Bài tập Đại số nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm, rất hay, bài tập rất hay và các bạn nên down về tham khảo thêm. tài liệu là bản tóm tắt cho các bạn tham khảo và làm luận văn tốt nghiệp, rất hay. Thể loại thuộc về toán học Đại số
Chương II NỬA NHĨM VÀ NHĨM §1 NỬA NHĨM Phép tốn hai ngơi Phỏng nhóm Nửa nhóm §1 NỬA NHĨM 1.1 Phép tốn hai ngơi Làm Đại số, chủ yếu tính tốn mà ví dụ điển hình bốn phép toán Số học sơ cấp Thực chất mà nói, làm phép tốn đại số hai phần tử a, b tập hợp X cặp tương ứng với cặp (a, b) phần tử xác định tập hợp X Nói cách khác, cho phép toán đại số làm ánh xạ từ X X đến X 1.1 Phép toán hai ngơi Định nghĩa Ta gọi phép tốn hai ngơi (hay cịn gọi tắt phép tốn) tập hợp X ánh xạ f từ XX đến X Giá trị f(x, y) f (x, y)gọi hợp thành x y Cái hợp thành x y thường kí hiệu cách viết x y theo thứ tự định với dấu đặc trưng cho phép toán đặt x, y Trong dấu mà người ta hay dùng tới nhiều nhất, dấu + 1.1 Phép tốn hai ngơi dấu người ta thường quy ước bỏ ; với dấu đó, hợp thành x y viết x + y, x y hay xy Một phép tốn hai ngơi kí hiệu dấu + gọi phép cộng, hợp thành x + y lúc gọi tổng x y; phép tốn hai ngơi kí hiệu dấu gọi phép nhân, hợp thành x y hay xy lúc gọi tích x y Người ta cịn dùng kí hiệu x o y, x y, x T y, x y… để hợp thành x y 1.1 Phép tốn hai ngơi Giả sử E tập cho trước Mỗi ánh xạ θ: E×E →E gọi phép tốn hai ngơi phép tốn đại số (gọi tắt phép toán) E Với x E, y E phần tử θ((x, y)) gọi hợp thành phần tử x, y Phần tử hợp thành thường ký hiệu theo hai cách: Theo lối cộng: θ((x, y)) = x + y, phần tử x + y gọi tổng phần tử x, y Theo lối nhân: θ((x, y)) = x y (hoặc xºy, xy, v.v…), phần tử x.y gọi tích phần tử x, y 1.1 Phép tốn hai ngơi Ví dụ : 1) Trong trường hợp N số tự nhiên, phép cộng, phép nhân, phép tốn hai ngơi; cài hợp thành x ∈ N y ∈ N phép tốn kí hiệu theo thứ tụ x + y, xy Phép hợp thành xy, phép toán hai trông tập N* = N – {0} 2) Phép trừ khơng phải phép tốn hai ngơi N, phép toán hai ngoi tập hợp Z số nguyên 1.1 Phép toán hai ngơi 3) Tích xạ phép tốn hai tập hợp ánh xạ từ tập hợp X đến 4) Tích ngoại vectơ hình học Giải tích phép tốn hai ngơi tập hợp vectơ có điểm gốc O không gian ba chiều thông thường 1.1 Phép tốn hai ngơi 5) Tích ma trận phép tốn hai ngơi tập hợp ma trận vuông cấp n Sau đây, lí luận tổng quát ta viết hợp thành x y xy, khơng có lí mà khiến ta phải viết khác 6, Phép cộng đồng dư nhân đồng dư cho P ký hiệu +modp, modp Zp 1.1 Phép toán hai Xét tập: Zn {0, 1, , n-1} Ta định nghĩa hai phép toán Zn sau: - Phép cộng theo đồng dư mod n: a, b Zn, a + b = c (mod n) c phần dư phép chia tổng a + b cho n - Phép nhân theo đồng dư mod n: a, b Zn, a b = d (mod n) d phần dư phép chia tích a b cho n Chẳng hạn với n = 4, ta có Z4 = {0,1,2,3} 1.1 Phép tốn hai ngơi + 0 1 ° 0 0 1 2 2 3 3 2 -nhãm Abel, Xyclic Bổ đề: Tất sở nhóm Aben tự Zn có n phần tử Chứng minh: Vì Zn Qn, phần tử x = (a1, a2, , an) nhóm Aben Zn xem véctơ không gian véctơ Qn trường hữu tỉ Q Sự độc lập tuyến tính phần tử nhóm Aben Zn ta gọi Z- độc lập tuyến tính Sự độc lập tuyến tính phần tử không gian Qn gọi Q- độc lập tuyến tính Khi nói hệ phần tử x1, x2, , xm nhóm Aben Zn Z- độc lập tuyến tính hay Q- độc lập tuyến tính tương đương -nhãm Abel, Xyclic Vì hệ thức tuyến tính hệ số Z: nixi xem hệ thức tuyến tính hệ số Q, Z Q Ngược lại hệ thức tuyến tính khơng tầm thường với hệ số Q: rixi = 0, ri Q ta có thể đưa hệ thức tuyến tính không tầm thường x1, x2, , xn với hệ số Z, cụ thể là: (piri)xi = 0, p mẫu số chung ri Áp dụng kết đại số tuyến tính không gian véctơ Qn Q, suy điều phải chứng minh m i m i m i 1 -nhãm Abel, Xyclic Định lý 2.29: Nếu nhóm Aben tự X có sở gốm n phần tử tất sở khác có n phần tử Số n gọi hạng X, ta viết r(X) = n Chứng minh: Giả sử nhóm Aben tự X có sở gồm n phần tử Sn = {s1, s2, , sm } Ánh xạ ƒ(si) = ei = (0, , 1, , 0) đẳng cấu X lên Zn Khi ƒ chuyển đẳng cấu sở B X thành sở ƒ(B) Zn Từ bổ đề suy điều phải chứng minh – ph©n tÝch nhãm Xyclic SỰ PHÂN TÍCH CÁC NHĨM XYCLIC Giả sử G = G’ = hai nhóm xyclic cấp Khi ánh xạ ƒ: G → G’ xác định (gm) = g’m đẳng cấu nhóm G lên nhóm G’.Vậy hai nhóm xyclic cấp đẳng cấu Do ta có: Mỗi nhóm xyclic cấp vơ hạn đẳng cấu với nhóm cộng số nguyên (Z, +, 0) Mỗi nhóm xyclic cấp n đẳng cấu với nhóm cộng (Zn, +, 0) số nguyên mod n – ph©n tÝch nhãm Xyclic Định nghĩa: Nhóm khơng phân tích được: Nhóm G gọi khơng phân tích khơng thể phân thành tổng trực tiếp hai nhóm chuẩn tắc khơng tầm thường Bổ đề 1: Nhóm cộng số ngun Z khơng phân tích – ph©n tÝch nhãm Xyclic Bổ đề 2: Giả sử p số nguyên tố, m > Khi nhóm cộng Zpm số nguyên mod pm khơng phân tích Nhóm xyclic cấp pm, p nguyên tố, m > gọi nhóm xyclic nguyên sơ Theo bổ đề 2, nhóm xyclic ngun sơ khơng phân tích – ph©n tÝch nhãm Xyclic Bổ đề 3: Nếu n = t.s t s nguyên tố thì: Zn Zt Zs Định lý 2.31: Nếu số tự nhiên n có phân tích: n = p1m1 p2m2 prmr Trong p1, p2, , pr r số nguyên tố khác thì: Zn Zp1m1 Zp2m2 Zprmr – ph©n tÝch nhãm Xyclic Hệ 1: Mỗi nhóm xyclic khơng tầm thường khơng phân tích nhóm xyclic vơ hạn nguyên sơ Hệ 2: Mỗi nhóm xyclic cấp hữu hạn phân tích thành tổng trực tiếp nhóm xyclic nguyên sơ – NHĨM ABEN HỮU HẠN SINH Nhóm (G, , e) gọi nhóm hữu hạn sinh có tập sinh S hữu hạn tức là: S G, S hữu hạn, = G Các nhóm Aben hữu hạn sinh có vai trị quan trọng nhiều ứng dụng Mục đích chủ yếu chứng minh định lý cấu trúc nhóm Aben hữu hạn sinh – NHÓM ABEN HỮU HẠN SINH Bổ đề 1: Mỗi nhóm Aben với n phần tử sinh đẳng cấu với nhóm thương nhóm Aben tự hạng n Bổ đề 2: Mỗi nhóm G {0} nhóm Aben tự F hạng n nhóm Aben tự r(G) = m n Hơn có sở S = {u1, u2, , un} F sở B = {v1, v2, , vm} G cho : vi = ti.ui , i = 1, 2, , m, t1, t2, , tm số nguyên dương thoả mãn: ti chia hết ti+1, i = 1, 2, , i – – NHÓM ABEN HỮU HẠN SINH Bổ đề 3: Mỗi nhóm Aben có n phần tử sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp n nhóm xyclic cấp t1, t2, , un đó: t1 t2 tn ∞ Và ti chia hết t1+1 < ∞ Bổ đề 4: Giả sử A B hai nhóm hữu hạn có cấp r, s tương ứng Khi nhóm tích A × B xyclic a B nhóm xyclic r, s nguyên tố – NHÓM ABEN HỮU HẠN SINH Định lý 2.32: (Định lý nhóm Aben hữu hạn sinh) Giả sử G nhóm Aben hữu hạn sinh Khi nhóm G tồn tích phân dạng G Zt Zn1 Zn2 Zns (α) Trong G khơng phải nhóm Aben tự n-1 > n-1 chia hết cho n-i + 1, i < s Bµi TËp Bài 1) Xét xem tập sau phép toán xác định chúng có lập thành nửa nhóm, vị nhóm, nhóm khơng ? a) Tập E = {a, b, c, d} phép toán xác định bởi: aa = ab = ac = e, ad = d, bE = {b}j, cE = {c}, dE = {d} b) Tập số thực R phép toán: i) x * y = (x2 + y2)1/2 ii) x y = (x3 + y3)1/3 c) Tập quan hệ hai tập E phép tích quan hệ d) Tập R+ số thực dương phép toán nhân Bµi TËp e) Tập số thực phép toán: x y = x + y + axy Trong a số thực cho trước f) Tập Z Z phép toán: (a, b)(c, d) = (ad + bc, bd) g) Tập cặp số thực (a, b) ≠ phép toán: (a, b)(c, d) = (ac + bc, d) h) Tập GL(n, C) ma trận cấp n hệ số phức có định thức khác phép nhân ma trận Bµi TËp Bài 3) Trong tập N số tự nhiên, xét phép toán xác định x y = ax + by, x, y N, a, b số tự nhiên cho trước Tim điều kiện a, b để phép toán giao hoán, kết hợp Bài 4) Giả sử (E, ) nhóm cho trước Chứng minh rằng: A = {s E: s(x y) = (s x) y, x, y E} Là tập ổn định A nửa nhóm phép tốn cảm sinh Bài 5) Chứng minh xác định n( n + n ) / phép tốn hai ngơi giao hốn tập có n phần tử Bài 6) Tìm điều kiện số thực a, b, c để tập số thực R phép toán sau nhóm x y = ax + by + c ... tốn cảm sinh 1 .2 Nửa nhóm BÀI TẬP: 1.Giả sử a b hai phần tử nửa nhóm X cho ab = ba Chứng minh (ab)n = anbn với só tự nhiên n > 2. Nếu a b hai phần tử nửa nhóm X cho (ab )2 = a2b2 ta có suy ab... n 2, GL(n, R) nhóm khơng giao hốn ? ?2 NHĨM c) Giả sử En = {1, 2, , n} Ký hiệu Sn tập song ánh từ lớp tập En vào Dễ thấy Sn nhóm phép tốn tích ánh xạ Nhóm Sn- gọi nhóm đối xứng bậc n.Với n > 2, ... khơng kết hợp 1 .2 Nửa nhóm Định lí (định lí kết hợp) Giả sử x1,x2,…,xn n (n 3) phần tử (phân biệt hay khơng) nửa nhóm X, x1x2 …xn = (x1…xi) (x i + 1…xj) … (xm + 1…xn) Định lí 2. Trong nửa nhóm