Một số dạng biến đổi đặc biệt: đưa phương trình về dạng đồng bậc ba…

II. Mô tả giải pháp

2.2. Các ví dụ minh họa…

2.2.1. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm

2.2.1.3. Một số dạng biến đổi đặc biệt: đưa phương trình về dạng đồng bậc ba…

Dạng 1: Phương trình đưa được về dạng:

( )3 ( ) =  ( )  ( )

A ax + b + B ax + b A f x + B f x

Bài toán: Giải phương trình: mx3 +nx2 + px q+ =A f x. ( ) +B f x( )

Phương pháp:

Bước 1: ĐKXĐ

Bước 2: Phương trình biến đổi về dạng:

( )3 ( ) ( ( ) )3 ( )

A ax b+ +B ax b+ =A f x +B f x

Bước 3: Xét hàm số đặc trưng: f t( ) =At3+Bt, chứng minh f t( ) là hàm số đơn điệu.

Khi đó sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số:

Xét hàm số y= f x x D( ), ∈ , ( )a b; ⊂D

Nếu hàm số f x( ) đơn điệu trong khoảng ( )a b; , ta có : ( ) ( ) ( )

, ;

f u f v u v a b u v

 = ⇔ =

 ∈



Bước 4: Giải phương trình: ax b+ = f x( )

Chú ý: Trong phương pháp trên thì bước 2 là quan trọng nhất. Ta sử lý bước hai như sau:

+ Nếu phương trình đưa được về dạng: A ax b( + )3+B ax b( + ) =A( f x( ) )3+B f x( )

thì phương trình A ax b( + )3 +B ax b( + ) =0 luôn nhận x b

= −a làm nghiệm . Do đó b

−a là một trong những nghiệm của phương trình: mx3 +nx2 + px q+ =0

+ Sau khi đưa được về dạng A ax b( + )3+B ax b( + ) =A( f x( ) )3+B f x( ) , ta nên

kiểm tra lại xem cách phân tích đó có đúng không.

Ví dụ 1:Giải phương trình: x3+3x2+4x+ =2 (3x+2) 3x+1

Phân tích

+ Vế phải của phương trình được viết lại thành: ( 3x+1)3+ 3x+1 mà bậc của phương trình là 3, nên phương trình có thể đưa được về dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Nếu phương trình đã cho viết được dưới dạng: (ax b+ ) (3+ ax b+ ) =( 3x+1)3+ 3x+1 thì

b

−a là nghiện của x3 +3x2+4x+ =2 0

+Sử dụng máy tính ta được x= −1 là nghiệm của phương trình trên, nên phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng: (x+1) (3+ + =x 1) ( 3x+1)3+ 3x+1. Kiểm tra lại ta thấy thỏa mãn.

Lời giải tham khảo:

Điều kiện: 1 x≥ −3

Phương trình đã cho tương đương với: (x+1) (3+ + =x 1) ( 3x+1)3+ 3x+1 (1)

Xét hàm số f t( ) = +t3 t t, ∈¡

Ta có f t′( ) =3t2 + > ∀ ∈1 0, t ¡

Suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên ¡

Theo (1) ta có : f x( + =1) f ( 3x+ ⇔ + =1) x 1 3x+1

2

1 0 x

x x

 ≥ −

⇔  − = ⇔  =xx=10

 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có các nghiệm : x=0;x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x3+18x2 +55x+57=(18x+15) 9x+7

Phân tích

+ Vế phải của phương trình được viết lại dưới dạng: 2( 9x+7)3 + 9x+7. Mà bậc của phương trình là 3, nên phương trình có thể đưa được về dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Sử dụng máy tính ta được x= −3 là nghiệm của phương trình:2x3+18x2+55x+57 0= . Từ x= −3⇒ + =x 3 0, do hệ số của x3 là 2 2.1= 3 nên vế trái của phương trình được phân tích thành: 2(x+3) (3+ +x 3)

Do đó phương trình đã cho được viết thành: 2(x+3) (3+ + =x 3) 2( 9x+7)3+ 9x+7

+ Khi đó ta xét hàm số đặc trưng: f t( ) =2t3+t

Lời giải tham khảo Điều kiện: 7

x≥ −8

Phương trình đã cho tương đương với: 2(x+3) (3+ + =x 3) 2( 9x+7)3+ 9x+7 (1)

Xét hàm số : f t( ) =2t3+t t, ∈¡ .

Ta có f t′( ) =6t2 + > ∀ ∈1 0, t ¡ .Suy ra hàm số đồng biến trên ¡

Theo (1) ta có f x( + =3) f( 8x+7) ⇔ + =x 3 9x+7 ⇔ (xx≥ −+33)2 =9x+7



2

3

3 2 0 x

x x

 ≥ −

⇔  − + = ⇔  =xx=12

 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=1;x=2

Ví dụ 3: Giải phương trình:108x3+432x2+585x+268=(8x+15) 2x+3

Phân tích

+ Vế phải của phương trình được phân tích thành: 4( 2x+3)3+3 2x+3. Mà bậc của phương trình là 3, nên phương trình có thể đưa được về dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Sử dụng máy tính ta được 4

x= −3 là nghiệm của: 108x3+432x2+585x+268 0=

+ Từ 4 3 4 0

x= − ⇒3 x+ = , ta có hệ số của x3 là : 108 4.27 4.3= = 3 nên vế trái của phương trình có thể được phân tích thành: 4 3( x+4)3+3 3( x+4). Kiểm tra lại ta thấy thỏa mãn.

+ Phương trình đã cho tương đương với: 4 3( x+4)3+3 3( x+4) =4( 2x+3)3+3 2x+3

+ Xét hàm số đặc trưng: f t( ) =4t3+3t

Lời giải tham khảo:

Điều kiện: 3 x≥ −2

Phương trình đã cho tương đương với: 4 3( x+4)3+3 3( x+4) =4( 2x+3)3+3 2x+3 (1)

Xét hàm số f t( ) =4t3+3 ,t t∈¡

Ta có f t′( ) =12t2 + > ∀ ∈3 0, t ¡ .Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên ¡ Theo (1) ta có : f(3x+4) = f ( 2x+3) ⇔3x+ =4 2x+3

( )2

4 3

3 4 2 3

x

x x

 ≥ −

⇔ 

 + = +



2

4 3

9 22 13 0

x

x x

 ≥ −

⇔ 

 + + =



1

⇔ = −x ( thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= −1.

Ví dụ 4:Giải phương trình: 192x3+288x2 +164x+34=(9x+17) 3x+4

Phân tích

+Vế phải của phương trình được phân tích thành: 3 3( x+4) (3+5 3x+4) . Mà bậc của phương trình là 3, nên phương trình có thể đưa được về dạng đối xứng đồng bậc ba

+ Sử dụng máy tính ta được 1

x= −2 là nghiệm của phương trình:

192x3+288x2+164x+34 0=

+ Từ 1 2 1 0

x= − ⇒2 x+ = (*), ta có hệ số của x3 là : 192 3.84 3.4= = 3 nên nhân hai vế của phương trình (*) ta được 4x+ =2 0.

Do đó vế trái của phương trình có thể được phân tích thành: 3 4( x+2)3+5 4( x+2) . Kiểm tra lại ta thấy thỏa mãn.

+Khi đó phương trình đã cho tương đương với: 3 4( x+2)3+5 4( x+ =2) 3 3( x+4) (3+5 3x+4)

+ Xét hàm số : f t( ) =3t3 +5t . Lời giải tham khảo:

Điều kiện: 4 x≥ −3

Phương trình đã cho tương đương với: 3 4( x+2)3+5 4( x+ =2) 3 3( x+4) (3+5 3x+4) (1)

Xét hàm số f t( ) =3t3+5 ,t t∈¡

Ta có f t′( ) =9t2 + > ∀ ∈5 0, t ¡ . Suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên ¡ Theo (1) ta có : f(4x+2) = f ( 3x+4) ⇔4x+ =2 3x+4

( )2

1 2

4 2 3 4

x

x x

 ≥ −

⇔ 

 + = +



2

1 2

16 15 0

x

x x

 ≥ −

⇔ 

 + =



⇔ =x 0(thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0

Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau 1) x3−9x2+29x−33=(2x+3) 2x+1

2) 2x3 +6x2 +9x+ =5 (6x+9) 3x+3

3) 4x3 −36x2 +110x−114=(8x−26) 2x−7

4) 54x3−54x2 +30x− =6 (10x+2) 5x−1

5) 24x3+180x2 +458x+395=(3x2 −9x+19) x2 −3x+5

6) 192x3+864x2 +1316x+678−(6x2 +9x+20) 2x2+3x+ =5 0

Dạng 2: Phương trình đưa được về dạng :

A ax + b + B ax + b = A mx + n + B mx + n( )3 ( ) ( ) 3

Bài toán: Giải phương trình: a x1 3 +b x1 2 +c x d1 + 1 =B mx n3 + Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: A ax b( + )3 +B ax b( + ) = A mx n( + +) B mx n3 +

Bước 2: Xét hàm số đặc trưng: f t( ) = At3 +Bt chứng minh f t( ) là hàm số đơn điệu.

Khi đó sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số:

Xét hàm số y= f x( ), x D∈ , ( )a b; ⊂D

Nếu hàm số f x( ) đơn điệu trong khoảng ( )a b; , ta có : ( ) ( ) ( )

, ;

f u f v u v a b u v

 = ⇔ =

 ∈



Bước 3: Giải phương trình: ax b+ = 3 mx n+

Chú ý: Trong phương pháp trên bước 1 là quan trọng nhất. Để sử lý bước 1 ta làm như sau:

+ Tìm một nghiệm hữu tỉ x0 của phương trình.

+ Thay x=x0 vào bước 3 ta được phương trình theo a b ax, : 0 + =b 3 mx0 +n (*) + Đồng nhất hệ số x3 ở bước 1 và đầu bài ta được: A a. 3 =a1. Khi đó ta chọn A và a. Thay a vào (*) tìm được b .

+ Sau khi tìm được a b A, , ta kiểm tra lại kết quả phân tích đã đúng chưa.

Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 +6x2 −13x 9+ = 3 26x 1+ Phân tích:

+ Ta thấy bấc cao nhất của phương trình là 3, lại có chứa căn bậc ba (đây là 2 phép toán ngược nhau). Nên phương trình có thể đươc được về phương trình dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Sử dụng máy tính ta được x=1 là nghiệm

+ Vế phải của phương trình đưa về dạng: A 26x 1( + +) 3 26x 1+ (vì B=1)

+ Giả sử phương trình đã cho đưa được về dạng :

A ax b( + ) (3+ ax b+ ) =A(326x 1+ )3+3 26x 1+ (*)

Từ (*) ta được: ax b+ = 3 26x+1 . Vì x=1 là nghiệm suy ra a b+ =3

Đồng nhất hệ số của x3của (*) và đầu bài ta được:A a. 3= =1 1.13. Chọn A=1;a= ⇒ =1 b 2

+ Thay vào (*) ta được:(x 2+ ) (3+ x 2+ ) =(326x 1+ )3+3 26x 1+ . Kiểm tra lại ta thấy thỏa mãn.

+ Xét hàm số đặc trưng: f t( ) = +t3 t .

Lời giải tham khảo:

Phương trình đã cho tương đương: (x 2+ ) (3 + x 2+ ) =(3 26x 1+ )3 + 326x 1+ (1)

Xét hàm số f t( ) = +t3 t , t∈¡

Ta có f t′( ) =3t2 + >1 0 ∀ ∈t ¡ , nên f t( ) là hàm số đồng biến trên R

Theo (1) ta có :f x 2( + ) = f(3 26x 1+ ) ⇔ + =x 2 326x 1+ ⇔(x 2+ )3 =26x 1+

⇔ x3 +6x2 −14x 7 0+ = ⇔(x 1 x− ) ( 2 +7 x 7− ) =0

 =

 − +

⇔ =

 − −

 =

x 1

7 77

x 2

7 77

x 2

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: x 1= ; x = − −7 77

2 và x= − +7 77 2 Ví dụ 2: Giải phương trình: 81x3+162x2+114x+29 4 2− 3 x+ =1 0

Phân tích

+ Ta thấy bấc cao nhất của phương trình là 3, lại có chứa căn bậc ba (đây là 2 phép toán ngược nhau). Nên phương trình có thể đươc được về phương trình dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Sử dụng máy tính ta được x= −1 là nghiệm.

+ Giả sử phương trình đưa về dạng: A ax b( + ) (3+ ax b+ ) = A x(2 + +1) 3 2x+1 (*)

+ Từ (*) ta được ax b+ = 3 2x+1 . Vì x= −1 là nghiệm suy ra − + = −a b 1 + Đồng nhất hệ số của x3 trong (*) và đầu bài ta được: A a. 3 =81 3.3= 3, chọn

3, 3 2

A= a= ⇒ =b thay vào (*) ta được: 3 3( x+2)3+4 3( x+2) (=3 2x+ +1) 4 23 x+1 (thỏa

mãn)

+ Xét hàm số f t( ) =3t3+4t

Lời giải tham khảo

Phương trình đã cho tương đương với: 3 3( x+2)3+4 3( x+2) (=3 2x+ +1) 4 23 x+1 (1)

Xét hàm số f t( ) =3t3+4 ,t t∈¡

Ta có f t′( ) =9t2 + > ∀ ∈4 0 t ¡ .Suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên ¡

Theo (1) ta có: f(3x+2) = f (32x+ ⇔1) 3x+ =2 3 2x+1 ⇔(3x+2)3 =2x+1

⇔(x+1 27) ( x2 +27x+7) =0 ⇔ = −x 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= −1

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 24x3−150x2+299x−193= 32x2− −3x 1 Phân tích:

+ Ta thấy bấc cao nhất của phương trình là 3, lại có chứa căn bậc ba (đây là 2 phép toán ngược nhau). Nên phương trình có thể đươc được về phương trình dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Sử dụng máy tính ta được x=3 là nghiệm + Giả sử phương trình đưa được về dạng :

A ax b( + ) (3+ ax b+ ) =A x(2 2−3x− +1) 3 2x2−3x−1 (*)

+ Từ (*) suy ra ax b+ = 3 2x2 −3x−1 . Phương trình có nghiệm x=3,suy ra 3a b+ =2 + Đồng nhất hệ số x3 ta được: A a. 3 =24 3.2= 3, chọn A=3;a= ⇒ = −2 b 4 thay vào (*) ta được: 3 2( x−4) (3+ 2x− =4) 3 2( x2− − +3x 1) 3 2x2− −3x 1 (thỏa mãn)

+ Xét hàm số f t( ) =3t3+t

Lời giải tham khảo

Phương trình đã cho tương đương với:

3 2( x−4) (3+ 2x− =4) 3 2( x2− − +3x 1) 3 2x2− −3x 1 (1)

Xét hàm số f t( ) =3t3+t t, ∈¡

Ta có f t′( ) =9t2+ > ∀ ∈1 0, t ¡ nên hàm số f t( ) đồng biến trên ¡ Theo (1) ta có: f (2x− =4) f (32x2− − ⇔3x 1) 2x− =4 32x2− −3x 1

⇔(2x−4)3 =2x2− −3x 1 ⇔8x3−50x2 +99x−63 0=

3 2 3 7 4 x x x

 =

⇔  =

 =



Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: 3, 3, 7

2 4

x= x= x=

Ví dụ 4: Giải phương trình: 40 3 25 2 4 1 33 2 8 1 3 x − x −3x− = x + x− Phân tích

+ Nhân cả hai vế của với 3 ta được: 40x3−75x2−4x− =3 3 33 x2+8x−1

+ Ta thấy bấc cao nhất của phương trình là 3, lại có chứa căn bậc ba (đây là 2 phép toán ngược nhau). Nên phương trình có thể đươc được về phương trình dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Sử dụng máy tính ta được x=0

+ Giả sử phương trình phân tích được về dạng:

A ax b( + )3 +3(ax b+ ) = A x(3 2 +8x− +1) 3 33 x2 +8x−1 (*)

Từ (*) suy ra ax b+ = 3 3x2+8x−1 . Phương trình có nghiệm x=0 ⇒ = −b 1

Cân bằng hên số x3 ta được: A a. 3 =40 5.8 5.2= = 3. Chọn A=5,a=2 thay vào (*) ta được : 5 2( x−1)3+3 2( x− =1) 5 3( x2+ − +8x 1 3 3) 3 x2+ −8x 1 ( thỏa mãn)

+ Xét hàm số: f t( ) =5t3+3t

Lời giải tham khảo

Phương trình đã cho tương đương với: 40x3−75x2−4x− =3 3 33 x2+8x−1

⇔ 5 2( x−1)3+3 2( x− =1) 5 3( x2+8x− +1) 3 33 x2+ −8x 1 (1)

Xét hàm số : f t( ) =5t3+3 ,t t∈¡

Ta có f t′( ) =15t2+ > ∀ ∈3 0, t ¡ nên f t( ) là hàm số đồng biến ¡ Theo (1) ta có f (2x− =1) f (33x2+8x− ⇔1) 2x− =1 33x2+8x−1

⇔ (2x−1)3 =3x2+8x−1 ⇔8x3 −15x2 −14x=0

0 7 8 2 x x x

 =

 −

⇔ =

 =



Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: x=0,x=2, 7 x= −8 Ví dụ 5: Giải phương trình: x3−5x2 +12x− =6 23 x2 − +x 1 Phân tích

+ Ta thấy bấc cao nhất của phương trình là 3, lại có chứa căn bậc ba (đây là 2 phép toán ngược nhau). Nên phương trình có thể đươc được về phương trình dạng đối xứng đồng bậc ba.

+Sử dụng máy tính ta được x=1 là nghiệm.

+ Giả sử phương trình đã cho phân tích được về dạng:

A ax b( + )3+2(ax b+ ) = A x( 2− + +x 1) 23 x2− +x 1

+ Khi đó ta được: ax b+ = 3 x2− +x 1 . Vì x=1 là nghiệm nên a b+ =1 + Đồng nhất hệ số x3 ta được : A a. 3 =1 , chọn A=1,a=1 ⇒ =b 0

Ta được: x3+2x=(x2 − + +x 1) 23 x2 − +x 1 , không thỏa mãn phương trình đã cho.

+ Do đó phương trình đã cho viết lại như sau: x3−5x2+12x− =6 38x2 −8x+8 + Tương tự như trên ta phân tích được:

(x+1) (3+ + =x 1) (8x2−8x+ +1) 38x2−8x+1 ( thỏa mãn) + Xét hàm số: f t( ) = +t3 t

Lời giải tham khảo

Phương trình đã cho tương đương với: (x+1) (3+ + =x 1) (8x2 −8x+ +1) 38x2−8x+1 (1)

Xét hàm số f t( ) = +t3 t t, ∈¡ .

( ) ( )

Theo (1) ta có f x( + =1) f (38x2 −8x+8) ⇔ + =x 1 38x2−8x+8

⇔(x+1)3 =8x2−8x+8 ⇔x3−5x2 +11x− =7 0 ⇔(x−1) (x2−4x+7) =0 ⇔ =x 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1.

Ví dụ 6: Giải phương trình: 7x2 −13x+ =8 2x23 x(1 3+ x−3x2)

Phân tích

+ Ta thấy bấc cao nhất của phương trình là 3, lại có chứa căn bậc ba (đây là 2 phép toán ngược nhau). Nên phương trình có thể đươc được về phương trình dạng đối xứng đồng bậc ba.

+ Để xuất hiện bậc ba ở ngoài căn ta nghĩ đến phương án chia cả hai vế cho x3ta được:

7 132 83 23 12 3 3 x− x + x = x + −x Đặt t 13

= x , ta được: 8t3−13t2+ =7t 2 3 t2 + −3t 3

+ Tương tự ví dụ trên phương trình được phân tích thành:

(2t−1)3+2 2( t− =1) (t2 + − +3t 3) 2 3t2+ −3t 3

+ Xét hàm số f t( ) = +t3 2t

Lời giải tham khảo

Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của phương trình cho x3 ta được : 7 132 83 23 12 3 3

x− x + x = x + −x

3

2 2 2

2 2 1 3 1 3

1 2 1 3 2 3

x x x x x x

     

⇔  − ÷ +  − =÷   + − ÷+ + − (1) Xét hàm số f t( ) = +t3 2 ,t t∈¡

Ta có f t′( ) =3t2 + > ∀ ∈2 0, t ¡ , suy ra f t( ) là hàm số đồng biến trên ¡

Theo (1) ta có : 3 2 2

2 1 3 2 1 3

1 3 1 3

f f

x x x x x x

 

 − =  + − ÷⇔ − = + −

 ÷  ÷

   

⇔ 2x3+3x2−13x+ =8 0

1

5 89 4 5 89

4 x

x x

 =

 − +

⇔  =

 − −

 =

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm : 1, 5 89, 5 89

4 4

x = x= − + x= − − Bài tâp áp dụng: Giải các phương trình sau

1) x3 +3x2− − =x 1 35x+3 6) 24x3−36x2 +22x+ =1 5 33 x−2

2) x3 −6x2+10x− =6 33x−4 3) 27x3−27x2+18x−10 4 3= 3 x+5 4) 8x3−12x2+10x−21 5 6= 3 x+15 5) 16x3 −96x2 +190x−136= 3 2x+2