Phương pháp liên hợp truy ngược dấu

𝟒𝐱 − 𝟐 = √ 𝐱 𝟐 − 𝐱 + 𝟏 + √𝟐𝐱 − 𝟏 𝐱≥ 𝟏 𝟐 √𝟐𝐱 − 𝟏 = 𝐭, 𝐭 ≥ 𝟎  𝟐𝐭 𝟐 = √ 𝐭 𝟒 +𝟑 𝟒 = 𝐭 𝟐 +𝟏 𝟐 (𝐭 − 𝟏)  ( 𝐭 − 𝟏) (𝟒𝐭 − 𝟐 − (𝟏+𝐭)(𝟏+𝐭 𝟐 ) 𝐭=𝟏 𝟒𝐭−𝟐= (𝟏+𝐭)(𝟏+𝐭 𝟐 ) 𝟐+√ 𝐭 𝟒 +𝟑 𝐭≥ 𝟎 𝟒 ; 𝟒𝐱 − 𝟐 = 𝟐𝐭 𝟐 + 𝐭 𝟒𝐭 𝟐 − 𝟐𝐭 − √𝐭 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 (𝟏′ ) 𝐱= 𝟏 [ 𝐭 𝟒 +𝟑 𝐱𝟐− 𝐱+ 𝟏= (𝟏′′ ) 𝟐+√ 𝐭 𝟒 +𝟑 )= 𝟎 𝐭 (𝐭 − 𝟏) (𝐭 𝟐 + 𝐱) 𝟒 𝐭 𝐱 𝐭= 𝟏 𝐱+ 𝟏 = 𝟐 𝐱 = 𝟏 𝐭+ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒 + 𝟑) = 𝟎  𝟑𝐭 − 𝟐𝐭 − 𝟏 + (𝐭 + 𝟏 − √𝐭  (𝐭 − 𝟏)(𝟑𝐭 + 𝟏) +  (𝐭 − 𝟏) [𝟑𝐭 + 𝟏 +  𝐭= 𝟏 𝟐𝐭 𝟐 −𝟐 𝐭 𝟐 +𝟏+√ 𝐭 𝟒 +𝟑 𝟐(𝐭+𝟏) 𝐭 𝟐 +𝟏+√ 𝐭 𝟒 +𝟑 𝟐(𝐭+𝟏) 𝟑𝐭 + 𝟏 + 𝐱 = 𝟎 ]= 𝟎 𝐭 𝟐 +𝟏+√ 𝐭 𝟒 +𝟑 > 𝟎 ∀𝐭 ≥ 𝟎  √𝟐𝐱 − 𝟏 = 𝟏 𝐱 = 𝟏 𝐱= 𝟏 𝟒𝐱 + 𝟏𝟐 = (𝟑𝐱 + 𝟖)√𝐱 + 𝟔 − (𝟒𝐱 + 𝟏𝟑)√𝐱 + 𝟐 𝐱 ≥ −𝟐 √ 𝐱 + 𝟐 = 𝐭, 𝐭 ≥ 𝟎 𝐱= 𝐭𝟐− 𝟐 𝟒𝐭 𝟑 + 𝟒𝐭 𝟐 + 𝟓𝐭 + 𝟒 − (𝟑𝐭 𝟐 + 𝟐)√𝐭 𝟐 + 𝟒 = 𝟎(𝟐) (𝟑𝐭 𝟐 + 𝟐) > 𝟎 𝐭+ 𝟐  𝐭 − 𝟐𝐭 𝟐 + 𝟑𝐭 + (𝟑𝐭 𝟐 + 𝟐)(𝐭 + 𝟐 − √𝐭 𝟐 + 𝟒) = 𝟎 𝟑 𝐭( 𝐭 𝟐 − 𝟐𝐭 + 𝟑) +  𝐭 [( 𝐭 − 𝟏) 𝟐 + 𝟐 + [ 𝟒𝐭(𝟑𝐭 𝟐 +𝟐) 𝐭+𝟐+√ 𝐭 𝟐 +𝟒=𝟎 𝟒(𝟑𝐭 𝟐 +𝟐) 𝐭=𝟎 ( 𝐭−𝟏) = 𝟎 ]= 𝟎 𝐭+𝟐+√ 𝐭 𝟐 +𝟒=𝟎 𝟒(𝟑𝐭 𝟐 +𝟐) 𝟐 +𝟐+ =𝟎 𝐭+𝟐+√ 𝐭 𝟐 +𝟒=𝟎 ( 𝐕𝐍)  √ 𝐱 + 𝟐 = 𝟎 𝐱 = −𝟐 𝐱 = −𝟐 𝟐− 𝐱 𝟑 = √𝟐𝐱 − 𝟑 − √𝐱 − 𝟏 𝟒 𝐱= 𝟐 𝐱≥ 𝟑 𝟐 √ 𝟐𝐱 − 𝟑 = 𝐭, 𝐭 ≥ 𝟎  √ 𝟐𝐱 − 𝟑 𝒕 𝟐 +𝟑 𝟐− 𝟐 𝟒 𝐱= 𝟑 = 𝒕− √ 𝐭 𝟐 +𝟑 𝒕 𝟐 +𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝒕 𝟐 + 𝟖𝒕 − 𝟏 − √𝟐𝟓𝟔(𝒕 𝟐 + 𝟏) = 𝟎 𝟑  (𝒕 𝟐 − 𝟏) + (𝟖𝒕 − √𝟐𝟓𝟔(𝒕 𝟐 + 𝟏)) = 𝟎 𝟐𝟓𝟔(𝟐𝒕 𝟑 −𝒕 𝟐 −𝟏)  ( 𝒕 − 𝟏)( 𝒕 + 𝟏) + 𝟐 𝟑 𝟑 = 𝟎 √𝟐𝟓𝟔(𝒕 𝟐 +𝟏) +𝟖𝒕 √𝟐𝟓𝟔(𝒕 𝟐 +𝟏)+𝟔𝟒𝒕 𝟐  ( 𝒕 − 𝟏) [𝒕 + 𝟏 + 𝟐𝟓𝟔(𝟐𝒕 𝟐 +𝒕+𝟏) 𝟐 𝟑 ]= 𝟎 𝟑 √𝟐𝟓𝟔(𝒕 𝟐 +𝟏) +𝟖𝒕 √𝟐𝟓𝟔(𝒕 𝟐 +𝟏)+𝟔𝟒𝒕 𝟐 [ 𝒕=𝟏 𝒕+𝟏+ 𝟐𝟓𝟔(𝟐𝒕 𝟐 +𝒕+𝟏) =𝟎 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 +𝟏) +𝟖𝒕 √ 𝟐𝟓𝟔(𝒕 𝟐 +𝟏)+𝟔𝟒𝒕 𝟐 √ 𝟐𝟓𝟔(𝒕  √ 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟏 𝒙 = 𝟐 𝒙= 𝟐 (𝑽𝑵) 𝟑 (𝟑 + √𝟕𝒙 − 𝟔)(𝟒 + √𝟕 − 𝟑𝒙) ≤ −𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝟏 𝒙 = 𝟏; 𝒙 = 𝟐, 𝒙 = −𝟑 𝟕 𝒙≤ 𝟑 √ 𝟕 − 𝟑𝒙 = 𝒕, 𝒕 ≥ 𝟎 𝟑  (𝟑 + √ 𝟕 ( 𝟑  (𝟑 + √ 𝟑𝟏−𝟕𝒕 𝟐 𝟑 𝟑  𝟗 (𝟑 + √ 𝟑 𝟕−𝒕 𝟐 𝟑 ) − 𝟔) (𝟒 + 𝒕) ≤ − ( ) (𝒕 + 𝟒) + 𝟑𝟏−𝟕𝒕 𝟐 𝟑 𝟕−𝒕 𝟐 𝒙= 𝒕 𝟒 −𝟐𝒕 𝟐 −𝟐𝟐𝟒 𝟗 𝟕−𝒕 𝟐 𝟑 𝟐 ) + 𝟒( 𝟕−𝒕 𝟐 𝟑 ) + 𝟐𝟏 ≤ 𝟎 ) + (𝒕 𝟑 − 𝟒𝒕 𝟐 + 𝟏𝟒𝒕 − 𝟓𝟔) ≤ 𝟎 𝒕 = 𝟏, 𝒕 = 𝟐, 𝒕 = 𝟒 (𝒕 − 𝟏)(𝒕 − 𝟐)(𝒕 − 𝟒) 𝟑  (𝒕 − 𝟏)(𝒕 − 𝟐)(𝒕 − 𝟒) + 𝟑 (√𝟗(𝟑𝟏 − 𝟕𝒕 𝟐 ) + 𝒕 𝟐 − 𝟕) ≤ 𝟎  ( 𝒕 − 𝟏)( 𝒕 − 𝟐)( 𝒕 − 𝟒) + 𝟑(𝒕−𝟏)(𝒕−𝟐)(𝒕−𝟒)(𝒕+𝟏)(𝒕+𝟐)(𝒕+𝟒) 𝟐 𝟑 𝟑 √𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕 𝟐 ) −(𝒕 𝟐 −𝟕) √𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕 𝟐 )+(𝒕 𝟐 −𝟕)  ( 𝒕 − 𝟏)( 𝒕 − 𝟐)( 𝒕 − 𝟒) [𝟏 +  (𝒕 − 𝟏)(𝒕 − 𝟐)(𝒕 − 𝟒) ≤ 𝟎 (𝒕 + 𝟒) 𝟑(𝒕+𝟏)(𝒕+𝟐)(𝒕+𝟒) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 √𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕 𝟐 ) −(𝒕 𝟐 −𝟕) √𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕 𝟐 )+(𝒕 𝟐 −𝟕) 𝟐 ≤ 𝟎 ]≤ 𝟎 (𝒕 𝟑 − 𝟕𝒕 𝟐 + (𝒕 − 𝟏)(𝒕 − 𝟐)(𝒕 − 𝟒) 𝟏𝟒𝒕 − 𝟖) (𝒙 + 𝟏)√𝒙 + 𝟐 + (𝒙 + 𝟔)√𝒙 + 𝟕 = 𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 𝒙= 𝟐  (𝒙 + 𝟏)(√ 𝒙 + 𝟐 − 𝟐) + (𝒙 + 𝟔)(√ 𝒙 + 𝟕 − 𝟑) = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖  ( 𝒙 − 𝟐) [ (𝒙+𝟏) √𝒙+𝟐+𝟐 + 𝒙+𝟔 √ 𝒙+𝟕+𝟑 − 𝒙 − 𝟒] = 𝟎 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒙 ≥ −𝟐 (𝒙 + 𝟏) 𝟐 (𝒙 + 𝟏) (𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟐) 𝒂𝒙 + 𝒃 − √ 𝒙 + 𝟐 𝟐𝒂 − 𝒃 = 𝟐 (𝒙 + 𝟏) −𝒂 + 𝒃 = 𝟏 𝒂= 𝟐𝒂 − 𝒃 = 𝟐 { { −𝒂 + 𝒃 = 𝟏 𝒃= 𝒙+𝟒 𝟑 𝒙 ≥ −𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟑 −√ 𝒙+ 𝟐 (𝒙 + 𝟔) > 𝟎 𝒙= 𝟐 𝒙 = −𝟏  𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 − (𝒙 + 𝟏)√ 𝒙 + 𝟐 − (𝒙 + 𝟔)√ 𝒙 + 𝟕 = 𝟎  𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 + (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟒 − 𝟑√ 𝒙 + 𝟐) + (𝒙 + 𝟔)√ 𝒙 + 𝟕(√ 𝒙 + 𝟕 − 𝟑) = 𝟎  ( 𝒙 − 𝟐)( 𝒙 + 𝟓) +  ( 𝒙 − 𝟐) [𝒙 + 𝟓 + [ 𝒙+𝟓+ (𝒙+𝟏) 𝟐 (𝒙+𝟏) 𝟐 (𝒙−𝟐) 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 (𝒙+𝟏) 𝟐 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 + + 𝒙=𝟐 (𝒙−𝟐)(𝒙+𝟔)√ 𝒙+𝟕 √ 𝒙+𝟕+𝟑 (𝒙+𝟔)√ 𝒙+𝟕 ]= √ 𝒙+𝟕+𝟑 𝟎 (𝒙+𝟔)√ 𝒙+𝟕 =𝟎(𝑽𝑵) 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 √ 𝒙+𝟕+𝟑 + 𝒙= 𝟐 (𝒙 + 𝟔)√ 𝒙 + 𝟕 √ 𝒙+ 𝟕− 𝟑 𝟑 √ 𝒙 𝟐 + 𝟒 + √𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 ≥ −𝟐  𝟐√𝒙 𝟐 + 𝟒 + 𝟐√ 𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝒙 + 𝟒 𝟑  √ 𝒙 + 𝟐(√ 𝒙 + 𝟐 − 𝟐) + 𝒙 + 𝟐 − 𝟐√𝒙 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟑  (𝒙−𝟐)√𝒙+𝟐 √𝒙+𝟐+𝟐  (𝒙 − 𝟐 [ [ + √𝒙+𝟐 √𝒙+𝟐+𝟐 (𝒙−𝟐)(𝒙 𝟐 +𝟏𝟐) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 √ 𝒙 𝟐 +𝟒 +𝟐(𝒙+𝟐) √ 𝒙 𝟐 +𝟒+(𝒙+𝟐) 𝟐 + (𝒙 𝟐 +𝟏𝟐) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 √ 𝒙 𝟐 +𝟒 +𝟐(𝒙+𝟐) √ 𝒙 𝟐 +𝟒+(𝒙+𝟐) 𝟐 ]= 𝟎 𝒙=𝟐 (𝒙 𝟐 +𝟏𝟐) √𝒙+𝟐 + 𝟐 √𝒙+𝟐+𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 √ 𝒙 𝟐 +𝟒 +𝟐(𝒙+𝟐) √ 𝒙 𝟐 +𝟒+(𝒙+𝟐) 𝟐 = 𝟎 (𝑽𝑵) = 𝟎 𝒙= 𝟐 √ 𝒙+ 𝟐 √ 𝒙+ 𝟐 √ √ 𝟑 𝟑 √ (√ ) 𝟐 (√ 𝒙 + 𝟐 − 𝒂) 𝒙+ 𝟐 𝒙− 𝟐 𝟑 (𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟓) − 𝟗 ≤ (𝒙 + 𝟐) (𝟑√ 𝒙 𝟐 + 𝟓 − 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐) + √ 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟕 𝒙+ 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟓 − 𝟐(𝒙 + 𝟐)√𝟐𝒙 + 𝟓 − 𝟑(𝒙 + 𝟑 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝟓 − √𝟓𝒙 𝟐 + 𝟕 𝒙= 𝟐 (𝒙 + 𝟐) 𝟐 (𝒙 − 𝟐) −𝟐(𝒙 + 𝟐)√𝟐𝒙 + 𝟓 ( 𝒙 + 𝟐)( 𝒙 − 𝟐) 𝒙𝟐− 𝟒 𝒙 + 𝟒 − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟓  −𝟑(𝒙 + 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝟓 𝒙𝟐− 𝟒 √𝒙 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟑  −√𝟓𝒙 𝟐 + 𝟕, 𝒂𝒙 + 𝒃 𝟑 𝒂𝒙 + 𝒃 − √𝟓𝒙 𝟐 + 𝟕 𝒙= 𝟐 𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝟑 𝒂, 𝒃  𝒂= 𝒃= 𝟏 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 𝟐 + 𝟑) 𝟓 𝒙≥− 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟓 − 𝟐(𝒙 + 𝟐)√𝟐𝒙 + 𝟓 − 𝟑(𝒙 + 𝟐)√ 𝒙 𝟐 + 𝟓 − √ 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟕 ≤ 𝟎  𝟐(𝒙 − 𝟐) + (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟒 − 𝟐√𝟐𝒙 + 𝟓) + (𝒙 + 𝟐)√𝒙 𝟐 + 𝟓 (√𝒙 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟑) + (𝒙 + 𝟏 − √𝟓𝒙 𝟐 + 𝟕) ≤ 𝟎  𝟐(𝒙 − 𝟐) +  (𝒙 − 𝟐) [𝟐 + : 𝟐+ (𝒙+𝟐) 𝟐 (𝒙−𝟐) 𝒙+𝟒+𝟐√𝟐𝒙+𝟓 (𝒙+𝟐) 𝟐 + 𝒙+𝟒+𝟐√𝟐𝒙+𝟓 (𝒙+𝟐) 𝟐 𝒙+𝟒+𝟐√𝟐𝒙+𝟓 𝐱 ≤ 𝟐 + + (𝒙+𝟐) 𝟐 (𝒙−𝟐)√ 𝒙 𝟐 +𝟓 √ 𝒙 𝟐 +𝟓 +𝟑 (𝒙+𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +𝟓 √ 𝒙 𝟐 +𝟓 +𝟑 (𝒙+𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +𝟓 √𝐱 + 𝟐 +𝟓 +𝟑 + + (𝒙−𝟐)(𝒙 𝟐 +𝟑) 𝟐 𝟑 (𝒙 𝟐 +𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 √ 𝟓𝒙 𝟐 +𝟕 +(𝒙+𝟏) √ 𝟓𝒙 𝟐 +𝟕+(𝒙+𝟏) 𝟐 𝟑 √ 𝟓𝒙 𝟐 +𝟕 +(𝒙+𝟏) √ 𝟓𝒙 𝟐 +𝟕+(𝒙+𝟏) 𝟐 ] ≤ 𝟎 (∗) (𝐱 𝟐 +𝟑) 𝟑 𝟐 𝟑 √ 𝟓𝐱 𝟐 +𝟕 +(𝐱+𝟏) √ 𝟓𝐱 𝟐 +𝟕+(𝐱+𝟏) 𝟐 𝟓 𝐒 = [− ; 𝟐] 𝟐 ≤ 𝟎 > 𝟎∀𝐱 ≥ − 𝟓 𝟐