KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU:

Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa Thầy Nguyễn Tiến Chinh KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU: Khi gặp phương trình vơ tỷ,ta biết phương trình giải phương pháp liên hợp,dùng MODE ta biết phương trình có nghiệm - Nhưng sau liên hợp xong biểu thức lại cồng kềnh phức tạp khó chứng minh phương trình vơ nghiệm lúc ta làm gì.Tất có viết với phân tích bình luận đơn giản thơng qua 20 ví dụ.Hi vọng sức mạnh giúp em giải triệt để lớp tốn BT Mẫu Giải phương trình: x  x   x    x  Nhận xét: Dùng máy tính ta kiểm tra phương trình có nghiệm x = 3,thay nghiệm vào x   1;  x  nhưn thông thường ta liên hợp sau:    x  3 1 1  x    1 x  ………….ta nhận thấy không đồng dấu???  x  1   x   2  1  x Tới cách tự nhiên ta tìm ý tưởng để hai mang dấu “+” “- “ truy ngược dấu cho (1) cụ thể sau: ĐK  x    (*)    x  x     x  1  2x2  6x  x3  x  3 x   x x    x    x   x         1  x 1 x  1   x  x   x    x2   x  0; x   2; 4 1   x  x  Tới em hình dung phần lợi phương pháp chứ,kết thu thật tuyệt vời không em - tiếp tục thầy qua ví dụ khác nhé… BT Mẫu Giải phương trình: x    x  x    Nhận xét: dùng máy tính ta biết x = nghiệm phương trình,cũng thay nghiệm vào ta có biểu thức lieenh hợp thơng thường sau: x 1  1   x    x 1  rõ ràng trái dấu,ta truy ngược dấu (2) sau  2  3x   3  x  1     3x  Bài Giải: Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa Thầy Nguyễn Tiến Chinh ĐK   x    1    x  3x    3x    x     x  1 x 1  3x   x 1  1  x  3x  x    3x    x  1    1    3x      3 1   x  3x   1   x  x  (3) dương nên vô nghiệm,vậy x = nghiệm BT Mẫu : Giải phương trình x  x  3x   x   Nhận xét: Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x =1 giống ta truy ngược dấu nhiên ta truy ngược hai biểu thức liên hợp,ta có lời giải sau: ĐK x  3x   3x    3x    x 1   x 1   x2  x   3x   x 1 x 1 2x 1  2 x 1  x  x  1    x  1    x  3x   2 x 1  x 1    3x   x    3x  phương trình (1) ln dương Đk x = ! 2 x 1   x  0(1)  3x   2 x 1  BT Mẫu : Giải phương trình  x  1  x  1   x  x   5(*) ĐK: x  ,Nhẩm x = nghiệm phương trình 1 x 5 x 2  0 5 x  Do ta tiến hành truy ngược dấu biểu thức này, viết lại phương trình sau: x    1  x  1   x   x  ( x   1)   x    x  1  x  1   x x 1  2 5 x  5 x   x  1  x    2 5 x   x  1 1 x   x  1  x   x    0  5 x x    3   x  1  x    2 5 x  2  x  1  0(1)  2x 1  (1) dương tập nên vơ nghiệm,vậy x = nghiệm phương trình Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa Thầy Nguyễn Tiến Chinh BT Mẫu : Giải phương trình 10 x   x   3x   Nhận xét:Dùng casio ta biết hai phương trình có nghiệm x = 0,thay hai nghiệm vào hai kết 1,nhưng liên hợp thơng thường hai bị mang dấu trái dấu so với phần lại.Do ta truy ngược dấu hai biểu thức trên.Ta có lời giải ĐK: x   Viết lại pt: 10 x   x   3 x    x    x    3x    x  1  1  3x  x  4x x 1  3x   x x   x    4 x   3x   3 x        0(1) x    3x     x     4x 1 1  3x  1   x  1   (1) ln dương nên phương trình cho có nghiệm x = Điểm nhấn toán nằm chỗ em thấy chưa???Đó kỹ truy ngược dấu cho hàm bậc - ta tới mẫu sau nhé: BT Mẫu : Giải phương trình sau x  3x   x   x    ĐK : x  Dùng Casio biết x = nghiệm phương trình,thay vào hai cho kết =1 PT (*)  x  x   x   x    x    x  2 2x  2x  1 x  x  2   x  1   x  1    x    x 1   x  1  1  x2     x   x    x   x Với x  (1) ln dương,pt có   2x    x   1  2x   3 x   x        nghiệm x = BT Mẫu: Giải phương trình x  x   3x   3x   ĐK: x  1 Nhận xét: Máy tính cho ta biết x = nghiệm phương trình,ta có lời giải sau Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa     3x    3x    3x   x  1 x  3x     3x  5    2x2  2x   x   x    64   3x  5  3x    x  1    3x    x    3x    3x    Thầy Nguyễn Tiến Chinh  64  x    64   x  1 x      x  13 3 x    x    2  3  3x    64  3x  5  64   x  13 3x    x    0(1)  x    64  x    642 (1) ln dương nên pt có nghiệm x = đọc độc giả thắc mắc mà ,bởi 3x  5 3 3x  5 lại liên hợp với x  Thêm điều trình giải trước đưa biểu thức liên hợp để đảm bảo tính cân hệ số nhân hai vế phương trình cho   BT Mẫu Giải phương trình sau : x    x  1 x   x  3 x    TXĐ : D = R   x    x  1 x   x  1   x  1 x    x  1 x   x   3x      x2    x   3x2   x   x2  x2    x  1   x  1  3  x  1   3x2  5 3x  5  3x  5  x 1    x  1 x   x2  x     x  1   1  2  x 3 2  x  1   x  1  3x    3x      x  1 x   x2  x     x  1     1  2  x 3 2  x  1   x  1  3x    3x    Vậy phương trình có nghiệm x =   Điều làm bạn thấy khó hiểu nhất??? có lẽ việc xuất biểu thức liên hợp x   x  số 2,vì liên hợp với số du truy ngược dấu kết liên hợp bất lợi việc chứng minh phương trình có nghiệm ta giả thiết có ax + b thỏa mãn mà = + = x + 1(vì x = nghiệm mà).vậy ta có kết tốn thành cơng!!! 2 BT Mẫu : Giải phương trình x  x  x   x x  x   x    Bài giải Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa    x 2x  x 1   x     x 2x2  x 1   2 x  x    Thầy Nguyễn Tiến Chinh  x 2x2  x 1  x  x    x      x  1   2x2  x 1 1    2x  2  x  2 pt có nghiệm x = -1/2  0  x     0(VN )  2x  1   BT Mẫu: Giải Phương trình x   x   1  x  x  x    ĐK x   2 Dùng casio ta biết pt có nghiệm x = -1,biểu thức cần truy ngược dấu 1  x  x  (1-x) chưa xác định dấu,khi ta có ý tưởng làm xuất x + 1  x  Ta có lời giải sau:        2 x    1  x  x   x     x  1 2x  1 1  x  1  x   x2   x2  0  x  1   x  x2     2 0    x  1   1  x  x   0(1) 2 x      x    2x    x2   Thấy (1) vơ nghiệm (1) ln >0 pt có nghiệm x = -1 Qua số ví dụ vừa ta thấy có biểu thức ta cần truy ngược để xác định cụ thể dấu biểu thức đứng phía trước thức,điều cần ý làm 2 BT Mẫu Giải phương trình: x  x  13 x    x   x  x   x   Nhận xét: Bài giống với ta cần truy ngược để  x   ,đồng thời liên hợp x  với số ta thu kết (-) cần truy ngược dấu.Dùng casio biết x = x  3x   1, x   (Các em ý dựa vào nghiệm phương trình thay vào nghiệm để tìm biểu thức liên hợp nhé) Ta có lời giải: ĐK: x     x3  5x  13x    x     x   x  3x    x   x  3x   x  3x   3x    x2  3x    3x  x  3x   x  3x      3x    x    x  1 x  3x    x 1  x    x  2 x  x    3x    1     x  2 x  3x   x  1  3x  3x       0(1)  x  3x    3x   x  3x    (1) (+) nên phương trình có nghiệm x = BT Mẫu: Giải phương trình sau x  14 x  14   x  1 x    x   x   Nhận xét: phương trình có nghiệm x = 1,ta thấy cần truy ngược hai biểu thức liên hợp biểu thức chưa (x + 1) chưa rõ dấu,một biểu thức liên hợp cho dấu âm.Thay x = vào x   3; x   truy ngược biểu thức  x  1 4x    4x     x  1 x   x  1 4x   rõ ràng không làm xuất  x  1 … Vậy ta Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa Thầy Nguyễn Tiến Chinh làm nào??? Có thể biểu thức liên hợp hàm bậc chăng? Thế hệ số bất định lên tiếng Nhắc lại ta cần truy ngược để làm xuất  x  1  x  1 ,giả sử ta có ax  b  x  ,thay x = vào ta a + b = đâu phương trình nữa???ta cần xuất  x  1 thay x = -1 vào ta có -a + b = a = ,b = 2(Các em đốn nhanh biểu thức la x + ta có x = nghiệm mà thay x = vào x   = x + 2) tới coi xong phần phân tích ,làm thơi!!!! ĐK x      x  1 x   x    x   x  x    3x     x  1  x  1    x  5 x    x  1 x   4x  x3 2   x   x   3  ( x  1)   x  1    x32  x   x     x  1    x   x   3  ta thấy (1) dương nên vô ( x  1)2   x  1       x3 2  x   x   nghiệm BT Mẫu: Giải phương trình sau: x   x  1  x   x  13 x   x  28   ĐK:  x  giống ( x - 13) chưa xác định dấu với đk x ta cần 2 làm xuất  x  13  x  1 với x = nghiệm pt ta nhẩm được,kiểm tra liên hợp thông thường truy ngược dấu với việc thay x = vào x   ta không thu kết mong đợi,khi hệ số bất định với sức mạnh kinh khủng giúp bạn!!! Giả sử biểu thức cần liên hợp ax + b ta tìm a,b cho ax + b = x  thay x = x = 13 vào ta thu a = 1/3 ; b = 2/3.Lúc ta có:    x  1      x   x   x  13 x   x   x  x    x  1  x x 1 1  x   x  13  x  1  x x   2x 1  x  1  x    3x  1  x  x  13     x  1    x      x  1  x ( x  13)2   x x   x    x  1      x x   2x 1 Rõ ràng x = nghiệm phương trình (1) ln dương tập xác định BT Mẫu: Giải phương trình:  x  x  1   x  1 x    x  1 x    ĐK x  1 Nhận xét: (3x+1) chưa xác định dấu ta suy nghĩ tới hướng làm trên,giả sử biểu thức cần liên hợp với x  ax + b,tìm a b cho ax + b = x  ,thay x = ½ (nghiệm nhẩm ) ta có a + 2b = thay x = -1/3 vào cho số q xấu,phải đây??? Thơi ta chọn a,b phù hợp với phương trình a + 2b = vậy, chọn a = 2,b = Nhân vế (*) cho ta có pt sau:    8x  x  1   x  1 x    3x  1 x     x  1 x      x     3x  1 x   x   x  x   Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa Thầy Nguyễn Tiến Chinh   4x 1  2x 1    x  1 x      x  1 x  3     x  1   2x     2x   4x     x  1 x   x  x  1    x  1    x  3  x 1  4x   x     x       5 1 x        12  24    x  1 x      3x   0(1)  x   2x 1  4x  (1) ln dương nên x = ½ nghiệm BT Mẫu: Giải phương trình sau  x  13 x  17  12 x  35   x   x   ĐK x  3 Đặt t = t2  x  3(t  0)  x  thay vào phương trình (*) ta có: (*)  t  6t  t  17   4t  1 2t   0(1) nhẩm thấy t = nghiệm phương trình,ta giả sử biểu thức liên hợp at + b ,phải tìm a b để at + b = 2t  ,với t = ta có 2a + b = 3,việc tìm thêm pt lại gặp khó khăn 4t   vô nghiệm.Ta chọn cặp a,b phù hợp a = 1,b=1 1  t  6t  t  17   4t  1 t   2t  1   4t  1  t  1  t  4t  1  t    t  2t  2  3t  2t  16   4t  1  0     t    3t  4t    t   2t   t   2t   t    t  4t  1  0(2)  3t  4t   t   2t   PT có nghiệm t = (2) ln dương với t  BT Mẫu: Giải phương trình x  12   3x   x    x  13 x   Lời giải: Đặt t = x  2, t   x  t  thay vào (*) ta có   4t  4t  5t    3t   t2      t  2t  3t   3t    t   t   t    t t  2t    3t    t   0 t   t       t   t  2t    3t    t     0(1) t 2 t 4  (1) vơ nghiệm ln dương,pt có nghiệm t = hay x = -2 Qua hai ví dụ có lẽ bạn đọc thắc mắc lại phải dùng tới ẩn phụ - Lí bậc x biểu thức không chứa thấp so với bậc x biểu thức chứa nên ta dùng ẩn phụ để hóa giải tốn Tới có lẽ tác giả xin dừng viết đây,với kỹ thuật nêu ví dụ phân tích nhận xét cách tỷ mỉ,lối trình bày định hướng   Kỹ thuật giải pt - bpt có chứa Thầy Nguyễn Tiến Chinh cho lời giải rõ ràng hy vọng viết hành trang bổ trợ cho em công cụ « mạnh mẽ » việc chinh phục tốn phương trình chứa căn.Trong viết tác giả trình bày vài cơng cụ « mạnh mẽ » khác giúp em công phá đề thi quốc gia cách nhẹ nhàng nữa.Xin chân thành cám ơn bạn sử dụng tài liệu này.mọi góp ý tác giả xin ghi nhận