sử dụng kỹ năng nhân liên hợp giải hệ phương trình vô tỉ

SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Nguyễn Văn Cường GV THPT Mỹ Đức A - Hà Nội Email : cuongvan12@gmail.com Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu giải phươn

SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LIÊN HỢP

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Nguyễn Văn Cường GV THPT Mỹ Đức A - Hà Nội

Email : cuongvan12@gmail.com

Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu giải phương trình vô tỷ,câu này gây nhiều khó khăn cho học sinh khi làm bài thi.Để giúp học sinh nắm vững cách làm dạng phương trình trên,bài viết này tôi xin trình bày kỹ năng biến đổi sử dụng biểu thức liên hợp trong giải

phương trình vô tỷ Hy vọng rằng sẽ giúp ích cho các em làm tốt các dạng bài trên

a b

-± =

m (a,b>0, a¹ b);

3 3

3 2 3 3 2

a b

±

+ m

Ví dụ 1 Giải phương trình 3x+ -1 6- +x 3x2-14x- =8 0 (1) ( Khối B-2010)

Phân tích:

Ta tìm một số x ( 1 6

3 x

- £ £ ) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên Dễ thấy x=5 thỏa (*).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0,nhưng định

lý Bơzu chỉ đúng đối với f(x) là đa thức ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x=5

ì + - = ì =

- - = =

Lời giải: TXĐ 1 6

3 x

- £ £

( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0

3 1 4 1 6

-+ - -+ - - + - - = Û + + - + =

+ + +

Û

5 0 5

(3 1) 0(*)

3 1 4 1 6

x

- = Û =

é

ê

ê + + +

-ë

Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6

3 x

- £ £ Vậy x=5 là nghiệm dụy nhất

Ví dụ 2:Giải phương trình : 2x- +1 x2-3x+ =1 0 ( ĐHKD-06) (2)

Phân tích: Tương tự như trên ,ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình

Lời giải: Đk 1

2

x³ Viết lại phương trình như sau :

( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0

1

2

2 0(*)

2 1 1

x

x

x x

- - + - + = Û + - - = Û - ç + - ÷=

=

é

ê

Û ê + - =

ê - +

ë

Đặt t= 2x- ³1 0, (*)Û + - = Û =t2 2t 1 0 t 2 1- Þ = - -x 2 2

Vậy nghiệm của phương trình là x=1, x= -2 2

Cách 2:Biến đổi 2

2x- +1 x -(2x- - =1) x 0,Đặt t = 2x- ³1 0 ta có x2- t2 = x-t Cách 3: biến đổi tương đương

Ví dụ 3 Giải phương trình : 3 2( + x-2)=2x+ x+6 (3) (HVKTQS 2000)

Phân tích :

Nhận thấy x=3 là một nghiệm của nghiệm của phương trình Ta sẽ đưa (2) về dạng

(x-3)f(x)=0 như sau

Lời giải: Viết lại phương trình (2):

6 3 2

x

-+ - - = Û - - =

+ +

-3

3 0

3

x x

x

=

ê ê

ê

Ví dụ 4 :Giải phưng trình

2

2

1

= + (4) Phân tích: Ta thấy phương trình có nghiệm x=1

2,ta phân tích như sau Lời giải:

1 x 1 x 2x x x x 1 x x 1 x 2x x 0

Û + - = + Û - - + - - =

x

0(*)

1

2

x

ê

Û

ê

=

êë

Nhận thấy (*) vô nghiệm với 0< £ Vậy x 1 1

2

x= là nghiệm dụy nhất

Ví dụ 5:Giải phương trình :9 ( 4 x + - 1 3 x - 2 ) = + x 3 (5) (HSG k12 Hà Nội -2010)

Lời giải: Đk 2

3

x ³ ,Nhận thấy x=6 là một nghiệm của phương trình ,ta phân tích như sau

4 1 5 4 3 2

Û ë + - + - - û= - Ûê - ú=

-+ -+ +

6

36 27

1 0(*)

4 1 5 4 3 2

4 1 5 4 3 2

x x

= é

Û - ê - - = Ûú ê

- - = + + +

+ + + -ë

Rễ thấy phương trình (*) vô nghiệm

4 1 3 2

x

+

Û ç ÷= + Û = + +

-+ -+

Bình phương hai vế ta cũng thu được x=6

Ví dụ 6 Giải phương trình : x2+12+ =5 3x+ x2+5 (6)

Phan tích: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5

3

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình

Lời giải:

(Dễ dàng chứng minh được :

3

x

Ví dụ 7 Giải phương trình :3 x2- + =1 x x3-1 (7)

Lời giải : Đk x³ 3 2

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

3

3

3

x

x

+

- +

Ta chứng minh :

3

1 2 1 4 1 1 3

- + - + - + +

2 3

x

<

- +

Vậy pt có nghiệm dụy nhất x=3

Ví dụ 8 Giải phương trình x- +2 4- =x 2x2-5x-1 (8) (THTT)

Lời giải: Đk: 2£ £ x 4

(7) ( 2 1) ( 4 1) 2 2 5 3 3 3 ( 3)(2 1)

2 1 4 1

-Û - - + - - = - - Û - = - +

- + - + 3

2 1(*)

2 1 4 1

x

x

=

é

ê

ê - + - +

ë

Nhận xét 1 1

2 1

- + ;

4 x 1³ 2 1= - Þ x 2 1- 4 x 1£

+ + - + - +

Lại có 2x+1³ với mọi x thỏa 25 £ £ Vậy (*) vô nghiệm (7) có nghiệm x=3 x 4

Ví dụ 9 Giải phương trình 3 3 3 2 3 2

x+ + x+ = x + x + (9)

Phân tích :

VP³ Þ1 VT ³ Þ ³ - Nhận thấy nếu 2x1 x 1 2

= x+1 thì hai vế của pt bằng nhau gợi cho ta nghĩ đến việc phân tích ra thừa số chung là 2x2

-x – 1

( 2x 1 x 2) ( 2x x 1) 0

Û + - + + - + =

3

(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)

+ + + + + + + + + + =0

3

2 1 0

0(*) (2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)

é - - =

ê

ê + + + + + + + + + +

ë

1 1;

2 (*)

vn

é = =

-ê

Û

ê

ë

(Chú ý có thể dùng phương pháp hàm số)

Ví dụ 10 Giải phương trình : 3

24 12 6

x+ + - =x (10) Lời giải: Đk: x£12

(10) 3

2

12 3 ( 24) 3 ( 24) 9

x

- + + + + +

2

3

12 ( 24) 3 ( 24) 6 0(*)

x

=

é

Û ê

- - + - + - =

êë

Thay 3

6= x+24+ 12-x vào (*) ta có 3 2 3

(x+24) +4 (x+24) = Û = -0 x 24;x= -88

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn (9)

Vậy nghiệm của (9) :x=2;x=-24;x=-88

Nhận xét: Một số phương trình vô tỷ được giải nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa

chọn hợp lý biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình.Ta xét Ví dụ sau

Ví dụ 11 Giải phương trình ( 1+ +x 1)( 1+ +x 2x- =5) x (11)

Lời giải: Đk x³ -1 Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai

vế của phương trình trên với 1+ - ¹x 1 0 ta có

x( 1+ +x 2x- =5) (x 1+ - Ûx 1) 1+ +x 2x- =5 1+ - Û =x 1 x 2

Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng biểu thức liên hợp

.Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan trọng của phương pháp này

Ví dụ 12 Giải phương trình : 2x2+3x+ +5 2x2-3x+ =5 3x (12)

Lời giải: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0

Nhân cả hai vế của phương trình với 2x2+3x+ -5 2x2-3x+ ¹ 5 0

6x=3x 2x +3x+ -5 2x -3x+5 Û 2x +3x+ -5 2x -3x+ =5 2(*)

Lấy (*) cộng với (12) theo vế ta có 2 2x2+3x+ = +5 2 3xÛ = x 4

Thử lại ta thấy x=4 là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 13 Giải phương trình 2 x - - 3 x = 2 x - 6

Lời giải:Đk 3

2

x ³ ,pt tương đương ( 2 3 )( 2 3 ) 2( 3)

2 3

x

- - - + =

+

x

1 2

+ >0

Ví dụ 14: Giải phương trình x2 + 9 x + 20 = 2 3 x + 10

Lời Giải: ĐK 10

3

2 3 10 1 3 10 1

3 6

3 10 1

x

+ - + +

+ +

( )( )

x

( 6)

3 10 1

x

x

+

-+ + =

0(*)

Hoặc x=-3.Mặt khác x>-3 và 10

3

- £ £ - phương trình (*) vô nghiệm

Ví dụ 15 Giải phương trình 2 3

2x -11x+21 3 4= x-4

Lời giải: pt tương đương

2 3

12( 3)

x

2

12

2 5 0, 4 4

2 4

- - = =

-+ -+ .x>3 ,2x-5>1 , 2

12

2 4

t + +t <1,cmtt x<3 ptvn

Ví dụ 16: Giải phương trình

2

6 4

2 4 2 2

4

x

x

-+ - - =

+

Lời giải : Đk x Î[-2; 2], Phương trình tương đương

2

2(3 2) 2(3 2)

2 4 2 2 4

- = -+ -+ - +

x=3 hoặc 2x+ +4 2 2-x = x2+4 Û4 2 2( +x)(2-x) (+ -2 x)(x+4)= 0

2 x 4 2(2 x) x 4 2 x 0 x 2

Û - + + + - = Û =

Ví dụ 17 GPT: x-1+ x + + 1 2 - = x x2 + 2 (1)

+) ĐK: xÎ[-1;2]

2

(1) ( ) ( 2 2 ) (1 1) 0 ( 1) 0

2 2 1 1 0

2 2 1 1

x

x

Û - + - - + - + = Û - + - =

+ - + +

=

é

ê

Û ê - + - =

ê + - + +

ë

+) Giải (2):

( 1 2) (1 2 ) 1 2 1 2

( 2 2 )(1 1) ( 2 2 )(1 1)

1 2 1 2 ( 1)[1 ] 0 1.Vay PT(1) có 2 nghiem x=0, x=1

( 2 2 )(1 1)

- + -+ - + - - + + +

+ + + +

+ - + +

Ví dụ 18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm ( )3

x + x - =a x- x- (13) Lời giải: Đk x³ ;(13)1

3

1

-Xét hàm số g(x) = x3+3x2-1 >0 , đồng biến trên [1;+¥ )

h(x) = ( )3

1

x+ x- >0, đồng biến trên [1;+¥ )

suy ra hàm f(x) =( ) ( )3

x + x - x+ x- đồng biến trên [1;+¥ )

nên f(x)³ f(1)=3.Vậy a³ thì phương trình có nghiệm 3