Một phương pháp lặp song song xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ DINH MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường, thầy tận tình hướng dẫn tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, thầy, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 10 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 15 1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 18 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 21 Chương Phương pháp lặp song song giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 23 2.1 Phát biểu toán 23 2.2 Phương pháp lặp song song giải Bài toán (2.2) 27 2.3 Một số ứng dụng 35 2.3.1 Điểm bất động ánh xạ không giãn 35 2.3.2 Điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 37 2.3.3 Khơng điểm tốn tử đa trị đơn điệu 41 Kết luận Tài liệu tham khảo 46 47 iv Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert X không gian Banach , tích vơ hướng H chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực khơng âm G(A) đồ thị tốn tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" nảy sinh trình nghiên cứu giải toán thực tế toán cân kinh tế, tài chính, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi, phương trình vật lý tốn Bài toán giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm 1966 tài liệu [6] Bài tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” D Kinderlehrer G Stampacchia xuất năm 1980 [8] Từ đó, tốn bất đẳng thức biên phân nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm nhiều người làm tốn ngồi nước Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải hay xác phương pháp xấp xỉ nghiệm Có nhiều phương pháp giải đề xuất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phương pháp đường dốc Bất đẳng thức biến phân phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C, cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1) F ánh xạ liên tục từ khơng gian Hilbert H vào ta ký hiệu toán VI(C, F ) Bài toán có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn tối ưu lồi có ràng buộc trường hợp đặc biệt toán chấp nhận lồi tiếng Ta xem tập C tập điểm bất động phép chiếu mêtric PC từ H lên C, tốn xem toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Ngồi ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn đếm hay không đếm ánh xạ không giãn Chủ đề bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung dãy ánh xạ gần không giãn thu hút nhiều người làm toán ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn giới thiệu số kết tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert H Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển, với số toán liên quan Chương trình bày lại kết tác giả T.M Tuyen cộng từ tài liệu [19] cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert thực H Ngoài ra, Chương luận văn đề cập đến số ứng dụng Định lý (Định lý 2.2) cho tốn liên quan (bài tốn tìm điểm bất động dãy ánh xạ khơng giãn, tốn tìm điểm bất động nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu) Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm năm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết tốn tìm điển bất động ánh xạ không giãn Mục 1.3 1.4 đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân cổ điển tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng Chương luận văn Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1], [2] [8] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y + x − z Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.1) Chứng minh Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x + 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x − x, y + y ) =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H, ta ln có x+y ≤ x + y, x + y với x, y ∈ H Chứng minh Với x, y ∈ H, ta có x+y = x + x, y + y ≤ x + x, y + y = x + y, x + y 2 Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ R : ∞ n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l2 , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ | en , y |2 ≤ y < ∞ n=1 Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, Suy limn→∞ en , y = 0, tức en en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y = x, ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ (1.2) x, nên {xn } bị chặn Chứng minh Vì xn Ta có xn − y = xn − x + x−y + xn − x, x − y Vì x = y, nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf ( xn − x n→∞ + xn − x, x − y ) = lim inf xn − x n→∞ Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn xn → x , xn → x, n → ∞ x Chứng minh Ta có xn − x = xn − xn , x + x → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, tồn phần tử x∗ ∈ C cho x∗ ≤ x với x ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x Khi đó, tồn {xn } ⊂ C cho x∈C xn −→ d, n −→ ∞ Từ đẳng thức hình bình hành, ta có xn − xm 2 = 2( xn ≤ ( xn + xm ) − xn + xm 2 + xm ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {xn } dãy Cauchy H Suy tồn giới hạn x∗ = lim xn ∈ C (do {xn } ⊂ C C tập đóng) Do chuẩn hàm số liên tục n→∞ ∗ nên x = d Tiếp theo ta tính Giả sử tồn y ∗ ∈ C cho y ∗ = d Ta có x∗ − y ∗ = 2( x∗ 2 + y∗ ) − x∗ + y ∗ 2 ≤ 2(d2 + d2 ) − 4d2 = Suy x∗ = y ∗ Vậy tồn phần tử x∗ ∈ C cho x∗ = inf x∈C x Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.7 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC (x) ≤ x − y với y ∈ C 35 i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 αn = ∞; ii) limn→∞ ai,n /αn = với i = 1, 2, , N Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, F ) 2.3 Một số ứng dụng 2.3.1 Điểm bất động ánh xạ không giãn Trước hết, mục đưa ứng dụng Định lý 2.2 cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn Ta có định lý sau: Định lý 2.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Cho Ti , i = 1, 2, , N, ánh xạ khơng giãn từ C vào cho S = ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Giả sử < µ < 2η/k ≤ γL < τ , τ = − − µ(2η − µk ) Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy C xác định yni = βi,n xn + (1 − βi,n )Ti xn , i = 1, 2, , N, Chọn in cho ynin − xn = max i=1,2, ,N yni − xn , đặt yn = ynin , (2.23) xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )yn ], n ≥ 0, {αn } dãy số (0, 1) {βi,n }, i = 1, 2, , N, dãy số [a, b], với a, b ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 αn = ∞ Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2 cho Ti,n = Ti với i = 1, 2, , N n ∈ N, ta nhận điều phải chứng minh 36 Nếu Định lý 2.4, N = với n ≥ 1, ta nhận hệ Hệ 2.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Cho T ánh xạ không giãn từ C vào cho S = Fix(T ) = ∅ Giả sử < µ < 2η/k ≤ γL < τ , τ = − − µ(2η − µk ) Với x0 ∈ C, cho {xn } dãy C xác định yn = βn xn + (1 − βn )T xn , (2.24) xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )yn ], n ≥ 0, {αn } dãy số (0, 1) {βi,n }, i = 1, 2, , N, dãy số [a, b], với a, b ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 αn = ∞ Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Tiếp theo, ta có định lý hội tụ mạnh cho tốn tìm điểm bất động chung dãy ánh xạ không giãn Định lý 2.5 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Cho {Tn } dãy ánh xạ khơng giãn từ C vào cho S = ∩∞ n=0 Fix(Tn ) = ∅ Cho T ánh xạ từ C vào thỏa mãn limn→∞ DB (Tn , T ) = với B ∈ B(C) Fix(T ) = ∩∞ n=0 Fix(Tn ) Cho {xn } dãy C xác định x0 ∈ C yn = βn xn + (1 − βn )Tn xn , (2.25) xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )yn ], ∀n ≥ 0, < µ < 2η/k , ≤ γL < τ với τ = − − µ(2η − µk ) Giả sử dãy {αn } ⊂ (0, 1) {βn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện: 37 i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 αn = ∞ Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Chứng minh Áp dụng Hệ 2.1 cho N = 1, ta nhận điều phải chứng minh 2.3.2 Điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Cho {Tn } T hai họ ánh xạ khơng giãn từ C vào nó, cho F (T ) = ∞ n=1 F (Tn ) = ∅, F (Tn ) tập điểm bất động Tn F (T ) tập điểm bất động chung họ T Khi đó, họ {Tn } gọi thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với họ T , với dãy bị chặn {zn } ⊂ C, thỏa mãn lim zn − Tn zn = 0, n→∞ ta có limn→∞ zn − T zn = với T ∈ T Định nghĩa 2.1 Một họ ánh xạ T = {T (s) : ≤ s < ∞} từ tập khác rỗng C không gian Hilbert H vào gọi nửa nhóm ánh xạ khơng giãn thỏa mãn điều kiện đây: i) T (0)x = x với x ∈ C; ii) T (s + t) = T (s)T (t) với s, t ≥ 0; iii) T (s)x − T (s)y ≤ x − y với s ≥ x, y ∈ C; iv) với x ∈ C, s → T (s)x ánh xạ liên tục theo biến s [0, ∞) Ví dụ 2.1 Họ T = {T (s) : ≤ s < ∞} xác định T (s)x = e−s x với s ≥ x ∈ R nửa nhóm ánh xạ khơng giãn R Fix(T ) = {0} 38 Ví dụ 2.2 Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} họ ánh xạ từ R3 vào R3 xác định    x1 cos s − sin s      T (s)x =   sin s cos s 0 x2  , x3 0 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 với s ≥ Khi đó, T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn R3 Fix(T ) = {(0, 0, a) : a ∈ R} Dễ thấy họ ánh xạ T thỏa mãn điều kiện i) iv), ta thỏa mãn điều kiện ii) iii) Thật vậy, với t, s ≥ x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , ta có    cos s − sin s x1 cos t − x2 sin t     x1 sin t + x2 cos t T (s)T (t)x =  sin s cos s    0 x3   x1 cos(s + t) − x2 sin(s + t)    = x sin(s + t) + x sin(s + t)   x3    cos(s + t) − sin(s + t) x1      =  sin(s + t) cos(s + t) 0 x2  0 x3 = T (s + t)x Suy điều kiện ii) thỏa mãn Dưới ta họ T thỏa mãn điều kiện iii) Với s ≥ x, y ∈ R3 , ta có T (s)x − T (s)y = (x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s, (x1 − y1 ) sin s + (x2 − y2 ) cos s, x3 − y3 = (x1 − y1 ) cos s − (x2 − y2 ) sin s + (x2 − y2 ) cos s + (x3 − y3 )2 + (x1 − y1 ) sin s 1/2 = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 1/2 39 = x−y Suy T thỏa mãn điều kiện iii) Ta cần bổ đề Bổ đề 2.1 (xem [12, 13]) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C với F (T ) = ∅ Cho {tn } dãy số thực với < tn < ∞ thỏa mãn limn→∞ tn = ∞ Với n ∈ N, xác định ánh xạ Tn từ C vào Tn x = tn tn T (s)xds, với x ∈ C Khi đó, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST(I) ứng với T = {T (s) : ≤ s < ∞} Định lý 2.6 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho Ti = {Ti (s) : ≤ s < ∞}, i = 1, 2, , N, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C với S = ∩N i=1 Fix(Ti ) = ∅ Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Với x0 ∈ C, < µ < 2η/k ≤ γL < τ với τ = − − µ(2η − µk ), cho {xn } dãy C xác định yni = βi,n xn + (1 − βi,n )Ti,n xn , i = 1, 2, , N, Chọn in cho ynin − xn = max i=1,2, ,N yni − xn , đặt yn = ynin , (2.26) xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )yn ], n ≥ 0, tn Ti (s)xds, với i = 1, 2, , N x ∈ C, {αn } tn dãy số (0, 1), {βi,n }, i = 1, 2, , N dãy số [a, b], với với Ti,n x = a, b ∈ (0, 1) {tn } dãy số (0, ∞) thỏa mãn điều kiện sau: i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 αn ii) limn→∞ tn = ∞ and = ∞; ∞ n=0 |tn+1 − tn | < ∞ tn+1 Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) 40 Chứng minh Ta áp dụng chứng minh Định lý 2.2 để chứng minh định lý Trước hết, với B ∈ B(C), Ti,n (s) ánh xạ không giãn với s ≥ i = 1, 2, , N , nên ta có K= max { sup i=1,2, ,N s≥0,n≥1,x∈B { Ti,n (s)x }} < ∞ Do đó, với i = 1, 2, , N , ta có tn+1 tn Ti,n x − Ti,n+1 x = Ti,n (s)xds − Ti,n+1 (s)xds tn tn+1 tn tn+1 |tn+1 − tn | ≤ Ti,n (s)xds + Ti,n+1 (s)xds tn tn+1 tn+1 tn |tn+1 − tn | ≤ 2K tn+1 |tn+1 − tn | < ∞, ta nhận tn+1 ∞ n=0 DB (Tn , Tn+1 ) < ∞ với B ∈ B(C) Từ Chú ý 2.1 suy Vì vậy, {tn } thỏa mãn điều kiện ∞ n=0 limn→∞ DB (Tn , T ) = với B ∈ B(C) Bây giờ, lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2, ta thu lim xn − Ti,n xn = 0, n→∞ (2.27) với i = 1, 2, , N Do vậy, từ Bổ đề 2.1, ta có lim xn − Ti (s)xn = 0, n→∞ với i = 1, 2, , N s ≥ Giả sử {xnk } dãy {xn } cho lim sup (γV − µF )x† , xn − x† = lim (γV − µF )x† , xnk − x† , n→∞ k→∞ (2.28) x† nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Khơng tổng quát, ta giả sử xnk z ∈ C Từ Bổ đề 1.12 (2.27), ta nhận z ∈ Fix(Ti (s)) với s ≥ i = 1, 2, , N Do đó, z ∈ S Vì vậy, từ (2.28), ta có lim sup (γV − µF )x† , xn − x† = (γV − µF )x† , z − x† ≤ (2.29) n→∞ Phần lại chứng minh thực chứng minh Định lý 2.2 41 Chú ý 2.2 Các dãy số αn = √ 1 , tn = n βi,n = thỏa mãn điều kiện n i)-iv) Định lý 2.6 Ta có hệ đây: Hệ 2.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ không giãn C với S = Fix(T ) = ∅ Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Với x0 ∈ C, < µ < 2η/k ≤ γL < τ với τ = − − µ(2η − µk ), cho {xn } dãy C xác định yn = βn xn + (1 − βn )Tn xn , (2.30) xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )yn ], n ≥ 0, tn T (s)xds, với x ∈ C, {αn } dãy (0, 1), {βn } tn dãy [a, b], với a, b ∈ (0, 1), {tn } dãy (0, ∞) Giả sử điều với Tn x = kiện sau thỏa mãn i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 αn ii) limn→∞ tn = ∞ and = ∞; ∞ n=0 |tn+1 − tn | < ∞ tn+1 Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) 2.3.3 Khơng điểm tốn tử đa trị đơn điệu Trước hết, ta nhắc lại khái niệm tốn tử đa trị đơn điệu khơng gian Hilbert Định nghĩa 2.2 Một ánh xạ đa trị A : H −→ 2H gọi toán tử đơn điệu u − v, x − y ≥ với x, y ∈ H u ∈ A(x), v ∈ A(y) (2.31) 42 Toán tử đơn điệu A gọi đơn điệu cực đại đồ thị G(A) = {(x, u) ∈ H × H : u ∈ A(x)} không chứa thực đồ thị tốn tử đơn điệu khác H Chú ý 2.3 Toán tử đơn điệu A : H −→ 2H đơn điệu cực đại R(I + λA) = H với λ > 0, R(I + λA) miền ảnh I + λA Ví dụ 2.3 Cho T : H −→ H ánh xạ không giãn, tức T x − T y ≤ x − y với x, y ∈ H Khi A = I − T toán tử đơn điệu cực đại, I ánh xạ đồng H Thật vậy, với x, y ∈ H, ta có A(x) − A(y), x − y = x − y − Tx − Ty ≥ 0, suy A toán tử đơn điệu Tiếp theo, ta tính cực đại A Với λ > y ∈ H, xét phương trình λA(x) + x = y (2.32) Phương trình tương đương với x= (λT x + y) 1+λ (2.33) Xét ánh xạ f : H −→ H f (x) = (λT x + y), 1+λ λ ∈ (0, 1) Do đó, 1+λ theo nguyên lý ánh xạ co Banach, phương trình (2.33) có nghiệm Suy với x ∈ H Dễ thấy, f ánh xạ co với hệ số co ra, phương trình (2.32) có nghiệm Vậy A toán tử đơn điệu cực đại Một toán tử đơn điệu A gọi thỏa mãn điều kiện miền D(A) ⊂ R(I + λA) với λ > 0, D(A) bao đóng miền hữu hiệu A Ta biết A toán tử đơn điệu thỏa mãn điều kiện miền thì, ta xác định tốn tử JrA = (I + rA)−1 với r > gọi giải A Toán tử giải JrA ánh xạ không giãn A−1 = Fix(JλA ) với λ > 43 Chú ý 2.4 Nếu A tốn tử đơn điệu cực đại, A thỏa mãn điều kiện miền Ta có bổ đề đây: Bổ đề 2.2 (xem [17]) Cho A : D(A) −→ 2H toán tử đơn điệu Với λ, µ > x ∈ R(I + λA) ∩ R(I + µA), ta có đánh giá sau JλA x − JµA x ≤ |λ − µ| x − JλA x λ Ta biết toán tối ưu lồi không ràng buộc trường hợp đặc biệt tốn đây: Tìm phần tử x cho ∈ A(x) Một phương pháp tiếng giải phương trình ∈ A(x), với A tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert H phương pháp điểm gần kề, với x0 = x ∈ H, người ta xác định dãy {xn } xn+1 = JrAn (xn ), với n ∈ N, (2.34) {rn } dãy số thực dương JrAn = (I + rn A)−1 toán tử giải A Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Cho Ai : D(Ai ) ⊂ C −→ 2H , i = 1, 2, , N −1 toán tử đơn điệu cho S = ∩N i=1 Ai (0) = ∅ D(Ai ) ⊂ C ⊂ ∩r>0 R(I + rAi ) với i = 1, 2, , N Bây giờ, để tìm phần tử x∗ ∈ S, tác giả T.M Tuyen cộng [19] đưa phương pháp lặp đây: yn0 = xn , yni = βi,n xn + (1 − βi,n )Ji,n xn , Ji,n = (I + ri,n Ai )−1 , i = 1, 2, , N, Chọn in cho ynin − xn = max i=1,2, ,N yni − xn , đặt yn = ynin , xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )ynN ], n ≥ 0, (2.35) 44 {αn } dãy số (0, 1) {βi,n }, i = 1, 2, , N dãy số [a, b], với a, b ∈ (0, 1) {ri,n } dãy số thực dương với i = 1, 2, , N Sự hội tụ mạnh dãy {xn } cho định lý đây: Định lý 2.7 Nếu dãy {ri,n }, {βi,n }, i = 1, 2, , N {αn } thỏa mãn điều kiện đây: ∞ n=0 αn i) limn→∞ αn = 0, = ∞; ii) mini=1,2, ,N {inf n {ri,n }} ≥ r > 0, ∞ n=1 |ri,n+1 − ri,n | < ∞ với i = 1, 2, , N , dãy {xn } xác định (2.35) hội tụ mạnh phần tử x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Chứng minh Đặt Ti,n = Ji,n với i = 1, 2, , N n ∈ N Khi đó, Ti = {Ti,n } dãy ánh xạ không giãn với i = 1, 2, , N S = ∩N i=1 F ix(Ti ) = ∅ Trước hết, ta ∞ n=0 DB (Ti,n+1 , Ti,n ) < ∞ với i = 1, 2, , N B ∈ B(C) Lấy B ∈ B(C), đặt K= max {sup{ z − Ji,n+1 z : z ∈ B}} < ∞ i=1,2, ,N n Từ Bổ đề 2.2, với i ∈ {1, 2, , N }, ta có DB (Ti,n+1 , Ti,n ) = sup{ Ji,n+1 z − Ji,n z : z ∈ B} |ri,n+1 − ri,n | z − Ji,n+1 z : z ∈ B} ri,n+1 |ri,n+1 − ri,n | ≤K r ≤ sup{ Do đó, Vì ∞ n=0 DB (Ti,n+1 , Ti,n ) < ∞ n=1 |ri,n+1 − ri,n | < ∞ với i = 1, 2, , N ∞, nên {ri,n } dãy Cauchy với i = 1, 2, , N Giả sử limn→∞ ri,n = ri ≥ r với i = 1, 2, , N Đặt Ti = JrAi i với i = 1, 2, , N Ta có Ti,n x − Ti x = Ji,n x − JrAi i x ≤ |ri,n − ri | x − Ti x , ∀x ∈ C, ri 45 điều suy Ti x = limn→∞ Ti,n x với x ∈ C Do vậy, từ Định lý 2.2, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x† ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) Hệ 2.4 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Cho F : C −→ H toán tử k-Lipschitz, η-đơn điệu mạnh V : C −→ H ánh xạ L-Lipschitz Cho A : D(A) ⊂ C −→ 2H toán tử đơn điệu cho S = A−1 (0) = ∅ D(A) ⊂ C ⊂ ∩r>0 R(I + rA) Nếu dãy số {rn } {αn } thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) inf n {rn } ≥ r > 0, ∞ n=0 αn = ∞; ∞ n=1 |rn+1 − rn | < ∞, dãy {xn } xác định x0 ∈ C xn+1 = PC [αn γV xn + (I − αn µF )JrAn xn ] (2.36) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân VIS (C, µF − γV ) 46 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian Hilbert, ánh xạ không giãn tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert; • Bài tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển (trên không gian hữu hạn chiều) toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert; • Các kết Tuyen T.M cộng tài liệu [19] phương pháp lặp song song xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần khơng giãn; • Một số ứng dụng định lý để giải tốn liên quan (điểm bất động ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, khơng điểm tốn tử đơn điệu) 47 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Ceng L C., Ansari Q H., Yao J C (2011), “Some iterative methods for finding fixed points and for solving constrained convex minimization problems”, Nonlinear Anal., 74(16), pp 5286–5302 [4] Combettes P L (2001), “On the numerical robustness of the parallel projection method in signal synthesis”, IEEE Signal Process Lett., 8, pp 45–47 [5] Halpern B.(1967), “Fixed points of nonexpanding maps”, Bull Math Soc., 73, pp 957–961 [6] Hartman P., Stampacchia G (1966), “On some nonlinear elliptic differential functional equations” Acta Math., 115, pp 271–310 [7] Kim T H., Xu H K (2007), “Robustness of Mann’s algorithm for nonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 327, pp 1105–1115 [8] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), An introduction to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York [9] Maingé P.E (2008), “Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization”, Set-Valued Anal., 16, pp 899–912 [10] Mann W R (1953), “Mean value methods in iteration”, Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 48 [11] Moudafi A (2000), “Vicosity approximation methods for fixed point problems”, J Math Anal Appl., 241, pp 45-55 [12] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W (2007), “Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 8, pp 11-34 [13] Nakajo K., Takahashi W (2003), “Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups”, J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [14] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W (2007), “Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 8, pp 11–34 [15] Reich S (1980), “Product formulas, nonlinear semigroups, and accretive operators”, J Functional Anal., 36, pp 147–168 [16] Sahu D R., Kang S.M., Sagar V (2012), “Approximation of common fixed points of a sequence of nearly nonexpansive mappings and solutions of variational inequality problems”, J Appl Math., 2012 , Article ID 902437, 12 pages [17] Takahashi W (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan [18] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), “Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 [19] Tuyen T.M., Quy T.X., Trang N.M (2020), “A parallel iterative method for solving a class of variational inequalities in Hilbert spaces”, Journal of Nonlinear and Variational Analysis, 4(3), pp 357–376 [20] Yamada I (2001), “The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive 49 mappings”, Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp 473-504 [21] Wong N C., Sahu D R., Yao J C (2011), “Generalized hybrid steepestdescent method for variational inequalities in Banach spaces”, Fixed Point Theory and Appl., 2011, Article ID 754702, 28 pages ... với x ∈ C, phương pháp xấp xỉ mềm Moudafi trở phương pháp lặp Halpern 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong mục này, chúng tơi đề cập đến tốn bất đẳng thức biến phân không gian hữu... hay xác phương pháp xấp xỉ nghiệm Có nhiều phương pháp giải đề xuất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phương pháp đường dốc Bất đẳng thức biến phân phát... nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển không gian Rn Các kết nghiên cứu mở rộng không gian Hilbert Dưới đây, trình bày số phương pháp tìm nghiệm cho tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert