Hệ thống phương pháp giải phương trình vô tỉ

Phần 1: Khái niệm phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ: . Phơng pháp nâng lên luỹ thừa. . Phơng pháp đặt ẩn phụ. . Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. . Phơng pháp bất đẳng thức. . Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. I/ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa: 1. Phơng trình dạng )()( xgxf = Cách giải: = = )()( 0)( )()( 2 xgxf xg xgxf Chú ý: khi bình phơng dẫn đến phơng trình bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ : giải các phơng trình sau: a) 332 = xx c) 31 =+ xx b) 452 = xx d) xxxx 27126 22 =+ Giải: a) 6 0128 3 )3(32 03 332 22 = =+ = = x xx x xx x xx d) Đặt t= 6 7 22 2 27126 =+ t xxxx PT đã cho tơng đơng với PT 7;1076 2 === tttt từ đó suy ra x (loại t=-1) 2. Phơng trình dạng )()()( xhxgxf =+ hoặc )()()()( xuxhxgxf +=+ Phơng pháp giải: sau hai lần bình phơng đa PT đã cho về PT đã biết cách giải. Chú ý: khi bình phơng dẫn đến PT bậc cao thì nên sử dụng phơng pháp khác, chỉ bình ph- ơng khi biết hai vế không âm, nếu không thì chú ý đến phơng trình hệ quả, có thể phân tích thành tích nếu đợc. Ví dụ: giải các PT a) 322315 = xxx b) 3343 =+ xx c) 52101 +++=+++ xxxx d) 11212123492 22 +=++ xxxxx Giải: c) gợi ý: ĐK 1 x bình phơng hai lần khử căn, nghiệm là x=-1 d)đặt 012,049 2 ==+ bxaxx phơng trình là baba 53 +=+ bình phơng hai vế rút gọn đợc b=0 hoặc b=a .Nghiệm là 5; 2 1 3.áp dụng hằng đẳng thức (a+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b) Ví dụ: giảI phơng trình 333 3221 =+ xxx Giải: Phơng trình tơng đơng với [ ] 2 3 3 33 3 ;2;10)32)(2)(1( 3221)2)(1(32 ==== =++ xxxxxx xxxxxx II/ Phơng pháp đặt ẩn phụ: Tuỳ từng phơng trình cụ thể chọn ẩn phụ cho thích hợp nhằm khử căn đa về phơng trình đã biết cách giải, sau đây là một số ví dụ: Ví dụ1: giải biện luận phơng trình: axxx =++++ 4 1 2 1 Giải: đặt t= 4 1 2 4 1 0 =+ txx phơng trình đã cho thành 4 1 2 1 2 2 1 0)( ==+ aatat (loại 2 1 = at ) khi đó aaax == 4 1 2 2 1 )( Ghi chú: khi đã giải đợc PT tổng quát có thể giảI PT với a=4, a=9, .đợc kết quả khá gọn gàng. Ví dụ2: giải PT 7234742 2342 ++=++ xxxxxx Giải: biến đổi PT thành 35)742(16)742(7424 2222 +++++=++ xxxxxx đặt 5;742 2 ++= txxt đơc pt 0)12()6(035416 22224 =+=+ ttttt Ví dụ3: giải phơng trình : 3)6)(3(63 =++++ xxxx Giải: đặt = t 233,63 ++ tkiBunhiacopsxx 2 9 2 2 )6)(3()6)(3(29 =+++= t xxxxt PT đã cho thành 3 2 9 2 =+ t t , học sinh tự giải tiếp. Ví dụ4: giải phơng trình: xxx xx =+ 22 77 2 Giải: 7,7: 34 xxDK chuyển vế : 22 77 2 xx xxx = bình phơng rút gọn hai lần đ- ợc (x-2)(4x 2 +7x+14) = 0 . Đáp số x=2. Ví dụ5: 8)1(2)3)(1( 1 3 =++ + x x xxx Điều kiện: 1;3 > xx Đặt y= ,1 3 )1( + x x x phơng trình trở thành y 2 +2y-8=0 ta đợc y=2, y=-4 với y=2, ta có ,1 3 )1( + x x x =2 bình phơng hai vế(đk x>1) đợc x 2 +2x-7=0 chọn x= 81 + với y=- 4, ta có ,1 3 )1( + x x x =- 4 bình phơng hai vế (đk 3 x ) đợc x 2 +2x-19=0 chọn x= 521 . III/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ1: Giải phơng trình 11610145 =+++++ xxxx (1) Giải: (1) =+++ <=+++ <=+++ =+++=+++ )8(13121 )83(11321 )31(11312 131211)31()21( 22 xxx xxx xxx xxxx Nghiệm là: 83 x . Ví dụ2: giải phơng trình 2 3 1212 + =++ x xxxx (1) Gợi ý: (1) =++ 212 212 1111 khixx xkhi xx nghiệm là x=1 và x=5 VI/ Phơng pháp bất đẳng thức: 1. Chứng tỏ phơng trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia: Ví dụ: giải các phơng trình a) 23151 = xxx (1) b) 211 =+ xx (2) Giải: a) đk: 1 x , khi đó x<5x do đó 151 < xx suy ra vế trái của (1) âm còn vế phải không âm . Phơng trình vô nghiệm, b) ĐK: 1 x khi đó (2) 121 ++= xx vế trái luôn nhỏ hơn vế phải. Phơng trình vô nghiệm. 2.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: Ví dụ1: giải phơng trình 564630527122 222 +=+++ xxxxxx (1) Giải: vế trái 4191)3(59)3(2 22 =++++ xx vế phải 44)3(56 22 +=+ xxx vậy hai vế của (1) đều bằng 4 , khi đó x=3 Ví dụ2: giải phơng trình 11642 2 +=+ xxxx (2) Giải: áp dụng bđt Bunhiacpôski cho 4 số xx 42,1,1 ta có 2)42)(11(4.12.1 22 =+++ xxxx ; 22)3(116 22 +=+ xxx do (2) 321162 2 ==+== xxxVPVT 1. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt: Ví dụ1: giải phơng trình 2 952 22 2 )2)(74( + =++ xx xxxx Giải: áp dụng BĐT côsi 2 ba ab + với 0,0 ba có : ta c ú 22222222222222 )()())(( bcadbdacdbcbdacadcba ++=+++=++ 2 952 2 )274( 22 2 22 )2)(74( + +++ =++ xx xxxx xxxx dấu bằng xảy ra khi x 2 - 4x+7=x 2 x+2 , nghiệm là x=5/3 Ví dụ2: giải phơng trình 2 45 45 =+ x x x x (1) Giải: đk x > 4/5 , ta có BĐT 2 + a b b a với a>0, b>0 xảy ra đẳng thức khi a = b với x>4/5 (1) 4;104545 2 ===+= xxxxxx (thoả mãn đk ) V/ Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phơng trình không mẫu mực hoặc tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. 1. Hớng giải: để giải phơng trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên hoặc phơng pháp đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần tử x 0 , từ đó kết luận x 0 là nghiệm. + Cụ Thể: Ta sẽ chứng minh )()( xgxf hoặc )()( xgxf hoặc Axf )( và Axg )( hoặc ngợc lại. +Bên cạnh đó ta sử dụng kết quả: +Nếu f(x) tăng và g(x) giảm trên cùng một miền xác định thì đồ thị nếu cắt nhau thì cắt tại một điểm duy nhất . Từ đó phơng trình f(x)=g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm. + Nếu f(t) là hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D thì f(x) = f(y) x=y 2. Các ví dụ: Ví dụ1: giảI phơng trình : 231231 +=++++ xxx Giải: Điều kiện 2 1 012 03 01 + + x x x x đặt : 1231)( ++++= xxxxf 2 1 122 1 32 1 12 1 / 0)( >>++= ++ xxf xxx )(xf tăng trên [ ) + ; 2 1 lại có 23)1( += f nên đồ thị hàm số y=f(x) cắt đồ thị hàm số hằng 23 += y tại một điểm duy nhất x=1. Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: giải phơng trình : 82315 22 ++=+ xxx Giải: 232381582315 815 7 2222 22 ==++++=+ +++ xxxxxxx xx Ta thấy hàm 815 7 22 )( +++ = xx xf luôn giảm trên R, hàm 23)( = xxg luôn tăng trên R, do đó đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại một điểm duynhất x=1, vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 3: giải hệ phơng trình =++ =++ 752 725 yx yx Giải: điều kiện: 2 2 y x từ hệ 2525 +=+ yyxx )()( yfxf = Xét hàm số 25)( += tttf với 2 t 0)( 2.52 52 22 1 52 1 / <== + + + tt tt tt tf với 2 t f(t) là hàm giảm trên [ ) + ;2 do đó yxyfxf == )()( khi đó hệ PT 1111725 ===++ yxxx , nghiệm của hệ là (11;11). Ví dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực 4 2 12113 =++ xxmx Giải: đk 1 x phơng trình đã cho m x x x x =+ + + 4 1 1 1 1 23 (1) đặt 4 1 1 + = x x t , khi đó (1) trở thành -3t 2 +2t=m vì t= 4 1 2 4 1 1 1 ++ = xx x và 101 < tx hàm số 10,23)( 2 <+= ttttf có bảng biến thiên: t o 3 1 1 f / (t) + 0 - 3 1 0 -1 f(t) Phơng trình đã cho có nghiệm t [ ) 3 1 11;0 < m Một số bài tập tơng tự: giải các phơng trình sau: 1) 452 = xx 6) 432 =+ xx 2) 66496 22 +=+ xxxx 7) 11)1()1( 3 2 3 2 3 2 =+++ xxx 3) 12611246 =+++++ xxxx 8) 61224 3 =++ xx 4) 661697 2 +=+ xxxx 9) 0321 333 =+++++ xxx 5) 2 222 723)134)(23( xxxxxx ++=+++ 10) x xx xx = + 6 33 33 57 57 . phơng trình vô tỉ: là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn Phần 2: một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ: . Phơng pháp nâng lên luỹ thừa. . Phơng pháp đặt. x=1, vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 3: giải hệ phơng trình =++ =++ 752 725 yx yx Giải: điều kiện: 2 2 y x từ hệ 2525 +=+