ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TRUNG THÔNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TRUNG THƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QT TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục iii Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 1.1.2 1.2 1.1.3 Một số tính chất Hàm lồi vi phân 1.2.1 1.2.2 1.3 Tập lồi Hàm lồi Dưới vi phân hàm lồi 10 Tốn tử khơng gian Hilbert 10 1.3.1 1.3.2 1.4 Định nghĩa Một số ví dụ Toán tử đơn điệu 10 Tốn tử tuyến tính 12 Điểm bất động ánh xạ không giãn 13 1.4.1 Ánh xạ không giãn điểm bất động 13 1.4.2 Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 15 Chương Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát khơng gian Hilbert 2.1 17 Bài tốn chấp nhận tách 17 2.1.1 2.1.2 Phát biểu toán 17 Một số bổ đề bổ trợ 18 ii 2.2 Phương pháp giải toán chấp nhận tách 22 2.2.1 Giới thiệu 22 2.2.2 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp 27 Một ví dụ áp dụng 36 Kết luận Tài liệu tham khảo 40 41 iii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: N tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương R H tập số thực không gian Hilbert thực C ∅ tập đóng lồi H tập rỗng ∀x x ∃x hx, yi tồn x tích vơ hướng hai véctơ x y kxk xn → x chuẩn véctơ x xn hội tụ mạnh đến x xn * x T xn hội tụ yếu x tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert I Jr toán tử đồng H toán tử giải T P lim supn→∞ xn phép chiếu mêtric từ H lên T −1 giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } ∂f vi phân hàm lồi f Mở đầu Bài toán chấp nhận tách tổng qt đóng vai trị đặc biệt quan trọng việc mơ hình hóa nhiều tốn ngược xuất thực tế tốn nén hình ảnh, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, khơi phục ảnh Một phương pháp nhiều tác giả sử dụng để giải toán chấp nhận tách phương pháp chiếu cần phải thực phép chiếu mêtric lên tập lồi đóng khơng gian Hilbert Tuy nhiên, việc tính ảnh ánh xạ chiếu mêtric tập lồi đóng khơng dễ thực thi Do vậy, việc xây dựng phương pháp xấp xỉ điểm bất động để giải toán chấp nhận tách hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Nhiều kết công bố gần phương pháp giải cho lớp tốn thường địi hỏi tính liên tục Lipschitz hệ số Lipschitz ánh xạ Tuy nhiên thực hành tính tốn, việc tính hệ số Lipschitz thường phức tạp tốn kém, dẫn đến việc cần thiết phải cải tiến loại bỏ điều kiện để xây dựng phương pháp giải hiệu Đề tài luận văn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát khơng gian Hilbert Đây đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: giới thiệu cách hệ thống lại định nghĩa, ví dụ số tính chất quan trọng khơng gian Hilbert thực Chương 2: trình bày phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách tổng qt khơng gian Hilbert, trình bày số định lý hội tụ, kết áp dụng Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường 2 Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, giáo Nguyễn Thị Thu Thủy toàn thể thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014–2016), bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, góp ý cho tác giả nhận xét quý báu Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Hồng Trung Thơng Chương Một số kiến thức bổ trợ Trong chương này, ta trình bày số kiến thức sử dụng chương sau Đó nhắc lại kiến thức khơng gian Hilbert, tính chất quan trọng khơng gian Hilbert giải tích lồi, trình bày vi phân Bên cạnh ta nhắc lại số tốn tử khơng gian Hilbert phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[6] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho khơng gian véctơ X trường số thực R Tích vô hướng xác định X ánh xạ h., i :X × X → R (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) hx, xi ≥ 0, với x ∈ X, hx, xi = ⇔ x = 0; (ii) hy, xi = hx, yi, với x, y ∈ X; (iii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi với x, x0 , y ∈ X; (iv) hλx, yi = λhx, yi với x, y ∈ X, λ ∈ R Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai véctơ x, y X 4 Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy với x, y, z ∈ X, λ ∈ R: (1) hx, y + y i = hx, yi + hx, y i; (2) hx, λyi = λhx, yi; (3) hx, 0i = Định nghĩa 1.1.3 Cặp (X, h., i), X khơng gian tuyến tính R, h., i tích vơ hướng X gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert X khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức kxk = p hx, xi (1.1) Định nghĩa 1.1.5 Nếu X không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.1) X gọi không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1.6 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, kxn − xk → n → ∞ Định nghĩa 1.1.7 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, hxn , yi → hx, yi n → ∞ với y ∈ H Chú ý 1.1.8 (a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, điều ngược lại khơng (b) Mọi khơng gian Hilbert có tính chất Kadec-Klee, tức dãy {xn } không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện kxn k → kxk xn * x, xn → x n → ∞ Định nghĩa 1.1.9 Cho C tập khơng gian Hilbert H Khi C gọi là: (a) Tập đóng dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x n → ∞, ta có x ∈ C; (b) Tập đóng yếu dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x n → ∞, ta có x ∈ C; (c) Tập compact dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ phần tử thuộc C; (d) Tập compact tương đối dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ; (e) Tập compact yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu phần tử thuộc C; (f) Tập compact tương đối yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu Nhận xét 1.1.10 (a) Mọi tập compact tập compact tương đối, điều ngược lại khơng (b) Mọi tập đóng yếu tập đóng, điều ngược lại khơng Mệnh đề 1.1.11 Cho H không gian Hilbert thực C tập H Khi đó, ta có khẳng định sau: (a) Nếu C tập lồi, đóng C tập đóng yếu; (b) Nếu C tập bị chặn C tập compact tương đối yếu Định nghĩa 1.1.12 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert thực H Ta biết với x ∈ H, tồn phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn kx − PC (x)k = inf kx − yk y∈C Phần tử PC (x) xác định gọi hình chiếu x lên C ánh xạ PC : H → C biến phần tử x ∈ H thành PC (x) gọi phép chiếu mêtric từ H lên C 6 Đặc trưng phép chiếu mêtric cho mệnh đề Mệnh đề 1.1.13 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, ánh xạ PC : H → C phép chiếu mêtric từ H lên C hx − PC (x), y − PC (x)i ≥ với y ∈ C Nhận xét 1.1.14 Về phương diện hình học, với y ∈ C, ta gọi α π góc tạo véc tơ x − PC (x) y − PC (x), α ≤ 1.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.1.15 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng n X hx, yi = λk α k k=1 x = (λ1 , λ2 , , λn ) y = (α1 , α2 , , αn ) chuẩn cảm sinh kxk = hx, xi = n X n X αk αk = |αk |2 k=1 Ví dụ 1.1.16 Khơng gian ( l2 = x = {xn }n ∈ R : k=1 ∞ X ) xn yn k=1 khơng gian Hilbert với tích vơ hướng hx, yi = ∞ P xn yn chuẩn cảm n=1 sinh v u∞ uX kxk = t |xn |2 k=1 với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 ... thiết phải cải tiến loại bỏ điều kiện để xây dựng phương pháp giải hiệu Đề tài luận văn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert Đây đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết,... 15 Chương Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert 2.1 17 Bài toán chấp nhận tách 17 2.1.1 2.1.2 Phát biểu toán 17 Một số... vậy, việc xây dựng phương pháp xấp xỉ điểm bất động để giải toán chấp nhận tách hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Nhiều kết công bố gần phương pháp giải cho lớp toán thường địi hỏi