PHƢƠNG PHÁP LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] PHƢƠNG PHÁP LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TỐN PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Vấn đề 1: Liên hợp trực tiếp thức: f  x  g  x  h  x Dạng 1: Trong đó: h  x   P  x   f  x   g  x  f  x  g  x  h  x  k  x Dạng 2: Trong đó: P  x   f  x   g  x   Q  x  h  x   k  x  3x   x   x  x  Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Điều kiện: x  Phân tích: Ta thấy: (3x-2) - (x+1)=2x-3 2x2-x-3=(2x-3)(x+1) Khi phương trình có dạng Lời giải chi tiết: Biến đổi phương trình ta có: 3x   x   x  x   2x    x  3 x  1 3x   x  1     x  3   x  1  *  3x   x   Xét: A   x 1 3x   x  Do: x   3x   0; x    A   3x   x    1 3x   x  1  x   x  3x   x  Khi PT *  x    x  Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] KL: Phương trình có nghiệm x  Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 10x+1+ 3x-5= 9x+4+ 2x-2 Điều kiện: x  Phân tích: Ta thấy: TH1: (10x+1)-(9x+4)=x-3; TH2: (10x+1)-(3x-5)=7x+6; (3x-5)-(2x-2)=x-3 (9x+4)-(2x-2)=7x+6 Khi đó, phương trình có dạng Ta tiến hành giải toán theo hướng sau: Lời giải chi tiết: Biến đối phương trình ta có: Cách 1: 10x + - 9x + = x -3 2x - - 3x - 3-x = 10x + + 9x + x -3 2x - + 3x - + =0 * 10x + + 9x + 2x - + 3x - 1 Do : + >0 10x + + 9x + 2x - - 3x - * x -3 = x = 3(TM) KL: Vậy phương trình cho có nghiệm x=3 Cách 2: 10x+1+ 3x-5= 9x+4+ 2x-2 7x 10x+1 7x 10x+1 x 3x-5 L 9x+4 7x 3x-5 9x+4 2x-2 2x-2 * Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] Giải phương trình (*) Kết hợp phương trình (*) với phương trình ban đâu ta có: 10x+1+ 3x-5= 9x+4+ 2x-2 10x+1 10x+1 3x-5 3x-5= 9x+4 2x-2 9x+4 x 2x-2 Do phép nhân liên hợp ban đầu phép biến đổi hệ nên ta phải thử lại nghiệm Thử lại ta thấy x=3 nghiệm phương trình KL: Phương trình cho có nghiệm x=3 Nhận xét, rút kinh nghiệm:  Rõ ràng, cách giải cách đơn giản so với cách thứ Nhưng vấn đề bạn làm thường nhanh chóng nhìn thấy cách Thế nên, nói chung giải theo cách hay cách may mắn  Nếu bạn làm theo cách thứ 2: Ở xin giới thiệu tới bạn phương pháp xử lý phương trình sau liên hợp kết hợp với phƣơng trình ban đầu tạo hệ phương trình Từ đó, ta thu phương trình đơn giản Thực phép bình phương với phương trình mới, bạn giải phương trình cách đơn giản  Nhưng khơng phải lúc dễ dàng kết hợp với phương trình ban đầu tạo phương trình đơn giản ( Mỡ mà húp-Trích từ cụ) Thế nên, phải ngồi mà suy nghĩ phương pháp đằng sau Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3x2 - 5x - x2 - x2 - x - - x2 - 3x Phân tích: Ta thấy:  3x2  5x  1   3x2  3x  3  2 x   2  x   x     x  3x    3x    x   Có (x-2) nhân tử chung, thực phép biến đổi liên hợp theo dạng Lời giải chi tiết: Biến đổi phương trình ta có: Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth 3x2 - 5x - x2 - x - 2x 3x2 - 5x x * x - - x - 3x x -2 x - 3x 2 3x2 - 5x x -2 x - x -1 x x - 3x 3 x2 - x - 1 x 3x x2 - x - 1 3x - 5x Do : [ĐT: 01683347333] x2 - x - 3x 4 * Thử lại ta thấy x=2 nghiệm phương trình KL: Phương trình có nghiệm x=2 8x  2x 1  8x  1 Ví dụ 4: Giải phương trình sau: Điều kiện: x  Biến đổi phương trình ta có: 8x 8x  2x 1   8x  1   3 8x   8x 2x 1 1  x   x   x  1TM  KL: Phương trình có nghiệm x=3 Xét ví dụ bậc ba (Làm nhiều bậc hai chán Thay đổi khơng khí tí Hè hè) Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x  x   x   x   3x Biến đổi phương trình ta có: x  x   x   x   3x  x  x   x   x  3x   x  3x   x  x  1   x  x  1  x  3   x  3  x  3x   Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333]       x  3x     1  * 2 2   x  x  1   x  x  1  x  3   x  3  Do: x  x  1   x  x  1  x  3   x  3 >0 (Bình phương thiếu nhé.) 2 Nên x  x  1  x  x  1  x  3   x  3 1  x  Khi PT *  x  3x     x  KL: Phương trình cho có nghiệm x=1; x=2 Bài tập tƣơng tự: Giải phương trình sau: 2x-3- x =2x-6 x + 3-x =x -x-2 x  x    x  x3 x   3x   3x  4x 1  x   5  x  3x   x  3x   x x  x   x  x   3x x2  x   x2  x   x    x   3x   x   10  x   x  x  11 x2  x  24  x2  59 x  149   x 12 x    x  3x   13  x   x  x2  x2  4x   2x 14  x2  x   x2  x  15 x 1   x    x   x   3x  x  3 x  18 Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] 6x  16 2x   2  x  17 x   x   2 x   5x  18 x   3x   x  x  19 x +2+ x +7= x +x+3+ x +x+8 20 x   x  3x   x  x   x  x  21 22    x  1  25  26     2x 1 1 23  x   24   2x x2 x2  2  x  20  2x  x 1 1  x    x2   x   x   1  x  x  10   x   1 x   x  5  x x   x   x  10 x  21  Vấn đề 2: Phƣơng pháp liên hợp sử dụng việc thêm bớt Các biểu thức liên hợp: Trong tốn giải phương trình có chứa áp dụng phương pháp Phương pháp liên hợp thường sử dụng số biểu thức liên hợp sau: A B (1) A B A  B2 AB (2) AB A B A3 B  (3) A2  A.B  B A B A3 B  (4) A  A.B  B A  B3 AB (5) A2  A.B  B A B  3 Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] Nguyên tắc phƣơng pháp:  Bƣớc 1: Dùng máy tính cầm tay với chức SLOVE để giải phương trình Từ nhẩm nghiệm x=x0 phương trình  Bƣớc 2: Tính tốn biểu thức liên hợp Trong toán ta thường sử dụng biểu thức liên hợp số (2) số (5) Chú ý B= a (a số) phương trình ban đầu có nghiệm B=ax+b ( biểu thức bậc x) phương trình có nghiệm phân biệt  Bƣớc 3: Tách phương trình, ghép phần biểu thức liên hợp lại Tiến hành nhân liên hợp  Nhân tử chung  nghiệm phương trình  Bƣớc 4: Chứng minh phần lại phương trình vơ nghiệm có nghiệm x0: Trong bước thường phải ý điều kiện phương trình + sử dụng linh hoạt bất đẳng thức, phương pháp đánh giá Để hiểu rõ phương pháp hơn, Ta tiến hành giải số ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: ĐK: x  2x   x  2x  Bƣớc 1: Bấm máy tính suy phương trình có nghiệm: x= Bƣớc 2: Do phương trình có nghiệm nên ta xét  x   a Do x=3 thay vào ta có a=b=   x  b Bƣớc 3: Tách phương trình tạo biểu thức liên hợp: x   x  x   ( x   3)  ( x  3)  x  2( x  3) x 3    2( x  3) 2x   x    ( x  3)    2  x  2x    Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] x       (1)  x   x Bƣớc 4: Chứng minh phần lại vơ nghiệm có nghiệm x0 Xét phương trình (1) ta có:  2x     2 2 Do  2x     20 2x   x x Từ suy phương trình (1) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x=3 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x2  x  20  3x  10 ĐK: x   10 Biến đổi phương trình ta có: x  x  20  3x  10  x  x  18  2( 3x  10  1) 6( x  3)  ( x  6)(x  3)  3x  10     (x  3)  x   0 3x  10     x  3  x    (1)  3x  10  Xét phương trình (1) Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth x6 [ĐT: 01683347333]   ( x  6)( 3x  10  1)   3x  10   ( x  6) x  10  x   ( x  6)( 3x  10  1)  x   ( x  6)(3 x  9)  2x   3x  10   3x  18    x  3     (2)  3x  10    Do: x   10 3x  18  3x  18   20 3x  10  Từ phương trình (2) suy x=-3 KL: Phương trình ban đầu có nghiệm x = -3 Chú ý: Trong toán phương trình (1) khơng vơ nghiệm Nên trường hợp có nghiệm x=x0 ban đầu ta tách Nên cơng việc tốn ta thực hiên phương pháp liên hợp lần Ví dụ 3: Giải phương trình sau: ĐK: x   3x   x   x  3 Trong toán này: nhẩm nghiệm ta thấy x=0;x=1 Phương trình có nghiệm nên tính toán biểu thức liên hợp sau:   3x   ax  b    x   cx  d Với x=0; x=1 ta có hệ phương trình sau: b  b  a  b  a      d  d  c  d  c  Khi biến đổi phương trình ban đầu ta Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] 3x   x   x   x   ( x  1)  x   ( x  2)  x   ( x  1) x    x     0 3x   x  5x   x   x2  x  x2  x   0 3x   x  5x   x  1    ( x  x)   0 5x   x    3x   x   x   x  x    x    1   (vn)  5x   x   3x   x  KL: Phương trình ban đầu có nghiệm x=0; x=1 Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x  3x   3x   x  Nhẩm nghiệm phương trình có nghiệm x=1; x=9 Tính tốn biểu thức liên hợp 3x   ax  b với x=1; x=9 thay vào thu hệ phương trình: a  b  1  a  b   3x   ( x  1)  2 9a  b  Tính tốn tương tự ta có: x  3x   x  Biến đổi phương trình ta có: x  3x   3x   x    x  x   (x  2)    x   ( x  1)     x  x   ( x  2)3 4(3x  2)  ( x  1)   0 3x   ( x  1) (4 x  x  8)  (x  2) x  x    x    x3  10 x  x  (4 x  x  8)  (x  2) x  x    x    Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com  x  10 x  0 x   ( x  1) 10 Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333]   x   *    x  10 x      (4 x  3x  8)2  (x  2) x  3x    x   3x   ( x  1)  Do x  x   0 2 3 (4 x  3x  8)  (x  2) x  x    x   3x   ( x  1) x  PT *   x  10 x     x  Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x    11x  x2  3x  20 Các bước chuẩn bị: Bƣớc 1: Nhẩm nghiệm x=-1; x=-4 Bƣớc 2: Tính tốn biểu thức liên hợp: x   x  7;  11x   3x Lời giải chi tiết: ĐK: 5  x  11 x    11x  x  x  20  3 x   ( x  7)   3  11x  (9  x)   x  x  9( x  5)  ( x  7) 9(5  11x)  (9  x)   x2  5x  x5  x7  11x   x  x  5x   x2  5x     x2  5x  x5  x7  11x   x  1     x2  5x  4    1   11x   x  3 x   x  Do : 5  x   x  1 1      x2  5x     11 x   x   11x   x  x  4 Ví dụ Giải phương trình sau: 3x2  x   x x  Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 11 Trung tâm GD&ĐT Youth ĐK: x  [ĐT: 01683347333] PT   x  x   x  4x   x  x(4 x   x ) 4x   x 4x      x  x  3   1   4x   x    x2  x   Xét: 4x 3x  x  1   4x   x 4x   x  9x2  4x   x   x 3x  x    x  x  Từ ta có:  x  x     x  Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=3  Trong số tốn việc chứng minh phần phƣơng trình vơ nghiệm khó khăn Ở tơi xin giới thiệu kỹ thuật để tạo biểu thức dƣơng âm Kỹ thuật nhƣ thầy đƣợc gọi kỹ thuật TRUY NGƢỢC DẤU Ví dụ 6: Giải phương trình sau: Điều kiện: x    x  x   x  5x x4 Cách 1: Cách giải thêm bớt thông thường x    x  2x   2x2  5x     x  1     x 1   2x  1  2x2  5x   x  3 x 3 3 x     x  3 x  1  x  1  x 1 2x  1 1     x  3      x  1   *  x 1 2x  1  x  1   Xét: A  1     x  1 x  1  x 1 2x  1 Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 12 Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] 1       1      2x   x 1  2x  1   x  1   x2 2 x     2x  x  1  x 1 2x  1 Do :  x    x   8  2 x  5  6  2 x   3   x2 2 x   A    2x   x  1  x 1 2x  1  Khi đó, PT *  x    x  TM  KL: Phương trình có nghiệm x=3 Cách 2: Truy ngược dấu x    x  x   x2  5x  x2  5x  x    x  x    x2  5x  x   x2  8x      x   x  3   x  3 x     x  1    x  2x  x  1   x  1   x  2 1   x  5  2x   2x  6 x 3  0 1  x 2x  1 x   x  3 x  1   2 x   x  3 x 3  0 1  x 2x  1  x2 2x     x    x         * x  1 1  x x   1  x2 2x   x     2x     2x  2    0 x  1 1  x 2x  1 *  x    x  TM  Do : KL: Phương trình có nghiệm x=3 Nhận xét, rút kinh nghiệm:  Mỗi cách giải có ưu điểm nhược điểm riêng Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 13 Trung tâm GD&ĐT Youth  [ĐT: 01683347333] Trong cách giải thứ ta dễ dàng thêm bớt tạo biểu thức liên hợp Nhưng vấn đề chỗ đánh giá biểu thức A ln 0 biểu thức A  Thế nên, với kỹ thuật truy ngược dấu cách làm thứ khắc phục vấn đề Nhưng, quan trọng việc thêm bớt biểu thức liên hợp Dưới tơi phân tích đầy đủ kỹ thuật truy ngược dấu trọng ví dụ Phân tích kỹ thuật truy ngƣợc dấu: Bƣớc 1: Các bạn cần chuyển phương trình dạng mà biểu thức bên ngồi (2x2-5x không bị đổi thành 2x2+5x) tức hệ số x mũ cao nhât phải dương bên nhé: x    x  x   x2  5x  x2  5x  x    x  x   Bƣớc Xét cần thực truy ngược dấu: Những thực truy ngược dấu bạn cẩn quan tâm tới hệ số x Nếu 0 khơng phải truy ngược dấu Ví dụ phương trình: x2  5x  x    x  x   Ta thấy:  x  có dấu “-“ trước x nên coi hệ số x0 nên truy ngược dấu mà bạn thêm bớt thơng thường  x  có dấu “-“ trước x nên coi hệ số x 0; k) thỏa mãn điều kiện x    mx  n   k  x  1 x  1 Ở có biểu thức sau Thứ (x-1) nghiệm phương trình (x+1) phần sau liên hợp tạo để nhân với (x+1) có sẵn, từ tạo biểu thức (x+1)2 Lúc ta phân thức dương Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 17 Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] o Cách tìm k,m,n bạn đồng thức làm Có thể có nhiều giá trị Nhưng chọn giá trị mà m,n>0  Trƣờng hợp nghiệm lẻ Phƣơng pháp: Bƣớc 1: Bấm máy tính thu nghiệm lẻ phương trình Bƣớc 2: Dự đốn biểu thức liên hợp (Thường có dạng Ax+B) Bƣớc 3: Biến đổi đặt nhân tử chung giải bình thường Trong phân để dự đoán biểu thức liên hợp ta cần sử dụng máy tính để mò (Mò có sở) Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 10: Giải phương trình sau: x2  3x   3x    x Điều kiện:   x  Phân tích: Bƣớc 1: Sử dụng máy tính dễ dàng nhẩm nghiệm phương trình là: x  0,618033989 Bƣớc 2: Dự đoán biểu thức liên hợp: Thực bấm máy tính ta có: 3x   2,618033989  3x   x   x  0,618033989   x  x Lời giải chi tiết: Biến đổi phương trình ta có: x  3x   3x    x  x  3x   3x    x   x  3x    3x    x        x  x   x  2  x  Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 18 Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333]  x  x    3x    x      x   1 x  x  3x     x   1  x   x   x  1   3x    x   1 x  x 2   x  x  1  0 x2  x 1 x2  x 1  0 3x    x   1 x  x   1   x  x  1 1      * 3x    x    x  x   Do :1  1     0x    ;1 3x    x   1 x  x    1  x   *  x  x      1  x   Thử lại ta có: x 1  1  nghiệm phương trình x  khơng thỏa mãn phương trình 2 KL: Phương trình có nghiệm x  1  Ví dụ 11: Giải phương trình sau: x3  x   x  1 x   Điều kiện: x  1 Phân tích: Bước 1: Tìm nghiệm: Phương trình có nghiệm x=1,618033989 Bước 2: Tính tốn biểu thức liên hợp x   1,618033989  x   x Lời giải chi tiết: Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 19 Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] x3  x   x  1 x    x3  x   x  1 x x  x 1  1 x  x  1 x 1  x   x   x    x  1 x  0  x  1     *   x  x  1 1  x   x   Do :1  x  1 x 1  x  x2   x  x   0x  1 Do : x   x   x 1  x  1 x   *  x  x      1 x   Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm: x  1 KL: Phương pháp liên hợp sử dụng linh hoạt máy tính cầm tay, bạn nhẩm tất nghiệm phương trình Từ tốn giải Với phương pháp giải nhiều phương trình chứa Chúc bạn thành cơng toán Bài tập tƣơng tự: Giải phương trình sau: 3x+1- 6-x +3x -14x-8=0 x    x  x2  x   x+2+ 22-3x =x +8 x   x   x  3x  3x+3- 5-2x-x3 +3x +10x-26=0  x  1 x    x   x   x  x  12 3x-2+3 6-5x -8=0 Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 20 Trung tâm GD&ĐT Youth x2  12   3x  x  [ĐT: 01683347333] x2  11x  21  x  10 x  x   16 x   ( x  3)  3x  1 11  3x  x   x  x   x3  14  12 13 x   x3  26  x  19 3x   19 x  30  x2  x  11 14 15 3x2  x   3x   5x  16 3x2  10 x  3x   x3  26   x 3x  x   3x   x   x  x   17 18 x3  5x  x   x    2x    x  19 x3  x2  x2  x   x   5x  20 x2  x  x  x   21x  17 21 x   x  x  x 22  x  1 3x   x3  x   x  x   x 23 8x  13 x    x   x   12 x  35 24 8x3  x  1 x  21  16 x  12 x  x  21 25  28  x3  x3  15  x  3x3  14 x  16 26 x 3 9 x  x x 1  x  27 3 x2  x3  x  x   x  x  x  x2  x   28 x3  x  3x  x2  29 1  x  x  x   x  x  30 x3  x2  11x   x2  x   5x  31 12 x2  46 x  15  x3  5x   x  Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 21 Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333] 32 x3  3x2  x   x2 x   x  11  3x  x3  3x  33 34  3x  11 x   3x3  x  11 3x  x3  x2  8x   x3  20   x  1 35 36  x3  3x  5 x  5x  3x3  5x  x  37  3x  5x    x  3x  x  38  x  3 x  x   x3  3x  x  39  x  1 x   x  x  3x  3x   3x  10 x  x   3x  x2 40 41 42 x2  8x   x  x    x 43 3x   x   x4  5x3  12 x2  15x   44 x2  12   3x  x  10 x  91  x   x  45 5x   x   x3  5x2  10 x 13  46 47 3x3  17 x2  8x   3x    x  3x   x   x  x  3x  x   48 49 x2  x2    x  15 50 x   x2   x  x   5x   51 52 x   3x    x 53 x  6  5 x  x PHỤ LỤC Sử dụng chức solve để tìm nghiệm Phƣơng pháp liên hợp | Nguồn tài liệu: Google.com 22