PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với ẩn mới là ẩn phụ, hoặc đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia, hoặc đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó ta được một hệ đối xứng, hoặc đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phương trình tích với vế phải bằng 0. Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, nếu biến đổi hệ quả thì nhớ phải thử lại nghiệm.

Phần I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NÂNG CAO TRONG

CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

-

1 Phương pháp đặt ẩn phụ

1.1 Một số lưu ý

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với ẩn mới là ẩn phụ, hoặc đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia, hoặc đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó ta được một hệ đối xứng, hoặc đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phương trình tích với vế phải bằng 0

Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, nếu biến đổi hệ quả thì nhớ phải thử lại nghiệm

1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1) 18x218x x17x8 x 2 0

3

x  x   x x 

3) 2 x2 2 12 4 x 1

  4) 2x2 1x2x 1x2  1

Hướng dẫn (HD)

1) Đặt x y với y 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành

(3y 4y2)(6y 2y1)  0 (3y24y2)  0 2 10

3

y 

Từ đó phương trình có nghiệm là 14 4 10

9

x 

x x   x  x  x  x x  x  , với mọi x

Mặt khác x23x 1 2(x2 x 1) ( x2 x 1)

Đặt

2

2

1 1

x x

y

x x

 



  (có thể viết đk y 0 hoặc chính xác hơn là

3

3

3  y ), ta được

3

y    y  y  y  , ta được 3

3

2

y   ) Từ đó phương trình có

nghiệm là x  1

3) Ta thấy x  không thỏa mãn 0

2

Khi đó phương trình tương đương với hệ

2

2

0 1

1

x

x x

x





 







Đặtx 1 y

x

  , ta được

4 ( 2) 2 5 2( 2) (4 ) (2)

y

 







Xét (2) 9 2 y2  y24y5 4 3 2

(y 2)(y 6y 16y 8) 0 (y 2)((y 2)(y 4y 8) 8) 0

Dẫn đến y 2(do 2

((y2)(y 4y8) 8) 0 với mọi y thỏa mãn (1))

Từ đó phương trình có nghiệm là x  1

Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng Phương pháp đánh giá trong phần sau

4) Ta có phương trình tương đương với

1x 1 2x 2x 1x    1 x 1 4x44x2(1x2) 4 x24x 1x28x3 1x2

0

x







Xét (1), đặt y 1x2, suy ra y 0 và x2 1 y2

Ta được 1 4 y8 (1y y2)08y34y 1 0 (2y1)(4y22y1)0 1 5

4

8

x  

Thử lại ta được nghiệm của phương trình là x  và 0 5 5

8

x  

Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng Phương pháp lượng giác trong phần sau

x  x  x x 

HD Đặt x2 1 y, với y 1 Khi đó ta được y23x(x3)y  (y3)(yx)0

Dẫn đến y 3 và yx Từ đó phương trình có nghiệm là x   2

Ví dụ 3 Giải phương trình 417x832x8  1 1

HD Đặt 417x8  y với y 0 và 32x8  Khi đó ta được hệ 1 z



Xét: 2y4(y1)333(y2)(2y35y27y17)0

Suy ra được y - 2 = 0 Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1) x 4x2  2 3x 4x2

3

x x  x  x

HD

1) Đặt 2

4x  y, với 0y2 Khi đó ta được hệ

2 2

2 3 4

x y xy

x y







Thế hoặc lại đặt xyS xy; P rồi giải tiếp ta được nghiệm của phương trình là x  ; 0 x  và 2

3

x 

3

x   y x y  y  y Khi đó ta được hệ

4

3 4

3

x y y y

y x x x









Xét hiệu hai phương trình dẫn đến xy(do 1 2 1 2 1 2 1

2 xy 2 x 2 y 3 )

Thay vào hệ và giải phương trình ta được 0; 3 2 6

3

x x 

Ví dụ 5 Giải phương trình 5x214x 9 x2 x 205 x 1

HD Đk x 5 Với điều kiện đó ta biến đổi phương trình đã cho như sau:

2

Đặt (x1)(x5) y; x4  , với z y0;z3

Ta được 2y23z2 5yz(yz)(2y3 )z 0, từ đó ta được 3

2

y z

y z







 



Nếu y thì ta được z 5 61

2

x  (dox  ) 5

2

y z thì ta được 8; 7

4

x x  Vậy phương trình có ba nghiệm trên

Ví dụ 6 Giải phương trình 7 2 7 4 9

28

x

x  x  , với x  0

4

Nhận xét: Dạng phương trình này ta thường đặt 4 9

28

x

ay b



  , sau đó bình phương lên rồi ta “cố

ý” biến đổi về hệ đối xứng với hai ẩn , x y Từ đó ta sẽ biết được giá trị của a, b Với bài toán này ta

tìm được 1; 1

2

a b (Nếu a = 1 và b = 0 mà giải được thì đó là phương trình quá đơn giản, ta

không xét ở đây)

x

y



  , do x  nên 0 4 9 9 1

x 

  , từ đó y 0

Ta được hệ:

2

2

1

2 1

2

x x y

y y x

x y



















Giải hệ bình thường theo dạng ta được 6 50

14

x 

Ví dụ 7 Giải phương trình 3x22  2x3

Nhận xét: Khi giải một phương trình không phải lúc nào cũng có nghiệm thực, có những phương trình

vô nghiệm nhưng khi cho học sinh làm bài ta cũng kiểm tra được năng lực của học sinh khi trình bầy lời giải bài toán đó Chẳng hạn như bài toán trong ví dụ này

x   x = y với y 0 Khi đó ta được hệ

2 3

2 2

x y





 



và từ phương trình ban đầu

ta có x   2 Xét hiệu hai phương trình của hệ ta được phương trình

(xy x)( xyy  x y) 0 Với x  thì y x 3 x22, dẫn đến vô nghiệm

Còn x2xyy2 x y(yx)(1x)y2  với mọi 0 y 0 và x   2 Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm

1.3 Một số bài tập tương tự

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) x2 2x 2x2 2x

(HD Đặt y 2x y; 0, ta được 2 2

(y1)(y y1)(2y y4)0

y y  y  và được nghiệm của phương trình là

x x  x   )

2) 2x25x 1 7 x3 1

(HD Từ phương trình suy ra x  Đặt 1 1

1

x x

y x

 



 , bình phương dẫn đến y  3 2 3 Phương trình trở thành 2

2y 7y 3 0, ta được y 3 Từ đó x  4 6)

Bài 2 Giải phương trình (4x1) x2 1 2x22x1

(HD Đặt x2 1 y, với y 1 Từ đó ta được 1 2 1

2

y y x Phương trình có nghiệm 4

3

x  )

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1) 3(2 x2)2x x6

(HD Đặt 3 x2  y, x6 , với z y0;z0 Ta được x 3 y z 4 Từ đó phương trình có 2

nghiệm 3; 11 3 5

2

x x  )

2) 2 2(1x)42x  1

(HD Đk 0x 2 1

Đặt 2 2 (1x) 42y y 2 1 x và 42x 42z z4 x với y0;z0 Suy ra 4

2 4

2( ) 1 (1)

2 1 (2)

y z

y z







Từ (1) thay

4

1 2

y  vào (2) ta được z 2 2 2

4

1

2

z   z  Xét hiệu hai

bình phương suy ra

4

4 3 2 1

4 2 2

z





 Từ đó ta được nghiệm của phương trình là

4 4 4

4 3 2 1

2 2

x

Bài 4 Giải phương trình x2 x 1000 1 8000 x 1000

(HD Đặt 1 1 8000x =2 y, ta được

2 2

2000 (*) 2000





 



Từ (*) suy ra (xy x)( y1999)0 và, do đó xy19990 Suy ra x y, ta được nghiệm 2001

x  , loại x  ) 0

Bài 5 Giải các phương trình sau:

1)

3

2

x

x





(HD Đặt y x 1 0;z x2 x 1, ta được

2

 

 

2

2

 

6

Nếu y 2

z  ta được

2

x  x  x

2

1

x

x x

 



 



(vô nghiệm)

2

y

z  ta được

2

2 x 1 x  x 1

1

2 2

x

x x

 













(thỏa mãn))

2) 2x25x 2 4 2(x321x20

5

x x

   



 



Đặt 2x28x10 y và x4  , với z y0;z0

Khi đó ta được (yz y)( 3 )z 0 Từ đó phương trình có bốn nghiệm là 9 193

4

x  và

17 3 73

4

x  )

Bài 6 Giải các phương trình sau:

1) x24x 3 x5

(HD Đặt x5 y , ta được 2 1; 5 29

2

x  x  )

2

x

x  x  , vớix  1

2

x

y



4

x    (loại), nếu x   thì 1 3 17

4

x   )

3

x  x x , với x 0

(HD Tương tự, ta được 5 37

18

x   )

2 Phương pháp đánh giá

2.1 Một số lưu ý

Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f x( )g x( )) bằng phương pháp đánh giá, thường là để

ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất) Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải bằng 0 Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý

Thường ta đánh giá như sau:

( ) ( )

f x g x

f x C C f x g x C

g x C C











, hoặc đánh giá f x( )g x( ) cũng

như là f x( )g x( )

Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác

Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá

2.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình 4x 1 4x2  1 1

HD Bài toán này có trong đề thi vào Đại học Bách Khoa và ĐHQG năm 2001 Bài này có nhiều cách

giải, đáp án sử dụng đạo hàm

Ta có thể làm đơn giản như sau: Ta thấy 1

2

x  là nghiệm của phương trình

Nếu 1

2

x  thì Vt > 1 = Vp

Nếu 1

2

x  thì Vt < 1 = Vp

Do đó phương trình không có nghiệm trong hai trường hợp này

Vậy phương trình có một nghiệm là 1

2

x 

Ví dụ 2 Giải phương trình 3x26x7 5x210x14 4 2xx2

HD Bài này quá đơn giản, đánh giá Vt  còn Vp 5  , do đó hai vế cùng bằng 5 Ta được phương 5 trình có nghiệm duy nhất là x   1

Ví dụ 3 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2010) Giải phương trình:

3x 2x 2 3x x 2x 1 2x 2x 2

Lời giải Điều kiện xác định:

3 2

x x

x x x







Theo bất đẳng thức AM – GM thì:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 2

3x 2x 2  1 x  1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2

(x1) 0x  Do đó, ta luôn có: 1

3x 2x 2 3x x 2x 1 2x 2x 2 Đẳng thức phải xảy ra, tức là x  1 Thử lại thấy thỏa Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

là x   1

Bình luận Bài này không quá khó và chỉ áp dụng các đánh giá rất quen thuộc của BĐT Tuy nhiên, để

xác định được hướng đi này cũng không phải đơn giản; thông thường sau khi nhẩm ra được nghiệm là

8

1

x   và đứng trước một phương trình vô tỉ có chứa căn thế này, ta hay dùng cách nhân lượng liên hợp; thế nhưng, cách đó trước sau gì cũng sẽ đi vào bế tắc cùng những tính toán phức tạp

Ví dụ 4 Giải phương trình x2 x 19 7x28x13 13x217x73 3(x2)

HD Bài này cách giải có vẻ hơi mất tự nhiên bởi cách “cố ý” cho như vậy Giáo viên và học sinh có

thể sáng tác những bài kiểu đó

Đk x   Với đk đó Vt = 2 ( 1)2 75 (2 1)2 3( 2)2 1(2 1)2 3(4 3)2

x   x  x  x  x

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

2

x  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 1

2

x 

Ví dụ 5 Giải phương trình 4 2 28 27

x  x   x

HD Phương trình đã cho tương đương với phương trình

2

9

x  

Đặt (9x4) y, suy ra y 0 Khi đó ta được

y

phương hai vế)

Theo BĐT Cô-si ta được 6 6

2

y

y  , do đó

2

9

x 

thỏa mãn đk Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 2

9

x 

Ví dụ 6 Giải phương trình

2

3

2

x x



HD Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình xác định với mọi x là số thực Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta được Vt(1)  Vp(1)

Do đó (1)  2x2  x 1 x2 3 x2  x 2 0 Từ đó phương trình có nghiệm là x   và 1 x  2

Ví dụ 7 Giải phương trình 2 x2 2 12 4 x 1

 

HD Đk

2 2

2 2

2 2

x

x









 





Với đk đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình

2

2

Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được





Suy ra Vt(1)4 = Vp(1) Do đó

2

2

x x

x x



 





, nghĩa là dấu bằng trong hệ xảy ra Từ đó

phương trình có nghiệm duy nhất là x 1

Ví dụ 8 Giải phương trình 2 2 9

x   

HD Đk x 0 Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được

2

Vt =

2

x x

2

Vp

Phương trình có nghiệm khi dấu đẳng thức xảy ra hay

1

1

1

x

x









1 7

x

 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 1

7

x 

Ví dụ 9 Giải phương trình 2 4 2 4

13 x x 9 x x 16

HD Đk 1 x1

Với đk đó phương trình tương đương với

x x  x  x x  x  Theo BĐT Bunhiacopxki, ta được

(13 1x 9 1x ) ( 13 13 1x 3 3 3 1x )

(13 27)(13(1 x2) 3(1 x2))40(16 10 x2).

Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta được

2

2

x  x     

10

Do đó Vt(1)  4 64. 256, ta được (1)

2

2

2

1

1

3

x

x

x







Từ đó dẫn đến

2 5

5

x   Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 5

5

x  

Ví dụ 10 Giải phương trình 3 2 3

x   x

Nhận xét: Trong phần giải phương trình vô tỷ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ ta đã giải bài toán này,

ta cũng có thể giải nó bằng phương pháp đánh giá như sau

HD Đk 2x3 0x32

Giả sử x là nghiệm của phương trình Khi đó 2

2

x x

 



 



, ta được x   2

Mũ 6 hai vế suy ra 9 6 4 3 2

x  x x  x  x   (*)

Cách thứ nhất ta biến đổi Vt thành x95x6x x2( 4x21) 12 x33x2 là một biểu thức âm khi 4

2

x  

Cách thứ hai ta biến đổi Vt thành x9x4(6x21) 12 x34x2 cũng là một biểu thức âm khi 4

2

x  

Ta có thể biến đổi tiếp phương trình (*) sau khi chia hai vế cho x   , ta được 1 0

x x x  x  x  x  x  x 

vô nghiệm vì Vt luôn dương khi x   2 Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 11 Giải phương trình (x2)(2x1)3 x6  4 (x6)(2x1)3 x2

HD Biến đổi phương trình thành ( x 6 x2)( 2x 1 3) , suy ra 4 x 5

Vt là hàm số đồng biến trên đoạn 5;  Từ đó dẫn đến  x  là nghiệm duy nhất của phương trình 7

đã cho

Ví dụ 12 Giải phương trình 2x211x21 3 4 3 x40

HD Phương trình tương đương với

2 3 3

12( 3) ( 3)(2 5)

x



Ta thấy x  là nghiệm của phương trình 3

Nếu x 3 thì phương trình tương đương với

2 3 3

12

x

Nếu x 3 thì Vt(1) > 1 > Vp(1)

Nếu x 3 thì Vt(1) < 1 < Vp(1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  3

Ví dụ 13 Giải phương trình 2x2 1 x23x2  2x22x 3 x2  x 6

Nhận xét: Với bài toán này ta sử dụng một đánh giá ít gặp sau đây:

( ) 0; ( ) 0

( ) 0

f x g x

f x g x f x ah x g x bh x

h x







, với a, b là hai số thực dương

HD Biến đổi phương trình

2 0

x

 

 



Từ đó ta được phương trình có nghiệm là x  2

x  y     

Nhận xét: Với bài toán này, ta thấy đây là một phương trình gồm hai ẩn Do đó ta nghĩ đến biến đổi

phương trình thành phương trình mới có Vt là tổng các bình phương, còn Vp bằng 0

HD Biến đổi phương trình thành

2 2

Từ đó ta được phương trình có nghiệm là ( ; )x y (2012; 2009)

Ví dụ 15 Giải phương trình 1 2 1 3

2

x y  y x  xy

HD Đk x1;y1

x y  y x  y x x  x y y  xy

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

1; 1

1

2

x y









Từ đó ta được phương trình có nghiệm là ( ; )x y (2; 2)

3 Phương pháp lượng giác

3.1 Một số lưu ý

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác ta có thể đặt: f x( )sin nếu

( ) 1;1

f x   với điều kiện ;

2 2

 

  

  hoặc f x( )cos với điều kiện 0; Cũng có khi đặt

f x   f x   để đưa phương trình đã cho về phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác rồi từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho

3.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình 4x 1 4x2  1 1

12

Nhận xét: Bài toán này (đã xét ở trên) cũng có thể giải bằng phương pháp lượng giác, tuy nhiên với

bài này cách giải bằng lượng giác chỉ mang tính chất tham khảo

HD Đặt

4

2 4

2

y





 



Khi đó ta được phương trình

Do vậy phương trình có một nghiệm là 1

2

x 

Ví dụ 2 Giải phương trình

2

2 2 1

x x 

HD Đặt cos , (0; ),

2



   Phương trình đã cho trở thành

2 2 sin cos 2.sin 2 cosysiny  y y y Đặt sinycosyz, 2 z 2

suy ra sin 2y2 sin cosy yz21, ta được z  2 và 2

2

z  

Với z  2thì

4

y 

 , do đó 2

2

x 

2

z   thì 11

12

2 2

x  

Vậy phương trình có nghiệm là 2

2

2 2

x  

Ví dụ 3 Giải phương trình x3 (1x2 3) x 2(1x2)

HD Đk 1 x 1

2 2

x y y   

  suy ra cosy 0

Khi đó phương trình trở thành sin3ycos3y 2 sin cosy y

Đặt sinycosyz z,   2; 2 (chính xác là z  1; 2), biến đổi phương trình ta được

z  z  z  (z 2)(z 2 1)( z 2 1) 0 z 2  z 1 2

Nếu z  2 thì thì

4

y 

 , do đó 2

2

x 

Nếu z  1 2 thì sinycosy 1 2 x 1x2  1 2

2

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên