bài tập ứng dụng phương pháp liên hợp với nghiệm vô tỉ

Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! *Liên hợp với nghiệm vô tỷ Khi thực liên hợp ax + b − n A(x) sinh ax + b + chắn ax + b + hợp A(x) mẫu thức; chưa biết A(x) ≠ hay không? Do cần xét ax + b + A(x) = trước tiến hành liên *Với toán gồm thức ta khắc phục hạn chế cách sử dụng phân tích ⎛ ⎞⎛ ⎞ nhân tử; tức (ax + b)2 − A(x) = ⎜ ax + b + A(x) ⎟⎜ ax + b − A(x) ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ Bài tập rèn luyện Bài Giải phương trình tập số thực: 2x − x − = − x Bài Giải phương trình x + 2x − ⎛ ⎞ = (x + 1) ⎜ x + − 2⎟ tập số thực ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x − 2x + (Trích đề thi THPT Quốc Gia 2015) Bài Giải phương trình tập số thực: x + − x = x − x − Bài Giải phương trình tập số thực: x + 4x + = (x + 1) 8x + + 6x + Bài Giải phương trình tập số thực: 3x −1 = x − 3x3 + x + x Bài Giải phương trình tập số thực: 5x − 5x + + 4x + = 7x − + 6x Bài Giải phương trình tập số thực: x3 − 3x + = − 3x Bài Giải phương trình tập số thực: 12x + 46x −15 − x3 − 5x + = 2(x + 1) Bài Giải phương trình tập số thực: x = + Bài 10 Giải phương trình tập số thực: Bài 11 Giải phương trình tập số thực: x3 + x − 8x − + x3 − 20 3x3 + 5x + 2x + x + 3x + x3 + 6x − 2x + 5x −1 = 2x + 5x = x3 + Bài 12 Tìm nghiệm dương phương trình: x3 − x −11 − x + x3 + 9x + 13 − 2x + = Bài 13 Giải phương trình tập số thực: (3 x + 7)x = − − 2x Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Bài 14 Giải phương trình tập số thực: Bài 15 Giải phương trình tập số thực: Bài 16 Giải phương trình tập số thực: Bài 17 Giải phương trình tập số thực: 4x + 4x −1 + = 8x3 + 3x − 3x + = x3 −2+ + 12 27 = 3x − 3x + x3 − 3x − 4x3 −13 + x − = 3x + Bài 18 Giải bất phương trình 3x3 − 6x − 3x −17 ≥ 3 −27x + 189x + 45 Bài 19 Giải phương trình tập số thực: Bài 20 Giải phương trình tập số thực: x2 + x − x − 2x + = (x + 1)( x + + 2) 3(3 − x )(3x + 17) x − 22x + 35 = (x + 1)( − 3x + 5) Bài 21 Giải bất phương trình 54x3 + 123x + 90x + ≥ (12 − x )3 Bài 22* Giải bất phương trình x3 − 2x + 3x − ≥ x − x + x Bài 23 Giải phương trình tập số thực: 3( 5x + + x + 4) + 4x −18x −12 = Bài 24 Giải phương trình tập số thực: Bài 25 Giải phương trình tập số thực: 21 7x + + 15 5x + + + + 3x + + x+4 +2 + 4x − 26 = + 4x −18 = ⎛ ⎞ Bài 26 Giải bất phương trình x − x x + ≤ ⎜ x + − x −1⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) Bài 27 Giải phương trình tập số thực: 7x + + 3x + + 4x − 26x −12 = Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Bài 28 Giải bất phương trình x − 3− x 2x − > x −x−2 3x − 6x − = (3x − 5x − 6) − x Bài 29 Giải phương trình tập số thực: Bài 30 Giải phương trình tập số thực: 2x3 + 9x + 9x − = 12 − 2x Bài 31 Giải phương trình tập số thực: x3 + x − 4x = − 3x Bài 32 Giải phương trình tập số thực: 2x3 + 7x + 4x − = 15 − 3x Bài 33 Giải phương trình tập số thực: x3 + x − 6x − = 16 − 3x Bài 34 Giải bất phương trình −2x3 + 13x − 25x + 15 ≤ (8 − 3x )3 x − 3x − = (x − 2x − 4) − x Bài 35 Giải phương trình tập số thực: Bài 36 Giải phương trình ( − x − − 2x)( x + + 2) = (x −1)(1 + − x) Bài 37 Giải phương trình (x − 2x −1) −3x + 6x + x+2 Bài 38 Giải phương trình tập số thực: x +1 + (x −1)(x − 2x + 4) = x +1 x+ = x Bài 39 Giải phương trình tập số thực: 2x + 48x − 27 + x 2x − 24x + 67 = 2(2x + 3) Bài 40 Giải bất phương trình x3 + 4x + x + > x 2x + + 8x + 42 Bài 41 Giải bất phương trình 2x 2x + + 12x + ≤ 2x3 + 2x + Bài 42 Giải phương trình tập số thực: 2x −12x − + 2x + + 6x + = Bài 43 Giải phương trình tập số thực: x +1 − 2x + − = x+2 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Bài 44 Giải phương trình tập số thực: 8(x + − x + 4x) = ( x + − x − 2)4 ⎛ ⎞ Bài 45 Giải phương trình tập số thực: 16x − 8x − 56 − 2x + 5x = ⎜ x + − x − 2⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ Bài 46 Giải phương trình tập số thực: x3 − 2x 2x + − 2x ⎜1 − (2x + 1)2 ⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Bài 47 Giải phương trình x3 − 2x 5x + + x(2 (5x + 4)2 − 5) = −x + 4x + + 2x − 6x + = x + tập số thực Bài 48 Giải phương trình Bài 49 Giải phương trình 12x + 12x + −4 4x3 − = x tập số thực Bài 50 Giải phương trình (2x − 2x + 1)(2x −1) + (8x − 8x + 1) −x + x = Bài 51 Giải phương trình tập số thực (x + 1)(x + − x3 ) + (x + 2x) x3 − x = Bài 52 Giải phương trình tập số thực: x − 3x − + x −1 + x = x + + 3x + Bài 53 Giải bất phương trình (x + 1) x − x + x (x −1)2 (x + 1) = 2x + Bài 54 Giải phương trình x3 − x − + x 3x − − 3x + = x Bài 55 Giải bất phương trình + x x + > x − x + 1(1 + x − x + 2) _Hết _ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Hướng dẫn giải – đáp án – Liên hợp với nghiệm vô tỷ Bài *Nhập biểu thức phương trình shift + solve với x = ta x0 ! 1,61803398 lưu nghiệm vào biến A; ta cần tìm đại lượng liên hợp dạng (a,b) số hữu tỷ; muốn − x = ax + b nhận x0 nghiệm; − x0 = ax0 + b ⇒ b = − x0 − ax0 = − A − A.X ; *Vậy ta tìm giá trị X (tức a) cho b = F(X ) = − A − AX nhận giá trị hữu tỷ *Sử dụng chức Table; cho X chạy từ - đến +9 với bước nhảy +1; ta có bảng kết quả: F(1) = −1 ⇒ − A − A.1 = −1 ⇔ − A = A −1 ; ta có đại lượng liên hợp cần tìm x −1 − − x *Phương trình tương đương với: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ x −1 − − x ⎟ + 2x − 2x − = ⇔ ⎜ x −1 − − x ⎟ + 2⎜ x −1 − − x ⎟⎜ x −1 + − x ⎟ = ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎡ ⎛ ⎞⎤ ⇔ ⎜ x −1 − − x ⎟ ⎢1 + 2⎜ x −1 + − x ⎟⎥ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎢ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎡ 1+ ⎢ ⎢x = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⇔ ⎜ x −1 − − x ⎟⎜2x + 2 − x −1⎟ = ⇔ ⎢⎢ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎢x = − ⎢⎣ ( *Nghiệm phương trình x = − ) Bài *Điều kiện: x ≥ −2 *Phương trình tương đương với: ;x = 1+ ⎡x = ⎢ (x − 2)(x + 4) (x + 1)(x − 2) = ⇔ ⎢⎢ x + x +1 = (*) x − 2x + ⎢ x+2+2 ⎢⎣ x − 2x + x+2+2 *Phương trình (*) tương đương với: ⎛ ⎞ (x + 4) ⎜ x + + 2⎟ = (x + 1)(x − 2x + 3) ⇔ (x + 4) x + = x3 − x − x − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ *Đại lượng liên hợp: x −1 − x + ; phương trình tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎛ ⎞ (x + 4) ⎜ x −1 − x + 2⎟ + x3 − 2x − 4x −1 = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ (x + 4) ⎜ x −1 − x + 2⎟ + (x + 1)(x − 3x −1) = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎛ ⎞⎞ ⇔ ⎜ x −1 − x + 2⎟⎜ x + + (x + 1) ⎜ x −1 + x + 2⎟⎟ = ⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⇔ ⎜ x −1 − x + 2⎟ ⎢ x + x + + (x + 1) x + ⎥ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ ⎤ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢⎛ x + 3x + 2x + ⎥ ⎟ ⎜ ⎥=0 ⇔ ⎜ x −1 − x + 2⎟ ⎢⎜ + x + 2⎟ + ⎟ ⎟ ⎢⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⇔ x −1 = x+2 ⇔ x = *Vậy nghiệm phương trình x = 2; x = + 13 + 13 2 ⎡x ≥ Bài Điều kiện: ≤ x ≤ Điều kiện để phương trình có nghiệm là: x − x − ≥ ⇔ ⎢⎢ x ≤ −1 ⎣⎢ Kết hợp với ≤ x ≤ ta suy điều kiện để phương trình có nghiệm ≤ x ≤ Viết lại phương trình dạng: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ x − x −1 ⎥ + ⎢ − x − x − ⎥ = x − 3x + ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ( ⇔ ( ) x − x −1 x + x −1 + ( ( ( ) 3− x + x−2 ) ( ) ) 3− x− x−2 ⎡ ⇔ x − 3x + ⎢⎢1 + ⎢⎣ ) = x − 3x + ⎤ ⎥ = + ⎥ x + x −1 − x + x − ⎥⎦ x∈⎡⎢ 2;3⎤⎥ ⎣ ⇔ x − 3x + = ←⎯ ⎯⎦⎯ x = → 3+ (do + x + x −1 + > 0, ∀x ∈ ⎡⎢ 2;3⎤⎥ ) ⎣ ⎦ 3− x + x−2 Bài Điều kiện: x ≥ − Phương trình tương đương với: (x + 1)(x + − 8x + 5) + (x + − 6x + 2) = ⎡ ⎤ x +1 ⎥ = ⇔ (x − 4x −1) ⎢⎢ + ⎥ ⎢⎣ x + + 8x + x + + 6x + ⎥⎦ ⇔ x − 4x −1 = ⇔ x = ± Vậy nghiệm phương trình x = ± Bài Điều kiện: x ≥ Phương trình tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! x − 3x −1 + x (x − 3x + 1) = ⇔ x − 3x + x + 3x −1 + x (x − 3x + 1) = ⎡ 3− ⎢ ⎢x = ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = ⇔ x − 3x + = ⇔ ⎢ ⇔ (x − 3x + 1) ⎜ x + ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢ ⎝ 3+ 3x −1 + x ⎠ ⎢x = ⎢⎣ Vậy phương trình có hai nghiệm x = Bài Điều kiện: x ≥ 3± Phương trình cho tương đương với ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 5x − 5x + − x + ⎟ + ⎜2x − 7x − 2⎟ + 4x − 7x + = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ 1 ⇔ 4x − 7x + ⎜ + + 1⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 5x − 5x + + x + 2x + 7x − ⎝ ⎠ ( ( ) ) ⇔ 4x − 7x + = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = Bài Điều kiện: x ≤ ± 17 ± 17 8 *Biểu thức liên hợp là: − 3x − (−x + 2) *Phương trình tương đương với: x3 − 2x −1 + (2 − x − − 3x ) = ⇔ (x + 1)(x − x −1) + 4(x − x −1) − x + − 3x =0 ⎡ ⎤ ⎥ = ⇔ x = 1± ⇔ (x − x −1) ⎢⎢ x + + ⎥ ⎢⎣ − 3x + − x ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ 8⎥ Xét hàm số f (x) = x − + − 3x liên tục đoạn ⎢− ; ⎥ ta có: ⎢ 3⎥ ⎣ ⎦ ⎧x ≤ ⎪ 3x f '(x) = −1 − ; f '(x) = ⇔ − 3x = −3x ⇔ ⎪ ⇔ x=− ⎨ 2 ⎪8 − 3x = 9x ⎪ − 3x ⎩ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 8⎟ ⎜ 8⎟ + ⎜ 2⎟ + ⎟ ⎟ Ta có: f ⎜− ⎟ = f ⎜ ⎟ = ; f ⎜− ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Do < f (x) ≤ Suy x + + 6+4 3 ⎡ ⎤ ⎢ 8⎥ , ∀x ∈ ⎢− ; ⎥ ⎢ 3⎥ ⎣ ⎦ − x + − 3x = x +1+ ≥− f (x) +1+ 6+4 > ⎡ 1− ⎢ ⎢x = Do phương trình (1) ⇔ x − x −1 = ⇔ ⎢⎢ ⎢ 1+ ⎢x = ⎢⎣ Vậy phương trình có nghiệm x = 1− x = 1+ Bài Để đơn giản ta đặt A = 12x + 46x −15, B = x3 − 5x + thực liên hợp ta có: Phương trình tương đương với: ⎡3 ⎤ 3 ⎢ 12x + 46x −15 − (2x + 1)⎥ − (1 + x − 5x + 1) = ⎣⎢ ⎦⎥ 12x + 46x −15 − (2x + 1)3 + (x3 − 5x + 1) ⇔ − =0 A2 + (2x + 1)A + (2x + 1)2 − B + B2 −8(x3 − 5x + 2) x3 − 5x + ⇔ − =0 A2 + (2x + 1)A + (2x + 1)2 − B + B ⎡ ⎤ −8 ⎥=0 ⇔ (x3 − 5x + 2) ⎢⎢ − 2 2⎥ − B + B ⎥⎦ ⎢⎣ A + (2x + 1)A + (2x + 1) ⎡x = ⎢ ⎢ ⇔ x − 5x + = ⇔ ⎢ x = −1 − ⎢ ⎢ x = −1 + ⎣⎢ *Phương trình có ba nghiệm x = 2; x = −1 − 2; x = −1 + Bài Điều kiện: x3 + x − 8x − ≥ Để đơn giản đặt A = Phương trình tương đương với: x3 + x − 8x − 2, B = x3 − 20 ( x3 + x − 8x − − 2) + 2( x3 − 20 − (x − 2)) = x3 + x − 8x − − A+2 (x + 3)(x − 2x − 2) + x3 − 20 − (x − 2)3 =0 B + (x − 2)B + (x − 2)2 12(x − 2x − 2) ⇔ + =0 A+2 B + (x − 2)B + (x − 2)2 ⎡ x+3 ⎤ 12 ⎥=0 ⇔ (x − 2x − 2) ⎢⎢ + 2⎥ ⎢⎣ A + B + (x − 2)B + (x − 2) ⎥⎦ ⇔ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! x+3 12 = (*) A + B + (x − 2)B + (x − 2)2 Đến để đánh giá khó khăn điều kiện xác định phương trình chưa đủ ta tìm thêm điều kiện có nghiệm, ta phải có: +) Ta cần xét phương trình x −1 − x3 − 20 = + x3 + x − 8x − ≥ ⇒ x −1 ≥ x − 20 ⇔ (x −1)3 ≥ x3 − 20 ⇔ 3x − 3x −19 ≤ ⇔ 3 − 237 ≤x≤ Do phương trình (*) vô nghiệm + 237 x+3 A+2 + ⇒ x+3>0 12 B + (x − 2)B + (x − 2)2 >0 *Vậy phương trình có nghiệm x = + ⎧⎡ ⎪x≥0 ⎪⎢ ⎪⎢ ⎪ ⎧2x + 5x ≥ ⎪ ⎪ ⎪ Bài 10 *Điều kiện: ⎨ ⇔ ⎨⎢⎢ x ≤ − ⎪ x + 3x + ≠ ⎪⎣⎢ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ x + 3x + ≠ ⎪ ⎪ ⎩ 3x + 5x + 2x + Phương trình tương đương với: −1 = 2x + 5x −1 x + 3x + ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ 2x3 + 5x − x 2x + 5x −1 x ⎟= ⎜ = ⇔ (2x + 5x −1) ⎜ − ⎟ ⎟ 3 ⎜ 2 ⎟ ⎜ x + 3x + x + 3x + ⎝ ⎠ 2x + 5x + 2x + 5x + 1⎟ ⎡ 2x + 5x −1 = ⇔ (2x + 5x −1)(x 2x + 5x − x3 − 2x − 5) = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ x 2x + 5x = x3 + 2x + +) Với 2x + 5x −1 = ⇔ x = −5 ± 33 +) Ta xét phương trình: x 2x + 5x = x3 + 2x + Bình phương hai vế ta được: x (2x + 5x) = (x3 + (2x + 5))2 ⇔ x6 + 2x3 (2x + 5) + (2x + 5)2 − x3 (2x + 5) = ⎛ ⎞ ⎜ 2x + ⎟ ⎟ + (2x + 5)2 = ⎜x + ⇔ x + x (2x + 5) + (2x + 5) = ⇔ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Phương trình vô nghiệm *Phương trình có nghiệm x = −5 ± 33 Bài 11 Điều kiện: − ≤ x ≠ Phương trình tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! x3 + 6x − 2x + 5x −1 x3 + − 2x ⇔ − 2x = x3 − 4x + = 5x −1 x3 + − 2x ⇔ ( x + − 2x)( x + + 2x) = (5x −1)( x3 + − 2x) ⎡ ⎢ ⎢x = ⎡ ⎡ ⎢ x + = 2x x + = 2x ⎢ ⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔ ⎢⎢ x = + ⎢ x3 + + 2x = 5x −1 ⎢ x3 + = 3x −1 ⎢ ⎣ ⎣ ± 21 ⎢ ⎢x = ⎣⎢ 3 *Phương trình có nghiệm x = 1; x = + 2; x = ± 21 Bài 12 *Biểu thức liên hợp: x + x3 + 9x + 13 − (x + 3) ; *Phương trình tương đương với: 2x + − x (x3 −11x −14) + (x + − x + x3 + 9x + 13 ) + 9(x − 2x + 7) = ⎡ ⎤ ⎢− x + 2x + + x + + ⎥ = ⇔ x − 2x − = ⇔ x = ± 2 ⇔ (x − 2x − 7) ⎢ ⎥ ⎢⎣ A x + 2x + ⎥⎦ *Chú ý: A = (x + 3)2 + (x + 3) x + x3 + 9x + 13 + x + x3 + 9x + 13 )2 > *Do đó: f (x) = − x + 2x + A + x + 2+ x + 2x + >− x + 2x + 4 (x + 3)2 + x + > 0, ∀x > (x + 3) *Vậy phương trình có nghiệm dương x = + 2 Bài 13 Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt t = x phương trình trở thành: 3t3 + 7t − + − 2t = ⇔ 3t3 + 7t + t − = t + − − 2t (t + 2)2 − (7 − 2t ) ⇔ (t + 1)(3t + 4t − 3) = t + + − 2t 3t + 4t − ⇔ (t + 1)(3t + 4t − 3) = t + + − 2t ⇔ (3t + 4t − 3)(t + − )=0 t + + − 2t ⇔ (3t + 4t − 3)(t + 3t + + (t + 1) − 2t ) = ⇔ 3t + 4t − = ⇔ t = *Phương trình có nghiệm x = −2 + 13 (−2 + 13)2 (t ≥ 0) ⇔ x = (−2 + 13)2 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 10 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! (*) ⇔ ( − 3x )3 + − 3x = (−x + 2)3 + (−x + 2) ⇔ − 3x = −x + ⇔ x = 1± Bài 21 Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Để bất phương trình có nghiệm ta phải có: 54x3 + 123x + 90x + ≥ ⇒ 3x + > Bất phương trình tương đương với: ⎡ ⎤ 3(5x + 6x − 4) + ⎢ (3x + 2)3 − (12 − x )3 ⎥ ≥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ ⎤ 2⎤ ⎡ ⇔ 3(5x + 6x − 4) + ⎢ (3x + 2) − 12 − x ⎥ ⎢ (3x + 2)2 + (3x + 2) 12 − x + 12 − x ⎥ ≥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ ⎡ ⎤⎤ ⎢ ⎢ (3x + 2)2 + (3x + 2) 12 − x + 12 − x ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎦⎥ ⎥⎥ ≥ (*) ⇔ (5x + 6x − 4) ⎢3 + ⎣ ⎢ ⎥ 3x + + 12 − x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ (3x + 2)2 + (3x + 2) 12 − x + 12 − x ⎥ ⎢ ⎥⎦ > Vì 3x + > nên + ⎣ 3x + + 12 − x ⎡ −3 + 29 ⎢ ⎢x ≥ Vì (*) ⇔ 5x + 6x − ≥ ⇔ ⎢⎢ Đối chiếu với điều kiện suy ra: ⎢ −3 − 29 ⎢x ≤ ⎢⎣ −3 + 29 ≤ x≤2 ⎡ ⎤ ⎢ −3 + 29 ⎥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢ ; 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Bài 22 *Các đại lượng liên hợp tương ứng: x − − − x; x −1 − x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ *Bất phương trình tương đương với: x ⎜ x − − − x ⎟ + ⎜ x −1 − x ⎟ ≥ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧2 ≤ x ≤ ⎪ 3+ *Xét x − − − x ≥ ⇔ x − ≥ − x ⇔ ⎪ ⇔ ≤ x ≤ ⎨ ⎪(x − 2) ≥ − x ⎪ ⎩ ⎧x ≥ ⎪ 3+ *Xét x −1 − x ≥ ⇔ x −1 ≥ x ⇔ ⎪ ⇔ x≥ ⎨ ⎪(x −1) ≥ x ⎪ ⎩ +) Vậy ta có ≤ x < 3+ ⇒ x − − − x < 0; x −1 − x < ⇒ VT < ; bất phương trình vô nghiệm Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 15 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! +) Với 3+ ≤ x ≤ ⇒ x − − − x ≥ 0; x −1 − x ≥ ⇒ VT ≥ ; bất phương trình ⎡ ⎤ ⎢3 + ⎥ *Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢ ;3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Bài 23 *Ta tìm đại lượng liên hợp là: 5x + − (x + 1) ; x + − (x −1) *Điều kiện: x ≥ − Phương trình tương đương với: Chú ý Trước liên hợp ta cần xem xét mẫu số hay không? +) Nếu (x + + 5x + 4)(x −1 + x + 4) = ⇔ x = − 21 , thử lại phương trình thấy không thoả mãn +) Nếu x ≠ − 21 , phương trình tương đương với: ⎡ ⎤ 3 ⎥=0 (x − 3x − 3) ⎢⎢ − − ⎥ ⎢⎣ 5x + + x + x + + x −1 ⎥⎦ ⎡ ± 21 ⎢ ⎢x = ⎢ ⇔⎢ 3 ⎢ − = (*) ⎢4 − ⎢ 5x + + x + x + + x −1 ⎣ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 5x + − (x + 1)⎥ + ⎢ x + − (x −1)⎥ + 4(x − 3x − 3) = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎞ 3 ⎟ − Xét hàm số f (x) = − ⎢⎢− ;+∞⎟ , ta có: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎢⎣ 5x + + x + x + + x −1 f '(x) > 0, ∀x ≥ − Vì (*) ⇔ f (x) = f (0) ⇔ x = Đối chiếu với điều kiện ta có tất nghiệm phương trình x = 0; x = Bài 24 *Các đại lượng liên hợp: 7x + − (x + 1) ; + 21 3x + − (x −1) *Điều kiện: x ≥ − Nhận thấy x = không nghiệm phương trình: Ta xét x ≠ , phương trình tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 16 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! 3( 7x + − 2) x + 3( 3x + − 2) x + 4x − 26 = ⇔ 3( 7x + + 3x + 4) + 4x − 26x −12 = 3( 7x + − (x + 1)) + 3( 3x + − (x −1)) + 4(x − 5x − 3) = ⎡ ⎤ 3 ⎢4 − ⎥=0 ⇔ (x − 5x − 3) ⎢ − ⎥ ⎢⎣ 7x + + x + 3x + + x −1 ⎥⎦ ⎡ ± 37 ⎢ ⎢x = ⎢ ⇔⎢ 3 ⎢ − = (*) ⎢4 − ⎢ 7x + + x + 3x + + x −1 ⎣ Xét phương trình (*), Xét hàm số f (x) = − ta có: f '(x) > 0, ∀x ≥ − 7x + + x + − ⎡ ⎞ ⎟ ⎢⎢− ;+∞⎟ , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 3x + + x −1 ⎣⎢ Do f (x) = f (0) ⇔ x = Đối chiếu với điều kiện x ≠ suy phương trình (*) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 25 Đ/s: x = ± 37 + 21 Bài 26 Điều kiện: x ≥ Bất phương trình cho tương đương với: ⎛ ⎞ x − x x + ≤ ⎜2x − x −1⎟ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ⇔ x − x x + ≤ 4x − 8x x −1 + x −1 − ( ) ⇔ 8x − x − − 8x x −1 + x x + ≥ ⎡ ⎤ ⇔ 8x − x − + x ⎢ x + − x(x −1) ⎥ ≥ ⎣⎢ ⎦⎥ x ⎡⎢ x + − 64x(x −1)⎤⎥ ⎣ ⎦ ≥0 ⇔ 8x − x − + x + + x(x −1) ⎡ ⎤ (8x + 1)x ⎥≥0 ⇔ 8x − x − ⎢⎢1 − ⎥ ⎢ x(x + 8) + 8x x −1 ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⇔ 8x − x − ⎢ x(x + 8) + 8x x −1 − (8x + 1)x⎥ ≥ (1) ⎣⎢ ⎦⎥ Chú ý sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có ( ) ( ) Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 17 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! x(x + 8) ≤ x+ x+8 ( ) ;8x x −1 ≤ x + x −1 ⇒ x(x + 8) + 8x x −1 ≤ x + + 4(2x −1) = x(8x + 1) x≥1 → Dấu không xảy ra, (1) ⇔ 8x − x − ≤ ←⎯ ⎯ ≤ x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình ≤ x ≤ + 257 16 + 257 16 Bài 27 Điều kiện: x ≥ − Phương trình tương đương với: 3( 7x + − (x + 1)) + 3( 3x + − (x −1)) + 4(x − 5x − 3) = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − 37 +) Xét ⎢ 7x + + (x + 1)⎥ ⎢ 3x + + (x −1)⎥ = ⇔ x = (thử lại không thoả mãn) ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ +) Xét x ≠ − 37 ; phương trình tương đương với: ⎡ ⎤ 3 ⎢4 − ⎥=0 (x − 5x − 3) ⎢ − ⎥ ⎢⎣ 7x + + x + 3x + + x −1 ⎥⎦ ⎡ ± 37 ⎢ ⎢x = ⎢ ⇔⎢ 3 ⎢ − =0 ⎢4 − ⎢ 7x + + x + 3x + + x −1 ⎣ Xét phương trình: − Xét hàm số f (x) = − có: f '(x) > 0, ∀x ≥ − 7x + + x + − 7x + + x + 3x + + x −1 − = ⎡ ⎞ ⎟ ⎢⎢− ;+∞⎟ , ta ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 3x + + x −1 ⎣⎢ Do f (x) = f (0) ⇔ x = *Vậy nghiệm phương trình x = 0; x = + 37 Bài 28 Điều kiện: ≤ x ≤ 3, x ≠ 2, x ≠ Ta có: x − 3− x 2x − = x + 3− x +) Nếu x − x − < ⇔ −1 < x < đối chiếu với điều kiện suy ≤ x < có VT > 0, VP < bất phương trình Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn < x < ta 18 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! 0≤x≤3 +) Nếu x − x − > ←⎯ ⎯ ⎯ x > bất phương trình tương đương với: → ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x − x − > x + − x ⇔ x − 3x + > ⎢ x − x −1 ⎥ + ⎢ − x − x − ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ ( ⇔ x − 3x + > ( x + x −1 ⎡ ⇔ x − 3x + ⎢⎢1 + ⎢⎣ ( ) ) x − x −1 ( + 3− x + x−2 x + x −1 x>2 ⇔ x − 3x + > ←⎯ ⎯ x > → Đối chiếu với điều kiện ta có ) ⎤ ⎥ >0 ⎥ − x + x − ⎥⎦ + 3+ 3+ ( ) 3− x− x−2 ) < x ≤3 ⎡ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ + ⎤⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢⎢0; ⎟ ∪ ⎜ ; 2⎟ ∪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ;3⎥⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎢⎣ 2⎠ ⎝ ⎦ Bài 29 Tìm xác nghiệm nghiệm phương trình: 3x − 5x − = Khi vế phải phương trình có sẵn (3x − 5x − 6) cần thêm vào đại lượng − − x Tức viết lại phương trình dạng: 3x − 6x − − − x = (3x − 5x − 5) − x − − x Lời giải: ⎧3x − 6x − ≥ ⎪ 3−2 Điều kiện: ⎪ ⇔ x≤ ⎨ ⎪2 − x ≥ ⎪ ⎩ Phương trình tương đương với: 3x − 6x − − − x = (3x − 5x − 7) − x 3x − 5x − ⇔ = (3x − 5x − 7) − x 3x − 6x − + − x ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⇔ (3x − 5x − 7) ⎜ − − x⎟ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3x − 6x − + − x ⎝ ⎠ ⇔ (3x − 5x − 7)(x −1 − (2 − x)(3x − 6x − 5)) = ⇔ x = *Phương trình có nghiệm x = − 109 − 109 Bài 30 Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 19 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! (2x + 5)(x + 2x −1) + x + − 12 − 2x = ⎡ ⎤ ⎥ = ⇔ x + 2x −1 = ⇔ (x + 2x −1) ⎢⎢ 2x + + ⎥ ⎢⎣ x + + 12 − 2x ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⇔ x = −1 ± 2(do2x + + > 0, ∀x ∈ ⎢− 6; ⎥ ) ⎢⎣ ⎥⎦ x + + 12 − 2x Vậy nghiệm phương trình x = −1 ± Bài 31 Điều kiện: − ≤x≤ Phương trình tương đương với: (x + 2)(x − x −1) + (−x + − − 3x ) = ⎡ ⎤ ⎢x + + ⎥ = ⇔ x = 1± ⇔ (x − x −1) ⎢ ⎥ ⎢⎣ −x + + − 3x ⎥⎦ Vậy nghiệm phương trình x = 1± Bài 32 Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình tương đương với: (x + 2)(2x + 3x − 3) + (x + − 15 − 3x ) = ⎡ ⎤ 2 ⎢x + + ⎥ = ⇔ x = −3 ± 33 ⇔ (2x + 3x − 3) ⎢ ⎥ ⎢⎣ x + + 15 − 3x ⎥⎦ Vậy nghiệm phương trình x = Bài 33 Điều kiện: − −3 ± 33 ≤x≤ 4 Phương trình tương đương với: (x + 2)(x − x − 3) + (2 − x − 16 − 3x ) ⎡ ⎤ ⎥ = ⇔ (x − x − 3) ⎢⎢ x + + ⎥ ⎢⎣ − x + 16 − 3x ⎥⎦ ⎡ x2 − x − = ⎢ ⇔ ⎢⎢ =0 ⎢x + + ⎢⎣ − x + 16 − 3x ⎡ 4 ⎤ 4 ⎥ ≥ x + 2+ > 0, ∀x ∈ ⎢⎢− ; Ta có: x + + ⎥ ⎢⎣ − x + 16 − 3x 3+ 3 ⎥⎦ ⎡ − 13 ⎢ (t / m) ⎢x = ⎢ Vì x − x − = ⇔ ⎢ ⎢ + 13 ⎢x = (l) ⎢⎣ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 20 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Vậy nghiệm phương trình x = Bài 34 Điều kiện: − − 13 ≤x≤ Bất phương trình tương đương với: ⎡ ⎤ (x − x −1) + ⎢ (−x + 2)3 − (8 − 3x )3 ⎥ ≤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎡ ⎤⎤ ⎢ ⎢ (−x + 2)2 + (−x + 2) − 3x + − 3x ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎦⎥ ⎥⎥ ≤ ⇔ (x − x −1) ⎢1 + ⎣ ⎢ ⎥ −x + + − 3x ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1− 1+ ⇔ x − x −1 ≤ ⇔ ≤x≤ 2 ⎡ ⎤ ⎢1 − + ⎥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢ ; ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ Bài 35 Phương trình tương đương với: x − 3x − − − x = (x − 2x − 5) − x x − 2x − ⇔ = (x − 2x − 5) − x x − 3x − + − x ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⇔ (x − 2x − 5) ⎜ − − x⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x − 3x − + − x ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⇔ (x − 2x − 5)(x − − (3 − x)(x − 3x − 2)) = ⇔ x = − 6; x = + *Phương trình có hai nghiệm x = − 6; x = + Bài 37 *Phương trình tương đương với: (x −1)(x − 2x + 4) = (−3x + 6x + 3) −3x + 6x ⇔ (x −1)3 + 3(x −1) = ( −3x + 6x )3 + 3 −3x + 6x ⇔ x −1 = −3x + 6x ⇔ (x −1)3 = −3x + 6x ⇔ x3 − 3x −1 = (*) *Ta giải (*) phép lượng giác hoá; xét nghiệm x ∈ ⎡⎢−2; 2⎤⎥ đặt x = cos α,α ∈ ⎡⎢0; π ⎤⎥ ; phương ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ trình trở thành: cos3 α − cos α −1 = ⇔ cos 3α = ⇔α=± π +k 2π , k ∈ ! ⎧ π 5π 7π ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ π 5π 7π ⎫ ; ⎪ ⇒ x ∈ ⎪2 cos ; cos ; cos ⎪ *Đối chiếu α ∈ ⎡⎢0; π ⎤⎥ ⇒ α ∈ ⎪ ; ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪9 9 ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ 9 9⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 21 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! *Vì (*) phương trình đa thức bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, suy ⎧ ⎫ ⎪ ⎪2 cos π ; cos 5π ; cos 7π ⎪ nghiệm phương trình (*) ⎪ x∈⎨ ⎬ ⎪ 9 9⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎪ ⎪ π 5π 7π ⎫ *Vậy phương trình có nghiệm x ∈ ⎪2 cos ; cos ; cos ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ 9 9⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Bài 38 *Điều kiện: x > *Phương trình tương đương với: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ x + 2x − x + 1 − x + x ⎢ x+2 − +⎢ − x ⎥⎥ = ⇔ + =0 ⎢ ⎥ ⎢ x +1 ⎥ ⎢ x +1 ⎥⎦ x⎦ ⎣ x(x + 1) x +1 ⎣ 2 x + x −1 1− x − x ⇔ + =0 x ( x + 2x + x + 1) + x + x ⎡ x + x −1 = ⎢ ⇔ ⎢⎢ 1 = (1) ⎢ ⎢⎣ x ( x + 2x + x + 1) + x + x *Ta có: x ( x + 2x + x + = + x + x ⇔ x x + + x + x = + x + x ⎧ ⎧x > ⎪x > ⎪ −1 + ⇔ x x+2 =1⇔⎪ ⇔⎪ ⇔x= ⎨ ⎨ ⎪ x (x + 2) = ⎪(x + 1)(x + x −1) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ (1) ⇔ *Vậy phương trình có nghiệm x = −1 + Bài 40 Điều kiện: x ≥ − Bất phương trình tương đương với: x (x + − 2x + 9) + (x + − 8x + 42) > x + 6x + ⇔ x (x + − 2x + 9) + >0 x + + 8x + 42 ⎡ ⎤ x + + 2x + ⎥ ⎢ ⇔ (x + − 2x + 9) ⎢ x + ⎥>0 ⎢ x + + 8x + 42 ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⇔ (x + − 2x + 9) ⎢ x3 + 7x + x + + x 8x + 42 + 2x + ⎥ > ⎢⎣ ⎥⎦ ⇔ x + > 2x + ⇔ x > − *Bởi f (x) = x3 + 7x + x + > 0, ∀x ≥ − *Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (−3 + 2;+∞) Bài 41 *Điều kiện: x ≥ − 12 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 22 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! *Bất phương trình tương đương với: 2x (x − 2x + 1) + (2x + − 12x + 5) ≤ ⇔ 2x (x − 2x + 1) + 4(x − 2x −1) ≤0 2x + + 12x + ⎡ ⎤ 4(x + 2x + 1) ⎥ ⎢ ⇔ (x − 2x + 1) ⎢ 2x + ⎥≤0 ⎢ 2x + + 12x + ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⇔ (x − 2x + 1) ⎢ 4x3 + 2x + 4x + 2x 12x + + 2x + ⎥ ≤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⇔ x ≤ 2x + ⇔ − ≤ x ≤ + 2 *bởi f (x) = 4x3 + 2x + 4x + 2x 12x + + 2x + > 0, ∀x ≥ − ⎡ ⎤ ⎢− ;1 + ⎥ *Đối chiếu với điều kiện suy S = ⎢ ⎥ ⎣⎢ 12 ⎦⎥ Bài 42 *Điều kiện: x ≥ − *Phương trình tương đương với: 12 (x −1 − 2x + 4) + 3(x + − 6x + 4) − 2(x − 4x − 3) = ⎡ ⎤ (x − 4x − 3) ⎢⎢ + − 2⎥⎥ = ⎢⎣ x −1 + 2x + x + + 6x + ⎥⎦ ⎡ x − 4x − = ⎢ ⎡x = ⇔ ⎢⎢ ⇔ ⎢⎢ + −2= ⎢ ⎢⎣ x = ± ⎢⎣ x −1 + 2x + x + + 6x + *Vậy nghiệm phương trình x = 0; x = + Bài 43 *Điều kiện: x ≥ −1, x ≠ 13 *Phương trình tương đương với: (x + 2)( x + − 2) = 2x + − ⇔ (x + 1) x + + x + = 2x + + 2x + ⎡ ⎤ ⇔ ⎢ (x + 1)3 − (2x + 1)⎥ + ( x + − 2x + 1) = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⇔ ( x + − 2x + 1) ⎢ x + + (2x + 1) x + + (2x + 1)2 + 1⎥ = ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡x = ⎧ ⎪ ⎢ ⎪x ≥ − ⎪ ⇔ x + = 2x + ⇔ ⎪ ⇔ ⎢⎢ ⎨ 1+ ⎪ ⎢x = ⎪(x + 1)3 = (2x + 1)2 ⎪ ⎢⎣ ⎪ ⎩ Bài 44 *Điều kiện: x ≥ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 23 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎛ ⎞ *Ta có: ( x + − x − 2)4 = ⎜2x − x − ⎟ = 8x − 8x x − −16 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ *Phương trình tương đương với: ⎡ ⎤ x ⎢ x + − x(x − 4) ⎥ + 8(x − x − 4) = ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ ⎤ (x + 1) x ⎢ ⎥ ⇔ (x − x − 4) ⎢1 − ⎥=0 ⎢ x + + x(x − 4) ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⇔ (x − x − 4) ⎢ x + + x(x − 4) − (x + 1) x ⎥ = (*) ⎢⎣ ⎥⎦ *Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x(x + 4) ≤ 2x + = x+2 2x − x (x − 4) ≤ = x2 − 2 *Cộng theo vế hai bất đẳng ta được: x(x + 4) + x (x − 4) ≤ x + x ⇒ x + + x(x − 4) ≤ (x + 1) x ⎧ ⎪x = x + *Dấu đạt ⎪ (VN) ⎨ ⎪x = x2 − ⎪ ⎩ *Do đó: f (x) = x + + x(x − 4) − (x + 1) x < 0, ∀x ≥ x≥2 → *Vì (*) ⇔ x − x − = ←⎯ ⎯ x = Bài 45 *Điều kiện: x ≥ + 17 ⎛ ⎞ *Ta có: ⎜ x + − x − 2⎟ = 8x −16 − 8x x − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ *Thay vào biến đổi rút gọn, phương trình tương đương với: ⎡ ⎤ (x − x − 5) + x ⎢ x(x − 4) − 2x + ⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ x (x + 1) ⎢ ⎥ ⇔ (x − x − 5) ⎢1 + ⎥=0 ⎢ x(x − 4) + 2x + ⎥⎦ ⎣ ± 21 ⇔ x2 − x − = ⇔ x = *Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm x = + 21 Bài 46 Phương trình tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 24 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎛ ⎞ x3 − 2x −1 + 2x 2x + ⎜ 2x + − x⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2x 2x + ⎥=0 ⇔ (x3 − 2x −1) ⎢1 − ⎢ ⎥ 3 2⎥ ⎢ 2x + + x 2x + + x ⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⇔ (x3 − 2x −1) ⎢⎢ 2x + − x 2x + + x ⎥⎥ = ⎣⎢ ⎦⎥ ⇔ x − 2x −1 = ⇔ (x + 1)(x − x −1) = ⇔ x = −1; x = 1± *Nhận xét Nếu để ý phương trình có tính đẳng cấp với a = x, b = 2x + Bài 47 *Phương trình tương đương với: ⎛ ⎞ x3 − 5x − + 2x 5x + ⎜ 5x + − x⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2x 5x + ⎥=0 ⇔ (x − 5x − 4) ⎢1 − ⎢ ⎥ ⎢ 5x + + x 5x + + x ⎥⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⇔ (x3 − 5x − 4) ⎢⎢ 5x + − x 5x + + x ⎥⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ ⇔ x3 − 5x − = ⇔ (x + 1)(x − x − 4) = ⇔ x = −1; x = ± 17 *Nhận xét Nếu để ý phương trình có tính đẳng cấp với a = x, b = 5x + Bài 48 *Điều kiện: −x + 4x + ≥ ⇔ − ≤ x ≤ + *Phương trình tương đương với: ⎛3 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ 2x − 6x + − 2⎟ + ⎜ −x + 4x + − (x −1)⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 2x − 6x −1 ⇔ + ⎜ −x + 4x + − (x −1)⎟ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 2 2x − 6x + + 2x − 6x + + ⎡ ⎤ ⎥ ⎛ ⎞⎢ −x + 4x + + (x −1) ⎥=0 ⇔ ⎜ −x + 4x + − (x −1)⎟ ⎢1 − ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ 2x − 6x + + 2x − 6x + + ⎥⎦ ⎣ ⎛ ⎞ ⇔ ⎜ −x + 4x + − (x −1)⎟ f (x) = (*) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ *trong đó: f (x) = 2x − 6x + + 2x − 6x + + − x − −x + 4x + 2 *Theo phương trình ban đầu ta có: *Vì −x + 4x + + x = − 2x − 6x + Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 25 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎛ ⎞ f (x) = 2x − 6x + + 2x − 6x + + − ⎜1 − 2x − 6x + ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 = 2x − 6x + + 3 2x − 6x + + > *Do (*) ⇔ −x + 4x + − (x −1) = ⇔ x = + 11 Bài 49 Phương trình tương đương với: 4x3 − 12x + 12x + −1 (x + 1)3 − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 4x − 12x + 12x + ⎟ ⎟= ⇔ ⎜4 ⎟ ⎜ ⎟ −1⎟ + ⎜ x + − + =0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ (a + 1)(a + 1) (x + 1)2 + (x + 1)b + b2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎥ = ⇔ 4x3 − = ⇔ x = ⇔ (4x − 5) ⎢ + ⎢ 3(a + 1)(a + 1) ⎡ (x + 1)2 + (x + 1)b + b2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎣ *trong a = 4x3 − ,b = 3 Bài 50 *Điều kiện: ≤ x ≤ 12x + 12x + *Đại lượng liên hợp: x − x − (2x −1) *Phương trình tương đương với: ⎛ ⎞ 2(2x −1)(5x − 5x + 1) + (8x − 8x + 1) ⎜ −x + x − (2x −1)⎟ = (*) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ *Vì 5x − 5x + = (2x −1 + x − x )(2x −1 − x − x ) Do đó: ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎛ ⎞ (*) ⇔ ⎜2x −1 − x − x ⎟ ⎢ 2(2x −1) ⎜2x −1 + x − x ⎟ − (8x − 8x + 1)⎥ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎢ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎡ ⎤ 5+ ⇔ (2x −1 − x − x ) ⎢1 + 2(2x −1) x − x ⎥ = ⇔ x = ⎢⎣ ⎥⎦ 10 Bài 51 *Tìm đại lượng liên hợp x + − x3 − x ta tiến hành phân tích nhân tử cho phương trình ⎛ ⎞ (x + 2x) ⎜ x3 − x − (x + 1)⎟ + (x + 1)(x + 2x) + (x + 1)(x + − x3 ) = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇔ (x + 2x) ⎜ x − x − (x + 1)⎟ + (x + 1)(x + 3x + − x3 ) = (*) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ *Ta có: ⎜ x3 − x − (x + 1)⎟⎜ x3 − x + (x + 1)⎟ = x3 − 3x − x −1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ *Vì (*) tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 26 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎛ ⎞ ⎜ x + − x3 − x ⎟ ⎢ (x + 1) ⎜ x + + x3 − x ⎟ − (x + 2x)⎥ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎢ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⇔ ⎜ x + − x3 − x ⎟ ⎢1 + (x + 1) x3 − x ⎥ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎡ ⎢x + = x − x ⇔⎢ ⇔ x = −1; x = ± ⎢ (x + 1) x3 − x = −1 ⎣ *Vậy nghiệm phương trình x = −1; x = ± 2 Bài 52 *Điều kiện: x ≥ − *Phương trình tương đương với: ( x −1 − x + 3) + ( x − 3x + 2) + x − 3x − = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⇔ (x − 3x − 2) ⎢⎢ + + 1⎥⎥ = ⎢ x −1 + x + ⎥ x + 3x + ⎢⎣ ⎥⎦ ± 17 ⇔ x − 3x − = ⇔ x = 2 Bài 53 Nghiệm x = 1± ⇒ x − x −1 = ⇒ x − x −1 ; (x −1)2 (x + 1) −1 ⎡x ≥ *Điều kiện: ⎢⎢ Phương trình tương đương với: −1 ≤ x ≤ ⎣⎢ ⎡ ⎤ x ⎢ (x −1)2 (x + 1) −1⎥ + (x + 1)( x − x −1) = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ ⎤ x2 x +1 ⎥ ⇔ (x − x −1) ⎢⎢ + ⎥ = ⎢⎣ (x −1)2 (x + 1) + x − x + ⎥⎦ 1± ⇔ x − x −1 = ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = 1± Bài 54 Điều kiện: x ≥ Phương trình tương đương với: Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 27 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x − x − − x⎟ + ⎛ x 3x − − 3x + 1⎞ = ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎛ ⎞⎢ 1⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎜x − x − x − ⎟ + ⎥=0 ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 3⎠ ⎝ ⎢ x3 − x − + x x 3x − + 3x + ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⇔ x3 − x − x − = ⇔ 3x3 − 3x − 3x −1 = 3 ⇔ 4x3 = (x + 1)3 ⇔ x = x + ⇔ x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 Bài 55 Nghiệm x = ⇒ x − x + −1 ; x x + − x − x + x − x + Bất phương trình tương đương với: (x x + − x − x + x − x + 2) + (1 − x − x + 1) > (x −1)(2x − x + 2) x(1 − x) ⇔ + >0 2 2 x x +1 + x − x +1 x − x + 1+ x − x +1 ⎡ ⎤ 2x − x + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ x x +1 + x − x +1 x − x + 2⎥ ⇔ (x −1) ⎢ ⎥ > ⇔ (x −1).A > (1) ⎢ ⎥ x ⎢− ⎥ ⎢ ⎥ + x2 − x + ⎣⎢ ⎦⎥ Trong A = 2x − x + − x x x2 + + x2 − x + x2 − x + + x2 − x + ⎧ ⎪ x − x + ≥ x2 + ⎪ ⇒ x − x + x − x + ≥ −x x + + Nếu x ≤ ⇒ ⎪ ⎨ ⎪ x − x + > −x ⎪ ⎪ ⎩ Do đó, ⇒ x − x + x − x + + x x + > 0, ∀x ≤ 2x − x + ⇒ A> >0 x x2 + + x2 − x + x2 − x + + Nếu x > , sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có: 2 ⎧ ⎪ ⎪ x − x + x2 − x + ≤ x − x + + x − x + = x2 − x + ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎨ 2 ⎪ ⎪x x2 + ≤ x + x + = x2 + ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎩ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 28 Gói Bài tập: “Làm chủ phương trình – bất phương trình vô tỷ” Tham gia trọn vẹn khoá học môn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Do đó: ⇒ x x + + x − x + x − x + ≤ 2x − x + ⇒ A ≥ 1− x x − x + − (x −1) = + x2 − x + 1 + x2 − x + Vậy với x ∈ ! , ta có A > Vì (1) tương đương với: x −1 > ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (1;+∞) Chú ý Sử dụng hàm số nhanh sau: t= = x + x2 − x + >0 x − x + ⇒ − t − x + x đưa bất phương trình: t − x + x + x x + > t(1 + t + 1) ⇔ t − t − t t + > x − x − x x + (*) *Xét hàm số f (a) = a − a − a a + ! , ta có: f '(a) = 2a −1 − a + − *Bởi 2a + = (a + 1) + a ≥ a a2 a +1 = (2a −1) a + − (2a + 1) a +1 < 0, ∀a a + > (2a −1) a + *Do f(a) nghịch biến ! (*) ⇔ f (t) > f (x) ⇔ t < x ⇔ x − x + < x ⎧x > ⎪ ⇔⎪ ⇔ x > ⇒ S = (1;+∞) ⎨ ⎪x − x + < x2 ⎪ ⎩ *Xem thêm pp hàm số giải phương trình bất phương trình Hết Sẽ tặng em tập liên hợp với nghiệm vô tỷ phần hai J Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 29