Bài 13 nhân liên hợp giải hệ phương trình

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 13: Nhân liên hợp giải hệ phương trình x   x2  2x  y  y   Bài 1: Giải hệ phương trình tập số thực:  4 x  x  y y   y  y     x  Điều kiện xác định:  x   x  2   x   x  2    y    x  x  x x        x  Nhận thấy  nghiệm hệ phương trình  y  Do x  x  y   Ta có: x   x  x  y  y   x   y  x  x  y   x  x 1 y     2x  y2     x 1 y   x  1 x2  2x  y   y2 x2  2x  y    x 1 y   x   y  x   y   x2  2x  y    x 1 y x 1 y   (*) Vì   x   y1   (*)  y  x    2 2 x  2x  y   x  2x  y   Thay y  x  vào phương trình thứ hai ta được: x  x  y y   x  x   x  1  x  1     x  x   x  1 x   x3  x   x  1 x    x  x  x   x  1 x  x               x x  x    x  1 x  x    x x  x  x  x    x   x  x          x  x  x  x x    x  1 x  x    x  x  x  x   x x   (*) 1 2 x  x  x Vì x   x  x   x x   Do (*)    x  Với x  1 ta có y  x   x  1 1 55  x   x  x  17  y  y   Bài 2: Giải hệ phương trình:   x  y  y  21   y  x Điều kiện xác định: y  0; 3x  y Ta có: x   x  x  17  y  y    x  x  16  y   2   x   y    x  x  17  y      x   y   0   x  x  17  y   x  4  x   y   y2 x  x  17  y   x   y  x   y    x   y  x  x  17  y  0   2 x4y     x   y  x  x  17  y   x   y  (*)  x   y1    x  x  17  y   x  x  17  y   Như x  x  17  y   x   y  x  4 x  x  17  x   y   y   Và Vì y  nên x  x  17  y  1  x  x  x 4  Do (*)  y  x  Thay y  x  vào phương trình hai ta có: x  y  y  21   y  3x  x  x   x  25   x  16 Cách 1: Phương pháp đánh giá tính đơn điệu hàm số Nhận xét x  4 nghiệm phương trình Xét hàm số: f  x   x  x   x  25   x  16 với x   4;   Ta có: f '  x     f ' x  x4 x4   x  25 x  25     f ' x  x  16 x  15 x  16   x  16 x4  x  25 x  16   x  16  0x   4;   Vậy f  x  hàm số đồng biến liên tục với x   4;   Do phương trình f  x   có tối đa nghiệm với x   4;   Mặt khác x  nghiệm phương trình nghiệm phương trình f  x   Với x  ta có y  x   Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp Điều kiện: x  4 Ta có: x  x   x  25   x  16      x4 2  x x4 2     x  25   x   x  16   x x  25   x  16 x  64  x  64 x   x  16 x44 0  x4 2  x x4 2 x  25  25 x  25    x  8  x x  25    x  16  x   x  16  x  12 x x   x  16 0 0   1 x  12  x     (*) x  25  x   x  16   x4 2 Với x  4 ta có x4 2  x  25   x  12  Do (*)  x  (Thỏa mãn điều kiện) x   x  16 Với x  ta có y  x   x  x  y   x  y  y  y  Bài 3: Giải hệ phương trình:   x  y  x  y  Điều kiện xác định: y  , x  y  Chú ý x  y  nghiệm hệ phương trình đó: x  x  y   x  y  y  y  x  xy  y    x  y  2y    0    x  y  x  2y    x  y  2y x  y  y   x  y  2y   x  y  x  y   Vì y  , x  y  x  y  x  y  2y  Vì ta có x  y Thay x  y vào phương trình thứ hai ta được: x  y  x  y   x  x  x  x  Ta có: x  x  x  x   x  x  x  x      x2  x        x2  x   x2 Vì  x2       x4  x2  x   x2  x   x2 x  x 1 x2   x2  x  x2 x2  x   x  x   x2   x      x2  x          x2   x x2  x   x  x   1 xy 0   x  y   x  y     x  y 2   x  y   Bài 4: Giải hệ phương trình:   x  x  y   2x  y  x    Điều kiện xác định: x  y  0, x  y   0, x  Ta có:  x  y    4x  y  3x  y  x   0    2x  y    x  y     x  y   x  y     x  y  1 x  y  1  3x  y  x  y  0     Vì x  y  ta có: x  y     x  y  1  x  y     3x  y  x  y      Thay y   x vào phương trình thứ hai ta được: x  x  y   2x  y    x  x  x  10  2x  x    x  x1  x 1         x  x  10  x 0  x    x3   x2  x  x1     x1    x1  x   x  x  10   x   x  5 x 1    x   x   x  x  10  0   x2  x  x   x3   x   y     x  5    x 1  x  x  10     21  x  y   2x  y   x  6x  y  Bài 5: Giải hệ phương trình:   x  y  2 x  xy  y  x  y  xy  Điều kiện xác định: x  y   ,2 x  3xy  y  Ta có: x  y  2 x  3xy  y  x  y  xy    x  y   2 x  3xy  y  x  y    x  y   2 x  y 2 2 x  xy  y  x  y 0   7   Vì   x  y 1   0, x  y  Do đó: x  y 2 2  2 x  xy  y  x  y  2 x  xy  y  x  y  Thay vào phương trình đầu ta được: x  y   x  y   x  x   2x   4x   x3  6x2  21 y4 21 x   x  36 x  63x  24  x   x        x  36 x  51x  12  x   x   x  14  x         x   x  12 x   2 x    x   x  12 x     2x    4x   x   2x  2x      x   4x  4x    4x    0  2 2x  4x     x     x  1      Vì x    x  1    Do x  y    2x   4x     x3  x2  y   x2 y  y   Bài 6: Giải hệ phương trình:    x    x   x  y   y  Điều kiện xác định: x   0, y  3, x  y   0, x  y   Ta có: x  x  y   x y  y   x  x y   x  x  y  x  y    x  y   x2    x2  y   y      x2  y   y    x2  y   y    x2  y   y    x  y      x2  y   y    x2  y   y  x2 x2  y   x2 y  x2  x  y    1   2  x  2y   y  x x  2y   x y   x     y      2        2 Vì x  1  1 x  y   x y   x     y    với x   , y  2  4  2 Do đó: x  y   y    x  y    y  1   x  y  x  y    4  4 Vì x  y   x     y    với x   , y  Vậy x  y Thay x  y vào phương trình thứ hai ta được: 3  3      x    3x   x   x   x   x      3x    x   x    2x  x3    x  4   0xy4  2x   3x   x      y   x  y   x Bài 7: Giải hệ phương trình:  2 2 x  3x  y  x  y  x  Điều kiện xác định: x    , y  0, x  3x  y  0,4 x  y  Ta có: x  3x  y  x  y  x    x  3x  y  x    x  3x  y  x  y    xy   x  y  1   2  x  3x  y  x  x  3x  y  x  y  hai ta có: 3x   x  x  3x      3x   x  x  y 1 x  3x  y  x   x2  y  x  y x  3x  y  x  y 0    Do đó: y  x  Thay vào phương trình thứ    x  1 2x      3x   x       4 1 x   x 1    x     3 3     x  1  3x   x  Do đó:   3x   x    4 1 x   x   Vì    x      3 3      x   x  0x  3 x   x  x   y  (Thỏa mãn điều kiện)  x1 y x y1 y  x1  y y      Bài 8: Giải hệ phương trình:  x1  x  y  x  2y   x  y  Điều kiện xác định: y  0,  x  1 y   x  y  1 y  0, x   0, x  y  0, x  y  0,3x  y   x1  x     Nếu y  , hệ phương trình trở thành:  x  Do lúc hệ phương trình vô  x    3x  nghiệm Vậy y  Khi đó:    x1 3x  y   5x     x1 3x   x    5x     y  y   x  y  1  x1 y    x  1 y   x  y  1 y y  x y1 x1  y 0  x  1 y   x  y  1  y  x1  y y     y  x  Thay vào phương trình hai:  x   y  y y  y y x1  x  y  x  2y  x1  y  y     x  1 y   x  y  1    x  y  1      x  1 y   x  y  1 5x    x   3x   x1 5x    3x   x   5x    3x   x  x   0, x   3x   x   2  5x   5x   5x   3x  2 x   5x   3x  2 x   5x    x   x  1  x   x     y   y  3   xy   x  y  xy   x  y  y Bài 9: Giải hệ phương trình:   x  1 y  xy  x   x     Điều kiện xác định: x  0, y  Ta có:    xy   x  y      xy   y     xy   x  y     xy   x  y  y   x  xy    x  y   x  y  0 x y  xy   x  y  xy   y        Mặt khác:  x  1 y  xy  x   x    y  xy    x2  x  x1  y  x  1  x    x  y Thay vào phương trình thứ hai ta có: xy   x1  x    x  x   x      x  1  x  x     x  x  x     x    x  x     x  y  1 x  y   17  17 Kết hợp điều kiện ta loại x  y  2  x  y  x  y  x y  x  y  xy  Bài 10: Giải hệ phương trình:  2 2   y  x  y   y  x  Điều kiện xác định: x  y  Ta có:   x  y  x  y  x y  x  y  xy   1 x  y  x  x y  xy    x  y     xy    x  y  3y  2x  y  x      x  y  3y   x  y Thay vào phương trình hai ta có:   x  x  x   x  x   x  x    x   x  x    x  x    x  1   x2  2x     x  x     x  1 Vì x  có trường hợp   x2  2x      x2  x      x2  2x     x2  2x   2x  x  x    x  x   0, x   x  y   x3  x2  y   x2 y  y   Bài 11: Giải hệ phương trình:  3 x   xy  y  x Điều kiện xác định: x   x3  x2 y   x2   x   Ta có: x  x  y   x y  y  ,0  y  2  x  y   y    x  x  y  x  y    x  y  x2  y   y    x2  y   y    x  y   Vì x  y  với x   x2  y   y     x2  y   y    x2  y   y  x2 x2  y   x2 y  x2  x  y  Do đó: ,0  y  2  Vì x2 x2  y   x2 y  x2  x  y  x  y   y    x  y    y  1   x  y  x  y   Vậy x  y Thay x  y vào phương trình thứ hai ta được: ,0  y  2   x   x  x2  x2  2x   2x   4x2  6x   x  4x2  với   x  1 x  2x   10x    x   x  1 x  1 4x  6x   x  4x2   x  y   x2  x  y x  y  y  Bài 12: Giải hệ phương trình:  2 x  y  x2  y   x  y   Điều kiện xác định: x  x  y  0, x  y Nếu x  x  y   y  x  x , thay vào hệ ta có: 0  x  x  2  2 2 x  x  x   2x  x  x  x  x         x   x   2 2  x x  x  2 x  x  y ta có: Ta nhận thấy hệ vô nghiệm Do vậy: x  x  y  Chia hai vế phương trình đầu cho y y  xy  x xy     x  y  1     xy  x xy 1 x  y 1    x y 1 y  x2  x  y xy y  x2  x  y  x xy  x  y 1   0 x2  x  y    y  x  Thay vào phương trình thứ hai ta được: x   x  x   x  0, y  1  x  2, y    y  x  y  x    x  y  1 y                  Bài 13: Giải hệ phương trình:   y  3x  y   x  y  x  y  Điều kiện xác định: x  y  0; x  y  Ta có:   y  x  y  x    x  y  1 y    1  y    x  y    x  y  1   x  y  1 y 1 y  1    y  1   y  1      y  x  y 1 x y 1   x  y  1 y 1 y  1     0    x  y  1 y  1     y  1 x y 1 x  y    x  y 1 Do x  y  y  y  1   x y 1 0 Với y  , thay vào phương trình hai ta được:  3x  x   x    x   x  Với x  y  thay vào phương trình hai ta được: y  y    y   y  y  y    y          Ta có: y  y    y   y  y   y   y   y  y   y   y        y  1  y   y   y   y   y  y     1 y  y  1 y      y   y y   y   (*) Vì y  nên y   y   0  y  1 1 Do (*)  y   y   Do y   x  y 1 2  y  y    x  y  x   y  x  1   x  y  1 y  x  Bài 14: Giải hệ phương trình:  2 4 x  y  x   x  y  x  y Điều kiện xác định: y  x ,2 x  y  0, x  y  Ta có: x  y  5x   y  x  1   x  y  1 y  x  x  y  5x   3xy  y   y  x  1 y  x   x  y  3x   3xy  y   y  x  1   y  x 1    y  x     y  x  1 y  x  1   y  x  1  y  x   y  x  1   y  x  1   y x 1     y  x   y  x  1    y x 1   yx 2 0  y  2x    y  2x  y  x      y  x    y  x  Vì Với y  x  thay vào phương trình thứ hai ta có: 3x  x   x    1   0x   Ta xét f  x   3x  x   x  với x   Ta có: f '  x    4 4x  9x    Do hàm số f  x  đồng biến liên tục   ;   Do phương trình f  x   có nghiệm   x  y  Với y  x  thay vào phương trình thứ hai ta được: 3x  x   3x   5x         3x2  x   3x   5x    x2  x  x   3x   x   5x    3 x x   2  x  1   x  1   x     x      x   3x  x   5x    x2  x  x2  x x   3x     1  x2  x      (*) x   3x  x   5x    Vì x    x  0, y  1 1   Vậy (*)    x   3x  x   5x   x  1, y   2x  y  3y  x  x  y  Bài 15: Giải hệ phương trình:  2  x  x  y  x  y   x2  x x   5x  0 Điều kiện xác định: x , y  Nhận thấy x  y  nghiệm hệ phương trình 2x  y  3y  x  x  y Do x , y không đồng thời 0.Ta có:       2x  y  x  xy 2x  y  x  x  y  3y  x  y   x  2y  2x  y  3y  x  y 0 x  y  2x  y  3y  x    x  y   0     x  y  2x  y   2x  y  x  3y  x 3y  x  y   0  x  2y  2x  y 3y  x y  x     x  y      x  2y  2x  y 3y  x   3y  x 3y  x  x  y   x  2y  2x  y 3y  x  Vì 3y  x  y  1   x  y   2x  y  x 3y  x  y 3y  x  y  2x  y  x  2x  y  x  yx 3y  x  y  2x  y  x    x  y     2x  y  x 3y  x  y     0      1     x  y  y  x     (*)    x  2y  2x  y  y  x     với x , y không đồng thời 0.Do (*)  x  y  x  y Trường hợp 1: Với x  y , thay vào phương trình ta được: x  x   x  x  x2  x   x  x    x  x     x  x     x2  x    x x 1  Vì    1       (*)  x2  x    1 1 1  (*)   x  x   x  Với x  ta có y  2  x  x2  x  1 Trường hợp 2: Với y  x x2  9x , thay vào phương trình ta được: x  x   0 3 x   x  Điều kiện:  Vì x  x  nghiệm phương trình nên điều kiện   x  x   x  toán x  Xét f  x   x  x   Ta có: f '  x   x   2x  x  9x x2  x , x   9;    0x   9;   Do f  x  hàm số đồng biến liên tục  9;   Do với x  f  x   f   Mà f    88  Do f  x   0x   9;     8x  y   xy  Bài 16: Giải hệ phương trình:  x  8x  y   x  y   x   Điều kiện xác định: x  0, y  Ta có:      8x  y   x  x  y  8x  y   x   x  y  5  8x  y   x  x  y 1 x  y 1  0   1 0    x  y  5    x  y 1  x  y 1  x  y   x   xy5 x  y 1   8x  y   9x x y 1    8x  y   x  x  y      x  y      8x  y   x  y   x   8x  y   x     x  y  5   8x  y   x  x  y     8x  y   9x  x  y   0 x  y    x  x  y      x  y       8x  y   x  x  y         8x   y  8x   y 0   x  y  5    8x  y   x  x  y       1   (*)   x  y   x   y     8x  y   x  x  y     Vì 8x  y    x  x y 1  Do (*)  y   x  y  x  Trường hợp 1: y   x Thay vào phương trình thứ ta được: xy  x  8x  y   x  x  x  x  x  x   3x Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:   Ta có: x  x   3x  3x  x  x    x   x   x  1   x 4   x 2 5x   x  1    x x     x  1  (*) Vì   0x  (*)  x   y  2 5x  2 5x  Cách 2: Đánh giá hàm số đơn điệu: Vì x  nghiệm phương trình Do xét hàm số f  x   3x  x  x  với x   0;    Ta có: f '  x     x  x  5x x4 3 5x  x 5x  0x   0;  Do f  x  hàm số đồng biến liên tục  0;  Do  0;  phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mặt khác  0;  phương trình f  x   có nghiệm x  Vậy x  nghiệm phương trình f  x   Với x  ta có y  Trường hợp 2: y  x  , thay vào phương trình thứ ta được: xy  x  8x  y   x 8x   x   x 8x    x  x  1   x   x  Xét hàm số f  x   x x    x với x   ;   Ta có:  4   x x    x Ta có: f '  x   x   f " x  8x  8x   8x  1  x Vì f '  x   x   4x 8x   x ta có:  4x   8x    8x   8x     f " x    8x  8x  2x x 8x  2x x 8x   4x  f " x  4x  4  8x   4x   x  1 8x   2x x  f " x  8x    x  1  x  1 8x   1   0x   ;   2x x 4  1  1 Vậy f '  x  hàm số đồng biến liên tục với x   ;   Vì x  nên f '  x   f '   4  4  1 6 1  Vì f '     Do f '  x   với x   ;   nên f  x  hàm số đồng biến liên tục 4 4  1 1  1 1   f  x   với x   ;    ;   Với x  ta có: f  x   f   Vì f    4 4  4 4  1  Vậy phương trình x x    x vô nghiệm với x   ;   4   x  x y  y  x  20 x y  y  xy  Bài 17: Giải hệ phương trình:   x  xy  y  Điều kiện xác định: xy  Vì x  y  nghiệm hệ phương trình Do x , y không đồng thời 0.Do đó: x  x y  y  x  20 x y  y  xy   x  x y  y  xy    x  20 x y  y  5xy        x4  x2 y  y  4x2 y x  x y  y  xy x4  5x2 y  y  x  x y  y  xy   x  20 x y  y  25x y x  20 x y  y  5xy x  5x y  y x  20 x y  y  5xy   x4  5x2 y  y    2 x  x y  y  xy    Vì x  x y  y  xy  0 0  0  2 x  20 x y  y  5xy  1 x  20 x y  y  xy 0 Do x  5x y  y    x  y  x  y  x  y  x  y    x  y  Vì xy  x , y không đồng thời  Vậy x  y  x  y  x  y  Với x  y , thay vào phương trình thứ hai ta được: x   x  y  1 Với x  y , thay vào phương trình thứ hai ta được: y  1 y Vì x  y nên ta có x   3  x2   y   y  Bài 18: Giải hệ phương trình:   y   x   x Điều kiện xác định: x , y  Đây hệ phương trình đối xứng, trừ hai phương trình cho nhau:  x2   y   y   6x2   y    2  y   x   x       6x2   y   x2  y     y   y2  x   x2   x1  y 1    xy   (*)  x  y xy  6x2   y  x 1  y 1    Do (*)  x  y Thay x  y vào phương trình ta được: 6x2   y   y  6x2   x   x2  x2  x   6x2      Ta có: x  x   x    x    x     x         x   x       x  2 x     x2 x 1 1 x 1 1   x   25 x2      x   x    x2 x 1 1   x   x   6x2   0  x  2           x  2   x  2     2  x   x     6x            x x    1 6x       x  2   x  2    x  2 0  x 1 1     2 x    6x      x    x           x  (Thỏa mãn điều kiện) Khi y  x   x  91  y   y  Bài tương tự: Giải hệ phương trình:   y  91  x   x  x   x  x  y  xy  y Bài 19: Giải hệ phương trình:   x  xy  x  y  Điều kiện xác định: x   x  2, y  x    Ta có: x  xy  x  y   x  xy  x  y  Thế vào phương trình đầu: x   xy  x  y   y  xy  y   x   y   xy  x  y   xy  y   x   y     x   y1   xy  x  y   xy  y xy  x  y   xy  y  x 1 y     y  x1   Thay vào phương trình hai ta có: x  x  x  1  x   x  1   x  2  y  1  y  y  xy   x   x  x  Bài 20: Giải hệ phương trình:  2  x  y  xy  x  y  Điều kiện xác định: y  xy   0, x  1 1 x 2 Từ phương trình thứ hai ta có: y  x  xy  x  y  Thay vào phương trình đầu ta được: y  x  3x  y   x   x  x   x   y   x 1 y    x  x   x  3x  y   2x   y    x   y1   x2  x   x  3x  y    0 2 x  x   x  3x  y    y  x  Thay vào phương trình hai ta được: x   x  1  x  x  1  3x   x  1   x  1  y   x  y  x  y  y   Bài 21: Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  x3  y  x  y  y   Điều kiện xác định: x  y  0, x  y  0, y   Ta có: x      8y3  y3  x  2y  y3     x  2y   y3  x  2y  y3     x  2y   y3  y3    x  2y     x  y  1  x  2y   y  y  3  x  2y  x  2y  0      2y   x   x  y  1    3 x  y   x  2y   y  y     2 x  x  y   xy  x   Bài 22: Giải hệ phương trình:  2 y  y   xy  y   Điều kiện xác định: y  1, x  y   Trừ hai phương trình cho ta được: x  3xy  y  x  y    x  y   y     x  2y   2x  y          x  2y x  y   y   Thay vào phương trình hai ta được: y  y   y     y  1 y  1  y      y   y  1 y     y   x   x  x  y3   y    Bài 24: Giải hệ phương trình:   x  xy  y  Ta có:  x  1 x  y   y    x x  y        x  y1   x3  y  x x  y3         y  x       x  y  1    3 x  y  x  y  x x  y 3 x x  y 3   x  y  1 x  y 1 Thay vào phương trình hai ta được: x  x  x  1   x  1   x   33 3  33 y 6  x  xy  y   Bài 24: Giải hệ phương trình:    2  y  xy  y  y  xy      Điều kiện xác định: y  Ta có:  x  xy  y    x  xy  y  y  xy  y  y  xy     2    y  xy  y  y  xy      x  y 1 x  y1 0 Hai vế hai phương trình có bậc hai nên ta chia hai vế cho y : x x x  5xy  y  y  xy  y  y  xy            y y x x x  t , phương trình    Đặt y y y trở thành: 2t  5t   t    t  2t  5t   t    t      2t  5t      t      t    t   2t  1   1   t    2t    t  1 1 t  t3 t 2 1  t3 1 t 0      1        t    2t    t   1   t        t2 t2  0   t    2t     (*) Vì  t  nên 2t    t  1 1 t t  1 1 t   Do (*)  t  hay x  y Với x  y thay vào phương trình thứ ta được: 18 y  15 y  y  x  xy  y     y  1 x   y    2   x  xy  y  y  xy  y  xy  y    Bài 25: Giải hệ phương trình:  4 x2  y   x  y  Điều kiện xác định: xy  y  0,5 xy  y  Vì 3xy  y  5xy  y  0,3 x  xy  y    x  y2   x  y   2  x  Do ta có y  Mặt khác y  hệ trở thành:  (Vô lý)  x   x Vậy y  , ta chia hai vế phương trình đầu cho y : 3x  xy  y  y  3xy  y  5xy  y    x x x x x                Đặt  t , đó: 3t  t   3t   5t  y y y y y      3t  3t  t   3t   t   5t    3t  t  1  t  t  1 t   3t   t  t  1 t   5t    1  t  t  1       t  0 t 1 t   3t  t   5t    Trường hợp 1: Nếu t  x   x  , ta có: x  y   x  y  y   y  y  y 0 Trường hợp 2: Nếu t  x 2   x  y , ta có: x  y   x  y  y  y    x  y  y  x  y   xy  y  y  y  x    Bài 26: Giải hệ phương trình:    x  x  24 y  417   y   y   y  17 Điều kiện xác định: y  1, x  3,  x  x  24 y  417  Ta có:  x  y   xy  y  y  y  3x      x3  x3   3  y   y   x  3  y  y  x  3  y2   x   y Chia hai vế cho y2 ta được:  x y    Đặt t  2 x3  , ta có:  t   t   3t   t   t    3t  y    t  3t  12t  64    t   t  t  16   t  (Vì t  ) Do x   y Thay vào phương trình hai ta được:  y    y    y   y   y  17 y   a , a  , phương trình trở thành: a3  3a2  4a  20  25  a  Đặt  4a4 4a3  a3  3a  4a    25  a    a a  3a     a  a  3a       25  a4  25  a      y  1 y  Thay a  y  ta có phương trình trở thành: y   y   y     y  24  y       y  1 x       y x 3 4  x y11 Bài 27: Giải hệ phương trình:  x3  x   y     Điều kiện xác định: y  1, y x      Điều kiện có nghiệm: Vì x  x  y      x x    x     Bình phương hai vế phương trình đầu ta được: y x    x y       y x    x  y  1   x y   x2  x y    y  1  (*)   x  Với y  1 , hệ phương trình trở thành:  (Vô nghiệm)  x  x   Với y  1 , chia hai vế (*) cho  y  1 đặt x y 1  0    t với t  , ta được: t  2t     t  1 t     t   t  3 Vì t   t  Khi đó:  y   x , thay vào phương trình hai ta có:  x  x   y   x  x     x    x  1    x  Với x  , ta tìm y   x   2x  y   y  x   x    Bài 28: Giải hệ phương trình:   y  1 x  y  xy  x  Điều kiện: x  1, x  y   ,x  y  Ta có:  y  1 x  y  xy  x     y  1  x  y  x  y   x  y  y  1  xy  x    y  1   y  1  x2  y  x  y     x2  y  x  y      x  y  x  y  y  xy  y   x2  y  x  y      x2  y  x  y y   x2  y  x  y   x  y  x  y x   x  y  Vì x   x  y  0x  1, x  y  Do đó:  x  y   x  y  x2  y  x  y    2  x  y  x  xy  y  y  y  x  1  Trường hợp 1: y  , thay vào phương trình thứ ta được: x   x    3x   x  x   25  x  x   17  x  17  17 1  x  1  x    x  65  10 39 (Thỏa mãn điều kiện)   x  130 x  325  4  x  1 x    x  102 x  289    x  y   x   x     x  Thay y   x vào phương trình thứ Trường hợp 2: y   x ,   x   x  ta được: x   x     x  x   x    x   x     x  x   x       x 1 1   x      x  x   x    x2 x 1 1   x  2 x2 2    x  x   x       x  2     x  x    vô nghiệm x2 2  x 1 1   y  xy  x  y    x  y   x  y    Bài 29: Giải hệ phương trình:  1 x3     x4 xy  x    x  3 Điều kiện: x   , xy  x   , xy  x   Ta có: y  xy  3x  y    x  y   x  y    x  xy    x  y     2x2  y2   x  y    2x2  y   x  y  2x2  y   x  y  x  y     2x2  y   x  y  x  y   x   Vì đó:   x  y   x   0x    x  y   x  y  x   xy  2x2  y   x  y     x  y   x  y  Thay xy  x  thay vào phương trình thứ hai ta có: x3   2 x  2x   1  x4     2x  x  x3     2x    x  x   x  1 x  x     x  2x     x  1      x  1  x  x  x  x     x3  0  2x   x  2x  x3   x4 x2  2x   2x   x   2x  x  0  x2  2x    x2  2x   2x   x     0  x  x       x  1 y  2x   x       x  y   x  y  x  y   x   Bài 30: Giải hệ phương trình:   x   x  y   x3  x2   y  Điều kiện: x  1, x  y   0, x  x   Ta có:  x  y     x2  y  x  y   x     x  y  2  x2  y  x  y  y   x   y  x  y     x  y     x  y  2  x  y  x  y  xy  y    x  y  2  x2  y  x  y     x2  y  y  Do đó:       x  y  x  y  y  xy  x2  y  x  y   x2  y  x  y   x  y  x  y  Vì y  x   x  y   x  x    x  y    x  y    y  x   x  y   x  x   Khi đó: x  y  y   0, y  nên:  y  x  0, y   y  x  0, y  x2  y  x  y      y  x Thay y  x vào phương trình  2  y  y  x    x  y   y  x  hai ta được: x   x   x  x   x  x     x    x  x  x    x  1   x 1   x  1 3x    x1  x  2x   x    x    x  1  x 1  x  1    3x     x  1  3x     x  x2  2x   x  2x   x  0     x 1 y  x  x   x   5  x   2y   x  y   Bài 31: Giải hệ phương trình:  8 y  x     y   y  x  Điều kiện xác định: x  5, y  Ta có: y  x     y   y  x   xy  y   y  x  y  xy       xy  y   x  y    x  y   x  y  xy        xy  y   x  y  xy  y   x  y xy  y  x  y       xy  y   x  y    xy  y   x  y        xy  y   x  y xy  y   x  y      xy  y   x  y   x2  y 0 Vì xy  y   x  y  0, x  5, y  Do đó:    x   y   x  y   x   y   x  y   x   y  y  x    Do đó:  x   y   x  y   x   y   x  y  x   2x    x   y  3 y    x  1 y  y x  y  Bài 32: Giải hệ phương trình:   y  y  x    3x Điều kiện xác định: x  y   Ta có: y    x  1 y  y x  y   y x  y   y    x  1 y   y   x  y   x  y   x  y  y  y    x  1 y    4y  x  y   x  y  xy  y  y   xy  y   y  4y  x  y   x  y  y   xy  y   4y  x2  y   x  y          x2  y   x  y y    x  y   x  y  xy  y   y   x2  y   x  y    x2  y   x  y  x2  y   x  y      x2  y   x  y 3y  x  x2  y     x2  y   x  3y   x2  y   x  y  18 x  y  y  17  x  y   x  y    3 y  x  Trường hợp 1:  9 y  xy  y    y  y  x    3x    x  y  y  17 x  y   18   3 y  x    62  178 13  178 x ,y       9 y   y  y  17  y  y      18     x  y   x  y  18 x  y  y  17 Trường hợp 2:    y  xy  y    y  y  x    x  y  y  17 x  x  y   18     2  10   y  y  17 x  ,y  y2   y  y    3     18    x  y   x  y  xy  y  Bài 33: Giải hệ phương trình:   x  y  x  y Điều kiện xác định: x  y  Ta có:  x  y   x  y  xy  y   x  y   x  y  xy  y             x  y   x  y  x  y   x  y  x  y    xy  y    x  y   x  y  x  y  x  xy  y  x      x  y   x  y  x  y   x  xy  y  x      x  5y   x  y2  x  y  x  y2  x  y x  y  x  y     x  5y        x  y2  x  y     x  y2  x  y   x  y2  x  y 4y   x  y2    x  y2  x  y 2y   x  y2      x  y2  2y  2 x  y2  x  y   x  y2  2y   y  x    x  y  y   Trường hợp 1:    2  x  y  x  y  x  y  x  y  x  y  x  y y  x    y  x     2 (Vô nghiệm)  x   x    x   x   x     x   2 x  y  x  y   x  y   x  y   y   x   Trường hợp 2:  2  x  y  x  y  x  y  x  y  x  x   x  y  x  1, y  1 (Đều thỏa mãn điều kiện)  x  1 x  y  y  x  y  1  Bài 34: Giải hệ phương trình:   y x   x  y  x  y  Điều kiện xác định: x  y , x  Ta có:  x  1 x  y  y  x  y  1   x  y2  y     x  y2  x  y   y2  x  x  y  Mặt khác: Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: y x   x  y    2x  y2  2  x  y   x  y   y  y    2  y  Khi   y   x  y   x  y  Cặp nghiệm thay vào hệ không thỏa mãn Vậy   y   x  y   x  y2  x  y     xy xy  Vậy   y x   x  y  x  y   y x    x  y   x  y   x  y  x  y   x  2, y  (Thỏa mãn điều kiện)  y x   y  x   x  y   x  y  y    Bài 35: Giải hệ phương trình:   x x  y  xy   x  y  y   x  1 x  x  Điều kiện xác định: x  y , x  y  y , Ta có:  x  y  1 x  y  y    Vì x  x  y   ta có:  xy y 52    x2 2   x  1 x   x   x2  x    x  2 x2 2    x    x   x  x      x    x  1 x   x  x         4y2 Trường hợp 1: x     y  y    y  2   y   y   Trường hợp 2:  x  1    x  12  x    x  x   x   y  2 x2 2 x x3    x  1  xy xy2 0 x  y  y   x  1 x  x   x  x   x    x   x  x    x  1 x   x  x     x     x  1  x y 1 x  y  x  y  hay x   x  y  y Thay vào phương trình hai ta có:     [...]... y  x  y  0 Với x  y , thay vào phương trình thứ hai ta được: x 2  1  x  y  1 Với x  2 y , thay vào phương trình thứ hai ta được: y 2  1 1 2 y Vì x  2 y nên ta có x   3 3 3  6 x2  1  y  1  y 2  Bài 18: Giải hệ phương trình:   6 y 2  1  x  1  x 2 Điều kiện xác định: x , y  1 Đây là hệ phương trình đối xứng, chúng ta trừ hai phương trình cho nhau:  6 x2  1  y  1 ... (Thỏa mãn điều kiện) Khi đó y  x  2  x 2  91  y  2  y 2  Bài tương tự: Giải hệ phương trình:   y 2  91  x  2  x 2  x  1  x 2  2 x  y  xy  2 y Bài 19: Giải hệ phương trình:  2  x  xy  x  y  1 Điều kiện xác định: x  0  x  2, y  x  2   0 Ta có: x 2  xy  x  y  1  x 2  xy  x  y  1 Thế vào phương trình đầu: x  1  xy  x  y  1  y  xy  2 y   x  1  y... y    0  y  x1   Thay vào phương trình hai ta có: x 2  x  x  1  x   x  1  1  x  2  y  1  y  2 y 2  xy  1  x  1  x 2  x  1 Bài 20: Giải hệ phương trình:  2 2  x  2 y  xy  3 x  2 y  4 Điều kiện xác định: 2 y 2  xy  1  0, x  1 5 1 5 x 2 2 Từ phương trình thứ hai ta có: 2 y 2  x 2  xy  3 x  2 y  4 Thay vào phương trình đầu ta được: y  x 2  3x ... y11 Bài 27: Giải hệ phương trình:  x3  x  4  3 y  1    Điều kiện xác định: y  1, y x 2  3  4  0   Điều kiện có nghiệm: Vì x 3  x  3 y  1  4  4  0  x x 2  1  0  x  0    Bình phương hai vế của phương trình đầu ta được: y x 2  3  4  x y  1  1   2   y x 2  3  4  x 2  y  1  1  2 x y  1  x2  2 x y  1  3  y  1  0 (*)  1  x 2  1 Với y  1 , hệ phương. ..  y  4    2 x 2  x  y  1  2 xy  x  2  0 Bài 22: Giải hệ phương trình:  2 2 y  y  1  xy  2 y  2  0 Điều kiện xác định: y  1, x  y  1  2 Trừ hai phương trình cho nhau ta được: 2 x 2  3xy  2 y 2  x  2 y    x  y  1  y  1  0   x  2y   2x  y  1        0  x  2y x  y  1  y  1  1 Thay vào phương trình hai ta được: 4 y 2  y  1  2 y  2  0  2 ... nghiệm của phương trình Do đó xét hàm số f  x   3x  x 5  x  1 với x   0; 5    Ta có: f '  x   3  5  x  x  2 5x x4 3 5x  x 2 5x  0x   0; 5  Do đó f  x  là hàm số đồng biến và liên tục trên  0; 5  Do đó trong  0; 5  phương trình f  x   0 có tối đa một nghiệm Mặt khác trong  0; 5  phương trình f  x   0 có nghiệm x  1 Vậy x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình. ..  1  Vậy phương trình x 8 x  1  1  2 x vô nghiệm với x   ;   4   x 4  x 2 y 2  4 y 4  x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  7 xy  Bài 17: Giải hệ phương trình:   x 2  xy  y 2  1 Điều kiện xác định: xy  0 Vì x  y  0 không phải là nghiệm của hệ phương trình Do đó x , y không đồng thời bằng 0.Do đó: x 4  x 2 y 2  4 y 4  x 4  20 x 2 y 2  4 y 4  7 xy   x 4  x 2 y 2  4 y 4  2 xy...  1  x  2  x  1 x  y3  3  y  1   Bài 24: Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y 2  3 Ta có:  x  1 x  y 3  3  y  1   x x  y 3  3       x  y1  0  x3  y 3  3 x x  y3  3    3 1    0  y  x  1    0   x  y  1    3 3 x  y  1 x  y  1 x x  y 3 x x  y 3  3  x  y  1 x  y 1 2 Thay vào phương trình hai ta được: x 2  x  x  1   x  1... 3  x  3  33 3  33 y 6 6  2 x 2  5 xy  y 2  1  Bài 24: Giải hệ phương trình:    2 2  y  xy  2 y  4 y  xy   1    Điều kiện xác định: y  0 Ta có:  2 x 2  5 xy  y 2  1   2 x 2  5 xy  y 2  y  xy  2 y 2  4 y 2  xy     2 2    y  xy  2 y  4 y  xy   1    x  y 1 x  y1 0 Hai vế là hai phương trình có cùng bậc hai nên ta chia hai vế cho y 2 : 2 x... nên 2t    t  2 1 1 4 t t  2 1 1 4 t   Do đó (*)  t  3 hay x  3 y Với x  3 y thay vào phương trình thứ nhất ta được: 18 y 2  15 y 2  y 2  1 2 x 2  5 xy  y 2  1    y  1 x  3  y  0  2  2 2 2   3 x  xy  3 y  y  3 xy  y  5 xy  4 y    Bài 25: Giải hệ phương trình:  4 x2  4 y 2  1  4 x  4 y  Điều kiện xác định: 3 xy  y 2  0,5 xy  4 y 2  0 Vì 3xy  ... điều kiện) Khi y  x   x  91  y   y  Bài tương tự: Giải hệ phương trình:   y  91  x   x  x   x  x  y  xy  y Bài 19: Giải hệ phương trình:   x  xy  x  y  Điều kiện xác... phương trình x x    x vô nghiệm với x   ;   4   x  x y  y  x  20 x y  y  xy  Bài 17: Giải hệ phương trình:   x  xy  y  Điều kiện xác định: xy  Vì x  y  nghiệm hệ phương. .. thay vào phương trình thứ hai ta được: x   x  y  1 Với x  y , thay vào phương trình thứ hai ta được: y  1 y Vì x  y nên ta có x   3  x2   y   y  Bài 18: Giải hệ phương trình: