Luận văn thạc sỹ phương pháp đạo hàm tăng cường tseng xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân trên không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG VĨNH LINH PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG TSENG XẤP XỈ NGHIỆM CHO MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà TS Đinh Diệu Hằng THÁI NGUYÊN - 2022 ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Song Hà TS Đinh Diệu Hằng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô, người tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu luận văn Để hoàn thành luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn nhiệt tình q thầy động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Với tình cảm chân thành, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy khoa Tốn-Tin phận sau đại học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuật lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu thực đề luận văn Tác giả xin chân thành cảm đến Hiệu trưởng tồn thể thầy, giáo trường PTDTBT THCS Hưng Đạo tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin dành tất yêu thương lời cảm ơn vơ hạn tới gia đình người thân ln người động viên mạnh mẽ giúp tác giả thực luận văn Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Hoàng Vĩnh Linh Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Danh sách bảng v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề không gian Banach 3 1.2 Hàm lồi, hàm khả vi, vi phân 1.3 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu tổng quát 11 15 1.4 Ánh xạ đơn điệu liên tục 21 Chương Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng xấp xỉ nghiệm cho lớp bất đẳng thức biến phân 24 2.1 Mơ hình tốn 24 2.2 Phương pháp TISEGHM 2.3 Ví dụ minh họa 28 40 Kết luận chung đề nghị 43 Tài liệu tham khảo 44 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt E Không gian Banach thực E∗ Không gian đối ngẫu E E ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai E PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C ΠC (x) Phép chiếu tổng quát phần tử x lên tập C xk → x Dãy {xk } hội tụ mạnh đến x xk ⇀ x ∥x∥ ⟨x, x∗ ⟩ Dãy {xk } hội tụ yếu đến x Chuẩn phần tử x Giá trị x∗ ∈ E ∗ x ∈ E J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E I Ánh xạ đơn vị E SE Mặt cầu đơn vị E lim inf xk Giới hạn dãy {xk } lim sup xk Giới hạn dãy {xk } k→∞ k→∞ ∗ VIP (A, C) Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá A : C → E ∗ miền hữu hiệu C ⊂ E Sol(VIP∗ (A, C)) Tập nghiệm toán VIP∗ (A, C) FPP Bài toán điểm bất động CP Bài toán bù TISEGHM Phương pháp đạo hàm-đạo hàm tăng cường Tseng có qn tính kết hợp phương pháp Halpern Danh sách bảng 2.1 Kết tính tốn cho TISEGHM-2 với u = (1, 1) 42 2.2 Kết tính tốn cho TISEGHM-2 với u = (1, 0) 42 Mở đầu Bất đẳng thức biến phân (viết tắt (VIP)) gắn liền với nhiều nghiên cứu Lion, Minty Stampacchia đồng [1, 5, 6, 9, 10] vào kỷ XX Kể từ đó, bất đẳng thức biến phân nhiều toán liên quan thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nước Đồng thời, tốn trở thành cơng cụ hữu hiệu nghiên cứu tốn học nói riêng lĩnh vực khoa học liên quan khác nói chung Việc đề xuất thuật toán giải xấp xỉ tốn đóng vai trị vơ quan trọng việc đưa lí thuyết vào giải vấn đề đặt thực tiễn Cho đến nay, có nhiều phương pháp hay thuật tốn giải số hữu hiệu cho tốn (VIP) Phương pháp lặp điển hình phương pháp chiếu gradient (GM) [1, 5, 6, 9, 10] Phương pháp đòi hỏi ánh xạ giá (ánh xạ mục tiêu) phải có tính chất đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz Dưới giả thiết nhẹ hơn, yêu cầu tính chất giả đơn điệu ánh xạ giá, sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường (EGM) (còn gọi phương pháp kiểu Korpelevich) [9] Tuy nhiên, phương pháp có đặc điểm lần lặp, ta cần phải tính tốn hai lần phép chiếu mêtric lên miền hữu hiệu (miền ràng buộc) Việc tính tốn khó ảnh hưởng đến hiệu thuật tốn có cấu trúc phức tạp Nhằm làm giảm bớt khó khăn này, Censor cộng (xem tài liệu dẫn [9,10,11,12] [8]) giới thiệu phương pháp đạo hàm - đạo hàm tăng cường (SEGM) Ý tưởng thay phép chiếu thứ hai phép chiếu lên nửa khơng gian đóng, thực tế thực dễ dàng Theo đó, có nhiều phương pháp đề xuất, cải tiến cải biên (xem chẳng hạn [1, 8] tài liệu dẫn), nhằm gia tăng hiệu phạm vi ứng dụng phương pháp có Mục đích luận văn trình bày lại kết đề xuất Yoewole cộng công bố năm 2022 [8] theo hướng Cụ thể, luận văn trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng cải biên xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, liên tục Lipschitz không gian Banach 2-lồi trơn Với mục tiêu vậy, cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1, hệ thống lại vấn đề giải tích lồi giải tích hàm khơng gian Banach Chương dành để giới thiệu nội dung, hội tụ mạnh phương pháp nêu kết tính tốn số Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành bốn phần: Mục 1.1 chúng tơi sơ lược tơpơ, giải tích hàm giải tích lồi khơng gian Banach Mục 1.2 dành để giới thiệu vài nội dung hàm lồi, hàm khả vi vi phân Các khái niệm tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn tương đối phép chiếu tổng quát cụ thể hóa Mục 1.3 Phần cuối chương, Mục 1.4 dùng để giới thiệu ánh xạ loại đơn điệu liên tục 1.1 Một số vấn đề không gian Banach Cho E không gian Banach thực, E ∗ E ∗∗ tương ứng không gian đối ngẫu không gian đối ngẫu thứ hai E Để đơn giản, chúng tơi kí hiệu chuẩn khơng gian ∥ · ∥ Định nghĩa 1.1 Dãy {xk } ⊂ E gọi i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E lim ∥xk − x0 ∥ = 0, k→∞ ta kí hiệu xk → x0 ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E lim ⟨xk , x∗ ⟩ = ⟨x0 , x∗ ⟩, k→∞ ∀x∗ ∈ E ∗ , ta viết xk ⇀ x0 Nhận xét 1.1 Nếu dãy {xk } ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E hội tụ yếu tới x0 ∈ E Khẳng định ngược lại E không gian hữu hạn chiều Ngoài ra, dãy {xk } ⊂ E hội tụ yếu bị chặn [2, 3], tức tồn M > cho ∥xk ∥ ≤ M với k ∈ N Nhận xét 1.2 [2] Nếu {xk } khơng gian Banach thực E có tính chất xk ⇀ x0 ∥x0 ∥ ≤ lim inf ∥xk ∥ k→∞ Ví dụ 1.1 Giả sử {ek } dãy phần tử thuộc mặt cầu đơn vị l2 với thành phần ek trừ thành phần vị trí thứ k Vì ∥ek ∥ = nên {ek } không hội tụ mạnh tới Tuy nhiên, ta lại có xk ⇀ lim ⟨ek , x∗ ⟩ = lim yk = 0, k→∞ k→∞ ∀x∗ = (yk ) ∈ l2 Ví dụ 1.2 Cho dãy {xk } phần tử không gian Hilbert thực H Khi đó, xk ⇀ x0 ∥xk ∥ → ∥x0 ∥ xk → x0 Thật vậy, xk ⇀ x0 ∥xk ∥ → ∥x0 ∥ từ phân tích ∥xk − x0 ∥2 = ⟨xk − x0 , xk − x0 ⟩ = ∥xk ∥2 + ∥x0 ∥2 − 2⟨xk , x0 ⟩ cho k → ∞ ta nhận ∥xk − x0 ∥ → Ngược lại, từ tính liên tục chuẩn suy ∥xk ∥ → ∥x0 ∥ từ ước lượng ≤ |⟨xk − x0 , y⟩| ≤ ∥xk − x0 ∥∥y∥, ∀k ∈ N, ∀y ∈ H, cho ta điều cần chứng minh Định nghĩa 1.2 Tập C ⊆ E gọi i) đóng với dãy {xk } C mà xk → x0 x0 ∈ C ii) tập compact với dãy {xk } ⊆ C tồn dãy {xkn } thỏa mãn xkn → x x ∈ C iii) tập compact yếu với dãy {xk } ⊆ C tồn dãy {xkn } thỏa mãn xkn ⇀ x x ∈ C Chú ý 1.1 [2, 4, 7] Ta có số tính chất sau đây: i) Tập đóng tập compact compact ii) Một tập compact compact yếu iii) Một tập compact đóng bị chặn Tuy nhiên, tập đóng bị chặn không thiết tập compact iv) Không gian Banach E hữu hạn chiều hình cầu đơn vị đóng E tập compact Ví dụ 1.3 Các nửa khơng gian đóng hình cầu đóng E tương ứng xác định Hα = {x ∈ E : ⟨x, x∗ ⟩ ≤ α}, S[x0 , r] := {x ∈ E : ∥x − x0 ∥ ≤ r}, đó, x∗ ∈ E ∗ , x0 ∈ E, α ∈ R số thực r > cố định cho, tập hợp đóng Nếu E khơng gian hữu hạn chiều S[x0 , r] tập compact Tuy nhiên, E = l2 S[x0 , r] tập compact yếu không compact Định nghĩa 1.3 Tập C ⊆ E gọi lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Hay nói cách khác, tập C ⊆ E lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Hình 1.1 Tập lồi tập khơng lồi Ví dụ 1.4 Hình cầu mở E có dạng S(x0 , r) := {x ∈ E : ∥x − x0 ∥ < r}, tập hợp lồi, x0 ∈ E số thực r > cố định cho 30 Nếu wk = yk dừng (đó nghiệm cần tìm) Nếu trái lại tính tham số αk+1 chọn theo quy tắc    µ∥y − w ∥  k k min αk ; ∥A(yk ) − A(wk )∥ > 0, ∥A(yk ) − A(wk )∥ (2.5) αk+1 =  α trường hợp khác k thực tiếp Bước Bước 3: Tính Bước 4: Tính zk = J −1 (J(yk ) − αk (A(yk ) − A(wk ))) xk+1 = J −1 (βk J(u) + (1 − βk )J(zk )) Bước 5: Gán k := k + quay lại thực Bước Nhận xét 2.3 Từ định nghĩa C Ck ta có C ⊂ Ck , ∀k ≥ Thật vậy, từ định nghĩa C i , Cki , vi phân Mệnh đề 1.9, x ∈ C i hiển nhiên ta thấy ′ hi (wk ) + ⟨z − wk , hi (wk )⟩ ≤ hi (x) ≤ 0, ∀i = 1, m Điều suy x ∈ Cki C i ⊂ Cki với i = 1, 2, , m Do đó, ta có C= m \ i=1 Nhận xét 2.4 Nếu wk = yk i C ⊂ m \ Cki = Ck i=1 wk ∈ Ω := Sol(VIP∗ (A, C)) Thật vậy, wk = ΠCk (J −1 (J(wk ) − αk A(wk ))) nên Do đó, ta có wk ∈ Ck ⇒ wk ∈ Cki , ′ ∀i = 1, m hi (wk ) + ⟨wk − wk , hi (wk )⟩ ≤ ⇔ hi (wk ) ≤ 0, ∀i = 1, m 31 Từ cách xác đinh C i dẫn đến wk ∈ C i wk ∈ C Tiếp theo, từ cách xác định yk (Bước 2) tính chất phép chiếu tổng quát (Mệnh đề 1.21) ta có ước lượng ⟨yk − y, J(wk ) − αk A(wk ) − J(yk )⟩ ≥ 0, ∀y ∈ Ck Bất đẳng thức tương đương với αk ⟨y − wk , A(wk )⟩ ≥ 0, ∀y ∈ Ck Cuối cùng, αk > C ⊂ Ck nên suy ⟨y − wk , A(wk )⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C Đó điều cần Nhận xét 2.5 Từ (2.4), ta có lim θk (ϕ(x∗ , xk−1 ) − ϕ(x∗ , xk )) = k→∞ Thật vậy, ta có θk ∥xk − xk−1 ∥ ≤ τk , với k ≥ Từ giả thiết (B2) τk = 0, k→∞ βk lim suy τk θk ∥xk − xk−1 ∥ ≤ lim = k→∞ βk k→∞ βk lim (2.6) Mặt khác, ta lại có ϕ(x∗ , xk−1 ) − ϕ(x∗ , xk ) = ∥x∥2 − 2⟨x∗ , J(xk−1 )⟩ + ∥xk−1 ∥2 − (∥x∗ ∥2 − 2⟨x∗ , J(xk )⟩ + ∥xk ∥2 ) = ∥xk−1 ∥2 − ∥xk ∥2 + 2⟨x∗ , J(xk ) − J(xk−1 )⟩ − ∥xk ∥2 ≤ ∥xk−1 − xk ∥(∥xk ∥ + ∥xk−1 ∥) + 2∥x∗ ∥∥J(xk−1 ) − J(xk )∥ Vì J liên tục mạnh-mạnh (Mệnh đề 1.18) tập bị chặn E ∗ nên từ (2.6) ta có lim βk · k→∞ θk θk ∥J(xk ) − J(xk−1 )∥ = lim βk · ∥xk − xk−1 ∥ = 0, k→∞ βk βk (2.7) 32 Điều dẫn đến   θk ∗ θk lim βk ∥xk−1 − xk ∥(∥xk ∥ + ∥xk−1 ∥) + ∥x ∥∥J(xk−1 ) − J(xk )∥ = k→∞ βk βk Vì suy lim θk (ϕ(x∗ , xk−1 ) − ϕ(x∗ , xk )) = k→∞ Tiếp theo, để chứng minh hội tụ mạnh Phương pháp TISEGHM, cần số Bổ đề bổ trợ sau Các kết tìm thấy [8] tài liệu dẫn Bổ đề 2.1 [8] Dãy {αk } sinh (2.5) dãy đơn điệu giảm o nµ , α1 , lim αk = α ≥ k→∞ L với α > Bổ đề 2.2 [8] Giả sử giả thiết (A1)-(A4) (B1)-(B4) bảo đảm Dãy {wk } dãy sinh Phương pháp TISEGHM Giả sử {wkj } dãy {wk } hội tụ yếu đến x¯ ∈ E lim ∥wkj − ykj ∥ = j→∞ Khi đó, x¯ ∈ Ω Chứng minh Từ cách xác định yk Mệnh đề 1.21, ta có ⟨y − ykj , J(wkj ) − αkj A(wkj ) − J(yk )⟩ ≤ 0, ∀y ∈ Ck , tương đương với ⟨y − ykj , J(wkj ) − J(ykj )⟩ ≤ ⟨y − ykj , A(wkj )⟩, ∀y ∈ Ck α kj Từ suy ⟨y − ykj , J(wkj ) − J(ykj )⟩ + ⟨ykj − wkj , A(wkj )⟩ α kj ≤ ⟨y − wkj , A(wkj )⟩, ∀y ∈ Ck (2.8) 33 Vì ∥wkj − ykj ∥ → j → ∞ J liên tục mạnh-mạnh tập bị chặn E nên ∥J(wkj ) − J(ykj )∥ → 0, Cho j → ∞ (2.8), ta lim inf ⟨y − wkj , A(wkj )⟩ ≥ 0, ∀y ∈ Ck j→∞ (2.9) Sử dụng điều này, wkj ∈ C C ⊂ Ckj , ta lim inf ⟨y − wkj , A(wkj )⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C j→∞ (2.10) Tiếp theo, ta x¯ ∈ C Thật vậy, ykj ∈ Ckj nên hi (wkj ) + ⟨h′i (wkj ), ykj − wkj ⟩ ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta hi (wkj ) ≤ ⟨h′i (wkj ), wkj − ykj ⟩ ≤ ∥h′i (wkj )∥∥wkj − ykj ∥ Vì h′i liên tục Lipschitz {wkj } bị chặn (suy từ tính hội tụ yếu), ta có {h′i (wkj )} dãy bị chặn Do đó, tồn Ki > cho ∥h′i (wkj )∥ ≤ Ki với i Do đó, ta có hi (wkj ) ≤ K · ∥wkj − ykj ∥, K = max {Ki } Do đó, từ tính liên tục yếu hi dẫn đến 1≤i≤m hi (¯ x) ≤ lim inf hi (wkj ) ≤ lim K · ∥wkj − ykj ∥ = j→∞ j→∞ Do đó, x¯ ∈ C Chọn dãy {ϵj } số thực dương đơn điệu giảm {ϵj } ϵj → j → ∞ Với j ≥ 1, ký hiệu Nkj số nguyên dương nhỏ cho ⟨y − wkj , A(wkj )⟩ + ϵj ≥ 0, ∀j ∈ Nkj Ta thấy {Nkj } không giảm {ϵj } giảm Vì thế, với j ≥ 1, {wkj } ⊂ C nên ta có A(wkj ) = ̸ Khi đó, đặt ANkj := A(wNkj ) ∥A(wNkj )∥2 34 ta ⟨ANkj , A(wkj )⟩ = 1, với j ≥ Từ (2.10), với j ≥ 1, ta có ⟨w + ϵj ANkj − wNkj , A(wNkj )⟩ ≥ Tiếp theo, A giả đơn điệu nên ta ⟨y + ϵj ANkj − wNkj , A(y + ϵj ANkj )⟩ ≥ Do ⟨y − wNkj , A(y)⟩ ≥⟨y + ϵj ANkj − wNkj , A(y) − A(y + ϵj ANkj )⟩ − ϵj ⟨ANkj , A(y)⟩ (2.11) Bây giờ, ta lim ϵj ANkj = j→∞ Do wkj ⇀ x¯ ∈ E A liên tục yếu C nên {A(wNkj )} hội tụ yếu đến A(¯ x) Giả sử A(¯ x) ̸= trái lại x¯ ∈ Ω Mặt khác, từ Nhận xét 1.2, để ý ∥A(¯ x)∥ ≤ lim inf ∥A(wkj )∥ j→∞ Vì wNkj ⊂ wkj ϵj → j → ∞, ta ≤ lim sup ∥ϵj ANkj ∥ = lim sup j→∞ j→∞ lim supj→∞ ϵj ϵj ≤ = ∥A(wkj )∥ lim inf ∥A(wkj )∥ j→∞ Điều suy lim ϵANkj = j→∞ lim inf ⟨y − wNkj , A(y)⟩ ≥ j→∞ Do đó, với y ∈ C, ta có ⟨y − x¯, A(y)⟩ = lim ⟨y − wNkj , A(y)⟩ = lim inf ⟨y − wNkj , A(y)⟩ ≥ j→∞ Áp dụng Bổ đề Minty ta x¯ ∈ Ω j→∞ 35 Bổ đề 2.3 [8] Dãy {xk } xác định Phương pháp TISEGHM bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức 2cµk αk2 ϕ(x , zk ) ≤ ϕ(x , wk ) − − αk+1 ∗ ∗   ϕ(yk , wk ) (2.12) Chứng minh Lấy x∗ ∈ Ω Khi đó, ta có ϕ(x∗ , zk ) = ϕ(x∗ , J −1 (J(yk ) − αk (A(yk ) − A(wk )))) = ∥x∗ ∥2 − 2⟨x∗ , J(yk ) − αk (A(yk ) − A(wk ))⟩ + ∥J(yk ) − αk (A(yk ) − A(wk ))∥2 = ∥x∗ ∥2 − 2⟨x∗ , J(yk )⟩ + 2αk ⟨x∗ , A(yk ) − A(wk )⟩ + ∥J(yk ) − αk (A(yk ) − A(wk ))∥2 (2.13) Sử dụng Mệnh đề 1.20, (A1) Mệnh đề 1.8, ta ∥J(yk ) − αk (A(yk ) − A(wk ))∥2 ≤ ∥J(yk )∥2 − 2αk ⟨yk , A(yk ) − A(wk )⟩ + 2κ2 αk2 ∥A(yk ) − A(wk )∥2 Thay vào (2.13) từ Nhận xét 1.10 iii), ta ϕ(x∗ , zk ) = ∥x∗ ∥ − 2⟨x∗ , J(yk )⟩ + 2αk ⟨x∗ , A(yk ) − A(wk )⟩ + ∥J(yk )∥2 − 2αk ⟨yk , A(yk ) − A(wk )⟩ + 2κ2 αk2 ∥A(yk ) − A(wk )∥2 = ϕ(x∗ , yk ) + 2αk ⟨x∗ − yk , A(yk ) − A(wk )⟩ + 2καk2 ∥A(yk ) − A(wk )∥2 = ϕ(x∗ , yk ) + ϕ(wk , yk ) + 2⟨x∗ − wk , J(wk ) − J(yk )⟩ + 2αk ⟨x∗ − yk , A(yk ) − A(wk ))⟩ + 2κ2 αk2 ∥A(yk ) − A(wk )∥2 Mặt khác, ta có ϕ(wk , yk ) = −ϕ(yk , wk ) + 2⟨yk − wk , J(yk ) − J(wk )⟩ Kết hợp với (2.14), ta ϕ(x∗ , zk ) = ϕ(x∗ , wk ) − ϕ(yk , wk ) − 2αk ⟨yk − x∗ , A(wk )⟩ (2.14) 36 + 2αk ⟨x∗ − yk , A(yk ) − A(wk )⟩ + 2κ2 αk2 ∥A(yk ) − A(wk )∥2 = ϕ(x∗ , wk ) + ϕ(yk , wk ) − 2αk ⟨yk − x∗ , A(yk )⟩ + 2κ2 αk2 ∥A(yk ) − A(wk )∥2 Vì x∗ ∈ Ω nên ⟨yk − x∗ , A(x∗ )⟩ ≥ 0, Từ tính giả đơn điệu A dẫn đến (2.15) ∀y ∈ C ⟨yk − x∗ , A(yk )⟩ ≥ Vì thế, từ (2.15), ta có ϕ(x∗ , zk ) ≤ ϕ(x∗ , wk ) − ϕ(yk , wk ) + 2κ2 αk2 ∥A(yk ) − A(wk )∥2 Áp dụng Mệnh đề 1.23, ta 2cµκ2 αk2 ϕ(yk , wk ) ϕ(x∗ , zk ) ≤ ϕ(x∗ , wk ) − ϕ(yk , wk ) + αk+1   2 2cµk α k ϕ(yk , wk ) = ϕ(x∗ , wk ) − − αk+1 Cuối cùng, từ cách xác định dãy, ta có ϕ(x∗ , wk ) = ϕ(x∗ , J −1 ((1 − θk )J(xk ) + θk J(xk−1 ))) ≤ (1 − θk )ϕ(x∗ , xk ) + θk ϕ(x∗ , xk−1 ) (2.16) Từ (2.16), ta có ϕ(x∗ , xk+1 ) = ϕ(x∗ , J −1 (βk J(u) + (1 − βk )J(zk ))) ≤ βk ϕ(x∗ , u) + (1 − βk )ϕ(x∗ , zk ) (2.17) ≤ βk ϕ(x∗ , u) + (1 − βk )ϕ(x∗ , wk ) ≤ βk ϕ(x∗ , u) + (1 − βk )((1 − θk )ϕ(x∗ , xk ) + θk ϕ(x∗ , xk−1 )) ≤ max{ϕ(x∗ , u), max{ϕ(x∗ , xk ), ϕ(x∗ , xk−1 )}} ≤ ≤ max{ϕ(x∗ , u), max{ϕ(x∗ , x1 ), ϕ(x∗ , x0 )}} Bổ đề chứng minh (2.18) 37 Bổ đề 2.4 [8] Cho {ak } dãy số thực không âm, {αk } dãy số thực ∞ X αk = ∞ {bk } dãy số thực Giả sử (0, 1) cho k=1 ak+1 ≤ (1 − αk )ak + ak bk , ∀k ≥ Nếu lim sup bkj ≤ với dãy {akj } {ak } thỏa mãn điều kiện j→∞ lim inf (akj +1 − akj ) ≥ 0, j→∞ lim ak = k→∞ Định lí 2.1 [8] Giả sử giả thiết (A1)-(A4) (B1)-(B4) bảo đảm Dãy {xk } dãy sinh Phương pháp TISEGHM Khi {xk } hội tụ mạnh tới x∗ = ΠΩ (u) Chứng minh Từ cách xác định {xk } ta có ϕ(x∗ , xk+1 ) = ϕ(x∗ , J −1 (βk J(u) + (1 − βk )J(zk ))) = V (x∗ , βk J(u) + (1 − βk )J(zk )) ≤ V (x∗ , βk J(u) + (1 − βk )J(zk ) − βk (J(u) − J(x∗ ))) + 2⟨J −1 (βk J(u) + (1 − βk )J(zk )) − p, βk (J(u) − J(x∗ ))⟩ = βk V (x∗ , J(x∗ )) + (1 − βk )V (x∗ , J(zk )) + 2βk ⟨xk+1 − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ = βk ϕ(x∗ , x∗ ) + (1 − βk )ϕ(x∗ , zk ) + 2⟨xk+1 − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ ≤ (1 − βk )ϕ(p − wk ) + 2βk ⟨xk+1 − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ ≤ (1 − βk )((1 − θk )ϕ(x∗ , xk ) + θk ϕ(x∗ , xk−1 )) + 2βk ⟨xk+1 − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ ≤ (1 − βk )ϕ(x∗ , xk )   θk ϕ(x∗ , xk−1 ) + 2⟨xk+1 − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ + βk βk Để chứng minh {∥xk − x∗ ∥2 } → k → ∞, ta cần lim sup⟨xk+1 − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ ≤ n→∞ (2.19) 38 áp dụng Bổ đề 2.4 cho (2.19) Giả sử tồn dãy {ϕ(x∗ , xkj )} {ϕ(x∗ , xkj +1 )} thỏa mãn lim sup[ϕ(x∗ , xkj +1 ) − ϕ(x∗ , xkj )] ≥ n→∞ Từ (2.12) ta có lim sup − j→∞ 2cµκ2 αk2j αk2j +1 ! ϕ(ykj , wkj ) ≤ lim sup(βkj ϕ(x∗ , u) + (1 − βkj )ϕ(x∗ , wkj ) − ϕ(x∗ , xkj + 1)) j→∞ = lim sup βkj (ϕ(x∗ , u) − ϕ(x∗ , wkj ))) j→∞ + lim sup(ϕ(x∗ , wkj ) − ϕ(x∗ , xkj +1 )) j→∞ ≤ lim sup(ϕ(x∗ , wkj ) − ϕ(x∗ , xkj +1 )) j→∞ ≤ lim sup(1 − θkj )ϕ(x∗ , xkj ) + θkj ϕ(x∗ , xkj −1 ) − ϕ(x∗ , xkj +1 )) j→∞ = lim sup(ϕ(x∗ , xkj ) − ϕ(x∗ , xkj +1 )) j→∞ + lim sup θkj (ϕ(x∗ , xkj − 1) − ϕ(x∗ , xkj )) j→∞ = − lim sup(ϕ(x∗ , xkj +1 ) − ϕ(x∗ , xkj )) j→∞ + lim sup θkj (ϕ(x∗ , xkj −1 ) − ϕ(x∗ , xkj )) j→∞ (2.20) ≤ Vì 1− 2cµκ2 αk2j αk2j +1 ! > nên từ (2.20), ta có lim ϕ(ykj , wkj ) = j→∞ (2.21) Từ Mệnh đề 1.20 tính bị chặn {ykj } suy ∥ykj −wkj ∥ → j → ∞ Cuối cùng, ta ∥xkj +1 − xkj ∥ → j → ∞ Trước hết, để ý ∥J(zkj ) − J(ykj )∥ = ∥J(ykj ) − αkj (A(ykj ) − A(wkj )) − J(ykj )∥ ≤ αkj ∥A(ykj ) − A(wkj ) 39 ≤ µαkj ∥yk − wkj ∥, αkj +1 j suy ∥J(zkj )−J(ykj )∥ → j → ∞ Vì J −1 liên tục mạnh-mạnh bị chặn E ∗ nên ta có lim ∥zkj − ykj ∥ = j→∞ (2.22) Tương tự, từ ước lượng ∥J(xkj +1 ) − J(zkj )∥ = βkj ∥u − zkj ∥ + (1 − βkj )∥J(zkj ) − J(zkj )∥ → 0, lại suy ∥xkj +1 − zkj ∥ = Do đó, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta nhận    lim ∥ykj − wkj ∥ = lim (∥ykj − wkj ∥ + ∥wkj − xkj ∥) = 0,   j→∞  j→∞ lim ∥xkj +1 − ykj ∥ = lim (∥xkj +1 − zkj ∥ + ∥zkj − ykj ∥) = 0, j→∞ j→∞       lim ∥xkj +1 − xkj ∥ = lim (∥xkj +1 − zkj ∥ + ∥zkj − xkj ∥) = j→∞ (2.23) (2.24) j→∞ Vì dãy {xkj } dãy bị chặn, nên tồn dãy {xkji } {xkj } hội tụ yếu đến x¯ ∈ E Dễ thấy, từ (2.24) xkj +1 ⇀ x¯ Do đó, từ Mệnh đề 1.21 x∗ = ΠΩ (u), ta có lim sup⟨xkj +1 − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ = lim ⟨xkji − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ i→∞ j→∞ = ⟨¯ x − x∗ , J(u) − J(x∗ )⟩ ≤ (2.25) Mặt khác, từ (2.24), ta có ykj ⇀ x¯ Vì thế, từ Bổ đề 2.2 , x¯ ∈ Ω Cuối cùng, từ (2.19), (2.25) Bổ để 2.4, ta có lim ϕ(x∗ , xk ) = k→∞ Điều suy ∥xk − x∗ ∥ → k → ∞ Do {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω 40 Nhận xét 2.6 Nếu E khơng gian Hilbert H Phương pháp TISEGHM có dạng đơn giản sau ta kí hiệu TISEGHM-2 Phương pháp TISEGHM-2 Bước 0: Lấy phần tử u ∈ C cố định chọn điểm ban đầu x0 x1 tùy ý thuộc C Gán k := Bước 1: Chọn θk cho ≤ θk ≤ θ¯k , θ¯k xác định (2.4) Tính wk = xk + θk (xk−1 − xk ) Bước 2: Xác định nửa khơng gian đóng ′ Cki := {z ∈ H : hi (wk ) + ⟨z − wk , hi (wk )⟩ ≤ 0}, m \ Cki Tính đặt Ck := i=1 yk = PCk (wk − αk A(wk )) Nếu wk = yk dừng (đó nghiệm cần tìm) Nếu trái lại tính tham số αk+1 (2.5) thực tiếp Bước Bước 3: Tính Bước 4: Tính zk = yk − αk (A(yk ) − A(wk )) xk+1 = βk u + (1 − βk )zk Bước 5: Gán k := k + quay lại thực Bước Hệ 2.1 Giả sử giả thiết (A1)-(A4) (B1)-(B4) bảo đảm E ≡ H Dãy {xk } dãy sinh Phương pháp TISEGHM-2 Khi {xk } hội tụ mạnh tới x∗ = PΩ (u) 2.3 Ví dụ minh họa Các kết tính tốn phần lập trình phần mềm MATLAB 14a chạy thử nghiệm máy tính ASUSPRO, CPU Intel(R) Core(TM) i5-4210U CPU @ 1.70GHz upto 2.40 GHz, 4GB RAM 41 Xét mơ hình tốn (2.1) với giả thiết đây: (A1) E = R2 không gian 2-lồi trơn (A2) C có dạng C = {z = (u, v) ∈ R2 : h(z) ≤ 0} = {z = (u, v) ∈ R2 : ∥z∥2 − ≤ 0} Hiển nhiên, h : R2 → R xác định h(x) = ∥x∥2 − 1, ∀x = (u, v) ∈ R2 , hàm lồi, khả vi Gâteaux, nửa liên tục yếu có đạo hàm ∇h = I hàm 1-liên tục Lipschitz (A3) Ánh xạ A : C → R2 có dạng A(x) := A(u, v) = (u + v, u + v), ∀x = (u, v) ∈ R2 , đơn điệu ⟨A(x) − A(y), x − y⟩ = ⟨A(x − y), x − y⟩ = (a + b)2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R2 √ ta dùng kí hiệu x − y = (a, b) Mặt khác, A 2-liên tục Lipschitz ∥A(x) − A(y)∥2 = ∥A(x − y)∥2 = (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2 ) = 2∥x − y∥2 (A4) Khơng khó khăn để Ω := Sol(VIP∗ (A, C)) = {(u, v) ∈ R2 : u + v = 0, |u| ≤ 1} Lấy dãy tham số thỏa mãn điều kiện (B1)-(B4) 10k + 10 (B2) τk = (k + 1)2 (B1) βk = 42 √ (B3) c = κ = 1/ (B4) µ = 0.5 ∈ (0, 2), θ = 0.5 α1 = 0.25 Sử dụng Phương pháp TISEGHM-2, với tiêu chuẩn dừng err = ∥xn+1 − xn ∥ < TOL với TOL ngưỡng sai số cho trước đó, ta nhận bảng kết tính tốn sau với điểm khởi tạo ban đầu x0 ∈ C x1 ∈ C Phương pháp TISEGHM-2 √ x0 = (0, 2) x1 = (1, 1) TOL Phương pháp TISEGHM-2 √ x0 = (0, − 2) x1 = (0.5, 0.8) n err=∥xn+1 − xn ∥ n ∥xn+1 − xn ∥ 10 28 9.648294452212601e − 04 25 9.374790092634083e − 04 10−4 112 9.946215162435038e − 05 72 9.973478088427196e − 05 −5 983 9.990905960495474e − 06 496 9.990894690225825e − 06 −3 10 Bảng 2.1: Kết tính tốn cho TISEGHM-2 với u = (1, 1) Phương pháp TISEGHM-2 √ x0 = (0, 2) x1 = (1, 1) TOL Phương pháp TISEGHM-2 √ x0 = (0, − 2) x1 = (0.5, 0.8) n err=∥xn+1 − xn ∥ n ∥∥xn+1 − xn ∥ 10 55 9.947053973910585e − 04 52 9.905772031364019e − 04 10−4 521 9.992668565524511e − 05 454 9.982257548920738e − 05 4364 9.998057822194581e − 06 3837 9.998074703307837e − 06 −3 −5 10 Bảng 2.2: Kết tính tốn cho TISEGHM-2 với u = (1, 0) 43 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu trình bày lại có hệ thống số vấn đề sau đây: Một là, hệ thống lại số kết giải tích lồi giải tích hàm khơng gian Banach Chương 1, nhằm phục vụ cho việc chi tiết hóa nội dung luận văn Chương Hai là, giới thiệu mơ hình tốn bất đẳng thức biến phân không gian Banach số toán liên quan toán bù, toán điểm bất động Ba là, trình bày nội dung chứng minh chi tiết hội tụ mạnh phương pháp TISEGHM (kết hợp phương pháp đạo hàm - đạo hàm tăng cường Tseng có qn tính phương pháp lặp Halpern) xấp xỉ nghiệm toán nêu Bốn là, xây dựng ví dụ số cụ thể nhằm minh họa làm rõ vấn đề lí thuyết mà luận văn đề cập Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Song Hà, Trương Minh Tuyên (2022), Giáo trình bất đẳng thức biến phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Agarwal R., O’Regan D., Shahu, D (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type mappings with Applications, Springer [3] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [4] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer [5] Hadjisavvas N., Komlósi S., Schaible S (2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York [6] Kinderlerhrer D., Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork [7] Kurdila A.J., Zabarankin M (2005), Convex Functional Analysis, Birkhăauser [8] Oyewole O.K., Abass H.A., Mebawondu A.A., Aremu K.O (2022), "A Tseng Extragradient Method for Solving Variational Inequality Problems in Banach Spcases", Numerical Algorithms, 89, pp 769-789 [9] Facchinei F., Pang J-Sh (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Volume II, Springer [10] Zeidler E (1990), Nonlinear functional analysis and its applications, III, Springer