9 phương pháp giải phương trình Logarit, phương trình mũ

9 phương pháp giải phương trình Logarit, phương trình mũ.Ở tài liệu này, các phương pháp giải phương trình mũ, logarit được trình bày với các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Phương pháp 1: Giải phương trình cơ bản Phương Pháp 2: Đưa về cùng cơ số Phương pháp 3: Biến đổi đưa về phương trình tích Phương pháp 4: Logarit hóa, mũ hóa Phương pháp 5: Dùng ẩn phụ Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá Phương pháp 8: Phương pháp quan niệm hằng số là ẩn Phương pháp 9: Sử dụng định lý Lagrange

http://dethithu.net - Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật ngày.Truy cập tải ngay!! Th De O0O Phƣơng pháp 1: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN a f ( x )  b  f ( x)  log a b ; log a f ( x)  b  f ( x)  ab a) 3x 5 x  Giải: 5 x  ; b) log (3x  4)  hu a) 3x  81 iT Ví dụ Giải phƣơng trình:  81  x2  5x   log3 81  x2  x   log3 34 x   x2  5x    x2  5x   x( x  5)    x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = .N b) log (3x  4)  log (3x  4)   l3x   23  3x    3x  12  x  ĐK: 3x    x  et Vậy phương trình cho có nghiệm x = http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Th De Phƣơng pháp 2: ĐƢA VỀ CÙNG CƠ SỐ 1) Đối với phương trình mũ: biến đổi phương trình dạng a f ( x )  a g ( x ) - Nếu số a số dương khác a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) a  - Nếu số a thay đổi a f ( x )  a g ( x )   ( a  1) f ( x )  g ( x )     iT 2) Đối với phương trình logarit: biến đổi phương trình dạng 0  a   loga f ( x)  log a g ( x)   f ( x)   f ( x)  g ( x)  Ví dụ Giải phƣơng trình: 5 x   81 ; Giải:  81  3x 5 x4  34  x2  5x   x   x2  5x   x( x  5)    x  a) 3x 5 x  b) log (3x  4)  hu a) 3x N Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = b) ĐK: 3x    x   3x  12  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Sài Gịn, dethithu.net - www.dethithu.net et log (3x  4)   log (3x  4)  log 23  3x   23  3x   Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Ví dụ Giải phƣơng trình:  x 8  913 x Th De a) 3x c) 2.5x 3  5.2 x 3 ; b) 2x1  2x1  2x  28 ; d) 2x 1  3x  3x 2 1  2x 2 Giải: a) 3x  x 8  913 x  3x  x8  32(13 x )  x2  x   2(1  3x)  x  2  x2  5x      x  3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = - b) 2x1  2x1  2x  28  22.2 x1  x1  2.2x1  28  x1 (22   2)  28  2x1   2x1  22  x    x  iT Vậy phương trình cho có nghiệm x = c) 2.5 x 3  5.2 x 3 5x  3 3 x 3 5   2 hu 2x 5    2  x2    x2   x  2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - x = d) 2x 2 1  3x  3x 1  2x 2  2x 1  3.3x 1  3x 1  23.2x 1 2  23.2 x 1  3x 1  3.3x 2  x 1.9  3x 1.4    3 2 x 1 1 2  x 1 (1  23 )  3x 1 (1  3) 2    3 x 1 2     x2   3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = - dethithu.net - www.dethithu.net et  x2   x   Sài Gòn, N  2x 1 x = Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Ví dụ Giải phƣơng trình: Th De a) lg x  lg x  lg x ; b) log x  log3 x  log x  log5 x Giải: b) ĐK: x  lg x  lg x2  lg x  lg x  2lg x  lg  lg x  2lg x  lg x   2lg x  lg 22  lg x  lg  x    x    Do x  nên nghiệm phương trình x  b) ĐK: x  log2 x  log3 x  log4 x  log5 x  log2 x  log3 2.log2 x  log4 2.log x  log5 2.log x  log2 x.(1  log3  log  log5 2)   log2 x   x  iT Vậy phương trình cho có nghiệm x = hu Phƣơng pháp 3: BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ Giải phƣơng trình: ; b) log2 (3x  4).log2 x  log2 x Giải: N a) 12.3x  3.15x  5x1  20 a) 12.3x  3.15x  5x1  20  12.3x  3.3x.5x  5.5x  20   3.3x (4  5x )  5(5x  4)   (5x  4)(3.3x  5)  Sài Gòn, dethithu.net - www.dethithu.net et 5 x   5  x  3x   x  log3    3 3.3   Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 5 Vậy phương trình cho có nghiệm x  log   3 Th De 3x   b) ĐK:  x x  log (3x  4).log x  log x  log x log (3x  4)  1  log x  log x  x 1 x 1     x  log (3x  4)   log (3x  4)  3x   Do x  nên nghiệm phương trình x  iT Phƣơng pháp 4: LƠGARIT HĨA, MŨ HĨA Ví dụ Giải phƣơng trình: Giải: hu a) 3x.2 x  b) 3log2 x  x  ; a) Lấy lô garit hai vế với số 2, ta   log 3x.2 x  log  log 3x  log 2 x   x.log  x log 2  2 N x  x   x.log  x   x  log  x      log  x   x   log Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x =  log et b) ĐK: x  Đặt log x  t  x  2t ta thu phương trình mũ theo biến t : Sài Gịn, dethithu.net - www.dethithu.net Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 3t  2t  (*) Th De Vế trái (*) hàm số đồng biến, vế phải hàm nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t  nghiệm (*) nên nghiệm (*)  log2 x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phƣơng pháp 5: DÙNG ẨN PHỤ iT Ví dụ Giải phƣơng trình: 22x 9.2x Giải: Chia vế phương trình cho 22x 2x 9.2x 2x 9.2x 2.22x 2t 9t x x 0 ta được: 2x 2 2x x2 x 0 điều kiện t > Khi phương trình tương đương với : t 2x x 2x x 22 x2 x x2 x dethithu.net - www.dethithu.net x x et t Vậy phương trình có nghiệm x = - 1, x = Sài Gòn, N 2x Đặt t 2x 2 22x hu 22x x Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Ví dụ Giải phƣơng trình: x Th De 2 ; Giải: Nhận xét rằng: Do đặt t điều kiện t > 0, thì: 2 x x 3 x t x t2 Khi phương trình tương đương với: t2 t t3 t 2t 3 x t t2 t x t t2 t iT Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phƣơng trình: 32x 3x t 2x 9.2x 4.9.2x 2x 9 t 2x N t Khi : x 3x x x x 2 x x Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = Sài Gòn, dethithu.net - www.dethithu.net et + Với t hu 2x + Với t 9.2x 3x , điều kiện t > Khi phương trình tương đương với: Giải: Đặt t t2 2x Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Ví dụ Giải phƣơng trình: 22x 2x 6 2x , điều kiện u > Khi phương trình thành: u Đặt v 6, điều kiện v Th De Giải: Đặt u u v2 u u 6 Khi phương trình chuyển thành hệ: u2 v v2 u u2 v2 + Với u = v ta được: u u u v u v u u v u u u v u v 2x 3 x log2 + Với u + v + = ta : u u iT u2 u 21 21 u 21 21 2x x log2 21 2 hu Vậy phương trình có nghiệm x log2 x = log 21 N Phƣơng pháp 6: DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ Giải phƣơng trình: log7 x  log3 ( x  2) Đặt t = log7 x  x  7t Khi phương trình trở thành : Sài Gịn, dethithu.net - www.dethithu.net et Giải: ĐK : x  Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com t  7    (*) t  log3 (  2)       3      t t t t Th De Vế trái (*) hàm số nghịch biến, vế phải hàm nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà t  nghiệm (*) nên nghiệm (*)  log7 x   x  49 Vậy phương trình có nghiệm x = 49 Ví dụ Giải phƣơng trình: x1  6log7 (6x  5)  Giải: ĐK : x    x  iT Đặt y   log  x  5 Khi đó, ta có hệ phương trình hu x 1  7 x 1  y  7 x 1  y  5 7   y  1    y 1   y 1  x1  x  y 1  y   7  x  5  y   log  x  5 7  x  Xét hàm số f  t   7t 1  6t f '  t   7t 1.ln   0,t  đồng biến 5   ;     nên f  t  hàm số Mà f  x   f  y   x  y Khi đó: x1  x   Xét hàm số g x  x1  x  g '  x   x1 ln  g ''  x   x1  ln 7  Suy ra, N 5  g '  x  hàm số đồng biến D   ;   , phương trình g '  x   có 6  nhiều nghiệm Suy ra, phương trình g  x   có nghiệm có nhiều hai nghiệm et Nhẩm nghiệm ta nghiệm phương trình là: x = 1, x = Sài Gòn, dethithu.net - www.dethithu.net Page Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Th De Ví dụ Giải phƣơng trình: 3x  4x   7x (*) Giải: Vế trái (*) hàm số đồng biến, vế phải (*) hàm số nghịch biến nên phương trình (*) có nghiệm có nhiều nghiệm Mà x  nghiệm (*) nên nghiệm (*) Phƣơng pháp 7: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ iT Ví dụ Giải phƣơng trình: x Giải: ĐK : x  1  2 x hu Ta có VT  x 1  201  VP   x    Suy VT  VP , dấu xảy x  Vậy x  nghiệm phương trình cho Ví dụ Giải phƣơng trình:  4x  2x1  2x  2 x N Giải: Ta có  4x  2x1  2x  2 x   (4x  2.2x  1)  2x  2 x   (2x  1)2  2x  2 x  2x   xảy  x  x  x 2  Sài Gòn, dethithu.net - www.dethithu.net et VT   (2x  1)2    VP  x  2 x  2x.2 x  Suy VT  VP , dấu Page 10 Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com Vậy x  nghiệm phương trình cho     Th De Ví dụ Giải phƣơng trình: log3  x   log x  x  Giải: x  x  x 1      ĐK : 9  x    9  x    x  82  x  1;82     2  x  x    x  1    x  1   Ta có :   VT  log3  x   log3    VP  log x  x   log  x  1  4  log  Suy   dấu iT xảy VT  VP ,   x 1   x   x       Vậy x  nghiệm phương trình cho hu Phƣơng pháp 8: PHƢƠNG PHÁP QUAN NIỆM HẰNG SỐ LÀ ẨN N Ví dụ Giải phƣơng trình: 16x  4x1  2x2  16 Giải: Ta có 16x  4x1  2x2  16  42  2x.4  4x1  16x  (*) et Xét phương trình ẩn t sau t  2x t  4x1  16x  (**) Giả sử (*) với giá trị x0 phương trình ẩn t sau có nghiệm t = 4: t  2x0 t  4x0 1  16x0  Sài Gòn, dethithu.net - www.dethithu.net Page 11 Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com    2 x0 Biệt thức   4 4x 1 16x   4.16x Th De Suy TH1: t 4 4 x0 x0  4.16 x0  4.16 x0 ; 0 x0  4.16 x0 t 4    x0  2.4 x0   2 x0  x 1  65 ( n) 2  x0   8    x 1  65 (l ) 2    1  65  x0  log     TH2: 4   2 x0  4.16 x0  x0  2.4 x0   2 x0  x0    1  65  x  log     hu iT Vậy phương trình cho có nghiệm (pt vơ nghiệm) Phƣơng pháp 9: SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE Ví dụ Giải phƣơng trình: 5x  x  x  x (1) Giả sử x0 nghiệm (1), hay ta có: N Giải: 5x0  4x0  2x0  x0  5x0  2x0  x0  4x0 (*) x f (t ) et Xét hàm số f (t )  t  3  t x0 đoạn  2;4 hàm số liên tục có đạo hàm đoạn  2;4  Áp dụng định lí lagrange có số k   2;4  cho Sài Gòn, dethithu.net - www.dethithu.net Page 12 Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! Trần Tuấn Anh – Mail: TranTuanAnh858@gmail.com     x0  x0  x0  x0 f (4)  f (2) f '(k )   0 42 42 (do (*)) mà f '(t )  x0  t  3 x0 1  x0t x0 1 Th De  x0  t  3  x0 1  t x0 1   Suy x0  k  3  x0 1  x0   x0   k x0 1       x0 1 x0 1 x0 1  k   k   k x0 1     k  3  x0   x0   x0     k   x0 1   x   x  1    k  Thay x  0; x  vào (1) ta thấy chúng thỏa mãn .N hu iT Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0; x  et Sài Gòn, dethithu.net - www.dethithu.net Page 13 Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net