sáng kiến Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm

1.Tên sáng kiến: Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 11, lớp 12 giáo viên trung học phổ thông 3.Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày tháng năm 2014 đến ngày 10 tháng năm 2015 4.Tác giả: Họ tên: Hoàng Hữu Đạt Năm sinh: 1980 Nơi thường trú: Thôn Bình Thượng, xã Yên Thọ, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định Điện thoại: 0989 118 585 Đồng tác giả: không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT Mỹ Tho Địa chỉ: xã Yên Chính, huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503 825 642 Cấu trúc sáng kiến Trang I.Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến ………………………………………………….4 II.Mô tả giải pháp……………………………………………………………………… 1.Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến………………………………………… 2.Mô tả giải pháp sau có sáng kiến……………………………………………… 2.1 Cơ sở lý thuyết………………………………………………………………… 2.2.Các ví dụ minh họa… 2.2.1.Giải phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm .8 2.2.1.1.Phương trình đưa dạng f ( x) = 2.2.1.2.Phương trình đưa dạng f (u ) = f (v) …………………………… 15 2.2.1.3.Một số dạng biến đổi đặc biệt: đưa phương trình dạng đồng bậc ba… 22 2.2.2.Giải hệ phương trình phương pháp đạo hàm 31 Thực nghiệm sư phạm 43 3.1.Mục đích thực nghiệm …………………………………………………… … 43 3.2.Đối tượng địa bàn cách thực hiện……………………………………… … 43 3.3.Nội dung thực nghiệm………………………………………………… … .43 3.3.1.Thực nghiệm nghiên cứu kiến thức mới……………………………… 43 3.3.2.Thực nghiệm củng cố hoàn thiện kiến thức ……………………… … 45 3.3.3.Thực nghiệm kiểm tra đánh giá ……………………………………… 45 3.3.4 Đánh giá kết thực nghiệm ……………………………………………… 45 III Hiệu sáng kiến đem lại…………………………………………………… 46 1.Trước hết việc dạy giáo viên…………………………………………… 46 Đối với việc học học sinh ………………………………………………… 46 2.1.Về kiến thức ………………………………………………………………… .46 2.2.Về tư tưởng tình cảm ………………………………………………………….… 47 2.3.Về kỹ ……………………………………………………………………… 47 Kết luận…………………………………………………………………………… 48 IV Cam kết không chép vi phạm quyền ……………………………… 48 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I Điều kiện, hoàn cảnh tạo sáng kiến Chúng ta biết rằng: Dạy học Toán dạy cho người học có lực trí tuệ Năng lực giúp cho họ học tập tiếp thu kiến thức tự nhiên, xã hội, bồi dưỡng giới quan vật biện chứng Vì dạy Toán không đơn dạy cho học sinh nắm kiến thức, định lí Toán học Điều quan trọng dạy cho học sinh lực trí tuệ Năng lực hình thành phát triển học tập Trong trình dạy học môn Toán bậc THPT toán phương trình, hệ phương trình chiếm vị trí quan trọng, xuyên suốt chương trình ba khối lớp, với nhiều phương pháp giải đa dạng như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ…Trong trình giảng dạy ôn luyện thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi tỉnh cho em học sinh thấy việc giải phương trình hệ phương trình vô tỉ quan trọng học sinh THPT việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ giải toán, tính cẩn thận, xác làm cho học sinh nắm môn toán Giải tốt phương trình vô tỉ học sinh nâng cao tư vận dụng để hiểu biết nội dung khác chương trình toán THPT Tuy nhiên thực tế toán giải phương trình, hệ phương trình đề thi ĐH đặc biệt phương trình, hệ phương trình vô tỉ lại sử dụng phương pháp hàm số để giải có số em học sinh biết phương pháp trình bày lúng túng, chưa gọn gàng sáng sủa Thậm chí số học sinh hướng giải Nguyên nhân đâu ? Nguyên nhân phần phương trình vô tỉ trình bày SGK đại số 10 Tuy nhiên toán đơn giản xa với đề thi THPT Quốc Gia Phương trình vô tỉ chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ Trong chương trình SGK giải tích 12 học sinh biết sử dụng tính đơn điệu hàm số để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Lượng tập ứng dụng tính đơn điệu ahàm số để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ hạn chế mà đề thi THPT Quốc Gia nhiều toán giải phương pháp hàm số Do việc trang bị cho học sinh phương pháp hàm số để giải toán cần thiết Những toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn hay độc đáo Để góp phần vào việc giải đề khó khăn trên, mạnh dạn sưu tầm, tập hợp, bổ xung xếp toán dạng theo cấu trúc rõ ràng đa dạng viết thành đề tài: “ Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm” Hy vọng với đề tài giúp học sinh nhận biết, xử lý toán giải phương trình, hệ phương trình nhanh thành thạo II.Mô tả giải pháp: 1.Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến.Thực trạng việc dạy học phương trình, hệ phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm trường THPT Toán học môn học khoa học, mang tính trừu tượng, ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lý thuyết khoa học ứng dụng Toán học môn khoa học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học THPT Tuy nhiên môn học khó, khô khan đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc chương trình nội dung SGK, nắm vững phương pháp dạy học việc thiếu Để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức toán học cho học sinh, công việc cần phải làm thường xuyên trình giảng dạy Chủ đề phương trình hệ phương trình đề cập SGK đại số 10 với số tiết 14 tiết, với thời lượng học sinh nắm vững kiến thức thức, phương trình, hệ phương trình, phép biến đổi đại số Học sinh biết số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp Trong SGK Giải tích lớp 12 có giới thiệu chủ đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với số tiết tương đối nhiều, học sinh nắm khái niệm đồng biến nghịch biến hàm số khoảng từ học sinh khoảng đồng biến nghịch biến hàm số đó.Học sinh biết khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số dựa vào tính đồng biến nghịch biến hàm số Ngoài ứng dụng khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, đạo hàm công cụ sắc bén để giải nhiều dạng toán khác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên đề thi THPT Quốc Gia câu phương trình hệ phương trình câu tương đối khó học sinh chủ yếu dùng phương pháp hàm số để giải.Thông thường tập SGK đưa đơn giản, lượng tập đưa sau học hạn chế chủ yếu dùng phương pháp biến đổi tương đương đặt ẩn phụ…, lượng tập sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải chưa có nhiều SGK giới thiệu tập này, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình hệ phương trình không phổ biến bắt buộc Chính lẽ mà học sinh sử dụng phương pháp máy móc chưa biết cách sử dụng Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x − = 13 Đối với phương trình học sinh giải theo cách bình phương hai vế đặt ẩn phụ sau bình phương hai vế nhân liên hợp đưa hệ phương trình.Tuy nhiên sử dụng phương pháp đạo hàm ta thấy vế trái hàm đồng biến x = nghiệm phương trình lời giải toán ngắn Ví dụ 2: Giải phương trình: x + + x − = − x Đứng trước phương trình học sinh lúng túng dùng phương pháp để giải tinh ý chút chuyển x3 sang bên vế trái, vế trái hàm đồng biến ta thấy x=1 nghiệm phương trình Do sử dụng phương pháp đạo hàm toán trở nên đơn giản Ví dụ 3: Giải phương trình : x + = x3 − x − Nhận xét: Có thể giải toán theo hướng sau: ⇔ x + = x3 − x − ( x + 1) ( x + 5) − 6x + + ⇔ x + + = x3 − x − = ( x + 1) ( x − x − )  x = −1  ⇔  = x2 − x −  ( x + 5) − x + +  (*) Vấn đề đặt giải phương trình (*) phức tạp Vì ta giải phương trình phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số Ta có : x + = x3 − x − Xét hàm số f ( t ) = t + t ¡ ⇔ ( x + ) + x + = x + x (*) Ta có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ Suy f ( t ) = t + t đồng biến ¡ Do đó: (*) ⇔ f ( ) 6x + = f ( x ) ⇔ 6x + = x ⇔ x3 − x − = ⇔ ( x + 1) ( x − x − ) =   x = −1  + 21 ⇔  x =   x = − 21  Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = − 21 + 21 ;x = 2 * Qua ví dụ ta thấy giải toán phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số toán trở nên đơn giản lời giải ngắn gọn Ví dụ 4: Giải phương trình : x(2 + x + 3) + (4 x + 2)(1 + + x + x ) = Giải: Cách 1: ( Dự đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất) Viết lại phương trình dạng (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + = ( −3 x ) (2 + ( −3 x) + 3) Nếu phương trình có nghiệm nghiệm thoả mãn : 3x(2x+1) f ( x2 ) Tính chất hàm đồng biến, nghịch biến: + Nếu f ( x ) g ( x ) hai hàm số đồng biến ( nghịch biến) D tổng f ( x ) + g ( x ) hàm số đồng biến ( nghịch biến) D + Nếu f ( x ) g ( x ) hai hàm số dương, đồng biến ( nghịch biến) D tích f ( x ) g ( x ) hàm số đồng biến ( nghịch biến) D Công thức tính đạo hàm: + Công thức tính đạo hàm hàm số hợp: ( uα ( x ) ) ′ = α uα −1 ( x ) u ′ ( x ) (*) - Công thức (*) với α số - Nếu α không nguyên công thức (*) u ( x ) nhận giá trị dương + Công thức tính đạo hàm hàm số bậc n : Nếu u ( x ) hàm số có đạo hàm K thỏa mãn điều kiện u ( x ) > với x thuộc K n chẵn, u ( x ) ≠ với x thuộc K n lẻ ( n u ( x) ) ′ = n uu ( x() x ) ′ n n −1 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số dựa định lí sau: + Định lí: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K ( Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a) Nếu f ′ ( x ) > với x thuộc K hàm số f ( x ) đồng biến K b) Nếu f ′ ( x ) < với x thuộc K hàm số f ( x ) nghịch biến K c) Nếu f ′ ( x ) = với x thuộc K hàm số f ( x ) không đổi K + Chú ý: Quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ điều kiện cần 5.Các tính chất đơn điệu hàm số: a) Nếu hàm số y = f ( x ) đơn điệu K, phương trình f ( x ) = c ( với c số) có nghiệm x = x0 nghiệm b) Nếu hàm số y = f ( x ) đơn điệu K, u ( x ) , v ( x ) hàm số nhận giá trị thuộc K f ( u ( x ) ) = f ( v ( x ) ) ⇔ u ( x ) = v ( x ) 2.2 Các ví dụ minh họa 2.2.1.Giải phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm 2.2.1.1 Phương trình đưa dạng f ( x ) = Phương pháp: Bước 1: Tìm ĐKXĐ : D phương trình Bước 2: Xét hàm y = f ( x ) D Bước 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f ( x ) Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để kết luận nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: + x − − x = Phân tích +Ví dụ toán giải phương pháp biến đổi tương, đặt ẩn phụ, phương pháp nhân liên hợp Tuy nhiên dùng phương pháp đạo hàm lời giải ngắn nhiều + Bài toán có chứa hai + x , − x ( + 2x − − x + Sử dụng máy tính ta nghiệm x = Nên toán giải phương pháp hàm số )′ = + 2x + 3− x > Lời giải tham khảo ĐK: − ≤ x ≤   Xét hàm số f ( x ) = + x − − x −  − ;3     Với x ∈  − ;3 ÷, ta có: f ′ ( x ) =  1 >0 3− x   Suy f ( x ) hàm số đồng biến  − ;3 ÷, mà f ( ) =   Do f ( x ) = có nghiệm x = Vậy phương trình cho có nghiệm x =  + 2x + Ví dụ 2: Giải phương trình: x + + x − = − x Phân tích: + Ta thấy phương trình có bậc hai bậc bốn lại có biến x căn, nên việc đặt ẩn phụ tương đối phức tạp Mà ta thấy chuyển x sang vế phải ta biểu thức có đạo hàm dương + Sử dụng máy tính ta nghiệm: x = Nên toán giải phương pháp hàm số Lời giải tham khảo ĐK: x ≥ Viết lại phương trình cho thành: x3 + x + + x − − = 1  Xét hàm số f ( x ) = x + x + + x − −  ; +∞ ÷ 2  Với x > , ta có f ′ ( x ) = 3x + x + + 2 ( x − 1) 1 >0  Suy f ( x ) hàm số đồng biến  ; +∞ ÷, mà f ( 1) = + + − = 2  Do f ( x ) = có nghiệm x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình : x + 3x + = − x − Phân tích + Trong phương trình có chứa ba thức: x , x + 1, x − Nếu dùng phương pháp: đăt ẩn phụ biến đổi tương đương tương đối phức tạp trí bế tắc Ta dùng phương pháp nhân liên hợp, toán biến đổi tương đối phức tạp + Ta thấy ta chuyển x − sang vế phải phương trình ta thấy : ( ) ′ x + 3x + + x − = 3 x2 + 3x + + 2x −1 >0 + Sử dụng máy tính ta x = nghiệm Nên toán giải phương pháp hàm số tương đối ngắn gọn Lời giải tham khảo ĐK: x ≥ x + 3x + + x − − = 1  Xét hàm số f ( x ) = x + 3x + + x − −  ; +∞ ÷ 2  1 + >0 Với x > , ta có: f ′ ( x ) = + 3x + 2x − x Viết lại phương trình cho thành : 1  Suy f ( x ) hàm số đồng biến  ; +∞ ÷ ,mà f ( 1) = + + − = 2  Do f ( x ) = có nghiệm x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình: x3 + x + x + 16 = + − x Phân tích + Ta thấy x3 + x + x + 16 tương đối công kềnh nên toán giải phương pháp nâng lũy thừa hay phương pháp đặt ẩn phụ tương đối phức tạp Nhưng ta thấy: ( x3 + x + x + 12 ) ′ = ( x + x + 1) > Do ta chuyển − x sang vế trái vế trái biểu thức có đạo hàm dương + Sử dụng máy tính ta x = nghiệm Nên toán giải phương pháp hàm số Lời giải tham khảo Điều kiện xác định: ( x + ) ( x − x + ) ≥  x + x + x + 16 ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤  4 − x ≥ 4 − x ≥ Phương trình cho tương đương: x + x + x + 16 − − x − = Xét hàm số f ( x ) = x + x + x + 16 − − x − [ −2; 4] Với x ∈ ( −2; ) , ta có f ′ ( x ) = ( x + x + 1) + >0 x + x + x + 16 − x Suy f ( x ) hàm số đồng biến khoảng ( −2;4 ) , mà f ( 1) = Do phương trình f ( x ) = có nghiệm x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 − x + − x3 = 2x − Phân tích 10 + Quan sát qua ta thấy vế trái phương trình biểu thức công kềnh khó nhìn dấu đạo hàm Nhưng ta thấy: ( − 2x −2 )′ = ( − 2x) ( Vì  Xét hàm số f ( t ) = t − 3t , t ≥ Ta có f ′ ( t ) = 3t − ≥ 0, ∀t ≥ nên hàm số cho đồng biến [ 1; +∞ ) Theo (1) ta có : f ( x − ) = f ( u ) ⇔ x − = u ⇔ x = u + (u Thay vào phương trình (2) ta được: u − = − 3) ( u + ) ⇔ ( u − 1) = ( u − 3) ( u + ) ⇔ u + 2u − 9u − = ⇔ ( u − ) ( u + 2u + 6u + 3) = ⇔ u = ( Vì u ≥ ⇒ u + 2u + 6u + > )  x = x = ⇔ (thỏa mãn điều kiện)  y + = y =1 Với u = ta được:  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( 4;1)  x3 − 3x + + ( y + ) − y =  Ví dụ : Giải hệ phương trình:   x − x = − y + x − Phân tích + Đặt u = − y , u ≥ Phương trình thứ trở thành: x3 − 3x3 + = u − 3u ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = u − 3u 3 + Xét hàm số f ( t ) = t − 3t Vì hàm số có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến nên ta tìm miền giá trị ( x − 1) , u −1 ≤ x − ≤ 0 ≤ x ≤  −1 ≤ x − ≤ ⇒ ⇒   −1 ≤ y ≤ −1 ≤ − y ≤  −1 ≤ u ≤ + Ta có  nên xét hàm số f ( t ) = t − 3t [ −1;1] Khi ta có x − = u ⇒ x − = − y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình vô tỉ theo x giải theo phương pháp biến đổi tương đương 35 Lời giải tham khảo Điều kiện: ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với: ( x − 1) − ( x − 1) = ( 1− y2 ) − − y (1) −1 ≤ x − ≤ 0 ≤ x ≤ ⇒  −1 ≤ y ≤ −1 ≤ − y ≤ Vì  Xét hàm số f ( t ) = t − 3t [ −1;1] Ta có f ′ ( t ) = 3t − ≤ 0, ∀ t ∈ [ −1;1] nên hàm số nghịch biến [ −1;1] Theo (1) ta có: f ( x − 1) = f ( ) 1− y2 ⇔ x −1 = 1− y2 Với − y = x − thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − x2 = x − 3   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 2 2 x − x = ( x − 3) 17 x − 26 x + =   ⇔ x =1 y =1 Với x = ⇒ − y = ⇔  (thỏa mãn điều kiện)  y = −1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( 1;1) ( 1; −1) ) (  xy x + + = y + + y  Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:  ( x − 1) x y + xy − − x3 + 3x y − x =  Phân tích + Từ phương trình thứ hệ ta chia hai vế phương trình cho y ta được: x x2 + + x = y2 y2 + + y Để làm xuất hàm số dạng: f ( t ) = t t + + t vế phải phương trình phải đưa dạng : 3  ÷ +1 + y  y y Đề có điều ta cần đưa vào phải chứng minh y ≥ y Thật vậy: ( ) y + + y > ( y + y ) ≥ , nên từ phương trình thứ hệ suy x > Theo điều kiện : x y + xy ≥ ⇒ y > 36 Khi f ( t ) hàm số đồng biến , từ ta : x = ⇔ xy = y +Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: ( x − 1) x − − x + x − x = Giải phương pháp nhân liên hợp Lời giải tham khảo Điều kiện: x y + xy ≥ Ta thấy y = không nghiệm hệ phương trình Với y ≠ , phương trình thứ hệ tương đương với: x Ta có : ( ) ( ) x2 + + = y2 y2 + + y + + y > ( y + y ) ≥ ⇒ xy ( (*) y ) x2 + + > ⇒ x > Theo điều kiện ta có: x y + xy ≥ , mà x > ⇒ y > 3 Do phương trình ( *) ⇔ x x + + x =  ÷ +1 + y  y y (1) Xét hàm số f ( t ) = t t + + t , t ∈ ¡ Ta có f ′ ( t ) = t + + t2 + > 0, ∀t ∈ ¡ , nên hàm số cho đồng biến ¡ t2 +1 3 Theo (1) ta có: f ( x ) = f  ÷ ⇔ x = ⇔ xy = y  y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: ( 3x − 1) ⇔ ( x − 1) ( 3x − − x3 + x − x = ) 3x − − x + x ( − x + 3x − ) = − x + 3x − + x ( − x + 3x − ) = x + 3x −  3x −  ⇔ ( − x + 3x − )  + 4x ÷=  x + 3x −  ⇔ ( x − 1) ⇔ − x + x − = ( x − ≥ ⇒ x + x = ⇔ x = Với x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) x=2⇒ y = (thỏa mãn điều kiện)  3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( 1;3) ,  2; ÷  2 37 3x − > 0) x + 3x −  ( x − ) x + = − y Ví dụ : Giải hệ phương trình:  ( x − ) y + = y + x − x + Phân tích +Từ phương trình thứ hai hệ ta thấy : ( x − ) , ( y + 1) có mặt hai lần Nếu ta đặt u = x − 2; v = 2 y + phương trình trở thành: u v + = v u + ⇔ t + Xét hàm số f ( t ) = t +1 u u2 +1 = v v2 +1 Từ ta u = v ⇒ x − = y + ⇒ y = x − x + Thay vào phương trình thứ hai ta phương trình vô tỉ theo x Lời giải tham khảo Điều kiện: x ≥ −6, y ≥ −1 x−2 Phương trình thứ hai hệ tương đương với: Xét hàm số f ( t ) = ( x − 2) +1 = t ¡ t2 +1 t2 t2 +1 + t2 +1 = Ta có f ′ ( t ) = > 0, ∀t ∈ ¡ t +1 ( t + 1) t + Nên f ( t ) hàm số đồng biến ¡ Do : ( 1) ⇔ f ( x − ) = f ( ) y +1 ⇔ x − = y +1 x ≥ ⇔  y = x − 4x + Với y = x − x + thay vào phương trình đầu hệ ta được: ( x − 2) x + = − x2 + 4x ⇔ x + x − 15 + ( x − ) ( ) x+6 −3 = x−3 ⇔ ( x + ) ( x − 3) + ( x − ) =0 x+6 +3 ( x − 2)   ⇔ ( x − 3)  x + + =0 x + +   ( x − 2) ⇔ x = ( x ≥ ⇒ x + + >0 ) x+6 +3 Với x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( 3;0 ) 38 y +1 ( ) y +1 +1 (1)  y − x = x + Ví dụ : Giải hệ phương trình:  3  x + x + ( x − y + ) x − y + = Phân tích + Từ phương trình thứ hai hệ: Nếu đặt u = x − y + phương trình trở thành: x3 + 5x + ( u + 5) u = ⇔ ( − x ) + ( − x ) = u + u x ≤  + Xét hàm số f ( t ) = t + t Khi ta − x = u ⇒ − x = x − y + ⇔  x3 − x + y =   3 Thay vào phương trình thứ hệ ta phương trình bậc hai theo x Lời giải tham khảo Điều kiện: x3 − y + ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với: ( ) x3 − y + + x3 − y + = ( − x ) + ( − x ) Xét hàm số f ( t ) = t + 5t , t ∈ ¡ (1) Ta có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀ t ∈ ¡ nên f ( t ) hàm số đồng biến ¡ Theo (1) ta có : f ( ) x3 − y + = f ( − x ) ⇔ x3 − y + = − x x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x − y + = x 2 y = x − x + x3 − x + Thay y = vào phương trình thứ hệ ta được: (x x = − x + 1) − x3 = x + ⇔ x + x = ⇔   x = −1 Với x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) x = −1 ⇒ y = − (thỏa mãn điều kiện)   1    1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:  0; ÷,  −1; − ÷ 2  2 x − x + 3x − = x ( − y ) − y  Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:   x + = 14 − x − y + Phân tích + Từ phương trình thứ hệ ta chia hai vế phương trình cho x3 x 3 Đặt u = , v = − y ta được: − 4u + 3u − u = ( v + 1) v ⇔ ( − u ) + ( − u ) = v + v 39 + Xét hàm số f ( t ) = t + t Từ ta v = − u ⇒ x − = x − y , thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình vô tỉ theo x : x − = 15 − x + ( Sử dụng phương pháp hàm số đề giải) Lời giải tham khảo Điều kiện: x ≥ 2, y ≤ Ta thấy x = không nghiệm hệ phương trình Với x ≠ phương trình thứ hệ tương đương với:  1  1 1 − ÷ + 1 − ÷ =  x  x ( 3− 2y ) + 3− 2y (1) Xét hàm số f ( t ) = t + t , t ∈ ¡ Ta có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ¡ nên f ( t ) hàm số đồng biến ¡   1 Theo (1) ta có : f 1 − ÷ = f x  ( ) − 2y ⇔ 1− = − 2y x ⇔ x −1 = x − 2y Thay x − = x − y vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − = 15 − x + ⇔ x − − 15 − x − = Xét hàm số g ( x ) = x − − 15 − x − , x ≥ 1 ′ g x = + > 0, ( ) Với x > ta có x − 3 ( 15 − x ) Suy g ( x ) hàm số đồng biến ( 2; +∞ ) Do ( 2; +∞ ) phương trình g ( x ) = có tối đa nghiệm, mà g ( ) = , nên phương trình có nghiệm x = Với x = suy y = 111 (thỏa mãn điều kiện) 98  111  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  7; ÷  98  ( 23 − 3x ) − x + ( y − 20 ) − y = Ví dụ 11 : Giải hệ phương trình:   x + y + − −3 x + y + + x − 14 x − = Phân tích 2 + Từ phương trình thứ hệ, đặt u = − x , v = − y ta : ( + 3u ) u = ( + 3v ) v + Xét hàm số f ( t ) = 3t + 2t Khi ta : u = v ⇒ − x = − y ⇒ y = x − Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình vô tỉ theo x : 3x + − − x + x − 14 x − = 40 + Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để giải phương trình Lời giải tham khảo 7 − x ≥ 6 − y ≥  Điều kiện:  2 x + y + ≥  −3 x + y + ≥ ( ) ( ) Phương trình thứ hệ tương đương với: − x + − x = − y + − y (1) Xét hàm số f ( t ) = 3t + 2t , t ≥ Ta có f ′ ( t ) = 9t + > 0, t > , suy f ( t ) hàm số đồng biến ( 0;+∞ ) Theo (1) ta có: f ( ) 7−x = f ( ) − y ⇔ − x = − y ⇔ y = x −1 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3x + − − x + x − 14 x − = ⇔ ⇔ ( ) ( ) x + − + − − x + ( 3x − 14 x − ) = 3( x − 5) x−5 + ( x − ) ( 3x + 1) = 3x + + + − x +   ⇔ ( x − 5)  + + ( x + 1)  =  3x + + + − x    ⇔ x = ( x ∈  − ;6  ⇒ + + ( x + 1) > ) 3x + + + − x   Với x = ta y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 5;4 )  x + x − + x + = y Ví dụ 12 : Giải hệ phương trình:   y + y − + y + = x Lời giải tham khảo Điều kiện: x, y ≥ − Trừ theo vế tương ứng hai phương trình hệ ta được: x + x + x + = y + y + y + (1) Xét hàm số f ( t ) = t + 4t + 2t + 1, t ≥ − 41 Với t > − 1 >0 ta có f ′ ( t ) = 3t + + 2t +     Suy f ( t ) hàm số đồng biến khoảng  − ; +∞ ÷ Theo (1) ta có f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Thay y = x vào phương trình thứ hệ ta : x3 + x − + x + = Xét hàm số g ( x ) = x + x − + x + 1, x ≥ − Với x > − 1 > 0, ∀x > − ta có g ′ ( x ) = 3x + + 2 2x +     Suy g ( x ) hàm số đồng biến khoảng  − ; +∞ ÷ , mà g ( ) = Do phương trình g ( x ) = có nghiệm x = Với x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( 0;0 ) Bài tập: Giải hệ phương trình sau:  x + x − y = y + y − x 1)   x − − y − =  x + xy = y + y  11)  4 2  y + 13x + = y x ( x + y − 1)  x3 − 3x3 + x − − y = y + y − x − 2)   x + − y − 11 =  x − 11x − y + = 12)  2  y + y + y + x + 22 x + 21 = ( x + 1) x −  x − y + y = y − x + 3x 3)   x − + 3 x + y =  x − y = y + x − x + 13)   x + y + x + y + 19 = 105 − y − xy  x3 + 3x + x + = ( y + ) y +  4)   x + + + y + =  x − y + − y − − x = 14)   x + − y =  x + x = ( y + 1) y +  5)   x − x x + y + − 15 = ( )  x − 11x − y + 10 = 2  y + y + x − 22 x + y + 23 = ( x + 1) x − 6)  ( x + 1) x − − y ( y + 1) = 15)   y − xy + x + =  x + y = 3x − x − y + 16)  2  x + y − x + y − 10 = y + − x + y 42 ( 53 − x ) 10 − x + ( y − 48 ) − y =  x + − y + = 7)  17)  x − 3x + + ( y + ) − y =  8)  2   x − x = − y + x −1   18)     x − y + + x − x − 66 = −2 x + y + 11  ( x − 3) x − = y + y 9)   4 x − x + y + y − y + = ( 12 − x ) − x + ( y − ) − y = 10)   x − y + 14 x − 18 y = x + x + 13 ( − x ) − x − y y − = ( x + 1) + 21 − y = ( y + 1) ( y + 1) + 21 − x = ( x + 1) 3 x + x − + y + = y 19)  3 y + y − + x + = x  ( x −1) 20)  x + y = ( − x − y) − x 3  2 12 x + xy − 18 x = x − x − y + 3.Thực nghiệm sư phạm: 3.1 Mục đích thực nghiệm: Nhằm kiểm tra kiến thức, làm sáng tỏ khả ứng dụng đạo hàm vào giải phương trình hệ phương trình vô tỉ 3.2 Đối tượng, địa bàn cách thực nghiệm: Trong nghiên cứu đề tài này, tiến hành thực nghiệm hai lớp 12A2 12A3 trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định Học sinh hai lớp có trình độ nhận thức, điều kiện học tập kỹ học toán tương đương Tôi chọn lớp 12A2 làm lớp thực nghiệm lớp 12A3 làm lớp đối chứng Lớp đối chứng học giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ phương pháp nâng lũy thừa, nhân liên hợp, đặt ẩn phụ, phương pháp đạo hàm giới thiệu qua Nhưng lớp thực nghiệm học phương pháp dùng đạo hàm để giải toán cách cụ thể, chi tiết Việc giảng dạy hai lớp trực tiếp phụ trách, thời gian thực nghiệm từ đầu năm học hết học kì I Cuối đợt thực nghiệm cho hai lớp làm kiểm tra Tôi vào kết so sánh chất lượng làm hai lớp để rút kết luận cần thiết hoàn chỉnh đề tài 3.3 Nội dung thực nghiệm: Như nói trên, thời gian thực nghiệm từ đầu cuối học kì I năm học 2014 - 2015, xong để trực tiếp đánh giá kết thực nghiệm cho đề tài, chọn phần 2.2.1.2 Phương trình đưa dạng f(u) = f(v) Khâu kiểm tra cũ phần 2.2.1.3 Một số dạng đặc biệt: đưa phương trình dạng đồng bậc kiểm tra 45 phút sau học xong phần 2.2 Giải hệ phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm Như vậy, đảm bảo cho nội dung thực nghiệm vừa có phương pháp hàm số giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ hoạt động nghiêm cứu kiến thức mới, vừa có củng cố hoàn thiện kiến thức, vừa có hoạt động kiểm tra, lĩnh hôi kiến thức kỹ học sinh Dưới xin trình bày phương pháp tiến hành thực nghiệm nội dung có liên quan đến việc sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ lớp thực nghiệm 3.3.1 Thực nghiệm nghiên cứu kiến thức mới: 43 Thứ phần lý thuyết: học sinh cần phải hiểu lý giải hàm số f ( x) đơn điệu (a; b) với u , v ∈ (a; b) f (u ) = f (v ) u = v Sau giáo viên bước hướng dẫn em phương pháp giải phương trình dạng này: Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Biến đổi phương trình dạng: f ( u ) = f ( v ) ( với u , v hàm số theo x ) Bước 3: Xét hàm số f ( t ) , chứng minh f ( t ) hàm số đơn điệu Bước 4: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để kết luận nghiệm Riêng phần chứng minh hàm số y = f (t ) đồng biến nghịch biến (a; b) sử dụng phương pháp đạo hàm để chứng minh Nếu f '(t ) > ∀t ∈ (a; b) f (t ) hàm số đồng biến khoảng (a; b) Nếu f '(t ) < ∀t ∈ (a; b) f (t ) hàm số nghịch biến khoảng (a; b) Sau học sinh nắm phương pháp giải giáo viên tiếp tục khắc sâu kiến thức cho em tập áp dụng Độ khó tập tăng dần Ví dụ 1: Giải phương trình: x + − 5 x − = x − − x + Ở ví dụ học sinh thấy phương trình có hai biểu thức dấu : ( x + 1) ( x − ) Do ta đặt u = x + 1, v = x − , phương trình trở thành: / + Xét hàm số đặc trưng: f ( t ) = t + t , t ≥ ⇒ f ( t ) = 5 t4 + t u+5u= v+5v > 0, t > ⇒ f ( t ) hàm số đồng biến (0; +∞) Theo (1) ta có : f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v Với u = v ta được: x − = x + ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ở ví dụ 2: Giải phương trình: x + x + = x + + + x + + Ta phải cộng hai vế phương trình với phương trình tương đương với: ( 2x + 2) + 2x + = ( ) x+3+2 + 2+ x+3 u = x + , u, v > v = + x + Khi đặt  Phương trình trở thành: u + u = v + v (1) / Xét hàm số f ( t ) = t + t , t > ⇒ f ( t ) = + ⇒ f ( t ) hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) t > 0, t > Theo (1) ta có f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v từ suy nghiệm phương trình Qua hai ví dụ học sinh nắm phương pháp, cách thức giải, có kỹ phân tích để đưa dạng f (u ) = f (v) , giáo viên đưa ví dụ ví dụ 44 Sang đến tiết lượng tập khó tiết Sau kiểm tra cũ giáo viên đưa ví dụ 5: Giải phương trình: ( ) ( ) 3x + x + + ( x + ) + + x + x = Yêu cầu học sinh tự giải Nếu em có lời giải tốt phương pháp đạo hàm có nghĩa em dã hiểu kiến thức biết vận dụng vào tập.Ở ví dụ lại giáo viên đặt câu hỏi gợi mở cho học sinh Học sinh phát cách phân tích đề để đưa phương trình dạng f (u ) = f (v) 3.3.2 Thực nghiệm củng cố, hoàn thiện kiến thức: Đến phần 2.2.1.3 Một số dạng biến đổi đặc biệt: Đưa phương trình dạng đồng bậc 3, khâu kiểm tra cũ, để tìm hiểu trình độ nhận thức học sinh giáo viên đưa tập giải phương trình: x +1 − = 3 x − − 13 x + Và yêu cầu học sinh tự giải 3.3.3.Thực nghiệm kiểm tra, đánh giá Trong tiết kiểm tra 45 phút, giáo viên tiến hành soạn đề kiểm tra theo ba yêu cầu chủ yếu: nhận dạng, vận dụng bậc thấp, vận dụng cao Đề kiểm tra sau: Câu 1: Giải phương trình sau: a) x + + x + + x − = b) x − + x − = x + + + x + Câu 2: Giải hệ phương trình:  x + y + x + − y + =  ( x − y + 1) x + y + + ( x + y ) x + = x + 3.3.4 Đánh giá kết thực nghiệm + Trong tiết kiểm tra 45 phút chấm điểm sử lý theo hai hướng: - Tổng hợp điểm toàn làm học sinh lớp, xếp thành loại: Giỏi(8-10), khá(7-8), trung bình(5-6), Yếu,kém(dưới 5) - Tính tỷ lệ phần trăm học sinh đạt điểm tối đa câu lớp để rút kết luận Kết cụ thể sau: Kết tổng hợp điểm học sinh lớp Phân loại Giỏi Khá Trung bình Yếu, Tổng số Lớp đối chứng Số đạt Tỉ lệ % 4.7 15 35.7 17 40.5 19.1 42 100 45 Lớp thực nghiệm Số đạt Tỉ lệ % 12 28.6 23 54.8 16.6 0 42 100 Kết tổng hợp điểm tối đa cho câu hỏi Phân loại Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm Số đạt Tỉ lệ % Số đạt Tỉ lệ % Câu 1.a 36 85.7 42 100 Câu 1.b 15 35.7 25 59.5 Câu 9.5 19 45.2 Như vậy, kết lớp thực nghiệm cao nhiều so với lớp đối chứng, kết thu lớp thực nghiệm khác biệt dạng khác tập Kết thu học sinh chênh lệch đáng kể, đặc biệt câu phát triển lực cho học sinh tỷ lệ em đạt điểm tối đa cao hẳn Điều cho thấy em lĩnh hội kiến thức kĩ sử dụng phương pháp đạo hàm để giải phương trình Kết thực nghiệm cho thấy rõ hiệu hẳn phương pháp sử dụng đạo hàm giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ III Hiệu sáng kiến đem lại: Trong dạy học nói chung dạy môn toán nói riêng, phương pháp mà giáo viên truyền tải kiến thức cho học sinh yếu tố quan trọng góp phần định số lượng chất lượng kiến thức cho học sinh lĩnh hội Việc lựa chọn phương pháp phải tùy thuộc vào nội dung cụ thể tri thức đặc trưng môn học Trong dạy học môn toán, với lượng kiến thức nhiều phức tạp, chọn phương pháp tối ưu để giải toán vấn đề vô quan trọng, không việc học học sinh mà việc dạy giáo viên Trong chuyên đề phương trình hệ phương trình vô tỉ phương pháp dùng đạo hàm ý nghĩa phương pháp học hiệu cho học sinh mà phương pháp dạy tích cực giáo viên Đạo hàm công cụ “mạnh” để giải nhiều toán, toán giải công cụ đạo hàm lời giải tỏ ngắn gọn đẹp 1.Trước hết việc dạy giáo viên: Trong việc dạy giáo viên, phương pháp đạo hàm không để giải phương trình, hệ phương trình mà có nhiều ứng dụng giải bất phương trình, giải toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số…Điều giúp cho giáo viên có vốn kiến thức để ôn thi THPT Quốc Gia ôn thi học sinh giỏi tỉnh Phương pháp dùng đạo hàm để giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ giúp cho giáo viên tiết kiệm thời gian cung cấp thông tin lớp, giảm bớt lời giải rườm rà thao tác không cần thiết mà truyền thụ cho học sinh lượng kiến thức lớn tương đối khó Bằng phương pháp đạo hàm giáo viên khai thác tối ưu trình tư học sinh kiểm tra khái quát khả tiếp thu kiến thức hình thành kỹ kỹ sảo em.Vì vậy, nắm bắt nhanh xác lực trình độ học sinh để có biện pháp giúp đỡ riêng thích hợp, đồng thời điều chỉnh hành động dạy cho phù hợp Đối với việc học học sinh: 2.1 Về kiến thức: 46 - Giúp cho học sinh nắm định nghĩa tích chất đơn điệu hàm số, chứng minh tính đơn điệu hàm số khoảng -Học sinh nắm vững phương pháp cách có hệ thống, từ biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào dạng tập - Phương pháp dùng đạo hàm để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ giúp học sinh nhớ khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số dạng toán khác giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, toán phương trình, hệ phương trình chứa tham số….Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng chuẩn bị bước vào kì thi học sinh giỏi thi THPT Quốc Gia 2.2 Về tư tưởng tình cảm: Phương pháp dùng đạo hàm để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ dựa sở hợp tác chặt chẽ thầy trò, tạo không học tập sôi nổi, tình cảm cởi mở thân ái, thái độ thông cảm, tôn trọng tin tưởng lẫn thầy trò Qua động viên, khuyến kích tinh thần sáng tạo, tìm tòi không ngừng tích cực hành động nhận thức học sinh Việc giải toán phương trình hệ phương trình phương pháp đạo hàm giáo dục cho em tính chuyên cần kiên nhẫn, cẩn trọng tỉ mỉ, tạo cho em thoi quen tốt học tập Phương pháp dùng đạo hàm để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ hội học sinh tự khẳng định mình, từ cho em hứng thú học tập, tinh thần khắc phục khó khăn để tiến 2.3 Về kỹ năng: Phương pháp dùng đạo hàm để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ có ý nghĩa đặc biệt việc phát triển học sinh: - Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập phương pháp hàm số, kỹ biến đổi, khả phân tích phán đoán tìm tòi lời giải - Phương pháp dùng đạo hàm để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải đào sâu suy nghĩ, tìm tòi phát huy tới mức cao khả tư thân, thông qua rèn luyện cho học sinh tư duy, khát quát phát triển lực tự học thói quen tự học sáng tạo, giúp học sinh tự học suốt đời, mở rộng lực độc lập giải vấn đề thực tiễn đặt Với phương pháp đạo hàm học sinh vừa tự chiếm lĩnh tri thức, vừa nắm vững phương pháp học sinh tự tạo toán giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm Như phương pháp dùng đạo hàm để giải phương trình hệ phương trình vô tỉ có ý nghĩa to lớn việc ôn thi THPT Quốc Gia ôn thi hoc sinh giỏi, góp phần phát triển toàn diện học sinh tạo cho em khả tư sáng tạo, tìm tòi không ngừng tích cực việc học tập Tuy nhiên dạy học môn toán phương pháp chưa khai thác hết tiềm 3.Kết luận Sau thời gian tự nghiên cứu với phương pháp tìm đọc tài liệu tham khảo, sưu tầm tập kết hợp với thực tế giảng dạy thấy chuyên đề: “Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm ”đã phần có tác dụng học sinh giáo viên ôn thi THPT Quốc Gia Sau học xong chuyên đề em hoc sinh hứng thú học toán đặc biệt giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ 47 phương pháp đạo hàm Đề tài dựng hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh vận dụng cách linh hoạt phương pháp cụ thể trường hợp định Qua học sinh đào sâu kiến thức, tìm tòi cách giải hay cho toán Bên cạnh ví dụ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, kĩ sảo làm quen với dạng tập phương trình, hệ phương trình vô tỉ khác nhau, góp phần nhỏ bé phát triển trí tuệ, tính cẩn thận, khoa học, lực nhật xét, phân tích phán đoán tổng hợp kiến thức…Khi phương trình, hệ phương trình giải phương pháp hàm số lời giải ngắn gọn, dễ hiểu Hơn giáo viên kiểm tra kiến thức học sinh nhiều phương diện khác nhau: mức độ nắm kiến thức, tư logic, phản xạ nhanh Tuy nhiên tất đối tượng học sinh truyền tải nội dung mà cần xác định đối tượng để cung cấp kiến thức phù hợp với trình độ quỹ thời gian học sinh Sáng kiến kinh nghiệm kết trình tự tìm tòi nghiên cứu, đúc kết rút kinh nghiệm trình ôn thi THPT Quốc Gia ôn thi học sinh giỏi cấp trường cấp tỉnh Áp dụng đề tài vào giảng dạy thực tế thấy tính hiệu đề tài cao, đạt thành tích ôn thi THPT Quốc Gia ôn thi học sinh giỏi tỉnh, áp dụng đề tài cho năm Qua nghiêm cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi đưỡng cho học sinh để có kết cao kì thi Trong trình biên soạn có nhiều cố gắng xong kinh nghiệm hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy học tập giáo viên học sinh Cuối xin chân thành cảm ơn! IV.Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm áp dụng thành công giảng dạy trường THPT Mỹ Tho – Ý Yên – Nam Định Trong trường hợp có xảy tranh chấp quyền sở hữu phần hay toàn sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm mà người vi phạm, hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo sở GD&ĐT CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận) … …………………………………… ….……………………………………… ………………………………………… ………………………………………… TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (ký tên) Hoàng Hữu Đạt 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO + SGK, SBT bản, SGK, SBT nâng cao + Tạp trí THTT + Các đề thi ĐH + Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số - Giải tích 12 - Tác giả :ThS Lê Hoàng Phò + Tuyển tập toán chọn lọc Đại số - Giải tích 12 – Tác giả: ThS Đỗ Thanh Sơn + Kĩ thuật giải nhanh Phương trình – Hệ phương trình - Tác giả: Đặng Thành Nam + 18 chủ đề Giải tích 12 - Chủ biên: Nguyễn Tất Thu – Nguyễn Văn Dũng 49 ... toán giải phương trình, hệ phương trình nhanh thành thạo II.Mô tả giải pháp: 1.Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến. Thực trạng việc dạy học phương trình, hệ phương trình vô tỉ phương pháp đạo hàm. .. tìm phương pháp giải gặp toán giải phương trình, hệ phương trình Tôi mạnh dạn đưa sáng kiến mục đích hỗ trợ cho em học sinh có hệ thống tập giải phương trình hệ phương trình phương pháp đạo hàm, ... biến hàm số Ngoài ứng dụng khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, đạo hàm công cụ sắc bén để giải nhiều dạng toán khác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình,