Bài tập Đại số nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm, rất hay, bài tập rất hay và các bạn nên down về tham khảo thêm. tài liệu là bản tóm tắt cho các bạn tham khảo và làm luận văn tốt nghiệp, rất hay. Thể loại thuộc về toán học Đại số
Ch-ơng III: Vành tr-ờng 1: VàNH Và MIềN NGUYêN 3.2 :TRNG 1: vành miền nguyên 3.1.1 nh ngha Vành ịnh nghĩa 1: Ta gọi vành tập hợp X với hai phép toán hai ngôI đà cho X kÝ hiÖu theo thø tù b»ng dÊu + vµ (ng-êi ta th-êng kÝ hiƯu nh- vËy) vµ gọi phép cộng phép nhân cho cac ®iỊu kiƯn sau tho¶ m·n: X cïng víi phÐp céng nhóm aben X với phép nhân nửa nhóm phép nhân phân phối phép cộng : với phần tử tuỳ ý x, y, z X ta cã x (y + z) = xy+ xz (y + z) x = yx+ zx 1: vành miền nguyên Phần tử trung lâp phéo cộng kí hiệu gọi phần tử không Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) phần tử x kí hiệu x gọi đối x Nếu phép nhân giao hoán ta bảo vành X giao hoán Nếu phép nhân có phần tử trung lập gọi phần tủ đôn vị X th-ờng kí hiệu e hay (nếu nhầm lẫn) 1: vành miền nguyên Định nghĩa2: Vành tập K trang bị hai phép tốn hai ngơi, phép tốn gọi phép cộng, ký hiệu “+”, phép toán gọi phép nhân, ký hiệu “.”, cho ba điều kiện sau thoả mãn: i) (K, +) nhóm Aben ii) (K, ) nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức x (y + z) = x.y + x.z (y + z) x = y.x + z.x, x, y, z K Nếu phép nhân giao hoán: x.y = y.x, với x, y thuộc K vành K gọi vành giao hoỏn 1: vành miền nguyên Phần tử trung hồ nhóm Aben (K, +) gọi phần tử không vành K, thường ký hiệu Phần tử nghịch đảo phần tử x nhóm Aben cộng (K, +) gọi phần tử đôi phần tử x, ký hiệu – x Tổng x + (-y) viết x – y, gọi hiệu x y Ta có: x – x = 0, x K Nếu nủa nhóm nhân (K, ) vị nhóm phần tử trung hồ vị nhóm gọi phần tử đơn vị vành K, thường ký hiệu Khi đó, K gọi vành có đơn vị Ta có: x = x, x K Trong vành K ta có: a) x = x 0, x K b) (–x) y = x (–y) = - (x y) Từ tính chất (a) trực tiếp suy rằng: Nếu vành K có phần tử có đơn vị 1: vành miền nguyên Ví dụ 1) Tập hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân thông th-ờng mộ vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tØ, c¸c sè thùc, c¸c sè phøc (c¸c phÐp to¸n phép cộng phép nhân thông th-ờng) 2) Tập hợp Z/nZ số nguyên mod n với phép cộng phép nhân số nguyên mod n (ch II, Bµi 1, bµi tËp 2) vµ (ch II Bµi 2, 3, vÝ dơ) lµ mét vµnh guao hoán có đơn vị, gọi vành số nguyên mod n 1: vành miền nguyên 3) Tập hợp ma trậnvuông cấp n, n >1, (với phần tử thực chẳng hạn) với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị Vành không giao hoán 4) Tập hợp số nguyên bội số số nguyên n >1 cho tr-ớc vành với phép cộng phép nhân thông th-ờng Vành giao hoán nh-ng đơn vị 1: vành miền nguyên 5) Tập hợp ma trận vuông cÊp n >1 cã d¹ng: a1 0 0 a2 a n số thực, với phép cộng phép nhân ma trận vành Vành không giao hoán, đơn vị 1: vành miền nguyên Định lí Cho X lµ mét vµnh, víi moi x, y, z X ta cã : x(y – z) = xy – xz, (y – z)x = yx – zx 0x = x0 = x(-y) = (-x)y =-xy, (-x)(-y) = xy 1: vành miền nguyên Chøng minh (i) Theo luËt ph©n phèi ta cã xy = x((y – z) + z) = x(y – z) + xz Ta suỷa đẳng thức thứ chøng minh t-¬ng tù (ii) Theo (i) ta cã 0x = (y – y)x = yx – yx = = xy – xy = x(y – y) = x0 (iii) Từ (i) (ii) ta đ-ợc x(-y) = x(0 – y) = x0 – xy = – xy = -xy = 0y – xy = (0 – x)y = (-x) y ; ta suy (-x)(-y) = xy Đặc biệt với số nguyên n >0 ta đ-ợc (-x)n = xn n chẵn, (-x)n = -xn n lẻ (đ.p.c.m) Từ (ii) ta suy vành X có đơn vị vành có nhiều phần tử e 1.5: iĐêan 3.1.6 : NG CU VNH NG CU VNH 3.1.6 : NG CU VNH 3.1.6 : CU VNHđịnh lýĐỒNG 3.2 tr-êng th-¬ng Giả sử P trường, j phép nhúng chìm vành A vào trường P, tức j đơn cấu vành A vào trường P Nếu đồng với j(A) xem vành A vành trường P Vì trường P giao hốn khơng có ước 0, để nhúng vành A vào trường P điều kiện cần A phải vành giao hốn khơng có ước Tổng quát hoá việc xây dựng trường số hữu tỉ Q từ vành số nguyên Z, toán sau đặt cách tự nhiên: 3.2 tr-êng th-¬ng Cho trước miền nguyên giao hoán K, dựng trường P chứa K miền Ta đặt K* = K\{0} Trong tập K K* ta xét quan hệ “~”: (a, b) ~ (a’, b’) ab’ = a’b (1) Quan hệ ~ quan hệ tương đương K K*, thật vậy: - Đó quan hệ phản xạ: (a, b) ~ (a, b) a.b = b.a - Quan hệ xét đối xứng: Giả sử (a, b) ~ (a’, b’) a.b’ = a’.b hay a’.b = a.b’ Vậy (a’, b’) ~ (a, b) 3.2 tr-êng th-¬ng Giả sử (a, b) ~ (c, d) (c, d) ~ (e, ƒ) Vì (a, b) ~ (c, d) nên a.d = b.c Vậy ta có: a.d.ƒ = b.c.ƒ (a) Vì (c, d) ~ (e, f) nên: c.ƒ = e.d (b) Từ (a) (b) ta có a.d.ƒ = b.c.d Vì K miền nguyên, d nên ta có: a.ƒ = b.e Vậy (a, b) ~ (e, ƒ), quan hệ xét có tính bắc cầu 3.2 tr-êng th-¬ng Lớp tương đương phần tử (a, b) kí hiệu Ta kí hiệu: P = { : (a, b) K K*} Theo (1) = a.d = b.c Trong P ta định nghĩa hai phép toán sau: Phép cộng “+”: c ad bc a b + d = bd (2) c a.c a Phép nhân “.”: = b d b.d (3) Ta chứng tỏ phép toán định nghĩa ... có đơn vị 3 1: vành miền nguyên Ví dụ 1) Tập hợp Z số nguyên với phép cộng phép nhân thông th-ờng mộ vành giao hoán có đơn vị gọi vành số nguyên Ta có vành số hữu tỉ, số thực, số phức (các... Tập hợp Z/nZ số nguyên mod n với phép cộng phép nhân số nguyên mod n (ch II, Bài 1, tËp 2) vµ (ch II Bµi 2, 3, vÝ dơ) vành guao hoán có đơn vị, gọi vành số nguyên mod n 1: vành miền nguyên 3) ... chứng minh định lý 3. 3 ta có: Nếu K vành có đơn vị Iđêan A chứa phần tử n v thỡ A = K 3 1.5: iĐêan 3. 1.6 : ĐỒNG CẤU VÀNH ĐỒNG CẤU VÀNH 3. 1.6 : NG CU VNH 3. 1.6 : CU VNHđịnh lýNG 3. 2 tr-ờng th-¬ng