Luận văn thạc sĩ toán học một phương pháp lặp xoay vòng giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI H[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2019 ii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trương Minh Tuyên, thầy tận tình hướng dẫn tác giả q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, thầy, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo đồng nghiệp Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Tiền Hải, tỉnh Thái Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viện, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 10 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển 13 1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 16 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19 Chương Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần khơng giãn 21 2.1 Phát biểu tốn 21 2.2 Phương pháp lặp giải Bài toán (2.5) 25 2.3 Một số ứng dụng 35 2.3.1 Điểm bất động chung ánh xạ không giãn 35 2.3.2 Điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 37 2.3.3 Khơng điểm chung toán tử đơn điệu 41 2.4 Ví dụ số minh họa 44 Kết luận Tài liệu tham khảo 49 50 iv Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert X khơng gian Banach h., i tích vơ hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Mở đầu Bài toán "Bất đẳng thức biến phân" nảy sinh q trình nghiên cứu giải tốn thực tế toán cân kinh tế, tài chính, tốn mạng giao thơng, lý thuyết trị chơi, phương trình vật lý tốn Bài tốn giới thiệu lần Hartman Stampacchia vào năm 1966 tài liệu [6] Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều, vô hạn chiều với ứng dụng giới thiệu chi tiết sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” D Kinderlehrer G Stampacchia xuất năm 1980 [8] Từ đó, tốn bất đẳng thức biên phân nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, thu hút sự quan tâm nhiều người làm toán nước Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải đề xuất phương pháp gradient, gradient tăng cường hay phương pháp điểm bất động, phương pháp đường dốc Bài toán bất đẳng thức biến phân phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C, cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1) F ánh xạ liên tục từ khơng gian Hilbert H vào ta ký hiệu toán VI(C, F ) Bài toán có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn tối ưu lồi có ràng buộc trường hợp đặc biệt toán chấp nhận lồi tiếng Ta xem tập C tập điểm bất động phép chiếu mêtric PC từ H lên C, tốn xem tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Ngồi ra, nghiên cứu mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn đếm hay không đếm ánh xạ không giãn Năm 2001, Yamada [17] giới thiệu phương pháp đường dốc lai ghép giải tốn (0.1), F : H −→ H toán tử Lipschitz, đơn điệu mạnh C tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn T1 , T2 , , TN , tức là, C = ∩N i=1 F ix(Ti ) (Định lý 2.2) Hơn nữa, trường hợp ánh xạ không giãn biết dạng gần (có nhiễu), hay nói cách khác ánh xạ không giãn thay dãy ánh xạ nhiễu, ánh xạ khơng giãn ban đầu thay dãy ánh xạ gần không giãn Do chủ đề bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung dãy ánh xạ gần không giãn thu hút nhiều người làm tốn ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn giới thiệu số kết tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert H Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển, với số tốn liên quan Chương trình bày lại kết tác giả T.M Tuyen [16] cho toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert thực H Ngoài ra, Chương luận văn đề cập đến số ứng dụng Định lý (Định lý 2.4) cho tốn liên quan, với hai ví dụ số minh họa thêm cho tính đắn phương pháp 3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm năm mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết tốn tìm điển bất động ánh xạ khơng giãn Mục 1.3 1.4 đề cập đến toán bất đẳng thức biến phân cổ điển toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Mục 1.5 giới thiệu số bổ đề bổ trợ cần sử dụng Chương luận văn Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1], [2] [8] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert thực H, ta ln có kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi với x, y ∈ H Chứng minh Với x, y ∈ H, ta có kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2hx, yi + 2kyk2 = kxk2 + 2hy, x + yi Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian  P∞ 2 l2 = {xn } ⊂ R : n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ (1.2) Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ 6 Chứng minh Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, tồn phần tử x∗ ∈ C cho kx∗ k ≤ kxk với x ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kxk Khi đó, tồn {xn } ⊂ C cho x∈C kxn k −→ d, n −→ ∞ Từ đẳng thức hình bình hành, ta có kxn − xm k2 = 2(kxn k2 + kxm k2 ) − 4k xn + xm k ≤ (kxn k2 + kxm k2 ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {xn } dãy Cauchy H Suy tồn x∗ = lim xn ∈ C (do {xn } ⊂ C C tập đóng) Do chuẩn hàm số liên tục nên n→∞ ∗ kx k = d Tiếp theo ta tính Giả sử tồn y ∗ ∈ C cho ky ∗ k = d Ta có 2 kx∗ − y ∗ k = 2(kx∗ k + ky ∗ k ) − 4k x∗ + y ∗ k ≤ 2(d2 + d2 ) − 4d2 = Suy x∗ = y ∗ Vậy tồn phần tử x∗ ∈ C cho kx∗ k = inf x∈C kxk Từ Mệnh đề 1.6, ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.7 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với y ∈ C 7 Chứng minh Vì C tập lồi, đóng khác rỗng nên x − C tập lồi, đóng khác rỗng Do đó, theo Mệnh đề 1.6, tồn phần tử PC ∈ C cho kx − PC (x)k ≤ kx − yk với y ∈ C Định nghĩa 1.1 Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC x ∈ C xác định gọi phép chiếu mêtric từ H lên C Ví dụ 1.1 Cho C = {x ∈ H : hx, ui = y}, với u 6= Khi PC x = x + y − hx, ui kuk u Ví dụ 1.2 Cho C = {x ∈ H : kx − ak ≤ R}, a ∈ H phần tử cho trước R số dương Khi đó, ta có:   x kx − ak ≤ R, PC x = R  a + (x − a) kx − ak > R kx − ak Mệnh đề cho ta điều kiện cần đủ để ánh xạ PC : H −→ C phép chiếu mêtric Mệnh đề 1.8 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Cho PC : H −→ C ánh xạ Khi đó, phát biểu sau tương đương: a) PC phép chiếu mêtric từ H lên C; b) hy − PC x, x − PC xi ≤ với x ∈ H y ∈ C; Chứng minh Thật vậy, giả sử PC phép chiếu mêtric từ H lên C, tức kx − PC xk = inf u∈C kx − uk Với x ∈ H, y ∈ C với α ∈ (0, 1), đặt yα = αy + (1 − α)PC x Vì C lồi nên yα ∈ C kx − PC xk ≤ kyα − xk Điều tương đương với kx − PC xk ≤ kα(y − PC x) − (x − PC x)k 2 = α2 ky − PC xk + kx − PC xk − 2αhy − PC x, x − PC xi Từ đó, ta nhận 2hy − PC x, x − PC xi ≤ αky − PC xk Cho α −→ 0+ , ta hy − PC x, x − PC xi ≤ Ngược lại, giả sử b) Với x ∈ H y ∈ C, ta có kx − PC xk2 = kx − y + y − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − y, y − PC xi + ky − PC xk2 = kx − yk2 + 2hx − PC x, y − PC xi − ky − PC xk2 ≤ kx − yk2 Do đó, kx − PC xk = inf u∈C kx − uk, hay PC phép chiếu mêtric từ H lên C Từ mệnh đề trên, ta có hệ đây: Hệ 1.1 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H PC phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó, ta có khẳng định sau: a) với x, y ∈ H, ta có kPC x − PC yk2 ≤ hx − y, PC x − PC yi; b) với x ∈ H y ∈ C, ta có kx − yk2 ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 Chứng minh a) Với x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8, ta có hx − PC x, PC y − PC xi ≤ 0, hy − PC y, PC x − PC yi ≤ Cộng hai bất đẳng thức ta nhận điều phải chứng minh b) Với x ∈ H y ∈ C, từ Mệnh đề 1.8, ta có hx − PC x, y − PC xi ≤ 9 Từ đó, ta có kx − yk2 = k(x − PC x) − (y − PC x)k2 = kx − PC xk2 + ky − PC xk2 − 2hx − PC x, y − PC xi ≥ kx − PC xk2 + ky − PC xk2 Hệ chứng minh Mệnh đề 1.9 Nếu C tập lồi đóng khơng gian Hilbert H, C tập đóng yếu Chứng minh Trước hết, ta tồn phần tử v ∈ H, v 6= cho suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 y∈C Vì x ∈ / C, nên v = x − PC x 6= Từ Mệnh đề 1.8, ta có hv, y − PC xi ≤ 0, với y ∈ C Suy hv, y − x + x − PC xi ≤ 0, với y ∈ C Điều tương đương với hv, yi ≤ hv, xi − kvk2 , với y ∈ C Do suphv, yi ≤ hv, xi − kvk2 y∈C Bây ta C tập đóng yếu Giả sử ngược lại C khơng tập đóng yếu Khi đó, tồn dãy {xn } C thỏa mãn xn * x, x ∈ / C Vì C tập lồi đóng, nên theo chứng minh trên, ta có hv, zi < hv, xi − ε, với ε = kvk2 /2 z ∈ C Đặc biệt hv, xn i < hv, xi − ε, 10 với n Cho n → ∞, ta nhận hv, xi ≤ hv, xi − ε, điều vơ lý Do đó, C tập đóng yếu Chú ý 1.1 Nếu C tập đóng yếu H hiển nhiên C tập đóng Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề đây: Mệnh đề 1.10 Mọi tập bị chặn H tập compact tương đối yếu 1.2 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.2 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Ánh xạ T : C −→ H gọi ánh xạ không giãn, với x, y ∈ C, ta có kT x − T yk ≤ kx − yk Ta ký hiệu tập điểm bất động ánh xạ không giãn T F ix(T ), tức F ix(T ) = {x ∈ C : T x = x} Mệnh đề cho ta mơ tả tính chất tập điểm bất động F ix(T ) Mệnh đề 1.11 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C −→ H ánh xạ khơng giãn Khi đó, F ix(T ) tập lồi đóng H Chứng minh Giả sử F ix(T ) 6= ∅ Trước hết, ta F ix(T ) tập đóng Thật vậy, T ánh xạ khơng giãn nên T liên tục C Giả sử {xn } dãy F ix(T ) thỏa mãn xn → x, n → ∞ Vì {xn } ⊂ F ix(T ), nên kT xn − xn k = 0, với n ≥ Từ tính liên tục chuẩn, cho n → ∞, ta nhận kT x − xk = 0, tức x ∈ F ix(T ) Do đó, F ix(T ) tập đóng 11 Tiếp theo, ta tính lồi F ix(T ) Giả sử x, y ∈ F ix(T ), tức T x = x T y = y Với λ ∈ [0, 1], đặt z = λx + (1 − λ)y Khi đó, từ Mệnh đề 1.2 tính khơng giãn T ta có kT z − zk2 = kλ(T z − x) + (1 − λ)(T z − y)k2 = λkT z − xk2 + (1 − λ)k(T z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = λkT z − T xk2 + (1 − λ)k(T z − T y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 ≤ λkz − xk2 + (1 − λ)k(z − y)k2 − λ(1 − λ)kx − yk2 = kλ(z − x) + (1 − λ)(z − y)k2 = Suy T z = z z ∈ F ix(T ) Vậy F ix(T ) tập lồi Mệnh đề 1.12 (Nguyên lý nửa đóng) Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C −→ C ánh xạ khơng giãn Khi đó, T có điểm bất động T nửa đóng, tức với dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x ∈ C xn − T xn → y, x − T x = y Đặc biệt, y = x ∈ F ix(T ) Chứng minh Giả sử x − T x 6= y Vì xn * x, nên xn − y * x − y Do x − y 6= T x, nên từ Mệnh đề 1.4, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − y − T xk n→∞ n→∞ ≤ lim inf (kxn − T xn − yk + kT xn − T xk) n→∞ ≤ lim inf kxn − xk n→∞ Suy mâu thuẫn Do đó, x − T x = y Đặc biệt, y = x = T x hay x ∈ F ix(T ) Bài toán Cho T : C −→ C ánh xạ không giãn từ tập lồi, đóng khác rỗng C khơng gian Hilbert H vào ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= ∅ Tìm phần tử x∗ ∈ F ix(T ) Đã có nhiều phương pháp tiếng đề xuất để giải toán trên, phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt 12 Chú ý 1.2 Nếu T ánh xạ co C, dãy lặp Picard xác định x0 ∈ C xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh điểm bất động T Tuy nhiên điều khơng cịn lớp ánh xạ không giãn Phương pháp lặp Mann Năm 1953, W R Mann [9] nghiên cứu đề xuất phương pháp lặp sau:   x ∈ C phần tử bất kì, (1.3)  xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , n ≥ 0, {αn } dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, < αn < 1, n ≥ 1, P∞ n=0 αn = ∞ Dãy lặp (1.3) gọi dãy lặp Mann Mann W R chứng minh rằng, P∞ dãy {αn } chọn thỏa mãn n=1 αn (1 − αn ) = ∞, dãy {xn } xác định (1.3) hội tụ yếu tới điểm bất động ánh xạ T Chú ý H không gian Hilbert vơ hạn chiều dãy lặp (1.3) cho hội tụ yếu Phương pháp lặp Halpern Năm 1967, B Halpern [5] đề xuất phương pháp lặp   x ∈ C phần tử bất kì,  xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n ≥ (1.4) u ∈ C {αn } ⊂ (0, 1) Dãy lặp (1.4) gọi dãy lặp Halpern Ông chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp (1.4) điểm bất động ánh xạ không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1) Phương pháp lặp xấp xỉ mềm Năm 2000, Moudafi [10] đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn không gian Hilbert chứng minh kết sau: (1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi: x0 ∈ C, xn = εn T xn + f (xn ), ∀n ≥ 0, + εn + εn hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân: x ∈ F ix(T ) cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ), (1.5) 13 {εn } dãy số dương hội tụ (2) Với phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi: εn T zn + f (zn ), ∀n ≥ (1.6) + εn + εn P∞ Nếu limn→∞ εn = 0, − = 0, {zn } hội tụ n=1 εn = ∞ limn→∞ εn+1 εn mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân: zn+1 = x ∈ F ix(T ) cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F ix(T ), đây, f : C → C ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ C Chú ý 1.3 Khi f (x) = u với x ∈ C, phương pháp xấp xỉ mềm Moudafi trở phương pháp lặp Halpern 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong mục này, đề cập đến tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều Rn số toán liên quan Cho C tập lồi đóng Rn F : C −→ Rn ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển ánh xạ đơn trị phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.7) Tập hợp điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.7) gọi tập nghiệm toán ký hiệu V I(F, C) Sự tồn nghiệm Bài toán (1.7) cho định lý đây: Định lý 1.1 Cho C tập lồi compact Rn F : C −→ Rn ánh xạ liên tục Khi đó, Bài tốn (1.7) có nghiệm 14 Chứng minh Đặt PC phép chiếu mêtric từ Rn lên C Khi đó, PC (I − γF ) ánh xạ liên tục từ C vào nó, với I ánh xạ đồng Rn γ > Theo nguyên lý điểm bất động Brouwer, tồn x∗ ∈ C cho PC (x∗ − γF (x∗ )) = x∗ Theo Mệnh đề 1.8, hF x∗ , x − x∗ i ≥ với x ∈ C hay x∗ nghiệm Bài toán (1.7) Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.7) có mối quan hệ mật thiết với số toán khác là: Hệ phương trình, tốn tối ưu, toán bù toán điểm bất động a) Hệ phương trình Nhiều vấn đề cân kinh tế cổ điển mơ hệ phương trình, điều kiện tốn bù trừ thị trường, thiết phải có cân cung cầu Bài tốn bất đẳng thức biến phân xem hệ phương trình thơng qua mệnh đề đây: Mệnh đề 1.13 Phần tử x∗ ∈ Rn nghiệm toán V I(F, Rn ) F x∗ = Chứng minh Nếu F x∗ = 0, hiển nhiên x∗ nghiệm toán V I(F, Rn ) Ngược lại, giả sử x∗ nghiệm toán V I(F, Rn ), tức hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, với x ∈ Rn Chọn x = x∗ − F x∗ , ta −kF x∗ k2 = 0, suy F x∗ = b) Bài toán tối ưu Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng Rn f : C −→ R phiếm hàm lồi C Xét tốn sau: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ ) = min{f (x)|x ∈ C} (1.8) Mệnh đề sau cho biết mối quan hệ toán (1.8) bất đẳng thức biến phân cổ điển 15 Mệnh đề 1.14 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng Rn f : C −→ R phiếm hàm lồi, khả vi C Khi đó, x∗ ∈ C nghiệm tốn (1.8) x∗ nghiệm Bài toán (1.7), với F x = 5f (x) Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm Bài toán (1.8) Đặt ϕ(t) = f (x∗ +t(x−x∗ )) với t ∈ [0, 1] Khi đó, ϕ đạt cực tiểu t = 0, ≤ ϕ0 (0) = h5f (x∗ ), x−x∗ i, hay x∗ nghiệm Bài toán (1.7), với F x = 5f (x) Ngược lại, giả sử x∗ nghiệm Bài toán (1.7), với F x = 5f (x) Vì f hàm lồi, nên f (x) ≥ f (x∗ ) + h5f (x∗ ), x − x∗ i, với x ∈ C Từ suy f (x) ≥ f (x∗ ) với x ∈ C, hay x∗ nghiệm Bài toán (1.8) c) Bài toán bù Cho F : Rn −→ Rn ánh xạ Bài toán bù phi tuyến Rn+ hệ bao gồm phương trình bất phương trình có dạng sau: Tìm x∗ ≥ cho: F x∗ ≥ hF x∗ , x∗ i = (1.9) Khi F ánh xạ affine, tức F x = M x + b, với M ma trận cỡ n × n b véc tơ cỡ n × 1, (1.9) gọi tốn bù tuyến tính Mối quan hệ toán bù toán bất đẳng thức biến phân cho mệnh đề đây: Mệnh đề 1.15 Bài toán V I(F, Rn+ ) Bài tốn (1.9) có tập nghiệm Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm V I(F, Rn+ ), tức hF x∗ , x − x∗ i ≥ 0, (1.10) với x ∈ Rn+ Trong (1.10), thay x x∗ + ei , với i = 1, 2, , n {e1 , e2 , , en } sở tắc Rn , ta Fi x∗ ≥ với Fi (x∗ ) tọa độ thứ i F x∗ Do đó, F x∗ ≥ Trong (1.10), thay x 2x∗ 0, ta nhận hF x∗ , x∗ i ≥ 0, hF x∗ , −x∗ i ≥ (1.11) ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ MINH ĐỨC MỘT PHƢƠNG PHÁP LẶP XOAY VÒNG GIẢI MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành:... với x ∈ C, phương pháp xấp xỉ mềm Moudafi trở phương pháp lặp Halpern 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong mục này, chúng tơi đề cập đến tốn bất đẳng thức biến phân không gian hữu... Chương Phương pháp lặp xoay vòng giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn 21 2.1 Phát biểu toán 21 2.2 Phương pháp lặp giải