y 1. 2 1 x 1 x x ¥ ¥ ±¥® ® ® = = ±Þ ỉ ư ÷ ç ÷ + - ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø Bảng biến thiên x - ¥ 2- 2 + ¥ y’ – 0 + 0 – y –1 2 2- 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có + m 2 m 2< - >Ú : (19) vơ nghiệm. + 1 m 1 m 2- = ±££Ú : (19) có 1 nghiệm. + 2 m 1 1 m 2- < < - < <Ú : (19) có 2 nghiệm phân biệt. Bài tốn 20. Tìm m để phương trình 2 2x x 3 mx m- - = + (20) có nghiệm thực x 1-¹ . HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện 2 3 2x x 3 0 x 1 x (x 1) 2 - - < - -³Û Ú³¹ . Ta có (20) 2 2x x 3 m x 1 - - =Û + . Lập BBT của hàm số 2 2x x 3 y x 1 - - = + ta suy ra m 2 0 m 2< - <Ú£ . Bài 21. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: 3 4 x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m+ - + - - - = (21). HƯỚNG DẪN GIẢI Nhận thấy x 0 là nghiệm của (21) thì 1 – x 0 cũng là nghiệm của (21). Từ đó, để (21) có nghiệm duy nhất thì 3 0 0 0 1 x 1 x x m m m 0 m 1 2 = - = = = = ±Û Þ Û Ú . Đặt 2 4 t 1 t x 1 x 0, 0 x 1 x(1 x) 2 - = + - - =³££Þ . (21) trở thành 2 2 3 2(t 1) mt t m m- = + - - . + m = 0: 2 2 1 1 (21) 2(t 1) t t 2 x(1 x) x 2 2 - = = - = =Û Û Û Û (nhận). Trang 6 GV: Nguyễn Văn Huy Chuyên đề Đại số + m = 1: 2 2 2 (21) 2(t 1) t t 2 2(t 1) (t 1)(t 2)- = + - - = - +Û Û 2 2 3 2 t 1 t 1 t 1 2(t 1)(t 1) (t 1) (t 2) t 3t 2t 6 0 é = ê ì ³ ï ï ê ì > ï Û Û í ï ê ï - + = - + í ï ê ỵ ï + - - = ê ï ëỵ 2 x 0 t 1 x(1 x) 0 t 1 1 t 1 x 1 t 2 2 x(1 x) (t 3)(t 2) 0 2 x 1 é = é ê = é - = é ê ê = ê ê ê ì ê ê > ï =Û Û Û Û ï ê ê ê ê = í - = ê ê ê ë ê ï + - = ë = ê ï ê ëỵ ë (loại). + m 1= - : 2 (21) 2(t 1) (t 1)(2 t)- = + -Û 3 2 0 t 2 1 t 2 x t 3t 2t 6 0 2 ì £ £ ï ï = =Û Û Û í ï - - + = ï ỵ (nhận). Vậy m 0 m 1= = -Ú . Bài 22. Tìm m để phương trình 2 x x x 1 m+ - + = (22) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện 2 2 x x x 1 0 x x 1 x x+ - + - + - "³Û ³ Û Ỵ ¡ . Xét hàm số 2 2 / 2 2 x x 1 2x 1 f(x) x x x 1 f (x) 0, x 2 x x 1 - + + - = + - + = > "Þ Ỵ - + ¡ . Giới hạn ( ) 2 x x lim f(x) lim x x x 1 + ¥ + ¥® ® = + - + = + ¥ 2 x x x 2 x 1 x 1 lim f(x) lim lim 1 1 x x x 1 x x 1 x x - ¥ - ¥ - ¥® ® ® - - = = - - + - - + x x 2 2 1 x(1 ) x 1 1 x lim lim 2 1 1 1 1 x x 1 x 1 1 x x x x - ¥ - ¥® ® - - = = = ỉ ư ÷ ç ÷ + - + + - + ç ÷ ç ÷ ç è ø 2 1 2 f(x) , x x x x 1 , x 2 2 > " + - + > "Þ Ỵ Þ Ỵ¡ ¡ . Vậy (22) có nghiệm thực 2 m . 2 >Û Trang 7