phương pháp liên hợp giải hệ phương trình

Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP GIẢI HỆ PT – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT có website MOON.VN 2 x + x − y = y + x + y + x + (1)  Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x + + x + y = y − x + 14 x − 20 ( 2)  Lời giải 2 Điều kiện: x + x − y ≥ 0, y + x + y ≥ 0, x + ≥ 0, x + y ≥ 0, y − x + 14 x − 20 ≥ Phương trình (1) hệ phương trình tương đương ( ) ( ) x2 + 5x − y − y + x + y + x2 − y2 − 4x − y ⇔ x2 + 5x − y + y + x + y ( x + y )( x − y − ) ⇔ x2 + 5x − y + y + x + y + x2 + 5x − y − x − = x2 + 5x − y − x2 − x − x2 + 5x − y + x + x − 2y − + x2 + 5x − y + x + =0 =0   x + 2y =0 ⇔ ( x − y − 4)  +  x2 + 5x − y + y2 + x + y  x2 + 5x − y + x +   ⇔ x − 2y − = ⇔ 2y = x − x + 2y Vì x + y ≥ 0, x + ≥ nên + >0 x2 + 5x − y + y2 + 9x + y x2 + 5x − y + x + Với y = x − thay vào phương trình (2) ta có ( x − 4) x + + 2x − = ⇔ 3x − + ⇔ ( − x + 14 x − 20 ⇔ x + + 2x − = 6x − ( x + )( x − ) = x − ⇔ ( x + ) − ( x + )( x − ) + ( x − ) = x + − 2x − ) = ⇔ x + = x − ⇔ x = ⇒ y = 16 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 6;16 )  x + y + x − xy + y = x + y + xy  Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x + y + 1) x + x + y + = xy + x +  ( x, y ∈ ») Lời giải  6 x − xy + y ≥ ĐK:  (*) x + x + y + ≥  2 Khi (1) ⇔ ( x − y ) + ⇒ ( x − y) (6x + ( ) x − xy + y − x − y = − xy + y ) − ( x + y ) x − xy + y + x + y = ⇔ ( x − y) + 5( x − y) x + y + x − xy + y =0 Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]  ⇔ ( x − y ) 1 +  x + y + x − xy + y   =0   (3) Ta có (1) ⇔ x + y = ( x − y ) + x − xy + y ≥ ⇒ + 2 ⇔ ( x + 1) ⇔ ( ) x + x + − = x + x − ⇔ ( x + 1) ( x + 1) ( x + x − 1) + x2 + x + x + y + x − xy + y 2 ( x + 1) Do ( 3) ⇔ ( x − y ) = ⇔ y = x Thế vào (2) ta Facebook: LyHung95 > x2 + x + = x2 + x + x2 + x + − x + 2x + + 2 = x2 + x −   2x + − ( x + x − 1) = ⇔ ( x + x − 1)  − 1 =  + x + 2x +   x = −1 ±  x2 + x − = ⇔ ⇔  x2 + 2x + = 2x −1 2 x + = + x2 + x +   • • TH1 x = −1 ± ⇒ y = −1 ± Đã thỏa mãn (*) TH2  2 x − ≥  x ≥ x + 2x + = 2x −1 ⇔  2 ⇔   x + x + = ( x − 1) 3 x − x − =    x ≥ + 15 + 15  ⇔ ⇔x= ⇒y= Đã thỏa mãn (*) 3  x = ± 15     + 15 + 15     Đ/s: ( x; y ) =  −1 ± 2; −1 ± ,   ;        ( ) y −8   x + y + x + = 2x Ví dụ 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x + y + x + x + x = 12  Lời giải: x > ĐK:  Khi ta có: PT (1) ⇔ x + y + x + = y ≥1 ( x+ y + x+8 )( x + y − x+8 ) 2x ⇔ x = x + y − x + vào PT(2) ta có: x + x + + x + x + x = 12 Đặt t = x + x + ( t > ) ta có: t = x + + x + x Khi ta có phương trình t + t − 20 = ⇒ t = ⇔ x + x + = ⇔ x + + x + x = 16 x ≤ ⇔ x2 + 8x = − x ⇔  ⇔ x = ⇒ y = 24  x + x = x − x + 16 Vậy HPT cho có nghiệm ( x; y ) = (1; 24 ) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]   x + x −1 + x ( x − y ) = Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2  x + y ( x + x − 1) =  Lời giải: ĐK: x ≥ 1; y ≥ Khi PT (1) ⇔ x ( x − y + 1) + ( Facebook: LyHung95 y−2 ) x − − y − = ⇔ x ( x − y + 1) + x − y +1 =0 x −1 + y −   ⇔ ( x − y + 1)  x +  = ⇔ x + = y vào PT(2) ta có:   x −1 + y −   PT ( ) ⇒ ( y − 1) + y ( y − ) = ⇔ y − y + y ( y − ) = (*) Do y ≥ nên (*) ⇔ y − + y − 2 = Đặt t = y y y− ta có: t + t − = ⇔ t = y = ⇔ y2 − y − = ⇔ y = ⇒ x = y Vậy PT cho có nghiệm là: (1; ) Khi đó: y −  ( y + x + 1)  + y = 4x +  x2 − y + Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình   ( x − y ) y − + y x + y − − + x =  Lời giải 4 y − ≥  Điều kiện:  x + y − ≥ 4 x − y + >  ( (2) ⇔ ( x − y ) + y ⇔ 2( x − y) + ( ) ) x + 3y − − y − + 3( x − y ) y − = y ( x − y) x + 3y − + y − + 3( x − y ) y − =   y ⇔ ( x − y) + + 4y − 3 = ⇔ x = y x + 3y − + y −   ( x + x + 1) Thay vào (1) được: = 3x + x2 − x + Đặt x − x + = t ( t > ) ⇒ x = t + x − Phương trình tương đương với x + x + = ( 3x + 5) x − x + ⇔ ( t + x − 1) + x + = ( 3x + 5) t ⇔ 2t − ( x + 5) t + x + = ⇔ 2t ( t − ) − 3x ( t − ) − ( t − ) = ⇔ ( t − )( 2t − 3x − 1) =   ( x − 1)( x + 3) = x = − 4 x − x − =  t =  ⇔ ⇔ ⇔  3x + ≥ ⇔ x =  2t = x +  x − x + = x +       x − 10 x + = x =  Mà y ≥ ⇒ x = y = Vậy hệ có nghiệm x = y = Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95  x − y + x + + y x + y + ( x − y + 1) y − = 0,  Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình  y − + y−x=  x +3 ( y − 1) +  Lời giải x+ y ≥0   Điều kiện  y ≥  Phương trình thứ hệ tương đương với x2 + x + − y2 + y ( ) x + y − y − + ( x − y + 1) y − = ⇔ ( x + y + 1)( x − y + 1) + y ( x − y + 1) x + y + y −1 + ( x − y + 1) y − =   y ⇔ ( x − y + 1)  x + y + + + y −1  = ⇔ y = x +1   x + y + y −1   6 x x Phương trình thứ hai hệ trở thành +1 = ⇔ −1 = −2 x +3 x +3 x2 + x2 + x −2 x x x2 ⇔ −1 = ⇔ + −1 = x +3 x +3 x2 + x2 +  1 = t ta thu 2t + t − = ⇔ ( 2t − 1)( t + 1) = ⇔ t ∈ −1;   2 x2 + x ≥ x ≥ x  • = ⇔ ⇔ ⇔ x = 2  x +3 4 x = x +  x ∈ {−1;1} x ≤ x • = −1 ⇔ − x = x + ⇔  ⇔ x ∈∅ x2 + x = x + Kết luận phương trình cho có nghiệm x = 1; y = Đặt x  x − y + + = ( x − y )2 + x − y (1)  Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình  (2)  y −1 + x + =  Lời giải: 3x − y + ≥  Điều kiện:  x − y ≥  y −1 ≥  Phương trình (1) hệ phương trình tương đương x− y−2 2 x − y − 3x − y + + ( x − y ) − = ⇔ + ( x − y − )( x − y + ) = x − y + 3x − y +   ⇔ ( x − y − 2)  + x − y + 2 = ⇔ x − y − = ⇔ y = x −  x − y + 3x − y +    Vì x − y ≥ nên + x− y+2>0 x − y + 3x − y + Với y = x − thay vào phương trình (2) ta x−3 + x+4 = Đặt a = x − 3, b = x + Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015! Khóa học TỔNG ÔN NÂNG CAO – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a = − b a + b = a = − b b =  x − =   ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ x=4⇒ y=2 2 a = b − ( − b ) = b − a = b − b + 6b − 16 = 3 x + =   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) Tham gia khóa học trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2015!