Kỹ thuật liên hợp giải phương trình chứa căn Nguyễn Tiến Chinh

Tài liệu Kỹ thuật liên hợp giải phương trình chứa căn của thầy Nguyễn Tiến Chinh gồm 26 trang. Tài liệu trình bày chi tiết phương pháp tư duy tìm lượng liên hợp và kỹ thuật xử lí liên hợp cũng như sau khi liên hợp.

Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP KỸ THUẬT LIÊN HỢP - CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 2016 ( Bản full) NGUYỄN TIẾN CHINH Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP KỸ THUẬT LIÊN HỢP  Dự đoán nghiệm x  x o máy tính bỏ túi SHIFT  SOLVE hay ALPHA  CALC  Tách, ghép phù hợp để sau nhân liên hợp xuất nhân tử chung x  x o  bội x  x  phương trình nhằm đưa phương trình tích số: x  x .g x   o o  Các công thức thường dùng nhân liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích A B A B AB A3B A2  AB  B2 AB A3B A2  AB  B2 AB Chú ý : - Khi dùng nhân liên hợp em ý bậc x biểu thức cần liên hợp,bậc cao - bậc thấp - Điểm nhấn phương pháp liên hợp biểu thức lại móc vuông dương - âm ta làm để chứng minh điều viết để thể điều này(có thể dùng Đạo hàm - đánh giá) Kĩ Thuật (bài toán chứa hai căn): A , B lấy A - B xem có xuất nhân tử chung hay không: BT Mẫu 1: Giải bất Phương trình x    4x  3x  Đề thi thử Đại học lần khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay  Nhận xét: Sử dụng máy tính, ta tìm nghiệm x  ,vậy ta đoán nhân tử chung x - ½ 2x 3x    x  1  2x  -1 ta có:  nên ta có lời giải sau: 4x   2x  12x  1  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x    4x   1   3x  x    2x  12x  1  2x  1 3x  x   2x  12x  1  0  3x  x   3x  x  3x  x       2x  1 2x    3x  x   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 0 1 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP 1 ● Ta có: x   2x    nên 1  2x    x  3x  x  ● Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 2: Giải bất Phương trình: 2x   x  2x   Đề thi Đại học khối A năm 2007 Nhẩm nghiệm x = ta đoán x - la nhân tử chung 2x  3  x  x    Nhận thấy rằng:  nên ta có lời giải sau: 2x   x  3  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x     x3 2x   x    x  3  x     2   2x   x x    x  3   2   2x   x  1 3  2x   x  1 1 2 2x   x 2x   x  VN ● Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 3: Giải bất Phương trình 10x   3x   9x   2x   Đề dự bị Đại học khối B năm 2008 Nhẩm x = nghiệm nên đoán x - nhân tử chung  Nhận thấy: 10x  1  9x  4  3x  5  2x  2  x  nên ta có lời giải sau: Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x        10x   9x   10x   9x  4 10x   9x    3x   2x   3x   2x  2 3x   2x  0 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN   1     x  3    10x   9x  3x   2x   Vì  x  KỸ THUẬT LIÊN HỢP 1    nên 1  x  10x   9x  3x   2x  ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  : BT Mẫu 4: Giải bất Phương trình 3x2  5x   x2   x2  x  1  x2  3x   Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm 2008 Nhẩm nghiệm x = nên suy đoán nhân tử chung x -       3x  5x   3x  3x   2 x    Nên ta có lời giải sau:   Nhận thấy  2  x   x  3x   x  2     Bài giải tham khảo        3x  5x   3x  3x   2x  2 3x  5x   3x  3x   x   x  3x   3x  2 x   x  3x  0   2    x  2     2  3x  5x   3x  3x  x   x  3x    x      2 3x  5x   3x  3x   ● Ta có: 3x2  5x   3x  3x  3 x   x  3x    1 x   x  3x   0, x xác định ● Thay x  vào phương trình    thỏa Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 5:Giải bất phương trình: 10 x   3x   x   x  (Đề dự bị khối B năm 2008) Phân tích: 10x + - (9x +4) = 3x - - (2x - 2) = x - nên ta có lời giải sau: ĐK: x    lúc BPT   10 x   x    3x   x    x 3 x3  0 10 x   x  3x   x  1     x  3   0 x3  3x   x    10 x   x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 1   Vì :     0x   3x   x    10 x   x  KỸ THUẬT LIÊN HỢP So sánh với điều kiện ta có S =  3;   BT Mẫu Giải Phương trình:   x   3x   x  (Đề HSG HN - 2010) Phân tích: ( 4x + 1) - ( 3x - 2) = x + ĐK: x  ta có lời giải Phương trình cho tương đương:  x  3( L) x3    x   9    x   3x    x   x    Bình phương hai vế (*) ta có x    x  1 x    81   x  1 x    82  x 82  x   x  (TMĐK)  4  x  1 3x     82  x 2  BT Mẫu 7: Giải Phương trình sau: 3x   x   x  x   x     x  1  x  Phân tích :  2 x  x    x  3 x  1 Kĩ thuật 2: Thay trực tiếp nghiệm vào để tìm lượng liên hợp Nếu phương trình có nghiệm mà nghiệm nguyên - thay nghiệm vào ta số a ghép  a làm cặp liên hợp BT Mẫu 8:Giải phương trình:  x    x  2x  5x   Nhận xét: Nhẩm thấy x = nghiệm pt, thay x = vào hai ta thu hai số giống a = Bài giải tham khảo ● Điều kiện:  x       x  1      x   2x  5x   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN x3 3x    x  32x  1  x 2 1 4x 1 KỸ THUẬT LIÊN HỢP   1   x  3   2x  1   x    4x 1 x     1   2x   x    x   1 ● Xét hàm số f  x   2x  x  2; 4 thấy f  x   2x   ● Xét hàm số g x   g ' x   x 2 x 2 1  1   x 2 1 x 1  4x  x  2; 4  4x 1  g x  nghịch biến max g  x   g 2   2;4    2 1  0, x  2; 4    3 ● Từ 2, 3  hàm số f  x , g  x  có đồ thị cắt Do 1 vô nghiệm ● Vậy phương trình có nghiệm x  3x    x  3x2  14x   BT Mẫu 9:Giải phương trình:  Đề thi Đại học khối B năm 2010 Bài giải tham khảo  Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x  SHIFT  SOLVE hay ALPHA  CALC,   khoảng điều kiện: x   ; 6 Do đó, ta cần phải tách ghép để nhân liên hiệp cho xuất     nhân tử chung x  5 bội nó.Thay x = vào thứ 4,căn thứ Nên ta có lời giải sau: ● Điều kiện:       x     3x      x  3x  14x    x  5 3x    x5 1 6x  3x  1 x  5  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN     x  5    3x  1    3x     x   ● Ta có x   ; 6      3x    1 6x KỸ THUẬT LIÊN HỢP 1  3x   Do 1  x  ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 10:Giải phương trình: 2x  11x  21  3 4x    Nhận xét: Nhận thấy phương trình có nghiệm x  SHIFT  SOLVE hay ALPHA  CALC, đó, ta cần phải tách ghép để sau nhân liên hiệp cho xuất nhân tử chung x  3 bội nó.thay x = vào ta phải ghép với để biểu thức liên hợp       4x    2x  11x  15  4x   8  4x  4  2x  5x  3   4x       12   x  3   2x  5   4x  42  4x       x    2x      12 4x  4 0 1  4x   ● Với x   2x   1, đặt t  4x    t2  2t   12  12  tức 2 vô nghiệm t  2t  ● Với x   2x   1, đặt t  4x     t2  2t   12  12  tức 2 vô nghiệm t  2t  ● Vậy phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 11: Giải Phương trình: x  x   x  x   7( x  0) Nhẩm x = nghiệm phương trình,thay vào ;lkmczb x  x   3, x  x   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN Ta có giải sau: KỸ THUẬT LIÊN HỢP x2  x  x  x 3 3 x  x     x2  x    x  x  12 x2  x   0 x   0  x2 x4  2   0(VN ) x  x3 3 x  x44 2  x  x   x  x4 4  x  3 x   x2 Vì  x  3 x    x  x3 3 x4  0x  x  x4 4 BT Mẫu 12: Giải Phương trình x    x  x  x  (HSG Hà Nội - 2012) Phân tích : Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x = 1,thây vào x   2vs  x  nên ta có lời giải sau : ĐK : x  ( x   2)   viết lại phương trình dạng   x   x  3x   BT Mẫu 13 :Giải Phương trình  x  1 5x 1  1 x  9  x  23  x    x  1 x   x   x   (ĐH 2000D) Phân tích: ta nhẩm nghiệm phương trình x = đem thay vào phương trình dạng sau: x   5; x   ta viết lại ĐK:x   Viết lại phương trình: 6x 1   x      x  4 6( x  4)  0 6x 1  2x 1  x       2x 1   x   Nhận xét: x   18 x   x   x    x   (*) vô nghiệm PT cho có nghiệm x = BT Mẫu 14 :Giải Phương trình x  3x  3 3x    x Viết lại phương trình:  x  1  3 x   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP Nhẩm x = nghiệm phương trình,thay vào ta ta viết lại pt sau:  x  1   3 3x     x  1  x  1   x  1       x 1     x    3    x    3       ( 3x   1)  3     Lại có:  x    3        x  1  3x  5  3x   x    3     x   3x    3  dấu “=” xảy   x  2   3x     Vậy x = x = -2 nghiệm phương trình BT Mẫu 15 :Giải Phương trình  x      x  4x  1  x  x  1  Nhận xét: ĐK để phương trình có nghiệm (2 + x)x   2  x  ,phương trình có nghiệm x = -1,từ ta viết lại phương trình cho sau:  x  2 (    x  x   2)   x ( x   2)    x2  4x    x2 1    x  2   x      x  1       x x x      x  1   x   x  3  x  x  1    x  1    6    x2  x  x  x  1 2      x 3 2   x  4x    x  x   x2   PT (*) vô nghiệm vì:    x  5x   x2  x  x2  4x    x  x   x2  x2    0x Kỹ Thuật - Hệ số bất Định Kiểu 1: Dùng hệ số bất định cho hai vế không nhẩm nghiệm BT Mẫu 16: phương trình: x  1 x  2x   x   Bài giải tham khảo Cách giải Nhân lượng liên hợp ● Vì x  1 không nghiệm phương trình nên x2    x  2x   x  x2   x  2x   x  1   (x  1) x 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 2   x 1 x  2x   x   KỸ THUẬT LIÊN HỢP    x  2x    ● Vậy nghiệm phương trình x    Nhận xét:   Vấn đề đặt nhận nhân tử chung x  2x  để điền số x  vào hai vế ??? Ý tưởng xuất phát từ việc tìm số  cho x2  x  2x   x     x  ,   0 x 1   x  2x   (x  )2 x  2x   x    x   (x  ) x  1  x 1 (1   )x2  2(1  )x   2 x  2x      (1   )x  (  )x  1   x 1 Đến đây, ta việc xác định  ,  cho  1      2  2        1,   1   3  2     BT Mẫu17 Giải phương trình: 3x  1 x   3x  2x   Bài giải tham khảo Do x   1 không nghiệm phương trình, nên với x   , ta được: 3 3x  2x  3x  2x   x   2x   2x 3x  3x  x   4x 3x  2x   6x  2x   3x  x2   2x    x2     x2  3x   3x  x   2x    x2 x   2x  1     x   0  x   2x 3x  1  1       x2  3x    x  1   1   3x   x   2x x   2x  3x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN x      x2  x   x  x  x     KỸ THUẬT LIÊN HỢP Kỹ Thuật 3:Đoán nhân tử chung nhờ máy tính (dành cho pt có nghiệm vô tỷ) Nếu thấy phương trình có hai nghiệm lẻ ta tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm xem có đẹp không,nếu đẹp pt có nhân tử chung x  Sx  p vấn đề làm tìm biểu thức liên hợp: Giả sử nghiệm x1 , x2 ,biểu thức liên hợp cần tìm ax + b + Thay x1 vào kết C,thay x2 vào ta kết D a.x  b  C +Giải hệ phương trình   a, b xong em có biểu thức liên hợp a.x2  b  D BT Mẫu 21:Giải phương trình sau: x  x    x Giải: ĐK: x  x   Dùng máy tính dò nghiệm ta nghiệm x1  1, 618033989 x2  0, 6180339887 Tổng hai nghiệm 1,tích -1 nên dự đoán nhân tử chung x  x  thay hai nghiệm vào phương trình, ta có C = 0,381966;D = 2,618033989 a.x  b  C Giải hệ   a, b ta có a = -1,b = biể thức liên hợp - x a.x2  b  D Ta viết lại pt sau:  x  x  1    x    3x    x   x  x   3 4  x  x  1  3x   x     x  x  1  x     đến em tự giải tiếp toán có hai nghiệm  x   x   Ví dụ tiếp : x  x    x   x  x  ĐK :  x  x  1  x    Dùng máy tình nhẩm hai nghiệm x1   2, x2   2 ,thay hai ngiệm vào ta số C = D = 3(dự đoán biểu thức liên hợp số 3) Có tổng tích -7 ta dự đoán pt có nhân tử chung  x  x   Tìm biểu thức liên hợp cách giải hệ sau nháp Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP a.x1  b  C  a, b giải có a = 0,b=3 tới rõ biểu thức liên hợp số - làm  a.x2  b  D em pt  x  x   3( x  2)   x   ( x  x   3) x  x    x  2 x2  x  x2  2x   0  x2  x     x2   x  x   1  0  x2  2x     x  x   x   tới em tự giải tiếp nhé,pt có hai nghiệm Kỹ thuật : Nếu phương trình có hai nghiệm nguyên để tìm lượng liên hợp ta làm sau Giả sư lượng liên hợp ax + b muốn tìm a,b ta thay hai nghiệm vào pt : ax + b = a,b giải tìm Ngoài kỹ thuật nêu em làm theo thủ thuật khác tìm thấy có nghiệm vô tỷ phương trình BT Mẫu 22 :Trong pt sau dùng máy tính ta x = 1,390388203 Nếu phương trình có chứa hai căn,thay vào ta có kết sau : x + lượng cần liên hợp vớ thứ nhất,2x lượng liên hợp với thứ Áp Dụng :Giải phương trình sau : Ví dụ :Dùng máy tính thu nghiệm x =4,236067977 ,Nếu phương trình có chứa hai ta đem thay hai nghiệm vào Vậy thứ trừ cho 5,236067977 = x + nên thứ trừ cho x + Áp Dụng :Giải phương trình sau Bài tập vần dụng : Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 1.x  x  3 x    x(DS:x=-2,x=1) KỸ THUẬT LIÊN HỢP 2; x   x  x   0( DS : x  1; x   2) 3;  x2  x   x  x    x   x   x ( x  0; x  1) 4;  x  3 x  x   x  x   6;9   5;3  x   x  x  6( x  3, x  11  )  x   3x   x  7; x    x  x  x   0( x  4) 8; x  24  12  x   x  24, x  88  x   x   x   x   10.2 3x     x    x  2  11.x  x   x   x  x    x  2, x    32  57  12 x  16 x  18  x   x   x  1, x     13 x    x  x  x   x  1 14 x    x  x  x  10 x  26  0( x  2) 15 x  x   x   3x  x   x  x  4( x  2) 2x2 BT Mẫu 23:Giải bất phương trình: 3   2x   x  21  Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999 Bài giải tham khảo 9  2x  ● Điều kiện:     x  x           2x       x   2x     x   2x  x  21    2x        x  21     x  21    2x   2x  2x  42   2x    2x  16  x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP  7 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm hệ x   ;  \ 0  2   BT Mẫu 24 Giải bất phương trình: x2 1  1 x  x4   Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện:  x   x  1 x  1 ● Nếu   1  x    Do đó: x  1; 4 tập nghiệm x    bất phương trình  ● Khi x  : x    x 1 1 x        x   x     x      1 1 x            x      x   x   x4    x        x4    x    1   x   x  x   x4  x  x  x         x  4; 8    x  1  x  x      x  1; 4   ● Vậy tập nghiệm bất phương trình   x  1;    x 4;     BT Mẫu 25 :Giải bất phương trình:  x  3x   x  4x   x  5x  Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh năm 1996 Bài giải tham khảo          x  3x   x  5x   2x   x    Nên ta có lời giải sau:  Nhận xét:  2  x  4x   x  5x   x   ● Điều kiện: x   x       x  3x   x  5x    x  4x   x  5x   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN  KỸ THUẬT LIÊN HỢP  x  1 x  3x   x  5x  x 1  x  4x   x  5x      x  1    x  3x   x  5x  x  ● Do  thì:  x  x  3x   x  5x  0    1 2  x  4x   x  5x   1  x  4x   x  5x  0 nên 1  x    x  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x   x  BT Mẫu 26: Giải bất phương trình: x  2x   2x  17  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x     x   x    x   2x  17  2x  2x  17  2x   2x  17  2x   2x  17  2x  16  2x  17  2x   x 2x  17  2x  2x  17  2x    16x  2x  172x  1  6x  (dạng 3   x   ; 4   ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  0; 4 BT Mẫu 27 :Giải bất phương trình: 2x  3x  6x  16   x  Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2  x       2x  3x  6x  16  3    4x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  A  B ) Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN 2x  3x  6x  11 x 1   0  4x 2x  3x  6x  16  3  x  12x   5x  11 2x  3x  6x  16  3 x 1   4x KỸ THUẬT LIÊN HỢP 0     63    x             x  1   0  2x  3x  6x  16  3  4x        x 1   x  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x  1; 4    BT Mẫu 28: Giải bất phương trình: x2   3x    3x    Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x        3x  7x  1   x  1  3x    x  1  3x  2    x  1   3x          3x     3x   3x     2    3x  7  1 ● Khi x  1  1 :  3x     x  1   4  ● Khi   1  x      x  1 x    3 x  1     ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x   ; 1    BT Mẫu29: Giải bất phương trình:   2x   x x x 1 Bài giải tham khảo Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP x 2 2x  x 1  x  x 2  x  2 x  2 x 2  x x x 2  x   0 2  x   x   ● Điều kiện:   x    x  2 x  2  x  ● Với: 2  x  : 2    x 2  2x   x x ● Với: x  : 2    x  2  2x   2x  x x  2x   x 2  x 2x    x 2  x  1  do : 2x   ,  x   2x  4x  x 2x    0, x    x  2x   x  2x   x2  2x     x   x  2x  4x  16x  32  4x  16 x x  2  2x  4x  4x x 2 x x  2x     x  2x     x2  2x  x  2x    x  2x    x  1 ● Do x   x     ● Vậy tập nghiệm bất phương trình x  2;0   BT Mẫu 30 :Giải bất phương trình: x  1 x  2x   4x x   x  1 Bài giải tham khảo   x  12      x  2x   2x x   x  2x     x  1  x  2x   2x  x  13x  1 2 x   x  2x  0   2x 3x  1  0   x  1   x  2x     x   x  2x      Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP    x2   x2  2x   x2  x2  2x   7x2  4x      x  1   2      x x 2x       4 31 Do 7x  4x   x     nên phương trình  x    x  1   ● Vậy tập nghiệm bất phương trình x  ; 1 KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU: Khi gặp phương trình vô tỷ,ta biết phương trình giải phương pháp liên hợp,dùng MODE ta biết phương trình có nghiệm - Nhưng sau liên hợp xong biểu thức lại cồng kềnh phức tạp khó chứng minh phương trình vô nghiệm lúc ta làm gì.Tất có viết với phân tích bình luận đơn giản thông qua 20 ví dụ.Hi vọng sức mạnh giúp em giải triệt để lớp toán BT Mẫu 31 Giải phương trình: 2x  5x 1  x    x  Nhận xét: Dùng máy tính ta kiểm tra phương trình có nghiệm x = 3,thay nghiệm vào x   1;  x  nhưn thông thường ta liên hợp sau:    x  3 1 1  x    1 x  ………….ta nhận thấy không đồng dấu???  1   x  x     1  x Tới cách tự nhiên ta tìm ý tưởng để hai mang dấu “+” “- “ truy ngược dấu cho (1) cụ thể sau: ĐK  x    (*)    x  x     x  1  2x2  6x  x3  x  3 x   x x    x    x   x         1  x 1 x  1   x  x   x    x2   x  0; x   2; 4 1   x  x  Tới em hình dung phần lợi phương pháp chứ,kết thu thật tuyệt vời không em - tiếp tục thầy qua ví dụ khác nhé… BT Mẫu 32Giải phương trình: x    x  x    Nhận xét: dùng máy tính ta biết x = nghiệm phương trình,cũng thay nghiệm vào ta có biểu thức lieenh hợp thông thường sau: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP x 1  1   x    x 1  rõ ràng trái dấu,ta truy ngược dấu (2) sau   x    2  3x    2   3x  Bài Giải: ĐK   x    1    x  3x    3x    x     x  1 x 1  3x   x 1  1  x  3x  x    3x    x  1    1    3x      3 1   x  3x   1   x  x  (3) dương nên vô nghiệm,vậy x = nghiệm BT Mẫu 33 : Giải phương trình x  x  3x   x   Nhận xét: Dùng casio ta biết phương trình có nghiệm x =1 giống ta truy ngược dấu nhiên ta truy ngược hai biểu thức liên hợp,ta có lời giải sau: ĐK x  3x   3x    3x    x 1   x 1   x2  x   3x   x 1 x 1 2x 1  2 x 1  x  x  1    x  1    x  3x   2 x 1  x 1    3x   x    3x  phương trình (1) dương Đk x = ! 2 x 1   x  0(1)  3x   2 x 1  BT Mẫu 34 : Giải phương trình  x  1  x  1   x  x   5(*) ĐK: x  ,Nhẩm x = nghiệm phương trình 5 x 2  Do ta tiến hành truy ngược dấu biểu thức này, viết lại phương trình sau: x    1  x  1   x   x  ( x   1)   x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 x 0 5 x  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN x 1  2 5 x   x  1  x  1   x  5 x   x  1  x    2 5 x  KỸ THUẬT LIÊN HỢP  x  1  x  1 1 x   2x 1 1 x    0  5 x x    3   x  1  x    2 5 x   x  1  0(1)  2x 1  (1) dương tập nên vô nghiệm,vậy x = nghiệm phương trình BT Mẫu 35 : Giải phương trình 10x   4x 1  3x 1  Nhận xét:Dùng casio ta biết hai phương trình có nghiệm x = 0,thay hai nghiệm vào hai kết 1,nhưng liên hợp thông thường hai bị mang dấu trái dấu so với phần lại.Do ta truy ngược dấu hai biểu thức trên.Ta có lời giải ĐK: x   Viết lại pt: 10 x   x   3 x    x    x    3x    x  1  1  3x  x  4x x 1   4x 1 1  3x   x 3 x   3x       3x     x    4x   4x 1 1  3x   3 x    0(1) 3  3x  1   x  1   (1) dương nên phương trình cho có nghiệm x = Điểm nhấn toán nằm chỗ em thấy chưa???Đó kỹ truy ngược dấu cho hàm bậc - ta tới mẫu sau nhé: BT Mẫu 36 : Giải phương trình sau x  3x   x   x    ĐK : x  Dùng Casio biết x = nghiệm phương trình,thay vào hai cho kết = PT (*)  x  x   x   x    x    x  2 2x  2x  1 x     2x    2x    = x  x  2   x  1   x  1  x  x  1   x  1    x    x 1   x  1  1  x2     x   x     x   1 Với x  (1) dương,pt có nghiệm x Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN BT Mẫu 37: Giải phương trình x  x   3x   3x   KỸ THUẬT LIÊN HỢP ĐK: x  1 Nhận xét: Máy tính cho ta biết x = nghiệm phương trình,ta có lời giải sau     3x    3x    3x   x  1 x  3x    x    3x    3x    3x  5    2x2  2x   x   x    64   3x  5  3x    x  1    3x      64  x    64   x  1 x      x  13 3 x    x      3x    64  3x  5  642   x  13 3x  (1) dương nên pt có   x    0(1) 2  x    64  x    64 nghiệm x = đọc độc giả thắc mắc ,bởi 3x  5 3 3x  5 lại liên hợp với mà x  Thêm điều trình giải trước đưa biểu thức liên hợp để đảm bảo tính cân hệ số nhân hai vế phương trình cho   BT Mẫu 38Giải phương trình sau : x    x  1 x   x  3 x    TXĐ : D = R   5x    x 1 x   x 1   x 1 x    x  1 x   x   3x      x    x 1 3x   x 1  x2  x2    x  1   x  1  3  x  1   3x2  5 3x  5  3x  5  x 1    x  1 x   x2  x     x  1   1  2  x 3 2  x  1   x  1  3x    3x      x  1 x   x2  x     x  1     1  2  x 3 2  x  1   x  1  3x    3x    Vậy phương trình có nghiệm x = Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP Điều làm bạn thấy khó hiểu nhất??? có lẽ việc xuất biểu thức liên hợp  x 1  x  số 2,vì liên hợp với số du truy ngược dấu kết liên hợp bất lợi việc chứng minh phương trình có nghiệm ta giả thiết có ax + b thỏa mãn mà = + = x + 1(vì x = nghiệm mà).vậy ta có kết toán thành công!!! BT Mẫu 40: Giải phương trình x3  x  x   x x  x   x    Bài giải    x 2x  x 1   x     x 2x2  x 1    x  x    x 2x2  x 1 x  x    x      x  1    2x2  x 1 1    2x  2  x  2 pt có nghiệm x = -1/2  0   x   1  0(VN )  2x  1   BT Mẫu 41: Giải Phương trình 3x   2x   1 x  x  x   ĐK x   Dùng casio ta biết pt có nghiệm x = -1,biểu thức cần truy ngược dấu 1 x  x  (1-x) chưa xác định dấu,khi ta có ý tưởng làm xuất x + 1 x  Ta có lời giải sau:        x    1  x  x   x     x  1 2x  1 x2  1  x  1  x    x2  0  x  1   x  x2     2 0    x  1    x  x2   2  0(1)  x    x    2x     x2   Thấy (1) vô nghiệm (1) >0 pt có nghiệm x = -1 Qua số ví dụ vừa ta thấy có biểu thức ta cần truy ngược để xác định cụ thể dấu biểu thức đứng phía trước thức,điều cần ý làm BT Mẫu 42:Giải phương trình: x  x  13 x    x   x  x   x   Nhận xét: Bài giống với ta cần truy ngược để  x   ,đồng thời liên hợp x  với số ta thu kết (-) cần truy ngược dấu.Dùng casio biết x = nghiệm phương trình thay vào x  3x   1, x   (Các em ý dựa vào nghiệm để tìm biểu thức liên hợp nhé) Ta có lời giải: ĐK: x     x3  5x  13x    x     x   x  3x    x   x  3x   x  3x   3x    x2  3x    3x  x  3x   x  3x      3x    x    x  1 x  3x    x 1  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP x    x  2 x  x    3x    1     x  2 x  3x   x  1  3x  3x       0(1)  x  3x    3x   x  3x    (1) (+) nên phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 43: Giải phương trình sau x  14 x  14   x  1 x    x   x   Nhận xét: phương trình có nghiệm x = 1,ta thấy cần truy ngược hai biểu thức liên hợp biểu thức chưa (x + 1) chưa rõ dấu,một biểu thức liên hợp cho dấu âm.Thay x = vào x   3; x   truy ngược biểu thức  x  1 4x    4x     x  1 x   x  1 rõ ràng không làm xuất  x  1 … Vậy ta 4x   làm nào??? Có thể biểu thức liên hợp hàm bậc chăng? Thế hệ số bất định lên tiếng Nhắc lại ta cần truy ngược để làm xuất  x  1  x  1 ,giả sử ta có ax  b  x  ,thay x = vào ta a + b = đâu phương trình nữa???ta cần xuất  x  1 thay x = -1 vào ta có -a + b = a = ,b = 2(Các em đoán nhanh biểu thức la x + ta có x = nghiệm mà thay x = vào x   = x + 2) tới coi xong phần phân tích ,làm thôi!!!! ĐK x      x  1 x   x    x   x  x    3x     x  1 x   1    x  5 x    x  1 x   4x  x3 2   x   x   3  ( x  1)   x  1    x32  x   x     x  1    x   x   3  ta thấy (1) dương nên vô nghiệm ( x  1)2   x  1       x3 2  x   x   BT Mẫu 44: Giải phương trình sau: x   x  1  x   x  13 x   x  28   ĐK:  x  giống ( x - 13) chưa xác định dấu với đk x ta cần làm 2 xuất  x  13  x  1 với x = nghiệm pt ta nhẩm được,kiểm tra liên hợp thông thường truy ngược dấu với việc thay x = vào 2x 1  ta không thu kết mong đợi,khi hệ số bất định với sức mạnh kinh khủng giúp bạn!!! Giả sử biểu thức cần liên hợp ax + b ta tìm a,b cho ax + b = 2x 1 thay x = x = 13 vào ta thu a = 1/3 ; b = 2/3.Lúc ta có:    x  1      x   x   x  13 x   x   x  x    x  1  x x 1 1  x  x  13  x  1  x  x   2x 1  x  1  x    3x  1  x  x  13     x  1    x      x  1  x ( x  13)2   x x   x  2   x  1      x x   2x 1 Rõ ràng x = nghiệm phương trình (1) dương tập xác định BT Mẫu 45: Giải phương trình:  x  x  1   x  1 x    x  1 x    Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP ĐK x  1 Nhận xét: (3x+1) chưa xác định dấu ta suy nghĩ tới hướng làm trên,giả sử biểu thức cần liên hợp với x  ax + b,tìm a b cho ax + b = x  ,thay x = ½ (nghiệm nhẩm ) ta có a + 2b = thay x = -1/3 vào cho số xấu,phải đây??? Thôi ta chọn a,b phù hợp với phương trình a + 2b = vậy, chọn a = 2,b = Nhân vế (*) cho ta có pt sau:    8x  x  1   x  1 x    3x  1 x     x  1 x      x     3x  1 x   x   x  x     x2   2x 1    x  1 x    x        x  1 x  3    2x     2x   4x     x  1 x   x  x  1    x  1    x  3  x 1  4x   x     x      5 1 x        12 24 x  x             3x   0(1)  x   2x 1  4x  (1) dương nên x = ½ nghiệm BT Mẫu 46: Giải phương trình sau  x  13 x  17  12 x  35   x   x   ĐK x  3 Đặt t = x  3(t  0)  x  t2  thay vào phương trình (*) ta có: (*)  t  6t  t  17   4t  1 2t   0(1) nhẩm thấy t = nghiệm phương trình,ta giả sử biểu thức liên hợp at + b ,phải tìm a b để at + b = 2t  ,với t = ta có 2a + b = 3,việc tìm thêm pt lại gặp khó khăn 4t   vô nghiệm.Ta chọn cặp a,b phù hợp a = 1,b=1 1  t  6t  t  17   4t  1 t   2t  1   4t  1  t  1  t  4t  1  t    t  2t  2  3t  2t  16   4t  1  0     t    3t  4t    t   2t   t   2t   t    t  4t  1  0(2)  3t  4t   t   2t   PT có nghiệm t = (2) dương với t  BT Mẫu 47: Giải phương trình x  12   3x   x    x  13 x   Lời giải: Đặt t = x  2, t   x  t  thay vào (*) ta có   4t  4t  5t    3t   t2      t  2t  3t   3t    t   t   t    t t  2t    3t    t   0 t 2 t 4    Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP    t   t  2t    3t    t     0(1) t   t2    (1) vô nghiệm dương,pt có nghiệm t = hay x = -2 Qua hai ví dụ có lẽ bạn đọc thắc mắc lại phải dùng tới ẩn phụ - Lí bậc x biểu thức không chứa thấp so với bậc x biểu thức chứa nên ta dùng ẩn phụ để hóa giải toán Tới có lẽ tác giả xin dừng viết đây,với kỹ thuật nêu ví dụ phân tích nhận xét cách tỷ mỉ,lối trình bày định hướng cho lời giải rõ ràng hy vọng viết hành trang bổ trợ cho em công cụ « mạnh mẽ » việc chinh phục toán phương trình chứa căn.Trong viết tác giả trình bày vài công cụ « mạnh mẽ » khác giúp em công phá đề thi quốc gia cách nhẹ nhàng nữa.Xin chân thành cám ơn bạn sử dụng tài liệu này.mọi góp ý tác giả xin ghi nhận Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [...]... trong phương trình có chứa hai căn, thay lần lượt vào mỗi căn đó ta có kết quả như sau : vậy x + 1 là lượng cần liên hợp vớ căn thứ nhất,2x là lượng liên hợp với căn thứ 2 Áp Dụng :Giải phương trình sau : Ví dụ :Dùng máy tính thu được nghiệm là x =4,236067977 ,Nếu phương trình có chứa hai căn ta đem thay hai nghiệm đó lần lượt vào căn Vậy căn thứ nhất trừ đi cho 1 còn 5,236067977 = x + 1 nên căn thứ...  Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP    4 x2  1  2 x2  2x  5  2 x2  1 x2  2x  5  7x2  4x  5    0  x  1   2 2      2 x 1 x 2x 5      2  4 31 Do 7x  4x  5  7 x     0 nên phương trình  x  1  0  x  1  7  7 2 ● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x  ; 1 KỸ THUẬT LIÊN HỢP TRUY NGƯỢC DẤU: Khi gặp một phương trình. ..  Vậy phương trình chỉ có đúng một nghiệm x = 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP Điều gì làm bạn thấy khó hiểu nhất??? có lẽ là việc xuất hiện của biểu thức liên hợp  x 1 3  3 x 2  5 tại sao không phải là số 2,vì khi liên hợp với số 2 du đã truy ngược dấu nhưng kết quả liên hợp vẫn bất lợi trong việc chứng minh phương trình có... vào căn ta được cùng một số là C = D = 3(dự đoán biểu thức liên hợp là số 3) Có tổng bằng 2 và tích là -7 ta dự đoán pt có nhân tử chung là  x 2  2 x  7  Tìm biểu thức liên hợp bằng cách giải hệ sau ngoài nháp nhé Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP a.x1  b  C  a, b giải ra có a = 0,b=3 tới đây đã rõ rồi nhé biểu thức liên hợp. .. tới đây các em tự giải tiếp nhé,pt chỉ có hai nghiệm ở trên Kỹ thuật 4 : Nếu phương trình có hai nghiệm và đều nguyên để tìm lượng liên hợp ta làm như sau Giả sư lượng liên hợp là ax + b muốn tìm a,b ta thay lần lượt hai nghiệm vào pt : ax + b = a,b giải tìm Ngoài các kỹ thuật chính đã nêu ở trên các em có thể làm theo một thủ thuật khác nếu tìm thấy có nghiệm vô tỷ trong phương trình BT Mẫu 22 :Trong... www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP  9 7 ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của hệ là x   ;  \ 0  2 2   BT Mẫu 24 Giải bất phương trình: x2 1  1 x  x4  2  Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 1  x  0  x  1 x  1 ● Nếu   1  x  4   luôn đúng Do đó: x  1; 4 là một tập nghiệm x  4  0  của bất phương trình. .. 1  x      x  1 4 x    3 3 x  1 3    4  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x   ; 1  3   BT Mẫu29: Giải bất phương trình: 2 1  2 8  2x   x x x 1 Bài giải tham khảo Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP x 2 2x 2  8 x 1  2 x  x 2 2  x  2 x  2 x 2  x x x 2... nghiệm duy nhất của phương trình vì (1) luôn dương trên tập xác định BT Mẫu 45: Giải phương trình: 2  8 x 2  7 x  1   x  1 2 x  3  2  3 x  1 4 x  2   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN KỸ THUẬT LIÊN HỢP ĐK x  1 2 Nhận xét: (3x+1) chưa xác định dấu ta suy nghĩ tới hướng làm như bài trên,giả sử biểu thức cần liên hợp với 4 x  2 là ax... x  3 thì (1) luôn dương,pt có nghiệm x 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nguyễn Tiến Chinh - VINASTUDY.VN BT Mẫu 37: Giải phương trình x 2  4 x  1  2 3 3x  5  3x  1  KỸ THUẬT LIÊN HỢP ĐK: x  1 3 Nhận xét: Máy tính cho ta biết x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình, ta có lời giải sau đây     3x  1   3x  1  2  3 3x  5 3  x  1 3 x  1 3x  1  2 3  3 x...  2 5  2 KỸ THUẬT LIÊN HỢP Kỹ Thuật 3:Đoán nhân tử chung nhờ máy tính (dành cho pt có nghiệm vô tỷ) Nếu thấy phương trình có hai nghiệm nhưng đều lẻ ta tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm xem có đẹp không,nếu đẹp thì pt có nhân tử chung sẽ là x 2  Sx  p vấn đề làm thế nào tìm ra được biểu thức liên hợp: Giả sử 2 nghiệm là x1 , x2 ,biểu thức liên hợp cần tìm là ax + b + Thay x1 vào căn được kết