ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THIÊN QUANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THIÊN QUANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017 ii Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Trương Minh Tun, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, thầy khoa Tốn - Tin tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức cho Đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy dạy bảo động viên tơi hồn thành tốt nhiệm vụ trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Diêm Điền đồng nghiệp gia đình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian qua iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 10 1.2.1 Ánh xạ không giãn 10 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 14 1.2.3 Toán tử đơn điệu 16 Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 22 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp 22 2.2 Phương pháp lai chiếu 31 2.3 Một số ví dụ minh họa 35 Kết luận Tài liệu tham khảo 39 40 iv Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert X không gian Banach h., i tích vơ hướng H k.k chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực khơng âm G(A) đồ thị tốn tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vơ hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I không gian Hilbert H hay không gian Banach E", với I tập số Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci = F (Ti ), với F (Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt Năm 2008, tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Ở đây, họ xây dựng điều kiện (điều kiện NST (I)) mô tả mối liên hệ hai họ ánh xạ không giãn Thông qua điều kiện tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn (có thể hữu hạn hay vô hạn) đưa tốn tìm điểm bất động chung họ vơ hạn đếm ánh xạ khơng giãn Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R tài liệu [6] Ngồi ra, luận văn chúng tơi xây dựng hai ví dụ số đơn giản lập trình thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp lặp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn tập trung trình bày làm rõ số đặc trưng không gian Hilbert thực (các đẳng thức bất đẳng thức bản, phép chiếu mêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu tập lồi đóng), ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian Hilbert Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn Nội dung chương trình bày lại kết tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho toán tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert với ứng dụng chúng 3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm hai mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ không giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh 4 Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x 6= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc hx, yi tuyến tính Giả sử y 6= 0, với λ = , bất đẳng thức trở kyk2 thành |hx, yi| < kxk.kyk, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian P∞ l2 = {xn } ⊂ R : |x | < ∞ {en } ⊂ l2 , cho n n=1 en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 < kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } không hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi > kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ Mệnh đề chứng minh n→∞ (1.2) Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho kx − PC xk ≤ kx − yk với y ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kx − uk Khi đó, tồn {un } ⊂ C u∈C cho kx − un k −→ d, n −→ ∞ Từ ta có kun − um k2 = k(x − un ) − (x − um )k2 un + um k ≤ 2(kx − un k2 + kx − um k2 ) − 4d2 −→ 0, = 2kx − un k2 + 2kx − um k2 − 4kx − n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên kx − uk = d Giả sử n→∞ tồn v ∈ C cho kx − vk = d Ta có ku − vk2 = k(x − u) − (x − v)k2 u+v k = 2(kx − uk + kx − vk ) − 4kx − ≤ 2 Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho kx − PC xk = inf u∈C kx − uk ... đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert. .. tập lồi đóng), ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian Hilbert Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn Nội dung chương... Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 22 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp 22 2.2 Phương pháp lai chiếu 31 2.3 Một số