ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHẠM THANH HIẾU THÁI NGUYÊN - 2018 ii Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iv Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Bài tốn đặt khơng chỉnh tốn điểm bất động 1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 3 1.1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 1.2 Bài toán điểm bất động ánh xạ không giãn 12 1.2.1 Ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 12 1.2.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 14 Chương Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm khơng giãn 17 2.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn 17 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov 21 2.2.1 Mô tả phương pháp 21 2.2.2 Sự tồn hội tụ 23 2.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 29 2.3.1 Mô tả phương pháp 29 iii 2.3.2 Sự hội tụ 29 2.4 Ví dụ số minh họa 31 2.4.1 Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17) 32 2.4.2 Minh họa số cho phương pháp (2.25) 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iv Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thanh Hiếu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy giáo khoa Tốn–Tin thầy cô giáo trường Tác giả xin bày tỏ lời trân trọng cảm ơn tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Hà Quảng - Hà quảng - Cao Bằng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học K10A bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên v Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X θ phần tử không không gian Banach X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng vi Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị n→∞ F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M o(t) vô bé bậc cao t n[a,b] số điểm chia cách đoạn [a, b] nmax số bước lặp tg thời gian tính tốn err sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác int(C) phần tập hợp C Mở đầu Nhiều toán lĩnh vực toán học, vật lý kinh tế dẫn đến tốn tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ xác định Các tốn gọi chung tốn điểm bất động Chẳng hạn, tốn tìm ảnh ánh xạ chiếu mê tric tập lồi đóng Ci , i ∈ I không gian Hilbert thực Điểm bất động tốn nghiệm tốn chấp nhận lồi tiếng tìm điểm thuộc vào giao tập lồi đóng Ci , i ∈ I không gian Hilbert thực Do quan trọng toán khía cạnh thực hành lý thuyết nên thuật tốn để tìm điểm bất động chung tốn tử trở thành lĩnh vực nghiên cứu phát triển lý thuyết điểm bất động Ta biết T : H → H ánh xạ co ln tồn điểm bất động T Tuy nhiên, T ánh xạ khơng giãn điều khơng cịn nên lớp toán điểm bất động ánh xạ không giãn họ ánh xạ khơng giãn tốn quan trọng nhà nghiên cứu tốn học Lí tốn có nhiều ứng dụng thực tế khơi phục xử lý tín hiệu, phân phối băng thông, điều khiển lượng (xem chẳng hạn [19]) Cho đến có nhiều nhà tốn học cơng bố nhiều kết hay có ý nghĩa (xem chẳng hạn [24]–[27]) để tìm điểm bất động chung ánh xạ không giãn họ ánh xạ không giãn dựa việc cải biên, cải tiến kết có Mann [23], Halpern [15], Ở Việt Nam, toán điểm bất động ánh xạ không giãn đề tài nghiên cứu sơi thu hút nhiều nhà tốn học tiếng Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thuỷ nhiều tác giả trẻ Đặng Văn Hiếu, Trương Minh Tuyên (xem chẳng hạn [9], [21], [32] số tài liệu trích dẫn đó) Những công bố tác giả Việt Nam nước ngồi phương pháp giải tốn điểm bất động làm phong phú thêm lý thuyết điểm bất động đóng góp chung vào phát triển lĩnh vực nghiên cứu Mặc dù toán quan trọng toán điểm bất động ánh xạ không giãn nằm lớp tốn đặt khơng chỉnh (nói chung) theo nghĩa nghiệm tốn khơng nghiệm khơng phụ thuộc vào kiện ban đầu Việc xây dựng phương pháp giải ổn định gọi phương pháp hiệu chỉnh cho lớp tốn đặt khơng chỉnh có tốn điểm động ánh xạ không giãn hướng nghiên cứu cần quan tâm Nói đến phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov coi phương pháp hiệu sử dụng để giải nhiều lớp tốn đặt khơng chỉnh bất đẳng thức biến phân , phương trình tốn tử tốn điểm bất động (xem chẳng hạn [18], [32] số tài liệu trích dẫn đó) Trong luận văn này, dựa số kết có phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn, nghiên cứu trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh toán điểm bất động với số kiến thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày kết luận văn liên quan đến số tính chất hình học khơng gian Hilbert không gian Banach; ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn; ánh xạ liên tục; ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh ánh xạ ngược đơn điệu mạnh không gian Hilbert Chương dành để trình bày kết phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, phương pháp hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert ví dụ số minh họa cho hai phương pháp 3 Chương Bài tốn đặt khơng chỉnh tốn điểm bất động Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Hilbert, không gian Banach, ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Đồng thời, giới thiệu cách ngắn gọn tốn đặt khơng chỉnh tốn điểm bất động Mục 1.1 dành để giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Mục 1.2 giới thiệu toán điểm bất động ánh xạ không giãn với phương pháp lặp Mann [23], phương pháp lặp Halpern [15] để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Những kiến thức đề cập chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1]-[4] số tài liệu khác có trích dẫn kèm 1.1 Bài tốn đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Trong nhiều toán nảy sinh từ thực tế, tồn lớp tốn mà nghiệm khơng ổn định theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến thay đổi lớn liệu đầu (nghiệm toán), chí cịn làm cho tốn trở nên vơ nghiệm Có thể nói rằng, lớp tốn nói có nghiệm khơng phụ thuộc vào kiện ban đầu trường hợp riêng lớp tốn đặt khơng chỉnh Trong mục này, chúng tơi đề cập đến khái niệm tốn đặt khơng chỉnh dạng phương trình tốn tử, với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp toán ...ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng... dựng phương pháp giải ổn định gọi phương pháp hiệu chỉnh cho lớp tốn đặt khơng chỉnh có tốn điểm động ánh xạ không giãn hướng nghiên cứu cần quan tâm Nói đến phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp hiệu. .. đó) Trong luận văn này, dựa số kết có phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn, nghiên cứu trình bày phương pháp hiệu